有效前沿在风险投资组合中的应用

资金用 于无 风 险资产 Ｆ的投资 比例 为 ｗ ， 余 的 ，剩
资金 比例将 用于 有风 险资产 投资 。此 时 的投 资者
ｆｉｒ Ｗ ｍｎ；＝ ∑Ｗ ｏ
ｌ． ｓｔ
，
对 风 险的承 受能 力 不 高 ， 选 择 Ａ 之 间 的投 资 将 Ｍ
组 合来 进行 投资 。
Ｗ Ｒ＋（ １一ｔ Ｒ 尺 ／ ）ｒ ２ ｒ Ｗ ， 口
一
Ｍ
￣ ａ— （一ｂ￣ ） ／ ｃ ｂ）ｃ ２ｚ＋ （ ｔ
１
，
／。。。。 。— 。。。 ａ。 。 。。 ‘。 ｃ。。。。‘Ｚ 。 ２Ｒ’。 。 。。 。。 — － ｂｆ 。ｆ ＋。 ‘Ｒ
从 上式 可知 ， 有效 前沿 过点 的切线 斜率 与 资本
市场线 的斜 率相 等 ， 因此 风 险 资产 投 资 组 合 的有
∑ ＝ ， ｒ１ 】
：
●
：
●
ｎ１
ｆ ，Ｍ
其 中 ０， ｖ表示资 产 ｉ 与资产 的协 方差 。假 设 投 资 者对这 ｎ种 资 产 的投 资 比例 为 ｗ ＝（ Ｗ ， Ｗ ， …，
ｌ 经典投 资组合模型
假设 有 ／种有风 险资 产可供 投资 者选择 ， ｉ ＇ ｔ 第
７ ４
沈 阳 航 空 航 天 大 学 学 报
第２ ９卷
对于 一个投 资者 ， 我们 假 设其 效 用 函数 为 Ｕ ，
３ 无差异 曲线与最佳投资组合
投 资者 在对风 险资 产进 行 投 资 决 策 时 ， 于 对
０ 。这 时投 资者既 不 把资 金 用 于无 风 险 资产 Ｆ的
２ 资 本 市 场 线 与有 效 前 沿 相 切
假 设在 资本 市 场 中存 在一 个 无 风 险资 产 Ｆ， 其 收益 率为 ，标 准差 为 ０ 设 投 资者 对 这 ｎ＋１ ， ， 种资产 进行 投资 时 的投 资 比例为 Ｗ＝（ ｓＷ ， Ｗ ， ）
／≥ ｚ ｒ ｐ
（） ２
总和全 部用 于有 风 险资产投 资 。此 时的投资 者对 风险 承 受 能 力 较 高 ， 于 冒 风 险 ， 选 择 直 线 敢 将
ＡＭＢ上点 右侧 的投 资组合 。
Ｃ— ２ｂ Ｒｆ ｎ ＋
其中ｎ ～，＝ ｃ ｆ ～ ＝ ｔ ｆ ｂ ， ：有效 前 沿在 风 险投 资组合 中的应 用 等
７ ３
使 风险 值达 到最小 的投 资组合 。则 经典 的均 值 一
方 差优 化 问题 的模 型为 ：
从式（ ） 们知道 ， ２我 当有 无 风 险资 产 参 与 到 风险投 资 中时 ， 资组 合 的有 效前 沿 将 变 成 一条 投 直线 Ｃ ＭＤ （ 图 １ ， 直 线 称 为 资 本 市 场 线 如 ）该
