长沙市雅礼中学必修第一册第五单元《三角函数》测试(有答案解析)

一、选择题
1．若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫
=+
> ⎪
⎝
⎭
的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2
π
，且该
函数图象关于点()0,0x 成中心对称，00,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则0x 等于（ ） A ．
512
π B ．
4
π C ．
3π D ．
6
π
2．已知()0,πα∈，2sin cos 1αα+=，则
cos 21sin 2α
α
=-（ ） A ．2425
-
B ．725
-
C ．7-
D ．17
-
3．已知α为第二象限角，且π3
cos 25
α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ）． A ．3
4
-
B ．43-
C ．53
-
D ．45
-
4．在ABC 中，tan sin cos A B B <，则ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．不确定
5．已知函数()2
2
sin cos cos f x x x x x =+-，x ∈R ，则（ ） A ．()f x 的最大值为1 B ．()f x 的图象关于直线3
x π
=
对称
C ．()f x 的最小正周期为
2
π D ．()f x 在区间()0,π上只有1个零点
6．已知函数()()π
π3
6sin 0f x A x A ⎛⎫=>
⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点
与最低点的距离是5，则A 等于（ ）． A ．1
B ．2
C ．2.5
D ．4
7．已知将向量13,2a ⎛= ⎝⎭
绕起点逆时针旋转4π
得到向量b ，则b =（ ）
A ．44⎛- ⎝⎭
B ．44⎛ ⎝⎭
C ．44⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
D ．44⎛ ⎝⎭ 8．已知sin()cos(2)
()cos()tan x x f x x x
πππ--=
--，则
313f π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的值为（ ）
A ．
12
B ．
13
C ．12
-
D ．13
-
9．已知3cos()45x π
-=-，177124x ππ<<，则2sin 22sin 1tan x x
x
-+的值为（ ） A ．
28
75
B ．21100
-
C ．2875
-
D ．
21100
10．要得到cos 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
的图像（ ） A ．向左平移12
π
个单位 B ．向右平移12
π
个单位
C ．向左平移
6π
个单位 D ．向右平移
6
π
个单位 11．已知函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过点P ，若角α的终边经过点
P ，则sin 2α的值等于（ ）
A ．2425
-
B ．
35
C ．
2425
D ．
35
12．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+><
⎪⎝
⎭
的图象如图所示，为了得到g()sin 34x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象，只需将()f x 的图象（ ）
A ．向右平移π
6
个单位长度 B ．向左平移π
6
个单位长度 C ．向右平移π
2
个单位长度 D ．向左平移
π
2
个单位长度 二、填空题
13．将函数sin 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再
向右平移
4
π
单位，所得到的函数解析式是_________.
14．设函数()sin (0,0)6f x A x A πωω⎛⎫
=-
>> ⎪⎝
⎭
，[]0,2x π∈，若()f x 恰有4个零点，则下述结论中：①0()()f x f x ≥恒成立，则0x 的值有且仅有2个；②存在0>ω，使得()f x 在80,
19π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增；③方程
1()2f x A =一定有4个实数根，其中真命题的序号为_________.
15．设()sin 2cos2f x a x b x =+，0ab ≠，若()6f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
对任意x ∈R 成立，则下列命题中正确的命题是______.（填序号）
①11012f π
⎛⎫= ⎪⎝⎭；②7105f f ππ⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；③()f x 不具有奇偶性；④()f x 的单调增
区间是()2,63k k k ππ⎡⎤
π+
π+∈⎢⎥⎣⎦
Z ；⑤可能存在经过点(),a b 的直线与函数的图象不相交. 16．已知定义在R 上的偶函数()f x 的最小正周期为π，且当[0,]2
x π
∈时，
()sin f x x =，则5
()3
f π=_______.
