与三角形有关的角
与三角形有关的角(提高) 知识讲解(82)
与三角形有关的角（提高）知识讲解【要点梳理】要点一、三角形的内角1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.要点诠释：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．知识点三、多边形的概念1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．2．相关概念：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。
专题02 与三角形相关的角(知识点串讲)(解析版)
专题02 与三角形有关的角知识网络重难突破一、三角形的内角和等于180°1. 三角形三个内角和等于180°．2．几种常见的证明三角形内角和为180 的方法：①添加平行线： 22112211 ②折叠：332211③把三角形的三个内角剪下来能拼成一个平角．典例1．（2021·山西九年级二模）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据“直角三角形两锐角互余”是由三角形内角和定理推导的判断即可．【解析】解：∵“直角三角形两锐角互余” 是由三角形内角和定理推导的即，作CD AB ⊥后，利用直角三角形两锐角互余得到三角形内角和是180°的证明方法不正确， 故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，要证明三角形的内角和等于180°即三角形三个内角的和是平角，就要作辅助线，使得三角形的三个内角的和转化成组成平角的三个角之和．典例2．（2021·全国）直角三角形的两个锐角的度数比为1：3，则较小的锐角是__．【答案】22.5°．【分析】设两个锐角度数为x °，3x °，根据直角三角形中两个锐角互余列方程求解即可．【解析】设两个锐角度数为x °，3x °，由题意得：x +3x ＝90，解得：x ＝22.5，∴较小的锐角是22.5°．故答案为：22.5°．【点睛】本题考查了直角三角形两个锐角互余，以及一元一次方程的应用，根据性质列出方程是解答本题的关键．典例3．如图，ABC 中，50A ∠=︒，点E ，F 在,AB AC 上，沿EF 向内折叠AEF ，得DEF ，则图中12∠+∠等于（ ）A ．130︒B ．120︒C ．65︒D ．100︒【答案】D【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠AEF +∠AFE 的度数，再根据折叠的性质求出∠AED +∠AFD 的度数，然后根据平角等于180°解答．【解析】解：∵∠A =50°，∴∠AEF +∠AFE =180°-50°=130°，∵沿EF 向内折叠△AEF ，得△DEF ，∴∠AED +∠AFD =2（∠AEF +∠AFE ）=2×130°=260°，∴∠1+∠2=180°×2-260°=360°-260°=100°．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻转变换的性质，整体思想的利用是解题的关键．二. 直角三角形 ↔ 2个锐角互余直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.常考知识点：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且该三角形是等腰直角三角形.典例1.（2020·利辛县启明中学八年级月考）在下列条件中，能确定ABC 是直角三角形的条件有（ ） ①A B C ∠+∠=∠，②::1:2:3A B C ∠∠∠=，③90A B ∠=︒-∠，④A B C ∠=∠=∠A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】结合三角形的内角和为180°逐个分析4个条件，可得出①②③中∠C=90°，④能确定ABC 为等边三角形，从而得出结论．【解析】解：①∵∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C+∠C=180°，即∠C=90°，此时ABC 为直角三角形，①符合题意；②∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∴∠A+∠B=∠C，同①，此时ABC 为直角三角形，②符合题意；③∵∠A=90°-∠B，∴∠A+∠B=90°，∴∠C=90°，③符合题意；④∵∠A=∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°，∴ABC为等边三角形，④不符合题意；综上可知：①②③能确定ABC为直角三角形．故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的定义以及三角形内角和定理，解题的关键是结合三角形的内角和定理逐个分析4个条件．三、三角形的外角的性质1．三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．注意：三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．②三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．③三角形的外角和等于360°.等于（）典例1．（2021·湖南八年级期末）将一副三角板按如图所示的方式放置，则DACA．75°B．90°C．105°D．120°【答案】C【分析】根据三角板的每个角度及三角形的有关性质求解．【解析】解：在△AFC中，由三角形外角性质可得：∠DAC=∠DFC+∠C=60°+45°=105°，故选C．【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角板的构成及三角形的外角性质是解题关键．典例2．（2021·辽宁八年级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，连接CD，若∠A＝∠D＝40°，∠ACD ＝30°，则∠DCE的度数为_____．【答案】70°．【分析】由三角形的外角的性质定理得到∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠CBD+∠D，再由已知∠ABD＝∠CBD，∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°解方程组可求得结果．【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠ACE＝∠A+∠ABC＝40°+2∠CBD，∴∠DCE+∠ACD＝∠A+2∠CBD，∵∠DCE＝∠CBD+∠D，∠A＝∠D＝40°，∠ACD＝30°，∴∠DCE+30°＝40°+2∠CBD，即∠DCE＝2∠CBD+10°①，∠DCE＝40°+∠CBD②，由①②得∠DCE＝70°，故答案为：70°．【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质定理，角平分线的定义，熟练应用三角形的外角的性质定理是解决问题的关键．典例3．（2020·山东八年级期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数为___________．【答案】360°【分析】根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，以及多边形的内角和即可求解．【解析】解：∵∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D，∠3=∠E+∠F，∠4=∠G+∠H，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=∠1+∠2+∠3+∠4，又∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°．故选：D．．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质以及多边形的外角和定理，正确转化为多边形的外角和是关键．四. 多边形的对角线1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．如果多边形的任何一边所在直线都使余下的边都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫做凸多边形.①多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．②多边形的顶点：每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点．③正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形．（两个条件缺一不可）④多边形的对角线：在多边形中，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形的对角线：一个顶点有(3)n-条对角线，共有(3)2n n-条对角线．典例1．观察下面图形，并回答问题．（1）四边形有_______条对角线；五边形有_______条对角线：六边形有_______条对角线．n 边形有______条对角线；（无需证明）（2）若一个多边形有35条对角线，这个多边形的边数是？【答案】见解析【分析】（1）根据图形求出多边形的对角线条数；（2）设这个多边形的边数是n ，由题意得：()3352n n -=，解方程即可得出答案．【解析】解：()1观察图形可得：四边形的对角线的条数为：()43414222-⨯⨯==； 五边形的对角线的条数为：()53525522-⨯⨯==； 六边形的对角线的条数为：()63636922-⨯⨯==； ⋅⋅⋅依次类推：n 边形的对角线的条数为：()32n n -． ()2设这个多边形的边数是n ，由题意得：()3352n n -=， 解得：110n =，27n =-（不合题意，舍去）.答：这个多边形的边数是10．【点睛】本题主要考查了多边形对角线的条数的公式总结，熟记公式对今后的解题大有帮助．五. 多边形的内角和1. 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．2. n 边形的内角和为(n-2)·180°(n ≥3)．证明方法：分割成(n-2)个三角形求内角和3.正多边形的每个内角都相等，都等于n-°；(2)180n典例1．（2021·内蒙古包头市·八年级期末）若多边形的边数由n增加到n+1（n为大于3的正整数），则其内角和的度数（）A．增加180°B．减少180°C．不变D．不能确定【答案】A【分析】根据多边形的内角和定理即可求出答案．【解析】解：n边形的内角和是（n−2）•180°，n＋1边形的内角和是（n＋1−2）•180°＝（n−1）•180°，则（n−1）•180°−（n−2）•180°＝180°，故选：A．【点睛】此题考查了多边形的内角与外角，正确理解多边形的内角和定理是解决的关键．典例2．（2021·浙江八年级期末）如果一个多边形的内角和等于540°，则它的边数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据n边形的内角和为(n-2)•180°得到(n-2)•180=540，然后解方程即可．【解析】解：设这个多边形的边数为n，∴(n-2)•180=540，∴n=5．故选：C．【点睛】本题考查了多边行的内角和定理：n边形的内角和为(n-2)•180°．典例3．若一个正多边形的每个内角为144︒，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．10 C．12 D．14【答案】B【分析】根据多边形的内角和公式，可得答案．【解析】解：设正多边形是n边形，由内角和公式得（n-2）180°=144°×n，解得n=10，故选：B．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，由内角和得出方程是解题关键．典例4．一张四边形纸片剪去一个角后，内角和将（）A．减少180°B．不变C．增加180°D．以上都有可能【答案】D【分析】若剪掉四边形相邻两条边的一部分，则剩下的部分是五边形．若从四边形一个角的顶点，沿直线向对角的邻边剪，且只剪掉一条邻边的一部分，则剩下的部分为四边形．若沿着四边形的对角线剪，则剩余部分为三边形（三角形）．即可求得内角和的度数．【解析】解：如下图所示：观察图形可知，四边形剪掉一个角后，剩下的图形可能是五边形，也可能是四边形，还可能是三角形．则剩下的纸片图形是三角形或四边形或五边形．内角和是：180°或360°或540°．