Ｋｅ ｒ ｓ：ｅ ｃ ｅ ｔｆｏ ｔ ｒ ａ ｉａ ｒ ｅ ｉ ｅ；ｔ ｅ ｏ ｔ ｍ ｏ ｆ ｌｏ ｙ ｗｏ ｄ ｉ ｆ ｉｎ ｎ ｉ ；ｃ ｐ ｔ ｌｍａ ｋ ｔｌｎ ｒ ｅ ｈ ｐｉ ｍｕ ｐ ｒ ｏ ｉ ｔ
Ｍａｋ ｗｉ ｒｏ ｔ ｚ于 １５ ９ ２年创 立 了划时 代 的均值 一
Ａｂ ｔａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ｅｆｅ ｔｖ ｒ ｎ ｉｒｉ ｎ ｉ ｐ ｒａ ｔｐａｔ ｉ ｏ ｍ ｏ ｔｏｌ ｈ ｏ ｙ， ａ ｄ ｉ ｄ ｌ ｓ ｄ ｉ ｉｋ ｉ ｆ ｃｉ ｅ ｆｏ ｔｅ ｓ ａ ｍ ｏ ｔ ｎ ｒ ｎ ｍ ｄｅ ｐ ｒｆ ｉ ｔ ｅ ｒ ｏ ｎ ｓｗｉ ｅ ｙ ｕ ｅ ｎ ｒｓ ｎ— ｖ ｓｍｅ ｔ Ｔｈ ｓ ｐ ｐｅ ｉｃ ｓ ｓｔ ｅ ｐｏ ｔｏｌ ｆ ｃｅ ｔｆｏ ｉ ｒ ｆａ ｒｓ ｓｅ ｎ ｉｋ — ｆｅ ｎ ｎ ｈ ｉ ｅｔ ｎ． ｉ ａ ｒｄ ｓ ｕｓｅ ｈ ｒｆ ｉ ｅ ｏ ｉ ｉｎ ｒ ｎｔ ｓ ｏ ｋ ａ ｓ ｔａ ｄ ａ ｒｓ ｅ ｉ ｒｅ ｏ ｅ ａ ｄ ｔｅｒ ｒ ｌｔｏ ｈ ｐ． Ｔｈ ｐ ｒ ｔ ｎ ｄ ｓ ｕ ｓ ｓｈｏ ｉ ｖ ｓｏ ｓｕｓ ｔｌ ｙ ｆ ｎ ｔ ｎ ｈ ｆ ｃ ｅ ｔｆｏ ｔｅ ｏ ｉｋ ｉ ｅａｉ ｎｓ ｉ ｅ ｐａ ｅ ｈｅ ｉｃ ｓ ｅ ｗ ｎ ｅ ｔ ｒ ｅ ｕ ｉｉ ｕ ｃ ｉ ａ ｄ ｔ ｅ ｅ ｔ ｏｎ ｉ ｉｎ ｎ ｉ ｒｆ ｒｒｓ ｎ— ｒ ｖ ｓｍｅ ｔｉ ｈ ｓ ｗｏ ｃ ｓ ｓ Ｔｈ ｏｌ ｗ ｉｇ ｎ ｅ ｔ ｎ ｎ ｔｅ ｅ ｔ ａ ｅ ． ｅｆ ｌ ｏ ｎ ｕｍ ｅ ｉａ ｅ ｕｔ ｒ ｖ ｈ ｏ ｃｕｓｏ ｒｃ ｌｒ ｓ ｌｓｐ ｏ ｅ ｔ ｅ ｃ ｎ ｌ ｉ ｎ．
效 前沿 与资本 市 场线在 Ｍ 点相 切 。 由图 １可看 出 ， 于 同一 风 险 （ 准 差 ） ， 对 标 资
图 １ 资本 市场 线 与 有 效 前 沿
本 市场 线上 的收 益率要 高 于有效 前沿 上 的收益率 （ 在切点 处 ， 者 相 同 ） 两 。下 面 根 据 收 益 率 值 的大 小 ， ３种 情况进 行讨 论 。 分 （ ） ＝ 在 点 Ｍ 处 ， 资 者需 将 全 部 资 １ Ｍ， 投 金 用 于风 险投资 组 合 Ｍ， 风 险 资产 投 资 比例为 无
文章 编 号 ： ０５—１４ （０ ２ ０ ０ ７ ２９ ２ ８ ２ １ ）４— ０ ２—０ ４
，｝
．
一 一 基 础 科 学
●叶 ● ，