17．将函数sin(2)y x ϕ=+的图像向左平移12
π
个单位后所得函数图像关于原点中心对
称，则sin 2ϕ=_________． 18．已知7
sin cos 17
αα+=
，()0,απ∈，则tan α= ________. 19．若3sin 5
αα=，是第二象限角，则sin 24πα⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭
__________．
20．已知7sin cos 5
αα+=-
，2
2sin cos 5αα-=-，则cos2=α_______.
三、解答题
21．已知函数()2sin cos f x x x = （1）求函数()f x 的最小正周期和最大值； （2）求函数()f x 的单调递减区间.
22．已知函数()π22sin cos 6f x x x x ⎛
⎫
=-- ⎪⎝
⎭
. （1）求()f x 的单调增区间. （2）当ππ,44x ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，求()f x 的值域. 23．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫
=+
> ⎪⎝
⎭，在,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上有最小值，无最大值，且满足
63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. （1）求()f x 的最小正周期；
（2）将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛
⎫
<< ⎪⎝
⎭
个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12min
7
x x π
-=
，求ϕ的值.
24．（1）求值：4cos130tan140︒︒-；
（2）已知3177cos ,45124x x πππ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，求2
sin 22sin 1tan x x x
+-的值.
25．函数()()()f x g x h x =+，其中()g x 是定义在R 上的周期函数，()h x ax b =+，,a b 为常数
（1）()sin g x x =，讨论()f x 的奇偶性，并说明理由；
（2）求证:“()f x 为奇函数“的一个必要非充分条件是”()f x 的图象有异于原点的对称中心
(),m n ”
（3）()sin cos g x x x =+，()f x 在[]0,3x π∈上的最大值为M ，求M 的最小值. 26．已知02
a π
<<
，02
π
β<<
，4sin 5
α
，5
cos()13αβ+=. （1）求cos β的值；
（2）求2sin sin 2cos 21
αα
α+-的值.
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
由已知条件求得函数()f x 的最小正周期T ，可求得ω的值，再由已知可得
()026x k k Z π
π+
=∈，结合00,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
可求得0x 的值. 【详解】
由题意可知，函数()f x 的最小正周期T 满足
22
T π=，T π∴=，22T π
ω∴==，
()sin 26f x x π⎛
⎫∴=+ ⎪⎝
⎭，
由于函数()f x 的图象关于点()0,0x 成中心对称，则()026
x k k Z π
π+
=∈，解得
()0212
k x k Z ππ
=
-∈， 由于00,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，解得0
512x π=. 故选：A. 【点睛】
结论点睛：利用正弦型函数的对称性求参数，可利用以下原则来进行： （1）函数()()sin f x A x =+ωϕ关于直线0x x =对称()02
x k k Z π
ωϕπ⇔+=
+∈；
（2）函数()()sin f x A x =+ωϕ关于点()0,0x 对称()0x k k Z ωϕπ⇔+=∈.
2．D
解析：D 【分析】
利用22sin cos 1αα+=以及2sin cos 1αα+=解出sin α，cos α的值，再利用二倍角公式化简即可求解. 【详解】
因为2sin cos 1αα+=，所以cos 12sin αα=-， 代入22sin cos 1αα+=得()2
2sin 12sin 1αα+-=， 因为()0,πα∈，所以4sin 5
α
，所以43cos 12sin 1255αα=-=-⨯=-，
所以4324
sin 22sin cos 25525
ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪
⎝⎭， 2
247cos 212sin 12525αα⎛⎫
=-=-⨯=- ⎪⎝⎭
cos 211sin 2717
252425αα-
==--⎛⎫
- ⎪⎭
-⎝， 故选：D 【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是熟记同角三角函数基本关系，以及三角函数值在每个象限内的符号，熟记正余弦的二倍角公式，计算仔细.