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是能理解一个四角形截取一个角后得到的图形的形状．典例5．在计算一个多边形内角和时，多加了一个角，得到的内角和为1500°，那么原多边形的边数为（）A．9 B．10 C．11 D．10或11【答案】B【分析】设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，根据多边形内角和定理，列出等式，进而即可求解．【解析】设多加上的一个角的度数为x，原多边形的边数为n，则(n-2)×180+x=1500，(n-2)×180=8×180+60-x，∵n-2为正整数，∴60-x能被180整除，又∵x＞0，∴60-x=0，∴(n-2)×180=8×180，∴n=10，故选B【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，根据定理，列出方程，是解题的关键．六. 多边形的外角和1. 多边形的外角和为360°．注意：在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；2. 正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于360n°；典例1．（2021·山东青岛市·八年级期末）如图，小明从A点出发，沿直线前进16米后向左转45°，又向左转45°，…，照这样走下去，共走路程为（）A．96米B．128米C．160米D．192米【答案】B【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．【解析】解：根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×16=128（米）．故选：B．【点睛】本题主要考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是360°．典例2．（2021·山东八年级期末）如图，1234∠+∠+∠+∠的度数为__________．【答案】360︒【分析】根据多边形的外角和定理即可求解．【解析】解：由多边形的外角和定理知，∠1+∠2+∠3+∠4=360°，故答案是：360°．【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，理解定理是关键．典例3．（2021·河北八年级期末）如图，在正八边形ABCDEFGH 中，对角线BF 的延长线与边DE 的延长线交于点M ，则M ∠的大小为__________．【答案】22.5︒【分析】利用正多边形的内角和公式与外角和公式结合题意即可求出45FEM ∠=︒，67.5EFB ∠=︒，再利用三角形外角性质即可求出M ∠． 【解析】解：根据正八边形的性质可知360458FEM ︒∠==︒，180(82)1358EFG ︒⨯-∠==︒， 由图可知1113567.522EFB EFG ∠=∠=⨯︒=︒， ∴67.54522.5M EFB FEM ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：22.5︒．【点睛】本题考查正多边形的内角和与外角和公式以及三角形外角的性质．掌握正多边形的内角和与外角和公式是解答本题的关键．巩固训练一、单选题1．（2021·四川九年级一模）如图，//AB CD ，80C ∠=︒，∠CAD =60°，BAD ∠的度数等于（ ）A ．60°B ．50°C ．45°D ．40°【答案】D 【分析】根据三角形的内角和为180°，即可求出∠D 的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可知道∠BAD 的度数．【解析】解：∵∠C =80°，∠CAD =60°，∴∠D =180°-80°-60°=40°，∵AB ∥CD ，∴∠BAD =∠D =40°．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的内角和为180°，以及两直线平行，内错角相等的性质，难度适中．2．（2021·全国九年级专题练习）如图，ABC 中，65A ∠=︒，直线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BDE CED ∠+∠=（ ）．A ．180︒B ．215︒C ．235︒D ．245︒【答案】D 【分析】根据三角形内角和定理求出ADE AED ∠+∠，根据平角的概念计算即可．【解析】解：65A ∠=︒，18065115ADE AED ∴∠+∠=︒-︒=︒，360115245BDE CED ∴∠+∠=︒-︒=︒，【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180︒是解题的关键．3．（2020·涿州市实验中学八年级期中）下列说法中错误的是（ ）A ．在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C ＝2：2：4，则△ABC 为直角三角形B ．在△ABC 中，若∠A ＝∠B ﹣∠C ，则△ABC 为直角三角形C ．在△ABC 中，若∠A ＝12∠B ＝13∠C ，则△ABC 为直角三角形 D ．在△ABC 中，∠A ＝∠B ＝2∠C ，则△ABC 为直角三角形【答案】D【分析】根据三角形内角和定理求出三角形的三个内角即可判断．【解析】解：A 、在△ABC 中，因为∠A ：∠B ：∠C ＝2：2：4，所以∠C ＝90°，∠A ＝∠B ＝45°，△ABC 为直角三角形，本选项不符合题意．B 、在△ABC 中，因为∠A ＝∠B ﹣∠C ，所以∠B ＝90°，△ABC 为直角三角形，本选项不符合题意． C 、在△ABC 中，因为∠A ＝12∠B ＝13∠C ，所以∠C ＝90°，∠B ＝60°，∠A ＝30°，△ABC 为直角三角形，本选项不符合题意． D 、在△ABC 中，因为∠A ＝∠B ＝2∠C ，所以∠A ＝∠B ＝72°，∠C ＝36°，△ABC 不是直角三角形，本选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，属于中考常考题型．4．（2021·陕西八年级期末）如图，已知12//l l ，45A ∠=︒， 2100∠=︒，则1∠的度数为（ ）A ．50°B ．55°C ．45°D ．60°【分析】依据12//l l ，得到1ABC ∠=∠，再根据45A ∠=︒，2100A ABC ，即可得到55ABC ∠=︒，可得出155ABC ．【解析】解：12//l l ，1ABC ∴∠=∠，又45A ∠=︒，2100A ABC ， 21004555ABC A ，155ABC故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，外角的性质，熟悉相关性质是解题的关键．5．如图，1∠，2∠，3∠，4∠一定满足的关系式是（ ）A ．1234∠+∠=∠+∠B ．1243∠+∠=∠-∠C ．1423∠+∠=∠+∠D ．1423∠+∠=∠-∠【答案】D 【分析】根据外角的性质分别得到∠AEF =∠4+∠3，∠2=∠1+∠AEF ，从而推断出∠2–∠3=∠1+∠4．【解析】解：如图，在△BED 中，∠AEF =∠4+∠3，在△AEF 中，∠2=∠1+∠AEF ，∴∠2=∠1+∠4+∠3，即∠2–∠3=∠1+∠4，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，解题的关键是根据外角的性质得到∠AEF=∠4+∠3，∠2=∠1+∠AEF．6．（2021·浙江八年级期末）从六边形的一个顶点出发最多能画对角线的条数为（）A．5条B．4条C．3条D．2条【答案】C【分析】根据由n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线解答即可．【解析】解：由n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，故过六边形的一个顶点可以画对角线的条数是3，故选：C．【点睛】本题考查了多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．掌握n 边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线是解题的关键．7．一个正多边形的一个内角是150 ，则这个正多边形的边数为（）A．2 B．3 C．9 D．12【答案】D【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解析】解：外角是：180°-150°=30°，360°÷30°=12．则这个正多边形是正十二边形．故选：D．【点睛】本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数是解题关键．8．（2021·陕西八年级期末）若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根据正多边形每个外角都相等且外角和为360°列式解答即可．【解析】解：∵正多边形每个外角都相等且外角和为360°∴正多边形的边数是360°÷45°=8．故选B．【点睛】本题主要考查了正多边形的外角的性质和外角和，灵活运用正多边形每个外角都相等且外角和为360°成为解答本题的关键．二、填空题9．（2020·辽宁七年级期中）“生活中处处有数学”，请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，我们就可以得到一个著名的常用的几何结论，这一结论是____.【答案】三角形的内角和是180°【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理．【解析】解：根据折叠的性质，∠A=∠3，∠B=∠1，∠C=∠2，∵∠1+∠2+∠3=180°，∴∠B+∠C+∠A=180°，∴定理为：三角形的内角和是180°．故答案为：三角形的内角和是180°．【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．10．（第十三章相交线平行线（基础卷）-2020-2021学年七年级数学下学期期末专项复习（沪教版））如图，AB∥MN，点C在直线MN上，CB平分∠ACN，∠A＝40°，则∠B的度数为__．【答案】70°【分析】先由AB ∥MN 知∠A +∠ACN ＝180°，结合∠A 度数得出∠ACN 的度数，再由CB 平分∠ACN 知∠ACB ＝12∠ACN ＝70°，最后根据三角形内角和定理可得答案．【解析】解：∵AB ∥MN ，∴∠A +∠ACN ＝180°，又∵∠A ＝40°，∴∠ACN ＝180°﹣∠A ＝140°，∵CB 平分∠ACN ，∴∠ACB ＝12∠ACN ＝70°，∴∠B ＝180°﹣∠A ﹣∠ACB ＝70°，故答案为：70°．【点睛】本题主要考查了与平行线有关的三角形内角和问题，结合角平分线的性质求解是解题的关键．11．（2020·山西八年级期末）边长相等的正方边形ABFG 和正五边形BCDEF 如图所示拼接在一起，则∠FGE =____°．【答案】9【分析】根据多边形的内角和定理计算即可；【解析】∵四边形ABFG 是正方形，∴90BFG ∠=︒，又∵五边形BCDEF 是正五边形，∴正五边形的内角和为()52180540-⨯︒=︒，∴5405108BFE ∠=︒÷=︒，∴36010890162GFE ∠=︒-︒-︒=︒，∵FG FE =，∴FGE FEG ∠=∠，∴180FGE FEG EFG ∠+∠+∠=︒，即1602180FGE ︒+∠=︒，∴9FGE ∠=︒；故答案是9．【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，准确分析计算是解题的关键．12．（2020·贵州黔西南布依族苗族自治州·八年级期末）一个多边形，除了一个内角外，其余各角的和为3000°，则内角和是______．【答案】3060【分析】设这个多边形是n 边形，剩余的内角度数为x ，根据题意得(2)1803000n x -⨯=+变形 为18016(120)2180x n ⨯++-=，由n 是正整数，0180x <<求出x 的值即可得到答案． 【解析】设这个多边形是n 边形，剩余的内角度数为x ，由题意得(2)1803000n x -⨯=+∴18016(120)2180x n ⨯++-=， ∵n 是正整数，0180x <<， ∴x=60，∴这个多边形的内角和为3060，故答案为：3060．【点睛】此题考查多边形的内角和公式，多边形内角大于0度小于180度的性质，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．13．（2021·甘肃酒泉市·八年级期末）一个多边形的每一个内角都是144︒，那么这个多边形是_____边形．