有 效 前 沿 在 风 险投 资 组 合 中的应 用
程春 利 ，单 锋
（ 阳航空航天大学 ａ安全工程学院 ；． 沈 ｂ 理学院 ， 阳 １０ ３ ） 沈 １ １６
其中 Ｗ ＝ 一 ｆ １ ｔ 表示无风险资产投资 比例 ， ｒ Ｗ Ｗ （ Ｗ … ，肌） 示有 风 险资 产 的投 资权 向 Ｗ 艘， Ｗ 表 量 ， 投资组 合模 型为 ： 该
＝
投 入 ， 不会 以利 率 ， 也 借入 资金 。
（ ） ＜ ， 点 Ｍ 的左 侧 ， 时 投 资 者 的 ２ Ｍ 在 此
摘要 ： Ｍａ ｏ ｔ 在 ｒ ｗｉ ｋ ｚ的现代证券组 合理论 中 ， 有效前沿足一个重要 内容 ， 在风 险投 资 中有着 广泛应
用 。将 分 别就 有 风 险 资产 和 具 有 无 风 险 资 产 两 种 情 况 对 有 效 前 沿 进 行 探 讨 ， 出 了这 两 种 情 况 下 给
有效前沿之问的关 系并加 以证 明。讨论 了在这两种情况下 ， 资者如何使用效 用函数和有效 前沿 投 进行风险投资。最后进行实例分析 ， 验证 了我们所给 的结论 。
投 资者 的投 资权 向量
（ ），＞ 点 Ｍ 的右 侧 ， 明 投 资 者 需 ３／ Ｍ， ２ 在 表
ｌ （
具 有无 风 险资产 的有效 前沿 表达式 为 ：
Ｏ — －二 Ｊ ｒ ｐ 二二 ＝＝ ￣
： ，
）
要对无风险资产 Ｆ进行借贷来获得更大的收益。
此 时 的投资 者需 要通过 资本 市场按 资金 比例 一ｗ ， 借人利 率 为 ， 的资金 ， 将借 入资 金 与原有 资 金 的
ｆ ｏ ｔｅ ｎ ｉｋ ｉ ｅ ｔ ｅ ｔ ｒ ｎ ｉ ｒ ｉ ｒ ｓ ｎｖ ｓｍ ｎ
ＣＨＥＮＧ ｕ ｌ ＳＨＡＮ ｎｇ Ｃｈ ｎ—ｉ ． Ｆｅ
（ ．Ｓ ｈ ｏ ｆ ａ ｔ ｎ ｉｅｒ ｇ ｂ Ｓ ｈ ｏ ｆ ｃ ｎ ｅ Ｓ ｅ ｙ ｎ ｅｏ ｐ ｃ ｎｖ ｒ ｔ ， ｈ ｎ ａ ｇ １ ０ ３ ） ａ ｃ ｏ ｌ ｆ ｙ Ｅ ｇ ｅ ｎ ； ． ｃ ｏ ｌ ｉ ｃ ， ｈ ｎ ａ ｇ Ａ ｒｓ ａ ｅＵ ｉｅｓ ｙ Ｓ ｅ ｙ ｎ １ １ ６ ｏ Ｓ ｅ ｎ ｉ ｏ Ｓ ｅ ｉ
证
利用 式 （ ） 式 （ ） 求 得 资本 市 场 线 与 有 １和 ２可
效前 沿 的交点 的坐 标
（ Ｍ ： ｃ Ｒ －ｂ ：
，
止
— — ；
）
其中，＝ ｔ ＝ ｔｃ ｔ∑ ～ 。 Ｄ ｔ∑～ ， ｔ∑～ ，＝ ｂ ｘ
在 一ｘ 平 面 上 ， ｔ ｐ 由点 （ ， ） 成 的 曲线 形
（ ＭＬ 。 Ｃ ）
ｆ ｎ；＝Ｗ ［ ｉ－ Ｗ ∑Ｗ ． ｏ ｍ ；