3．A
解析：A 【分析】 由已知求出3
sin 5
α=，即可得cos α，进而求出所求. 【详解】 ∵π3
cos 25
α⎛⎫-=
⎪⎝⎭，∴3sin 5α=，
∵α为第二象限角，∴4
cos 5
α==-
， ∴sin 3
tan cos 4
ααα=
=-． 故选：A ．
4．C
解析：C 【详解】
∵tan sin cos A B B <，∴
sin sin cos cos A B
B A
<，
若A 是钝角，此不等式显然成立，三角形为钝角三角形，
若A 是锐角，则sin sin cos cos A B A B <，cos cos sin sin cos()0A B A B A B -=+>，
,A B 是三角形内角，∴02
A B π
<+<
，从而()2
C A B π
π=-+>
，C 为钝角，三角形仍
然为钝角三角形． 故选：C ． 【点睛】
易错点睛：本题考查三角形形状的判断．解题过程中，由
sin sin cos cos A B
B A
<常常直接得
出sin sin cos cos A B A B <，然后可判断出C 是钝角，三角形是钝角三角形，也选择了正确答案，但解题过程存在不全面．即应该根据A 角是锐角还是钝角分类讨论．实际上就是不等式性质的应用要正确．
5．B
解析：B 【分析】
利用二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，再利用三角函数的性质求解即可. 【详解】
()
22
sin cos cos f x x x x x =+-2cos 2x x =-2sin 26x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
故最大值为2，A 错
22sin 2sin 23362f ππππ⎛⎫⎛⎫
=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故关于3x π=对称，B 对
最小正周期为
22
π
π=，C 错 ()26
x k k Z π
π-
=∈解得()12
2k x k Z π
π=
+
∈，12
x π=和712x π
=都是零点，故D 错.
故选：B 【点睛】
对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin (ωx ＋φ)或y ＝Acos (ω x ＋φ)的形式，则最小正周期为2T π
ω
=
，最大值为A ，最小值为A -；奇偶性的
判断关键是解析式是否为y ＝Asin ωx 或y ＝Acos ωx 的形式．
6．B
解析：B 【分析】
根据正弦型函数图象性质确定函数()f x 的最小正周期T ，再根据最高点与最低点的距离是5
5=，从而解得A 的值. 【详解】
解：函数()()π
π3
6sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+的最小正周期2263
T ππ
πω
=== 函数()()π
π3
6sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低
点的距离是5，
5=，解得2A =.
故选：B. 【点睛】
对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为()sin y A ωx φ=+或
()cos y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2T ω
π
=
，最大值为A ，最小值为A -；奇
偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x ω=的形式．
7．C
解析：C 【分析】
先求出a 与x 轴正方向的夹角为3
π
θ=
，即可得b 与x 轴正方向的夹角为
73
4
12
π
π
πα=
+
=
， 再利用向量坐标的定义即可求解. 【详解】
设a 的起点是坐标原点，a 与x 轴正方向的夹角为θ，1a =
由13,2a ⎛
= ⎝
⎭
可得2tan 12
θ==3πθ=， 设b 与x 轴正方向的夹角为α，则73412
πππ
α=+=且1b =
因为7sin
sin sin cos cos sin 12434343y πππππππ⎛⎫
==+=⨯+⨯=
⎪⎝⎭
7cos
cos cos cos sin sin 12434343x πππππππ⎛⎫
==+=⨯-⨯=
⎪⎝⎭
故2b ⎛-=
⎝⎭
， 故选：C.
8．C
解析：C 【分析】
利用诱导公式先化简整理函数()f x ，再利用诱导公式求值即可. 【详解】 由sin()cos(2)
()cos()tan x x f x x x
πππ--=
--，
利用诱导公式得：
sin cos ()cos cos tan x x
f x x x x
=
=--，
所以31311cos cos 103332f π
πππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=--=---=- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
； 故选：C.
9．A
解析：A 【分析】
根据
177124x ππ
<<以及3cos()45x π-=-求出4sin()45
x π-=-，进而求出4tan()43
x π-=，根据诱导公式和二倍角的余弦公式得7
sin 225x =-，然后利用恒等变换
公式将2sin 22sin 1tan x x
x
-+化简为sin 2tan()4x x π-⋅-后，代入计算可得结果.