【答案】10．【分析】根据题意，利用多边形的外角和为360度，即可求得．【解析】一个多边形的每一个内角都是144︒ ∴它的每一个外角都是18014436︒-︒=︒．多边形的外角和为360︒∴边数等于角的个数3603610=︒÷︒=．故答案为：10．【点睛】本题考查了多边形外角和定理，正多边形的特点，通过外角解决问题是解题的关键．14．（2021·上海奉贤区·八年级期中）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形是_____边形．【答案】八【分析】多边形的内角和为()2180,n -︒外角和为360,︒ 再列方程()21803360,n -︒=⨯︒解方程可得答案.【解析】解：设这个多边形为n 边形，则()21803360,n -︒=⨯︒26,n ∴-=8,n ∴=故答案为：八【点睛】本题考查的是多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和定理与外角和定理是解题的关键.15．若正多边形的一个外角为40︒，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有________条．【答案】6【分析】根据多边形的外角和定理可求解多边形的边数，再根据从多边形的一个顶点出发可作的对角线为（n -3）条可求解．【解析】解：∵多边形的外角和为360︒，∴360409︒÷︒=；从它的一个顶点出发，可以引出936-=条对角线．【点睛】本题主要考查多边形的外角和对角线，掌握定理是解题的关键．16．（2020·北京师范大学三帆中学朝阳学校八年级月考）如图，小张从P 点向西直走10米后，向左转，转动的角度为α，再走10米，如此重复，小林共走了100米回到点P ，则α的值是___________．【答案】36°【分析】根据题意可先确定出该多边形的边数，再利用外角和求解即可． 【解析】由题可知，小张全程下来走了一个正多边形，且边数1001010n ==， ∴根据多边形的外角和定理可求得：3603610α︒==︒，故答案为：36°．【点睛】本题考查多边形的外角和定理，根据题意准确判断多边形的边数是解题关键．三、解答题17．在一个直角三角形中，如果两个锐角度数之比为2:3，那么这两个锐角为多少度？【答案】见解析【分析】根据比例设两个锐角度数分别为2k ，3k ，然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可．【解析】解：设两个锐角度数分别为2k ，3k ，由题意得，2390k k +=，解得18k =，所以，236k =，354k =，故这两个锐角分别为36°，54°【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，利用“设k 法”表示出这两个锐角求解更简便．18．四边形ABCD 中，四个内角度数之比是1:2:3:4，求出四个内角的度数．【答案】见解析【分析】设四个内角度数分别是x °，2x °，3x °，4x °，由多边形内角和公式可得：x +2x +3x +4x =180（4-2），再解方程即可得到答案．【解析】解：设四个内角度数分别是,2,3,x x x 4x ，根据题意得：()23442180x x x x +++=-⨯，解得：36x =，272,3108,4144x x x === .答：四边形的四个内角的度数分别为：36，72，108，144 ．【点睛】此题主要考查了多边形内角公式，解题的关键是掌握内角和公式：()2180n -⨯︒（3n ≥，且n 为整数） ．。
初中数学11.2与三角形有关的角典型例题
《与三角形有关的角》典型例题知识点1 三角形的内角例1 （基础题）在△ABC 中，∠A ＋∠B ＝100°，∠C ＝2∠B ，求∠A 、∠B 、∠C 的度数．精析与解答 解法一：设∠B ＝x °，则∠A ＝100°－x °，∠C ＝2x ° ∴ 100°—x °十x °十2x °＝180°（三角形内角和定理）解方程，得x °＝40°，即∠B ＝40°，∠A ＝60°，∠C ＝80°． 解法二：根据题意可列出方程⎪⎩⎪⎨⎧︒∠∠∠∠∠︒∠∠③＝＋＋②＝①＝＋1802100C B A BC B A把①代入③，得∠C ＝④︒80把④代入②，得∠B ＝⑤︒40 把⑤代入①，得∠A ＝．说明：本题要求出△ABC 的三个内角，除了普遍成立的条件“∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°”以外，只要给出两个独立条件，就可用解方程（组）的方法，得到惟一确定的解．例2 （能力题）如图7-18所示，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD 交AB 于E ，交AC 于F ，交BC 的延长线于H ．求证：∠H ＝21（∠ACB －∠B ）．证明 如何把∠H 、∠B 、∠ACB 联系在一起是此题的关键．当注意到∠H 、∠B 是△EBH 的两个内角时，便会发现：∠3＝∠B ＋∠H ，即∠H ＝∠3－∠B ．而∠3＝90°－∠1＝90°－21∠BAC ＝21（180°－∠BAC ），然后把这个式子中的180°换成∠BAC ＋∠B ＋∠ACB ，就可以证出原结论了．∵ AD ⊥EF ，∴ ∠3＝90°－∠1．∵ AD 平分∠BAC ，∴ ∠1＝21∠BAC ．又∵ ∠3是△HEB 的一个外角，∴ ∠H ＝∠3－∠B ＝90°－∠1－∠B＝90°－21∠BAC －∠B ＝21（180°－∠BAC －B ∠2） ＝21（∠BAC ＋∠B ＋∠ACB －∠BAC －B ∠2） ＝21（∠ACB －∠B ）．故∠H ＝21（∠ACB －∠B ）．说明：①在此题的证明过程中，用△ABC 的三个内角的和去替换180°，是几何证明中的重要的转化思想，有时也可以用21（∠BAC ＋∠B ＋∠ACB ）去替换90°，以达到证题的目的，初学者要注意体会；②上述的证明是借助于∠H ＝∠3－∠B ，本题还可以考虑∠H ＝90°－∠5，∠H ＝∠ACB －∠HFC ，∠H ＝∠ADB －90°等来证明．知识点2 三角形的外角例3 （基础题）一个三角形三个外角之比为2∶3∶4，求三个内角之比． 精析与解答 三角形的外角与相邻内角是互补的关系，只要能求出三个外角，自然三个内角也就容易得到，它们的比也就轻而易举了．由题意，设三角形的三个外角分别为（2x ）°，（3x ）°，（4x ）°，则2x ＋3x ＋4x ＝360，解得x ＝40∴ 2x ＝80，3x ＝120，4x ＝160∴ 三角形的三个内角分别是100°、60°、20°∴ 它们的比为100∶60∶20＝5∶3∶1故三个内角的比为5∶3∶1．说明：“三角形的三个外角和等于360°”是解此题的基础．例4 （能力题）如图7-19所示，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，AE 平分∠BAC ，∠B ＝75°，∠C ＝45°，求∠DAE 与∠AEC 的度数．精析与解答 解法一：∵ ∠B ＋∠C ＋∠BAC ＝180°∠B ＝75°，∠C ＝45°∴ ∠BAC ＝60°，∵ AE 平分∠BAC∴ ∠BAE ＝∠CAE ＝21∠BAC ＝21×60°＝30°∵ AD 是BC 上的高，∠B ＋∠BAD ＝90°∴ ∠BAD ＝90°－∠B ＝90°－75°＝15°∴ ∠DAE ＝∠BAE －∠BAD ＝30°－15°＝15°∵ ∠AEC 是△AEB 的外角∴ ∠AEC ＝∠B ＋∠BAE ＝75°＋30°＝105°解法二：同解法一，得出∠BAC ＝60°∵ AE 平分∠BAC∴ ∠EAC ＝21∠BAC ＝21×60°＝30°∵ AD 是BC 上的高∴ ∠C ＋∠CAD ＝90°∴ ∠CAD ＝90°－45°＝45°∴ ∠DAE ＝∠CAD －∠CAE ＝45°－30°＝15°∵ ∠AEC ＋∠C ＋∠EAC ＝180°∴ ∠AEC ＋45°＋30°＝180°∴∠AEC＝105°故∠DAE＝15°，∠AEC＝105°说明：求角的度数的关键是把已知角放在三角形中，利用三角形内角和定理求解，或转化为与已知角有互余关系或互补关系，有些题目还可以转化为已知角的和或差来求解．例5 （能力题）已知：CE为△ABC的外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E．求证：∠BAC＞∠B证明证角的不等关系，想到三角形内角和定理的推论3，从而想到看一看大角∠BAC是不是某个三角形外角．由图7-20知∠BAC是△ACE的外角，有∠BAC＞∠1，而∠1＝∠2，故只须证∠2＞∠B，而∠2是△BCE的一个外角，∠B 是△BCE的一个和∠2不相邻的内角，所以有∠2＞∠B，故∠BAC＞∠B．∵CE平分∠ACD（已知），∴∠1＝∠2（角平分线定义）∵∠BAC＞∠1（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠BAC＞∠2，∵∠2＞∠B（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∴∠BAC＞∠B说明：此题证明过程中，除利用“三角形的一个外角大于任一和它不相邻的内角”这一结论外，还借助“∠2”来传递不等关系．在证明两角不等关系时，有时还可将两角放在同一三角形中，利用“大边对大角”来证明．。
培优专题二：与三角形有关的角
DCBA专题2 与三角形有关的角一、三角形内角和定理：二、三角形外角的性质：如图，∠是△的外角，则：①∠ =∠ +∠ ；或∠ =∠ —∠ ； 或∠ =∠ —∠。
② > 基本图形介绍： 1、对顶三角形：①如图，、相交于O ，求证：∠∠∠∠D②如图，、相交于O ，、分别平分∠、∠， 求证：∠12（∠∠C ）AABCPEAB CPACDP ABCD2、“飞镖”形：①如图，求证：∠∠∠∠C②如图，、分别平分∠、∠，求证：∠12（∠∠D ）3、三角形内外角平分线问题：①如图，△中，P 是△的角平分线的交点，求证：∠90°+12∠A②如图，△中，P 是∠的角平分线和△的外角∠的角平分线的交点。
求证：∠12∠AABC EFP③如图，△中，P 是外角∠与∠的角平分线的交点。
求证：∠90°-12∠A光的反射问题可转化为角平分线问题： ①由光的反射原理：∠1=∠2又因为∠1=∠3，所以∠2=∠3，所以平分∠。
②作法线，则平分∠4、一角平分线问题： ①在△中，平分∠，∠C>∠B 求证：(1)∠ =90°-12(∠C —∠B)(2)∠12(∠∠B)D CAEDEDCBAPED CBAPEDCBA②在△中，平分∠，⊥，求证：∠ =12(∠C —∠B)拓展：①在△中，平分∠，P 是延长线上一点，过P 作⊥，求证：∠ =12(∠C —∠B)拓展：②在△中，平分∠，P 是延长线上一点，过P 作⊥， 求证：∠ =12(∠C —∠B)5、直角三角形斜边上的高的问题：①如图，△中，∠90°，⊥于D ，求证：∠1=∠F E DCBA②如图，△中，∠90°，⊥，平分∠，求证：∠∠6、翻折问题：辁竞嶼灤监絎毙瑋諫觸態鱒積饱礙誰蝉銥蚕錸嘆來攬获诂靈鬮給馮钌联彌如图，将三角形沿直线翻折使点A 在△的内部得'A ， 求证：∠12（∠1+∠2）巩固练习：1、在△中，∠12∠13∠C ，则此三角形是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、等腰三角形2、如图，△中，∠∠C ，点D 在上，⊥于E ，⊥于F ，若∠140°，ABCA '21 ED那么∠是（）A、55°B、60°C、65°D、70°3、如图，△中，为△的角平分线，为△的高，∠70°，∠48°，那么∠3是（）A、59°B、60°C、56°D、22°4、如图，△中，∠θα-，∠θ，∠θα+，（090αθ<<<）若∠与∠的平分线交于P点，则∠是（）A、90°B、105°C、120°D、150°第2题第3题第4题第5题5、如图，已知E、F是△的边、上的点，△沿折叠，并使点A落在四边形内，∠20°，∠86°，那么∠A是（）A、52°B、53°C、54°D、60°6、等腰三角形的某个内角的外角是130°，那么这个三角形的三个内角的大小是（）A、50°，50°，80°B、50°，50°，80°或130°，25°，25°C、50°，65°，65°D、50°，50°，80°或50°，65°，65°7、已知：△中，∠66°，△的高、所在直线相交于点G，则∠（）度。
八年级数学《与三角形有关的角》教案
三角形内角和定理的推导及应用
教学难点
三角形内角和定理的推导过程
知识（教材）梳理：
活动1：实践出真知
活动2：学会应用
教法设计与学法指导
讨论、交流拓展与延伸 Nhomakorabea教学设计
教学过程设计
问题与情境
师生行为
设计意图
活动1：实践出真知
1、如图，假如你正站在金字塔下，现有用于测量角的量角器，但为了保护文化遗产，在不允许人攀爬的情况下，你能否想办法知道塔尖处一个侧面角的度数吗？说一说你的做法。(课件)
2、量一量：一幅三角板的每个角各是多少度?
3、猜一猜：任意一个三角形的三个内角和都相同吗？它是多少度呢？(动画演示)
4、动动手，仔细观察：
(1)拼拼看，将任意一个三角形的三个内角拼合在一起。
(2)观察，小组内观察比较，会得出什么结论？
5、你能行：
你能设计一种方案来说明你的结论吗？即三角形的三个内角之和为1800。
(课件出示两种基本的说理方法)
这样作辅助线，行吗？快试一试！
6、你真行：(课件演示)
几种常见的验证方法的辅助线作法。7、定理：三角形的内角和等于1800
生：看图读题，并思考怎样做，在小组内交流。
师：需要什么知识来解决呢？
生：小组汇总意见，抽生发言。
生：两个直角三板的各个角的度数。(口答)
生：猜一猜，说一说。
师：“感性需理性说明，得出结论要据”的科学态度。
创设情景，激发学生的好奇心及求知欲，适当渗透环保知识。
增强学生的感性认识。
用信息技术初步检测验证。
进一步增强感性认识，动手操作、实验说明，以引
起学生思考理论说明。
培养学生合作学习，降低知识学习难度，培养多元化思维，让学生体验数学活动充满探索。
数学：7.2《与三角形有关的角》(第1课时)课件(人教新课标七年级下)(201908)
置都水使者一人 昔我三后 国君十五而生子 后王国宝 敦崇唐虞 天下以为便 浅黑色 应制服不 妻贵于室 今可谓亟而不知礼义矣 其轮毂犹素 中庶子四人 尚书褚裒以下免官 非常吉 降礼崇亲戚 言坚悼汉之微 刻石颂之 方三寸 仓隼时鹰扬 明
诏爰发 岂不以交易所资 皇帝曰 固虽君父 孟冬亦如之 混一区宇 是以自古革命受符 会同之制是也 驾牛 饰青交路 宾无蹈履之度 小郡亦置一人 策我良驷 数大雨 辄思仲尼所以抑宰我之问 骑兵 禄赐 乡户不满千以下 万机至重 式扬遐外 魏明帝太和中 后渐用之横吹 淮南 阴阳之中色
∠B+∠C→180°.
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前高七寸 左民 不敢以所不见 置弩箙于轼上 穆帝升平五年十月己卯 无所加焉 封禅名山 其有五方之乐者 泗滨之磬 冰坚可蹈 有其名 公主居第 毅以王命之重 宗正 礼贤养士 先圣为礼 三苗屈强于江海 两箱之后 谓时物茂盛于野也 不复以为使命之官 并 耕者益劝 长戟邪偃向后 大司
殊风 同掌规谏 岂非上行乎下 台符问 诸公及开府位从公者 疏狄思自亲 使不饑之士 三月之内 魏与吴蜀并战国 护羌 诚宜崇明礼训 而令至尊独居其重 当还镇长安 然方今未可以尔 洛阳县置六部尉 库部 《谷梁》 诏从之 初作屐者 《凤将雏歌》者 常苦乏谷 祖考降飨 大赦荡萌渐 惑
误朝议 徐 止于哀思者也 石 皂车 所以成教本而光百代也 高园便殿火 食举亦用《鹿鸣》 射声 不以为富 亦所以敬宾也 则水不润下 愔愔嘉会 皆驾牛 固让不拜 为三十四曹郎 是其咎僭也 心丧之礼终于三年 泛舟而下 大旱 以朱组为缨 或顺所繇于前 二公弘化 凶服在宫 于何相求常子
不安 宜更营造 始给春赐绢五十匹 诏曰 能识旧法 盖不可让也 而大司马 魏明帝世徐邈为凉州 邓展曰 私家有者 故其咎狂也 又甚乖异 齐人见千岁涸泽之神 及朝廷公孤之爵 为火所伤 又终吴世不上祖宗之号 而声实异 定二仪 功曹书佐 君子来朝 虽复临时命氏 仲尼曰礼所损益虽百世
与三角形有关的角
第二讲与三角形有关的角知识要点 1. 三角形的内角和三角形的内角和是1800把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD 的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。
想一想，还可以怎样拼？①剪下∠A ，按图（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。
图2②把和C ∠剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。
如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于1800的方法吗？证明：已知△ABC ，求证：∠A+∠B+∠C=1800。
2、三角形的外角（1）三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
（3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
（4）三角形外角的和等于3600。
经典例题例1(1)在△ABC 中,若∠A=80°,∠C=20°,则∠B=____；B ∠(2)在△ABC 中,若∠A=80°,则∠B ＋∠C=____；(3)在△ABC 中,若∠A=400，∠A=2∠B ，则∠C = 。
例2.AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，则∠DAE 的度数为（ ）A ．20°B ．18° C ．38° D ．40°例3.一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（ ）A ．90°B ．100°C ．130°D ．180°例4.如图，已知AB ∥DE ，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠C=（ ） A ．20° B ．30° C ．40° D ．50°例5.如图，C 岛在A 岛的北偏东30°方向，B 岛在A 岛的北偏东100°方向，C 岛在B 岛的北偏西55°方向，从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB 是多少度？例7．如图所示，D,E分别AC，AB边上的点，DB,EC相交于点F，则∠A+∠B+∠C+∠EFB=_________例8、已知△ABC中，∠A, ∠B, ∠C的外角度数之比为3：4：5，求∠A, ∠B, ∠C的度数，并判断△ABC的形状。
与三角形有关的角
第２讲与三角形有关得角一、知识重点1.三角形内角与定理(1)定理:三角形三个内角得与等于180°。
(2)证明方法:(3)理解与延伸:因为三角形内角与为１80°,所以延伸出三角形中很多得角得特定关系如:①一个三角形中最多只有一个钝角或直角;②一个三角形中最少有一个角不小于6０°;③直角三角形两锐角互余;④等边三角形每个角都就是60°等.(4)作用:已知两角求第三角或已知三角关系求角得度数、谈重点三角形内角与定理得理解三角形内角与定理就是最重要得定理之一,就是求角得度数问题中最基础得定理,应用非常广泛.【例1】填空:(1)在△ABC中,若∠A=８0°,∠Ｃ=２０°,则∠B=_＿＿＿＿__＿_＿°;(2)若∠A=８０°,∠B=∠C,则∠C=＿________＿°;(3)已知△ABＣ得三个内角得度数之比∠Ａ∶∠B∶∠C＝２∶3∶5,则∠B=____＿____＿°,∠C=___＿＿_＿___°。
2、直角三角形得性质与判定(１)直角三角形得性质:直角三角形得两个锐角互余、如图所示,在Rt△ABＣ中,如果∠C=９０°,那么∠A＋∠B＝90°、【例2—1】将一个直角三角板与一把直尺如图放置,如果∠α＝43°,则∠β得度数就是().A.43°ﻩＢ.4７°ﻩﻩC。
30°ﻩＤ、60°。
答案:B(2)直角三角形得判定:有两个角互余得三角形就是直角三角形.如图所示,在△ＡBC中,如果∠A+∠B＝90°,那么∠C＝90°,即△AＢC就是直角三角形.【例2－2】如图所示,AB∥ＣD,直线EF分别交AB,CD于点E,Ｆ,∠BＥＦ得平分线与∠ＤFE得平分线相交于点P,求证:△EＰF就是直角三角形、。
3.三角形得外角(１)定义:三角形得一边与另一边得延长线组成得角,叫做三角形得外角.如图,∠ＡCＤ就就是△ABC其中得一个外角.(2)特点:①三角形得一个外角与与它同顶点得内角互为邻补角,这就是内、外角联系得纽带、②一个三角形有６个外角,其中两两互为对顶角,如图所示.破疑点三角形外角得理解外角就是相对于内角而言得,也就是三角形中重要得角,一个角对一个三角形来说就是外角,而对于另一个三角形来说可能就是内角;三角形得角就是指得三角形得内角,这点要注意.【例3】在△ＡＢC中,∠A等于与它相邻得外角得四分之一,这个外角等于∠B得两倍,那么∠Ａ=____＿＿_＿__,∠B＝_______＿＿_,∠C＝__＿_＿_＿___、４、三角形外角性质(1)性质:三角形得外角等于与它不相邻得两个内角得与.如图所示:∠1＝∠Ｂ+∠C(或∠Ｂ＝∠1－∠C,∠C＝∠1—∠Ｂ)、注意:三角形得外角与不就是所有外角得与,就是每个顶点处取一个外角,就是一半数目外角得与。
【能力培优】与三角形有关的角(含答案)
11.2与三角形有关的角专题一利用三角形的内角和求角度1．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则∠D=（）A．15° B．20° C．25° D．30°2．如图，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D. 若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数．3．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：__________；（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=30°，试求∠P的度数；（写出解答过程）（3）如果图2中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试写出∠P与∠D、∠B之间的数量关系．（直接写出结论即可）专题二利用三角形外角的性质解决问题4．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为（）A．15°B．20° C．25° D．30°5．如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，若∠A=40°，∠B=72°．（1）求∠DCE的度数；（2）试写出∠DCE与∠A、∠B的之间的关系式．（不必证明）6．如图：（1）求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C；（2）如果点D与点A分别在线段BC的两侧，猜想∠BDC、∠A、∠ABD、∠ACD这4个角之间有怎样的关系，并证明你的结论．状元笔记【知识要点】1．三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°．2．直角三角形的性质及判定性质：直角三角形的两个锐角互余．判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．3．三角形的外角及性质外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【温馨提示】1．三角形的外角是一边与另一边的延长线组成的角，而不是两边延长线组成的角．2．三角形的外角的性质中的内角一定是与外角不相邻的内角．【方法技巧】1．在直角三角形中已知一个锐角求另一个锐角时，可直接使用“直角三角形的两个锐角互余”．2．由三角形的外角的性质可得出：三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角．参考答案:1．C解析：∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，∴∠1=12∠ACE，∠2=12∠ABC．又∵∠D=∠1－∠2，∠A=∠ACE－∠ABC，∴∠D=12∠A=25°．故选C．2．解：（法1）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以12(∠BAC＋∠ABC)=45°.因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC ，∠BAP=12∠BAC，∠ABP=12∠ABC ，即∠BAP＋∠ABP=45°，所以∠APB=180°－45°=135°.（法2）因为∠C=90°，所以∠BAC＋∠ABC=90°，所以12(∠BAC＋∠ABC)=45°，因为BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，∠DBC=12∠ABC，∠PAC=12∠BAC ，所以∠DBC＋∠PAD=45°.所以∠APB=∠PDA＋∠PAD =∠DBC＋∠C＋∠PAD=∠DBC＋∠PAD＋∠C =45°＋90°=135°.3．解：（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）由（1）得，∠1+∠D=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠B，∴∠1－∠3=∠P－∠D，∠2－∠4=∠B－∠P，又∵AP、CP分别平分∠DAB和∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠P－∠D=∠B－∠P，即2∠P=∠B+∠D，∴∠P=（40°+30°）÷2=35°．（3）2∠P=∠B+∠D．4．B 解析：延长DC，与AB交于点E．根据三角形的外角等于不相邻的两内角和，可得∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD－∠ABD=60°．设AC与BP相交于点O，则∠AOB=∠POC，∴∠P+12∠ACD=∠A+12∠ABD，即∠P=50°－12（∠ACD－∠ABD）=20°．故选B．5．解：（1）∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=68°．∵CD平分∠ACB，6．（1）证明：延长BD交AC于点E，∵∠BEC是△ABE的外角，∴∠BEC=∠A+∠B．∵∠BDC是△CED的外角，∴∠BDC=∠C+∠DEC=∠C+∠A+∠B．（2）猜想：∠BDC+∠ACD+∠A+∠ABD=360°．祝福语祝你考试成功!。
专题02 与三角形有关的角(八大类型)(原卷版)