【详解】
因为
177124x ππ
<<，所以73642
x πππ<-<， 因为3cos()45x π
-
=-，
所以4
sin()45
x π-===-， sin()4tan()4cos()4x x x π
ππ--=
=-4535
--43=， sin 2cos(2)cos 2()24x x x ππ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦2972cos 12142525x π⎛
⎫=--=⨯-=- ⎪⎝
⎭，
所以
2sin 22sin 1tan x x x
-+2sin (cos sin )
sin 1cos x x x x x
-=
+2sin cos (cos sin )cos sin )x x x x x x -=+
sin 2(1tan )1tan x x x -=+tan
tan 4sin 21tan tan 4
x
x x π
π-=⋅+sin 2tan()4x x π=-⋅-7428()25375=--⨯=.
故选：A 【点睛】
本题考查了同角公式，考查了诱导公式，考查了二倍角的正弦公式，考查了两角差的正切公式，属于中档题.
10．B
解析：B 【分析】
化简函数cos 2cos 2612y x x ππ⎛⎫
⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，sin 2cos 22y x x π⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭
，即可判断. 【详解】
cos 2cos 2612y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2cos 22y x x π⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭
，
∴需将函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
的图象向右平移12π
个单位.
故选：B.
11．C
解析：C 【分析】
由已知求出点P 的坐标，再利用三角函数的定义求出sin ,cos αα的值，进而可得到
sin 2α的值 【详解】
解：因为函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过(4,3)， 所以点P 的坐标为(4,3) 因为角α的终边经过点P ，
所以3
4sin ,cos 5
5
αα=
==
=
， 所以3424
sin 22sin cos 25525
ααα==⨯⨯=， 故选：C
12．A
解析：A 【分析】
首先根据函数()f x 的图象得到()sin 34f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，再根据三角函数的平移变换即可得到答案. 【详解】 由题知：
541246T πππ=-=，所以223T ππω
==，解得3ω=. 3sin 044f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以324k πϕππ+=+，k Z ∈，解得24
k ϕπ
=+π，k Z ∈. 又因为2
π
ϕ<
，所以4
π
ϕ=
，()sin 34f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
. 因为
4436
π
π
π-
-
=-，所以只需将()f x 的图象向右平移π6
个单位长度.
故选：A 二、填空题
13．【分析】利用三角函数图象的平移和伸缩变换即可得正确答案【详解】函数的图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长到原来的倍得到再向右平移个单位得
到故最终所得到的函数解析式为：故答案为： 解析：()sin f x x =
【分析】
利用三角函数图象的平移和伸缩变换即可得正确答案. 【详解】 函数sin 24y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍， 得到sin 4y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
， 再向右平移4π个单位，得到sin sin 44y x x ππ⎛
⎫=-+=
⎪⎝
⎭， 故最终所得到的函数解析式为：()sin f x x =. 故答案为：()sin f x x =.