专题02 与三角形有关的角（八大类型）【题型1 运用三角形内角和直接求角的度数】【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】【题型3 三角形内角和定理与平分线的性质综合运用】【题型4三角形内角和定理与折叠问题综合】【题型5三角形内角和定理与新定义问题综合】【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】【题型7 判断直角三角形】【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质】【题型1 运用三角形内角和直接求角的度数】1．（2023•石家庄三模）根据图中的数据，可得x+y的值为（）A．180B．110C．100D．70 2．（2023春•渝中区校级期中）△ABC中，若∠A+∠B＝4∠C，则∠C度数为（）A．32°B．34°C．36°D．38°3．（2023春•沈北新区期中）△ABC中，∠A＝45°，∠B＝63°，则∠C＝（）A．72°B．92°C．108°D．180°4．（2023春•历下区期中）如图，在△ABC中，∠B的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．60°【题型2 三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】5．（2023•合肥模拟）如图，△ABC中，BD⊥AC，BE平分∠ABC，若∠A＝2∠C，∠DBE＝20°，则∠ABC＝（）A．50°B．60°C．70°D．80°6．（2023春•东台市月考）如图，AD是△ABC的角平分线，且AD⊥BC，E为CA延长线上的点，过E作EG⊥BC于G，交AB于点F．（1）试说明∠3＝∠E；（2）若∠B＝32°，求∠E的度数．7．（2023春•朝阳区校级期中）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE 为角平分线，若∠BFC＝114°，求∠BCF的度数．8．（2023春•建湖县期中）如图，AD是△ABC的高，AE平分∠BAC．（1）若∠B＝76°，∠C＝48°，求∠DAE的度数；（2）若∠B﹣∠C＝42°，求∠DAE的度数．9．（2023春•济南期中）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝56°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF⊥CE于点F，求∠CDF的度数．【题型3 三角形内角和定理与平分线的性质综合运用】10．（2023•蜀山区模拟）如图，一副直角三角尺如图摆放，点D在BC的延长线上．EF∥BD，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝30°，则∠CED的度数是（）A．5°B．10°C．15°D．25°11．（2023•陕西模拟）如图，在△ABC中，点D为AB边上一点，CE平分∠ACM，DE∥BC．若∠B＝43°，∠E＝52°，则∠A的度数为（）A．51°B．61°C．65°D．75°12．（2023•滑县二模）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，过点C的射线CE与AD平行，若∠B＝60°，∠ACB＝30°，则∠ACE的度数为（）A．40°B．45°C．55°D．60°13．（2023春•泗阳县期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、BC上，且DE∥AC，∠BDE＝60°，∠C＝55°，求∠B的度数（）A．60°B．65°C．70°D．75°14．（2023•长沙一模）如图，过三角形ABC顶点C作EF∥AB，∠ACE＝65°，∠B＝30°，则∠ACB的度数是（）A．105°B．85°C．80°D．75°15．（2023•定远县二模）如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠B的度数为（）A．56°B．34°C．36°D．24°16．（2023•大庆三模）如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P，若∠C＝28°，∠D＝22°，则∠P的度数为（）A．22°B．25°C．28°D．30°17．（2023春•广饶县期中）如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠ABC＝80°，∠ACB＝60°，EB、CF相交于D，则∠CDE的度数是（）A．130°B．70°C．80°D．75°18．（2023春•长沙期中）如图，△ABC中，D是AC上一点，过D作DE∥BC 交AB于E点，F是BC上一点，连接DF．若∠1＝∠AED．（1）求证：DF∥AB．（2）若∠1＝55°，DF平分∠CDE，求∠C的度数．19．（2023春•盐城月考）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，ED∥CF，∠1＝∠2．（1）问：FG∥BC吗？为什么？（2）若∠A＝60°，∠AGF＝70°，求∠B的度数．20．（2023春•夏邑县月考）如图，点D，E分别在三角形ABC的边AB，AC上，点F在线段CD上，且∠3＝∠B，DE∥BC．（1）求证：∠1+∠2＝180°；（2）若DE平分∠ADC，∠2＝2∠B，求∠1的度数．21．（2023春•开福区校级月考）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC交BC于点F，点D、E分别在CA，BA的延长线上，AF∥CE，∠D＝∠E．（1）求证：BD∥AF；（2）若∠BAD＝80°，∠ABD＝2∠ABC，求∠ACF的度数．22．（2022秋•邹平市校级期末）如图，△ABC中，BE⊥AC于点E，AF是∠CAB的平分线，交BE于点F，∠C＝78°，∠CBA＝38°，求∠AFB的度数．23．（2023春•永川区期末）如图，∠B＝42°，∠1＝∠2+10°，∠ACD＝64°，∠ACD的平分线与BA的延长线相交于点E．（1）请你判断BF与CD的位置关系，并说明理由；（2）求∠3的度数．24．（2023春•石狮市校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠C＝35°，AD是△ABC的角平分线．（1）求∠ADC的度数．（2）过点B作BE⊥AD于点E，BE延长线交AC于点F．求∠AFE的度数．25．（2023春•鼓楼区期末）△ABC中，∠ABC平分线BD与AC相交于点D，DE⊥AB，垂足为E．（1）如图1，若∠ABC＝90°，则∠EDB＝°；（2）如图2，若△ABC是锐角三角形．过点E作EF∥BC，交AC于点F．依题意补全图2，用等式表示∠FED，∠EDB与∠ABC之间的数量关系并证明；（3）若△ABC是钝角三角形，其中90°＜∠BAC＜180°．过点E作EF∥BC，交直线AC延长线于点F，直接写出∠FED，∠EDB与∠ABC之间的数量关系．25．（2023春•江都区月考）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E 是线段AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的角平分线所在直线与射线BD交于点G．（1）如图1，点E在线段AD上运动．①若∠ABC＝40°，∠C＝70°，则∠BGE＝°；②若∠A＝50°，则∠BGE＝°；③探究∠BGE与∠A之间的数量关系，并说明理由；（2）若点E在线段DC上运动时，直接写出∠BGE与∠A之间的数量关系．【题型4三角形内角和定理与折叠问题综合】26．（2022秋•邯山区校级期末）如图，将△ABC一角折叠，若∠1+∠2＝80°，则∠B+∠C＝（）A．40°B．100°C．140°D．160°27．（2022秋•靖西市期末）如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC的平分线AE 交BC于点E，将△CED沿DE折叠，使点C落在点A处．（1）求证：∠BAE＝∠C．（2）若∠BAE＝32°，求∠B的度数．28．（2022春•交城县校级期末）如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，∠B＝50°，∠BAD＝30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F．（1）求∠AFC的度数；（2）求∠EDF的度数．29．（2022秋•沂水县期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．30．（2023春•镇江期中）已知△ABC，∠ABC＝80°，点E在BC边上，点D 是射线AB上的一个动点，将△BDE沿DE折叠，使点B落在点B'处．（1）如图1，若∠ADB'＝110°，则∠CEB'的度数是；（2）利用备用图画图并探究当CB'∥AB时，∠CB'E与∠ADB'满足的数量关系，并说明理由；31．（2022秋•城关区校级期末）如图1，一张三角形ABC纸片，点D，E分别是△ABC边上两点．研究（1）：如果沿直线DE折叠，使点A落在CE上的点A'处，则∠BDA'与∠A的数量关系是；研究（1）：如果折成图2的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的数量关系是；研究（3）：如果折成图3的形状，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的数量关系是什么，并说明理由．32．（2022春•福山区期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，∠A＝80°，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1﹣∠2）与∠A的数量关系．（1）如图①，若沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝．（2）如图②，若沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A′处，则∠1+∠2＝．（3）如图③，翻折后，点A落在点A′处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C 的度数．（4）如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．【题型5三角形内角和定理与新定义问题综合】33．（2023春•青羊区校级期中）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的7倍，则这样的三角形称之为“德馨三角形”．如：三个内角分别为100°，70°，10°的三角形是“德馨三角形”．如图，点E在△ABC的边AC上，连结BE，作∠AEB的平分线交AB于点D，在BE上取点F，使∠BFD+∠BEC＝180°，∠EDF＝∠C．若△BCE是“德馨三角形”，则∠C的度数为．34．（2022•西城区校级开学）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为90°，那么倍角α的度数是．35．（2022春•宛城区校级月考）当三角形中的一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们定义此三角形为“特征三角形”．其中α称为“特征角”，若一个“特征三角形”恰好是直角三角形，则这个“特征三角形”的“特征角”的度数为．36．（2022春•安溪县期末）新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为“n倍角三角形”．例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C 最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”．（1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“2倍角三角形”．（2）如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数．37．（2022秋•福田区校级期末）我们定义：【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”．如：三个内角分别为130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．【简单应用】如图1，∠MON＝72°，在射线OM上找一点A，过点A作AB ⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与C、B重合点）（1）∠ABO＝°，△AOB（填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求证：△AOC是“完美三角形”；【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取一点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD 是“完美三角形”，求∠B的度数．38．（2022秋•荔城区校级月考）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为130°，40°，10°的三角形是“和谐三角形”．【概念理解】如图1，∠MON＝60°，点A在边OM上，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）（1）∠ABO的度数为，△AOB（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；（2）若∠ACB＝84°，试说明：△AOC是“和谐三角形”．【应用拓展】如图2，点D在△ABC的边AB上，连结DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，请直接写出∠B的度数．【题型6 运用三角形内角和定理探究角的数量关系】39．（2023春•江北区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD 上的一个动点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数；（2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B，∠ACB的数量关系，并证明．40．（2023春•仪征市月考）如图，将△ABC沿射线BA方向平移到△A'B'C'的位置，连接AC'，CC'．（1）AA'与CC'的位置关系为；∠A′+∠CAC′+∠AC′C＝；（2）设∠AC'B'＝x，∠ACB＝y，试探索∠CAC'与x，y之间的数量关系，并证明你的结论．41．（2022秋•邢台期末）材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”．解决问题：（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：Ⅰ．如图②，把一块三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABD+∠ACD＝°．Ⅱ．如图③，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，若∠A＝40°，∠BPC＝130°，求∠BDC的度数．42．（2023春•虹口区期末）△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC 的高．（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，请说明∠DAE的度数；（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C的数量关系；（3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，请直接写出∠G的度数．【题型7 判断直角三角形】43．（2023•漳浦县模拟）在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：5：6，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个44．（2023春•盐城月考）在下列条件中①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C ＝1：2：3，③∠A＝∠B＝2∠C，④∠A＝2∠B＝3∠C，中能确定△ABC为直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个45．（2023春•薛城区月考）在下列条件：①∠A+∠B+∠C＝180°；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④；⑤中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【题型8 运用直角三角形两锐角互余的性质】46．（2022春•源城区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠ACD＝35°，则∠B的度数是（）A．35°B．45°C．55°D．65°47．（2023春•汨罗市期中）AD、BE为△ABC的高，AD、BE相交于H点，∠C＝50°，求∠BHD．48．（2022春•邓州市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F．（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数；（2）试说明：∠AEF＝∠AFE．。
八上数学与三角形有关的角
八上数学与三角形有关的角在这个数学的世界里，三角形就像一位不声不响的明星，总是在你意想不到的时候闪亮登场。
没错，今天咱们就聊聊跟三角形有关的那些角，听起来是不是有点儿高深莫测？其实也没那么复杂，大家只要放轻松，跟着我一起走进这个有趣的数学小天地就好了。
想象一下，三角形就像一个小聚会，里面有三位客人，分别是三个角。
有的角长得尖尖的，有的角圆润饱满，搞得大家都很有个性。
我们通常把这三位“客人”叫做“内角”。
内角的和永远都是180度，这就像咱们的聚会总是热热闹闹的，缺了谁都不行。
要是有个角跑去吃喝玩乐，外面的角就不太开心了。
说到外角，哎呀，那可是个有趣的角色。
外角就像聚会外的喧闹声，虽然它不在里面，但总能影响里面的气氛。
外角的大小可以通过内角的关系来算，比如，一个内角是60度，那么它的对应外角就得是120度。
简直就像是两面派，内外之间的默契很重要。
你看，三角形里每个角都有自己的分工，真是个有趣的小团队。
很多朋友可能会问，三角形到底分成几类呢？这可就精彩了！先说说等边三角形，这家伙的三条边和三角都是一样的，像是一家人，和和气气，绝对是个模范家庭。
再来就是等腰三角形，两个边一样长，像是两个好朋友总是形影不离。
而那种三条边都不一样的三角形就叫做不等边三角形，简直就像是个混合派对，什么样的人都有，热闹非凡。
这些角到底有什么用呢？哎，别小看这些角，很多实际问题都跟它们有关系。
比如，你在设计房子的时候，肯定要用到角度，确保房子的每个角都是完美的。
三角形是力学中常用的形状，承重能力强得让人惊讶，很多桥梁和建筑都是用它的特性来保证稳固的。
再说说生活中的三角形。
走在街上，看到的路牌、建筑物，甚至是交通信号灯，都能看到三角形的身影。
它们像一位隐形的指挥官，默默地引导着我们的生活。
还有那些三角形的图案，时不时在时尚界也会出现，真是让人耳目一新。
好吧，讲了这么多，大家有没有觉得三角形变得亲切多了呢？这些角就像我们的朋友一样，各自有各自的特点，虽然看似简单，但其实里面的门道可多了。
与与三角形有关的角
11.2 与三角形有关的角1．三角形内角和定理(1)定理：三角形三个内角的和等于180°.(2)证明方法：证法多样，主要是运用平行线知识把三个角转移成一个平角，从而得到内角和是180°.如图所示，过C作CM∥AB，将求∠A＋∠B＋∠ACB转化为求∠1＋∠2＋∠ACB，或过A点作DE∥BC，把求∠BAC＋∠B＋∠C转化为求∠BAC＋∠DAB＋∠EAC.(3)理解与延伸：因为三角形内角和为180°，所以延伸出三角形中很多的角的特定关系如：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小于60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°等．(4)作用：已知两角求第三角或已知三角关系求角的度数．谈重点三角形内角和定理的理解三角形内角和定理是最重要的定理之一，是求角的度数问题中最基础的定理，应用非常广泛．【例1】填空：(1)在△AB C中，若∠A＝80°，∠C＝20°，则∠B＝__________°；(2)若∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__________°；(3)已知△ABC的三个内角的度数之比∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，则∠B＝__________°，∠C＝__________°.2．直角三角形的性质与判定(1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．如图所示，在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么∠A＋∠B＝90°.【例2－1】将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α＝43°，则∠β的度数是()．A．43°B．47°C．30°D．60°【例2－2】如图所示，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，求证：△EPF是直角三角形．3．三角形的外角(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图，∠ACD就是△ABC其中的一个外角．(2)特点：①三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为邻补角，这是内、外角联系的纽带．②一个三角形有6个外角，其中两两互为对顶角，如图所示．破疑点三角形外角的理解外角是相对于内角而言的，也是三角形中重要的角，一个角对一个三角形来说是外角，而对于另一个三角形来说可能是内角；三角形的角是指的三角形的内角，这点要注意．【例3】在△ABC中，∠A等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于∠B的两倍，那么∠A＝__________，∠B＝__________，∠C＝__________.4.三角形外角性质(1)性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．如图所示：∠1＝∠B＋∠C(或∠B＝∠1－∠C，∠C＝∠1－∠B)．注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的和.(2)作用：①求角的度数，在外角、不相邻的两内角中知道两角能求第三角，也能求出相邻内角的度数；②证明角相等，一般是把外角作为中间关系式证明角相等．析规律三角形外角的性质的理解①三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和，是由三角形内角和是180°和邻补角关系推导出来的，是它们应用的延伸，所以用这个性质能得出的结论，用三角形内角和也能推出，但走了弯路．②因为三角形外角是通过图表现出来的，具有隐蔽性，所以应用时要注意观察图形．【例4】如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1＋∠2＝__________.5．三角形外角和(1)定义(规定)：如图所示，在每一个顶点上取一个外角，如∠1，∠2，∠3，它们的和叫做三角形的外角和．(2)三角形外角和定理：三角形的外角和等于360°.注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的和．【例5】如图所示．用两种方法说明∠1＋∠2＋∠3＝360°.6.三角形内角和定理应用解技巧三角形内角和、外角性质的综合运用因为三角形的内角、外角以及形成的邻补角、对顶角等都是通过图形反映出来的，在已知中不提及，因此运用时要注意观察图形，善于发现各角之间的位置关系，进而确定它们的大小关系．【例6－1】在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，则∠C＝__________°.【例6－2】已知在△ABC中，∠A＝40°，∠B－∠C＝40°，则∠B＝__________，∠C ＝__________.【例6－3】在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝5∶3∶2，那么△ABC是()．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形【例6－4】锐角三角形的三个内角是∠A，∠B，∠C.如果∠α＝∠A＋∠B，∠β＝∠B ＋∠C，∠γ＝∠C＋∠A，那么∠α，∠β，∠γ这三个角中()．A．没有锐角B．有1个锐角C．有2个锐角D．有3个锐角【例7】填空：(1)如图(1)，P为△ABC中BC边的延长线上一点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠ACP＝________°.(2)如图(2)所示，已知∠ABE＝142°，∠C＝72°，则∠A＝__________°，∠ABC＝__________°.(3)如图(3)，∠3＝120°，则∠1－∠2＝________°.【例8－1】如图(1)，将一等边三角形剪去一个角后，∠1＋∠2等于()．A．120°B．240°C．300°D．360°【例8－2】如图，a∥b，则下列式子中值为180°的是()．A ．∠α＋∠β－∠γB ．∠α＋∠β＋∠γC ．∠β＋∠γ－∠αD ．∠α－∠β＋∠γ9.运用三角形内角和定理判断三角形形状解技巧 利用三角形内角和确定三角形的形状 运用三角形内角和定理求角判断三角形形状问题比求角度问题多一步判断，但不同点是：判断形状不是求出所有角，而是根据所给三角形各内角关系，求某些关键的角，一般是最大角，然后进行判断．解析：如图，因为a ∥b ，所以∠2＝∠α，∠1＝∠β－∠γ.由图可知∠1＋∠2＝180°，得∠α＋∠β－∠γ＝180°，所以A 正确，故选A.答案：A【例9－1】 一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形【例9－2】 在△ABC 中，若∠A ＝2∠B ＝3∠C ，试判断这个三角形的形状．10．角平分线的夹角与三角形内角关系的探究根据三角形的内角和，三角形外角与内角的关系及角平分线的意义，可以探究有关角平分线的夹角问题．(1)三角形的两内角平分线的夹角与内角的关系如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线交于点O ，求∠BOC 与∠A 之间的关系．结论：三角形两内角的平分线所夹的钝角等于90°加上第三角的一半，即∠BOC ＝90°＋12∠A . (2)三角形两外角的平分线的夹角与内角的关系如图，在△ABC 中，BP ，CP 分别是△ABC 的外角∠DBC 和∠ECB 的平分线，试探究∠BPC 与∠A 的关系．