14．①②③【分析】可把中的整体当作来分析结合三角函数的图象与性质即可得解【详解】由于恰有4个零点令由有4个解则解得①即由上述知故的值有且仅有个正确；②当时当时解得又故存在使得在上单调递增正确；③而所以可
解析：①②③ 【分析】
可把sin()y A x ωθ=+中的x ωθ+整体当作t 来分析，结合三角函数的图象与性质即可得解． 【详解】
由于()f x 恰有4个零点，令6
t x π
ω=-，266t π
πωπ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，
， 由sin 0t =有4个解，则3246
x π
πωπ≤-<，解得
19251212
ω≤<， ①()0f x A =即0262
ππ
ωx k π-
=+，由上述知0,1k =， 故0x 的值有且仅有2个，正确； ②当0x =时，66ππωx -
=-，当819πx =时，81962πππω⋅-≤，解得1912
ω≤， 又19251212ω≤<
，故存在1912ω=，使得()f x 在80,19π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，正确； ③11()sin 262f x A x πω⎛⎫=⇒-= ⎪⎝
⎭，而2[3,4)6π
πωππ-∈， 所以6
x π
ω-
可取
51317,,,6666
ππππ
，共4个解，正确，
综上，真命题的序号是①②③. 故答案为：①②③. 【点睛】
三角函数的性质分析一般用数形结合，图象的简化十分重要。

本题考查命题真假的判断，考查三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15．①③【分析】由题可知直线与函数的图象的一条对称轴可求得可化简函数的解析式为计算出的值可判断①的正误；计算可判断②的正误；利用特殊值法可判断③的正误；取利用正弦函数的单调性可判断④的正误；假设命题⑤正
解析：①③ 【分析】 由题可知，直线6
x π
=
与函数()f x 的图象的一条对称轴，可求得3a
b ，可化简函数
()f x 的解析式为()2sin 26f x b x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.计算出
1112
f π
⎛⎫
⎪⎝⎭
的值，可判断①的正误；计算710f π⎛⎫
⎪⎝⎭、5f π⎛⎫
⎪⎝⎭
，可判断②的正误；利用特殊值法可判断③的正误；取0b >，利用正弦函数的单调性可判断④的正误；假设命题⑤正确，求出直线的方程，结合函数
()f x 的最值可判断⑤的正误.
【详解】 由题可知，直线6
x π
=与函数()f x 的图象的一条对称轴，
可得162f b π⎛⎫=+=
⎪
⎝⎭
，整理可得2230a b -+=，即(
)
2
0a -=，a ∴=.
()
sin 2cos 22sin 26f x x b x b x π⎛
⎫∴=+=+ ⎪⎝
⎭.
对于命题①，11112sin 2012126f b π
ππ⎛⎫⎛⎫=⨯
+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，①正确； 对于命题②，
7747172sin 22sin 2sin 101063030f b b b ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=⨯+==+ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝
⎭17172sin 2sin 3030
b b ππ
=-=，
172sin 22sin 55630f b b ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，7105f f ππ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，②不正确；
对于命题③，
2sin 66f b b ππ⎛⎫⎛⎫
-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，2sin 262f b b ππ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，
则66f f ππ⎛⎫⎛⎫
-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且66f f ππ⎛⎫
⎛⎫
-≠- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
，所以，函数()f x 不具有奇偶性，③正确； 对于命题④，当()2,6
3x k k k π
πππ⎡⎤
∈+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
Z 时，则()32222
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+
≤
+∈， 当0b >时，函数()f x 在区间()2,63k k k ππ⎡⎤
π+
π+∈⎢⎥⎣
⎦
Z 上单调递减，④错误； 对于命题⑤，假设经过点(),a b 的直线与函数()f x 的图象不相交，
则该直线与x 轴平行，此时该直线的方程为y b =，则2b b >，由于0b ≠，矛盾，⑤错误.
故答案为：①③. 【点睛】
关键点点睛：本题考查正弦型函数()()sin f x A x =+ωϕ的单调性、奇偶性、三角函数值的计算，解题的关键就是从()6f x f π⎛⎫
≤
⎪
⎝⎭
分析得出直线6x π=与函数()f x 的图象的一条对称轴，进而借助辅助角公式化简得出a 、b 的倍数关系.
16．【分析】由题周期性和偶函数的性质可得【详解】定义在R 上的偶函数的
最小正周期为故答案为：
解析：
2
【分析】
由题周期性和偶函数的性质可得5()()()333
f f f πππ=-=. 【详解】
定义在R 上的偶函数()f x 的最小正周期为π，
55()(2)()()sin 333332
f f f f ππππππ∴=-=-===
.