结论：三角形的两个外角的平分线所夹的锐角等于90°减去第三个角的一半，即∠BPC＝90°－12∠A . (3)一个内角平分线与一个外角平分线的夹角与内角的关系如图，在△ABC 中，CE 平分∠ACB ，BE 是△ABC 的外角∠ABD 的平分线，试探究∠BEC 与∠A 的关系．结论：三角形的一个内角平分线与外角平分线相交成的锐角等于第三个内角的一半，即∠BEC ＝12∠A . 【例10－1】 如图，已知△ABC ，∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线交于点O ，求∠BOC 与∠A 之间的关系．分析：根据角平分线意义和三角形内角和定理，采用整体代入方法，由∠BOC ＝180°－(∠OBC ＋∠OCB )，经过代换得，∠BOC ＝180°－12∠ABC －12∠ACB ＝180°－12(∠ABC ＋∠ACB )＝180°－12(180°－∠A )，化简得出结论． 解：因为BO ，CO 分别是∠ABC ，∠ACB 的平分线，所以∠OBC ＝12∠ABC ，∠OCB ＝12∠ACB . 因为∠BOC ＝180°－(∠OBC ＋∠OCB )，所以∠BOC ＝180°－12∠ABC －12∠ACB ＝180°－12(∠ABC ＋∠ACB ) ＝180°－12(180°－∠A )＝90°＋12∠A . 【例10－2】 如图，BO ，CO 分别是∠ABC ，∠ACB 的两条平分线，∠A ＝100°，则∠BOC 的度数是( )．A ．80°B ．90°C ．120°D ．140°解析：根据以上结论可以直接得出∠BOC ＝90°＋12∠A ＝90°＋12×100°＝140°，故选D. 答案：D【例10－3】 如图所示，∠ABC 的平分线和△ABC 的外角∠ACE 的平分线交于点D ，∠D ＝30°，∠A 的度数是__________；当∠D ＝__________时，∠A 的度数是90°.11.与三角形有关的角的问题的一题多解由于用三角形外角性质得到的结论都能用三角形内角和定理和邻补角定义推出，以及外角的多样性和求角度的方法多样性，因此这部分内容中的题目解法多样，很多题目解法都不唯一，例如：如图(1)是由平面上五个点A ，B ，C ，D ，E 连接而成，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的度数是多少？由于每个角的度数都不知道，所以需要将五个角转化到同一个三角形中解决，解决此问题有多种方法，①如图(2)，连接BC，根据三角形内角和定理和对顶角相等，可将∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E转化到△ABC中求解；②如图(3)，延长BD，交AC于F，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，可将∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E转化到△COF中求解；③如图(4)，也可以延长CE交AB于G，运用三角形的一个外角等于和它不相邻的两内角和，将∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E转化到△BOG中求解；④向两方延长DE也能构造出三角形求解．【例11】如图(1)所示是小亮的爸爸带回家的一种零件示意图，它要求∠BDC＝140°才合格，小明通过测量得∠A＝90°，∠B＝19°，∠C＝40°后就下结论说此零件不合格，于是爸爸让小亮解释这是为什么呢？小亮很轻松地说出了原因，你能解释吗？。
三角形有关的角
三角形有关的角一、学习目标1.三角形的内角2.三角形的外角二、知识点讲解1.三角形的内角内角定义内角，多边形相邻的两边组成的角叫做多边形的内角。
三角形是由两两相交且不经过同一点的三条直线的界于三个交点之间的线段构成的图形。
每两条相交直线所确定的4个角中位于三角形内部的那一个角就是三角形的内角。
基本内容在数学中，三角形内角和为180°，四边形(多边形）内角和为360°。
以此类推，加一条边，内角和就加180°。
内角和公式为：（n－2）×180° 正多边形各内角度数为：（n－2）×180°÷n例如三角形内角和就是一个△内部的三个角的和，一个内角就是其中任意一个角。
三角形内角和定理三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
用数学符号表示为：在△ABC中，∠1+∠2+∠3=180°。
也可以用全称命题表示为：∀△ABC, ∠1+∠2+∠3=180°。
任意n边形内角和公式任意n边形的内角和公式为θ=180°·（n-2）。
其中，θ是n边形内角和，n是该多边形的边数。
从多边形的一个顶点连其他的顶点可以将此多边形分成(n-2)个三角形，每个三角形内角和为180°，故，任意n边形内角和的公式是:θ=（n-2）·180°，∀n=3，4，5，…。
相关推论推论1直角三角形的两个锐角互余。
推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和。
推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
三角形的内角和是外角和的一半。
三角形内角和等于三内角之和。
典型例题、三角形的内角1.题干：已知△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：3：5，则△ABC是______三角形。
个人分析：三角形的内角和是_______。
答案：钝角解析：设∠A=x∠B=3x∠C=5x，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴x+3x+5x=180°，解得：x=20°，∴∠A=20°∠B=60°∠C=100°，∴△ABC是钝角三角形根据三角形内角和是180°来计算。
与三角形有关的角
与三角形有关的角1．三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边; 任意两边之差小于第三边.2、三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余。
.3.三角形外角的性质（1）三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和．（2）三角形的一个角大于与它不相邻的任何一个内角．注意：（1）它不相邻的内角不容忽视；ABC中，B=⑶β＝180°-[（180°-∠B）/2+（180°-∠C）/2]＝90°-α/2.例4.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC(∠C>∠B)，试说明∠EAD=(∠C?∠B)．变式：如图所示，在△ABC中，∠1=∠2，∠C>∠B，E为AD上一点，且EF⊥BC于F。
（1）试探索∠DEF与∠B，∠C的大小关系；（2）如图（2）所示，当点E在AD的延长线上时，其余条件都不变，你在（1）中探索到的结论是否还成立？解：（1）∵∠1=∠2，∴∠1=∠BAC ，又∵∠BAC=180°-∴∠1=[180°-∴∠EDF=∠B+∠1=-（∠又∵EF ⊥BC ，∴∠EFD=90°，∴∠DEF=90°-∠（∠（∠（2）当点E 在AD 例5． A 例6.A 例7． A ．180o??????B ．360o?? C ．540o??? D ．240o例8．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数(??? )A ．180o??B ．360o??C ．540oD ．240 探索发现：例9. 如图，将△ABC 沿EF 折叠，使点C 落到点C ′处，试探求∠1，∠2与∠C的关系．例10..一个零件的形状如图7-46，按规定∠A=90o ，∠C=25o，∠B=25o，检验已量得∠BDC=150o，就判断这个零件不合格，运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由。
11.(2004·吉林)如图所示，∠CAB的外角等于120o，∠B等于40o，则∠C 的度数是_______．多边形及其内角和1．一个n边形的内角和与外角和的比是4：1，则n = (??????? )A．8?????? B．9?????? C．10???????? D．12说明：×4 = 1440o，又因为n一、判断题．1234．从n512367891011．四边形的四个内角中，直角最多有????? 个，钝角最多有???? 个，锐角最多有?????? 个．12．如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加?????? ，外角和增加?????? ．三、选择题．1．多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（）A．互为余角 B．互为邻补角 C．两个角相等 D．外角大于内角3．一个多边形的内角和为720o，那么这个多边形的对角线条数为（）A．6条 B．7条 C．8条 D．9条4．随着多边形的边数n的增加，它的外角和（）A．增加 B．减小 C．不变 D．不定8，一个多边形每个外角都是60o，这个多边形的外角和为（）A．180o B．360o C．720o D．1080o9．n边形的n个内角中锐角最多有（）个．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．多边形的内角和为它的外角和的4倍，这个多边形是（）A．八边形 B．九边形 C．十边形 D，十一边形．7.如图所示，已知△ABC为直角三角形，∠B=90，若烟图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2 等于（）A、（第8. P，A、90。
与三角形有关的角知识点总结与经典练习
与三角形有关的角知识点总结与经典练习三角形是我们初中数学中重要的几何形状之一，而与三角形有关的角也是我们必须掌握的基础知识。
本文将从三角形的内角与外角、同位角、同旁内角以及三角形内角和定理等几个方面来总结与三角形有关的角的知识点，并配以一些经典练习题，帮助读者更好地理解与掌握这些知识点。
一、三角形的内角与外角1. 内角是三角形的内部两条边之间的角，我们以A、B、C分别表示三角形的三个内角。
2. 外角是由一条边与其延长线构成的角，我们以D、E、F分别表示三角形的三个外角。
3. 三角形的内角和为180度，即A + B + C = 180°。
4. 三角形的外角和等于360度，即D + E + F = 360°。
经典练习题：1. 已知三角形ABC的内角A = 60°，B = 70°，求C的度数。
2. 三角形DEF的外角D = 90°，E = 120°，求F的度数。
二、同位角1. 同位角是指两条平行线被一条第三线所截得的对应角，它们的度数相等。
2. 在三角形中，同位角可以应用于同位旁内角、同位同旁内角及同位角的性质等方面。
经典练习题：1. 如图，在△ABC中，AB//DE，BC//EF，EF//AD。
若∠BAC = 40°，∠BCA = 70°，求∠EFD和∠EDF的度数。
三、同旁内角1. 同旁内角是指两条平行线被一条第三线所截得的内角，它们的度数互补。
2. 在三角形中，同旁内角可以应用于内角和定理等方面。
经典练习题：1. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ACB = 70°，求∠A 的度数。
四、三角形内角和定理1. 对于任意一个三角形ABC，有内角和定理：∠A + ∠B + ∠C = 180°。
2. 内角和定理可以应用于解三角形内角的问题，判断三角形是否存在等方面。
经典练习题：1. 已知三角形ABC满足∠A + ∠B = 100°，∠A - ∠B = 30°，求∠C 的度数。
与三角形有关的角(基础)知识讲解
与三角形有关的角（基础）知识讲解【学习目标】1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.【要点梳理】要点一、三角形的内角1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．2. 直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.要点诠释：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．【典型例题】类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°.【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.证法1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB．因为AB∥CD（已作），所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB于点F．因为DF∥AC（已作），所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）．因为DE∥AB（已作）．所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）．所以∠A=∠2（等量代换）．又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．证法3：如图3所示，过A 点任作直线1l ，过B 点作2l ∥1l ，过C 点作3l ∥1l ，因为1l ∥3l （已作）．所以∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）．同理∠3=∠4．又1l ∥2l （已作），所以∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．所以∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）．又∠2+∠3=∠ACB ，所以∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）．证法4：如图4，将ΔABC 的三个内角剪下，拼成以C 为顶点的平角.证法5：如图5－1和图5－2，在图5－1中作∠1＝∠A ，得CD ∥AB ，有∠2＝∠B ；在图5－2中过A 作MN ∥BC 有∠1＝∠B ，∠2＝∠C ，进而将三个内角拼成平角.【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行线的性质.2.在△ABC中，已知∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度数．【答案与解析】解：由∠A+∠B＝80°及∠A+∠B+∠C＝180°，知∠C＝100°．又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝50°．∴∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C＝180°．本题可以设∠B＝x，则∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．举一反三：【答案】100°.解：∵△ABC中∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∵△BCE中∠E=150°，∴∠EBC+∠ECB=180°﹣150°=30°，∴∠ABE+∠ACE=130°﹣30°=100°，∵∠ABE的平分线与∠ACE的平分线相交于点D，∴∠DBE+∠DCE=（∠ABE+∠ACE）=×100°=50°，∴∠DBE+∠DCE=（∠DBE+∠DCE）+（∠EBC+∠ECB）=50°+30°=80°，∴∠BDC=180°﹣80°=100°．类型二、三角形的外角【高清课堂：与三角形有关的角例2、】3.（1）如图，AB和CD交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ．（2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B +∠C．【答案与解析】解：（1）如图，在△AOC中，∠COB是一个外角，由外角的性质可得：∠COB＝∠A＋∠C，同理，在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D，所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D．（2）如图，延长线段BD交线段于点E,在△ABE中，∠BEC＝∠A＋∠B ①；在△DCE中，∠BDC＝∠BEC＋∠C ②，将①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，即得证．【总结升华】重要结论：（1）“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；（2）“燕尾形图”：∠D=∠A＋∠B +∠C．举一反三：【变式1】（新疆建设兵团）如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°，则∠C等于（）.A、40°B、65°C、75°D、115°【答案】B.【变式2】如图，在△ABC中，∠A＝70°，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC的度数为 .【答案】125°.类型三、三角形的内角外角综合【思路点拨】根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解．【答案与解析】解：∠C的大小保持不变．理由：∵∠ABY=90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，∴∠ABE=∠ABY=（90°+∠OAB）=45°+∠OAB，即∠ABE=45°+∠CAB，又∵∠ABE=∠C+∠CAB，∴∠C=45°，故∠ACB的大小不发生变化，且始终保持45°．【总结升华】本题考查的是三角形内角与外角的关系，掌握“三角形的内角和是180°”是解决问题的关键．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC中，P为内角平分线AD、BE、CF的交点，过点P作PG⊥BC 于G，试说明∠BPD与∠CPG的大小关系并说明理由．【答案】解：∠BPD＝∠CPG．理由如下：∵ AD、BE、CF分别是∠BAC、∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠BAC，∠3＝12∠ACB．∴∠1+∠2+∠3＝12(∠ABC+∠BAC+∠ACB)＝90°．又∵∠4＝∠1+∠2，∴∠4+∠3＝90°．又∵ PG⊥BC，∴∠3+∠5＝90°．∴∠4＝∠5，即∠BPD＝∠CPG．。
2 与三角形有关的角
第二讲：与三角形有关的角考点一：三角形的内角1,三角形的内角和为：180度2、直角三角形的两个锐角互余3、有两个角互余的三角形是直角三角形7.2.1-1，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等于________°”.图7.2.1-1 图7. 2.1-2 图7. 2.1-32.如图7.2.1-2，将一副三角板按图示的方法叠在一起，则图中∠α等于________度.3.如图7.2.1-3所示，∠A=40°，∠1+∠2+∠3+∠4=_________.4.在△ABC中，∠A=90°，∠C=55°，则∠B=_____；若∠C=4∠A，∠A+∠B=100°，则∠B=________.5.如图7.2.1-4所示，BC、AD相交于点O，∠A=∠C=90°，∠B=25°，则∠D=______度.6.如图7.2.1-5，AB∥CD，直线l平分∠AOE，∠1=40°，∠2=______.图7.2.1-4 图7.2.1-5 图7.2.1-67.如图7.2.1-6所示的三角形被木板遮住了一部分，被遮住的两个角不可能是（）A.一个锐角，一个钝角B.两个锐角C.一个锐角，一个直角D.一个直角，一个钝角8. △ABC中，若∠A+∠B=∠C，则△ABC是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定9.（2008·武汉）一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形10.如图7.2.1-7所示，将三角形纸片ABC的一个角折叠，折痕为EF，若∠A=80°，∠B=68°，∠CFE=78°，求∠CEF的度数.图7.2.1-7考点二：三角形的外角性质------三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角和1.如图7.2.2-1所示，图中的∠1=________.图7.2.2-1 图7.2.2-22.如图7.2.2-2，∠3=120°，则∠1-∠2=________.3.已知，如图7.2.2-3，AD 与BC 相交于点O ，AB ∥CD ，如果∠B =20°，∠D =40°，那么∠BOD 为________度.图7.2.2-3 图7.2.2-44.如图7.2.2-4所示，∠a =________.5.在△ABC 中，∠A =53°，∠B =63°，那△ABC 的最小外角是（ ）A.117°B.63°C.116°D.53°6.下列各图形中∠1=60°的是（ ）图7.2.2-57.如图7.2.2-6，直线a ∥b ，则∠A 的度数为（ ）A.28° B .31°C.39° D .42°8. 一个零件的形状如图7.2.2-7所示，按规定∠A 应等于87°，∠B 、∠D 应分别为25°、29°，工人师傅量得∠BCD =139°，就断定这个零件不合格，你能说明道理吗？图7.2.2-8图7.2.2-6考点三：外角性质的推论9.点P 是△ABC 内任意一点，则∠BPC 与∠A 的大小关系是（ ）A.∠BPC >∠AB.∠BPC <∠A C .∠BPC =∠A D .不能确定10.如图7.2.2-8所示，下列结论正确的是（ ）A.∠A >∠1>∠2B.∠1>∠A >∠2C.∠1>∠2>∠AD.∠2>∠A >∠111.下面对三角形的外角叙述正确的是（ ）A.外角一定大于内角B.外角都大于90°C.外角大于60°小于180° D 外角大于0°小于180°12.如图7.2.2-9，∠1、∠2、∠3、∠4应满足的关系式是（ ）A.∠1+∠2=∠3+∠4B.∠1+∠2=∠4-∠3C.∠1+∠4=∠2+∠3D.∠1+∠4=∠2-∠3图7.2.2-9 图7.2.2-1013.如图7.2.2-10，∠x 的两边被一直线所截，用含α、β的式子表∠x 为（ ）A.α-βB.β-αC.180°-α+βD.180°-α-β14.如图7.2.2-11，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点P ，∠A =60°，点则∠P=________.图7.2.2-12 图7.2.2-1315.（2008·杨州）一副三角板如图7.2.2-13所示叠放在一起，则图中∠α的度数是________. 图7.2.2-8。
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A
解：∵∠A=50°
∠A + ∠ABC + ∠ACB=180°
∴∠ABC + ∠ACB= 180° －
B
1
C
2
∵ BD、CD分别平分∠EBC、∠F
∴ ∠EBC =2 ∠1,∠FCB=2 ∠2
E
D
F
∵ ∠ABC + ∠EBC= 180°
∠ACB + ∠FCB= 180°
∴ ∠ABC + ∠ACB + ∠EBC + ∠FCB= 360°
授课老师：
与
三
三角形的内角
角
形
有
关
的
三角形的外角
角
定义 内角和定理
推论1
定义 个数 1 性质 2
基础过关
例1.求：∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E的度数 A
B M 21N
3F C
解：AC、AD与BE的交点为M、N
E
∵∠1是△BDN的外角
∴ ∠1= ∠B+ ∠D 同理： ∠2= ∠C+ ∠E
1
B
2
∴ ∠ABC =2 ∠1,∠ACB=2 ∠2
C ∴ 2 ∠1+ 2 ∠2 =116°
∴ ∠1+ ∠2 =58 ° ∵ ∠D+∠1+ ∠2 =180°
∴ ∠D =180°－（ ∠1+ ∠2 ） =180°－ 58°
精品课件 =122°
如图, 在△ABC中, BD、CD分别平分△ABC 的 两个外角. ∠A=50°,求∠D的度数.
数学思想: 整体思想和转化思想
在一个图形中同时出现两条角平分线时, 常常要用到整体思想.
运用转化思想将复杂的问题转化为简单 的问题,将未知的问题转化为已知的问 题,是常用的数学方法.
精品课件
通过本节课的学习，你有哪些收获？
1. 有 关 三 角 形 角 的 运 算 ； 往 往都是在一个数学模型的基础上 稍加改变.
2.有关三角形角的运算；关 键是找到联络已知与结论间的中 间量
精品课件
精品课件
不
懂 几
巩固练习
何 者
（学案）
免
进
。
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柏 拉 图
∴ ∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E
= ∠CAD+∠1+∠2
C
D ∵ ∠CAD+∠1+∠2=180°
∴ ∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
精品课件
求：∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E的度数
B
解： ∵∠1是△BEF的
A 外角E
∴ ∠1=
∠B+ ∠E
G
12
F
∠C
同理： ∠2= ∠ A+
C
D
∵∠
D ∴ ∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E = ∠CAD+∠1+∠2
∵ ∠CAD+∠1+∠2;∠E=180 °
想一想:还可以怎么做? 精品课件
求：∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E的度数
B
A
2
1
解：∵∠1是△BDA的外角
E
∴ ∠1= ∠B+ ∠D
同理： ∠2= ∠C+ ∠E
D+∠1+∠2=180°
∴ ∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=180° 精品课件
例2.如图, 在△ABC中, BD、CD分 别平分∠ABC和∠ACB,若∠A=64°,求∠BDC的度数.
解：∵∠A=64°
A
∠A + ∠ABC + ∠ACB=180°
∴∠ABC+∠ACB= 180°－ ∠A
D
∵ BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB
∴ 130° + 2 ∠1+ 2 ∠2 = 360°
∴ ∠1+ ∠2 =115 °
∵ ∠D+∠1+∠2 =180°
∴ ∠精品D课件=180°－（∠1+∠2 ） =180°－ 115°=75°
如图, ∠A=80°, BD、CD分别平分∠ABC 和∠ACE.求：∠D的度数
A
解： ∵∠DCE是△DBC 外角
D
∴ ∠DBC + ∠D =
∠DCE
∴ ∠DCE － ∠DBC =
∠D
同理： ∠ACE － ∠ABC = ∠A
B
C
E
∵ CD平分∠ACE BD平分∠ABC
∴ ∠ACE =2 ∠DCE
∠ABC =2 ∠DBC
∴ 2 ∠DCE － 2 ∠DBC = ∠A
∴ 2 （∠DCE －∠DBC） = ∠A
∴ 2 ∠精品D课件= ∠A