17．【分析】先根据函数平移变换得平移后的解析式为再根据其图象关于原点中心对称得进而计算得【详解】解：根据题意得函数的图像向左平移个单位后得到的函数解析式为：由函数图象关于原点中心对称故即所以故答案为：【
解析： 【分析】
先根据函数平移变换得平移后的解析式为sin 26y x πϕ⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭
，再根据其图象关于原点
中心对称得,6
k k Z π
ϕπ=-+∈，进而计算得sin 2ϕ=. 【详解】
解：根据题意得函数sin(2)y x ϕ=+的图像向左平移
12
π
个单位后得到的函数解析式为：
sin 26y x πϕ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，
由函数sin 26y x πϕ⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭
图象关于原点中心对称， 故,6
k k Z π
ϕπ+
=∈，即,6
k k Z π
ϕπ=-
+∈
所以sin 2sin 2sin 332k ππϕπ⎛⎫⎛⎫
=-+=-=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
故答案为： 【点睛】
三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数()sin ,y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()k k Z ϕπ⇔=∈ ； 函数()sin ,y A x x R ωϕ=+∈是偶函数2
()k k Z π
ϕπ⇔=+∈； 函数()cos ,y A x x R ωϕ=+∈是奇函数2
()k k Z π
ϕπ⇔=+
∈；
函数()cos ,y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()k k Z ϕπ⇔=∈.
18．【分析】根据已知条件求得的值由此求得的值【详解】依题意两边平方得而所以所以由解得所以故答案为：【点睛】知道其中一个可通过同角三角函数的基本关系式求得另外两个在求解过程中要注意角的范围 解析：15
8
-
【分析】
根据已知条件求得sin ,cos αα的值，由此求得tan α的值. 【详解】
依题意7
sin cos 17
αα+=
，两边平方得 4924012sin cos ,2sin cos 0289289
αααα+=
=-<， 而()0,απ∈，所以sin 0,cos 0αα><， 所以
23
sin cos 17
αα-=
===
. 由7sin cos 17
23
sin cos 17αααα⎧
+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
解得158sin ,cos 1717αα==-， 所以sin 15
tan cos 8ααα=
=-. 故答案为：15
8
-
【点睛】
sin cos ,sin cos αααα±知道其中一个，可通过同角三角函数的基本关系式求得另外两
个，在求解过程中要注意角的范围.
19．【分析】根据条件分别求再代入求两角和的正弦【详解】且是第二象限角故答案为：
解析：【分析】
根据条件分别求cos α，sin 2α，cos2α，再代入求两角和的正弦 【详解】
3sin 5α=
，且
α是第二象限角，4cos 5
α∴==- 27
cos 22cos 125
αα∴=-=
，3424sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪
⎝⎭，
)
sin 2sin 2cos 24250πααα⎛
⎫+=+=- ⎪⎝
⎭.
故答案为：50
-
20．【分析】联立方程组求得的值结合余弦的倍角公式即可求解【详解】由题意知：联立方程组求得所以故答案为： 解析：
725
联立方程组，求得sin ,cos αα的值，结合余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】
由题意知：7sin cos 5
αα+=-，22sin cos 5αα-=-，
联立方程组，求得34
sin ,cos 55
αα=-=-，
所以2
247cos 22cos 12()1525
αα=-=⨯--=
. 故答案为：
7
25
. 三、解答题
21．（1）T π=；最大值为1；（2）3[,
]()4
4
k k k Z π
π
ππ++∈ 【分析】
（1）应用二倍角公式，将函数化为正弦型三角函数，即可求解； （2）根据正弦函数的单调递减区间结合整体代换，即可求出结论. 【详解】
（1）()2sin cos sin 2f x x x x ==， 最小正周期为22
T π
π==，最大值为1； （2）由3222()2
2
k x k k Z π
π
ππ+≤≤
+∈， 解得
3()4
4
k x k k Z π
π
ππ+≤≤
+∈， ()f x ∴单调递减区间是3[,]()44
k k k Z ππ
ππ++∈.
22．（1）π5ππ,π1212k k ⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（2）11,2⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦.
【分析】
（1）由恒等变换得()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，进而根据πππ2π22π232k x k -+≤-≤+解得
()f x 的增区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦
()k ∈Z ；
（2）由ππ,44x ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦得5πππ2636x -≤-≤，进而得π11sin 232x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，即()f x 的
值域为11,2
⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦
.
解：（1）
()11π
2cos 2sin 2sin 22sin 2223f x x x x x x x ⎫⎛
⎫=--==-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
， ∵πππ
2π22π232k x k -+≤-≤+，()k ∈Z ， ∴π5πππ1212
k x k -
+≤≤+，()k ∈Z ， ∴()f x 的增区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦
()k ∈Z .
（2）∵ππ
44
x -≤≤， ∴5πππ2636
x -
≤-≤， ∴π11sin 232x ⎛
⎫-≤-
≤ ⎪⎝
⎭， ∴()f x 的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
.
【点睛】
本题解题的关键是根据三角恒等变换得()πsin 23f x x ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，进而根据整体换元的思想求函数的单调区间与值域，考查运算求解能力，是中档题. 23．（1）37π；（2）
14
π
. 【分析】
（1）题意说明周期6
T π
≥
，4
x π
=
是最小值点，由最小值点得ω表达式，由6
T π
≥
得ω
的范围，从而得ω的值；
（2）
()()122f x g x -=∣∣说明()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值.对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314
π
，由此可得． 【详解】
（1）由()sin ,(0)3f x x πωω⎛⎫
=+> ⎪⎝
⎭，在,63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上有最小值，无最大值， 可知：
23
6
T π
π
π
ω
-
≤=
，故有012ω<≤.
又6
x π
=与3
x π
=
在一个周期内，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫
=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
4
x π
∴=
时，函数取到最小值.
2,()432
k k Z πππ
ωπ∴+=-+∈ 故有10
83
k ω=-
+， 又因为012ω<≤，所以143
ω=
. 所以函数()f x 的最小正周期为
37
π. （2）由
()()122f x g x -=∣∣可知的()()12,f x g x 中一个对应最大值，一个对应最小值. 对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314
π. ∴有12min
314
x x π
ϕ-+=. 即314714
πππϕ=
-=.
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数的周期，解题关键是由足()()122f x g x -=得出12,x x 是函数的最值点，一个是最大值点，一个是最小值点，由此分析其其差的最小值与周期结合可得结论．
24．（1）3-2）2875
-. 【分析】
（1）先利用诱导公式将4cos130tan140︒︒-，转化为4cos50tan 40︒︒-+，然后利用三角恒等变换求解.
（2）由3177cos ,4512
4x x πππ⎛⎫+=<<
⎪⎝⎭，利用平方关系求得4sin 45x π⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭，得到
cos cos 44x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，然后由 2sin 22sin 2sin (cos sin )
1tan 1tan x x x x x x x ++=
--求解. 【详解】
（1）4cos130tan140︒︒-，
sin 404cos50tan 404cos50cos 40
︒
︒
︒
︒
︒
=-+=-+， 04cos50cos 40sin 404sin 40cos 40sin 40cos 40cos 40︒︒︒︒︒︒
︒
-+-+==， 02sin 80sin 402cos10sin 40cos 40cos 40
︒︒︒︒
︒
-+-+==， ()2cos 4030sin 40cos 40
︒︒︒
︒
--+=
，
=，
== （2）
1775,212434x x ππππ
π<<∴<+<， 4sin 45x π⎛⎫
∴+=- ⎪⎝⎭
，
cos cos cos cos sin sin 444444x x x x ππππππ
⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-=+++
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，
3455
⎫=
-
=⎪
⎝⎭， sin ,tan 710x x ∴==-=， 22sin 22sin 2sin cos 2sin 2sin (cos sin )
1tan 1tan 1tan x x x x x
x x x x x
x +++∴==
---， 2281775
⎛⨯ ⎝⎭⎝⎭==-
-.
25．（1）0b =，奇函数；0b ≠，非奇非偶函数；（2）证明见解析；（3. 【分析】
（1）就0,0b b =≠分类讨论，后者利用反例说明()f x 为非奇非偶函数.
（2）通过反例说明非充分性成立，设()g x 的周期为2T m =，可以证明当()f x 为奇函数时()()224f x m f x m am ++-+=成立，从而可得()f x 有异于原点的对称中心. （3）先考虑0a
b
时，M =
，再通过反证法可证明M <
min M =
，也可以利用绝对值不等式证明M ≥成立，结合0a b
时，M =
可得min M . 【详解】
（1）()sin f x x ax b =++，
0b =时，()()()sin f x x ax f x -=--=-，()f x 为奇函数，
0b ≠时，∵()00f ≠，∴()f x 不是奇函数.
()1sin1f a b =++，()1sin1f a b -=--+，()2sin 22f a b =++， ()2sin 22f a b -=--+.
若()f x 为偶函数，则()()()()1122f f f f ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩即sin11
sin 22a a =-⎧⎪
⎨=-⎪⎩
， 因为1sin1sin 22-≠-，故sin1
1
sin 22a a =-⎧⎪
⎨=-⎪⎩
无解， ∴()f x 不是偶函数，所以()f x 是非奇非偶函数. （2）非充分性：举反例，
()()()cos ,1,cos 1g x x h x f x x ===+有异于原点的对称中心,12
π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，
但()f x 不是奇函数；
必要性：设奇函数()()f x g x ax b =++，且()()g x T g x +=，令2T m = ，
()()()()2222f x m g x m a x m b g x ax b am +=++++=+++，
而()()()()()22222f x m f x m g x m a x m b g x ax am b -+=--=-----=--+-， 故()()224f x m f x m am ++-+=， 令2n am =，则()f x 的图象关于(),m n 对称. （3）法一：
(
)sin cos 4f x x x ax b x ax b π⎛
⎫=+++=+++ ⎪⎝
⎭，取0a b ，
则()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，∴()max 4M f x f π⎛⎫=== ⎪⎝⎭M 的最小值为
，
反证法：假设M <()4f x x ax b π⎛⎫==+++ ⎪⎝⎭，∵4f M π⎛⎫≤< ⎪⎝⎭
∴
4a b π
++<∴044a b a b ππ
+<+<，①；
同理∵54f M π⎛⎫≤<
⎪⎝⎭，∴504a b π+>②；
∵94f M π⎛⎫≤< ⎪⎝⎭
，∴904a b π+<，③； ②-①得0a π>，
③-②得0a π<，矛盾，所以假设不成立，得证.
法二：()sin cos 4f x x x ax b x ax b π⎛⎫=+++=+++ ⎪⎝
⎭ 59
22444a b a b a b πππ⎛⎫⎛⎫⎫++-+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭
59
2444a b a b a b πππ⎫⎛⎫⎫∴=+-+++⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭
59
2444
a b a b a b π
ππ≤+++++ 5924444f f f M πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
M ∴≥
当0a b 时， |()|4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，
max min ()4f x M f M π⎛⎫==⎪⎭
== ⎝ 【点睛】
方法点睛：
（1）说明一个函数为非奇非偶函数，一般利用反例来说明；
（2）如果函数()f x 满足()()2f a x f a x b -++=，则()f x 的图象有对称中心(),a b . （3）双重最值问题，可以利用绝对值不等式先求出范围，再验证等号可以成立. 26．（1）
6365
；（2）54-. 【分析】
（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos α，sin()αβ+的值，进而根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦函数公式即可求解．
（2）利用二倍角公式可求sin 2α，cos2α的值，进而即可代入求解．
【详解】
（1）因为02π
α<<，4sin 5α
所以3cos 5α==
又因为02πβ<<，5cos()13αβ+=
所以12sin()13αβ+==
所以[]
cos cos ()ββαα=+- cos()cos sin()sin βααβαα=+++
53124135135
=⨯+⨯ 6365
= （2）因为3cos 5α=，4sin 5α 所以4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯
= 2237cos 22cos 12()1525
αα=-=⨯-=- 所以22
424()sin sin 255257cos 214125
ααα++==---- 【点睛】 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想．。