１ ｔ Ｗ ・・ 【， ：ｌ ｆ ｗ 其 中 ， ＝（ ， ， １ ｔ １ ｌ …， ） Ｐ
我们 知道 资本市 场线 是 由有 风 险资产 和无 风
险资 产组 成 的。那 么有风 险资产 的有 效前 沿 与资
第２ 卷 第４ ９ 期
２０１２年 ８ 月
沈 阳 航 空 航 天 大 学 学 报
Ｊ ｒ ａ ｆＳ ｅ ｙ ｎ ｒ ｓ ｃ ｉ ｅ ｓｔ ｏｕ ｎ ｌｏ ｈ ｎ ａ ｇ Ａｅ ｏ ｐａ ｅ Ｕｎ ｖ ｒｉｙ
Ｖ Ｏ１２ Ｎｏ． ．９ ４
Ａｕ ｇ． ２ ０ ２ １
Ｒ ， Ｒ ） ， Ｒ是 ｎ维 随 机 向量 ， 期 望 、 方 …， 则 其 协 差 矩 阵分 别 为 ＝（ ， ， ）。 …，
ｏｒ１ ｎ
方 差投 资组 合模 型 ， 称为 现代投 资组 合理论 ， 也 该
理 论 为评估 资产 的风 险收益 关 系和分散 风 险提供 了强有 力 的工具 ， 时奠 定 了投 资 组 合 选择 理 论 同 的基石 。根 据该 理 论 ， 性 投 资者 在 投 资 风 险 与 理 投资 收益之 间作 最 优 折 中选 择 ： 于给 定 的 收益 对 水平 ， 投资 者应 选取 使方差 最小 的投 资组合 。
关键词 ： 效前沿 ； 有 资本 市 场 线 ； 最优 投 资组 合
中 图 分 类 号 ： ８０ ５ Ｆ ３ ．９ 文献标志码 ： Ａ
ｄ ｉ１ ．９ ９ｊｉ ｎ ２９ ｏ：０ ３６ ／． ｓ．０ ５—１４ ．０ ２０ ． １ ｓ ２ ８ ２ １ ．４０ ７
Ｔｈ ｐ ｉ ａ ｉ ｎ ｏ ｈｅ ｔ ｏ ｙ ｏ ｏ ｔｏ ｉ ｆｅ ｔｖ ｅ ａ ｐｌ ｔｏ ｆ ｔ ｈｅ ｒ ｆ ｐ ｒ ｆ ｌ ｅ ｃ ｉ ｅ ｃ ｏ
本市 场线 之 间存 在 着什 么样 的关 系呢 ？ 命题 １ 风 险资产 投 资组合 的有效 前 沿 与 资本 市 场线 相切 。
利用 拉格 朗 日乘 子 算 法求 得 解 （ 即投 资 者 的 投资权 向量 ） ： 为
Ｗ－ －
最优 值 为
∑ ［ （
） （ 一 ｔｔ ＋ ｂ ｔ］ ）
种 资产 的收益 率为 Ｒ （ ＝１ ２ …， ） 记 Ｒ＝（ ｉ ，， ｎ ， Ｒ，
收 稿 日期 ： ０２— ７—１ ２１ ０ ８
Ｗ）， ∑ Ｗ ＝ 。于是投资组合的收益率 ｎ 其中 １
ｉ ｌ ＝
Ｒ Ｗ Ｒ， 期 望 和 方 差 分 别 为 ： Ｐ＝ Ｗ， ＝ 其 ｘ Ｉ ２＝
Ｃ 如 图 １所示 ）， Ｄ（ 称作 投资组 合 的有效 前沿 。
有效 前沿 的切 线斜 率
忌： — —
√ ａ — （ 一 岛Ｐ ａ； （ｃ ｂ）ｃ ２ ＋ｌ ） ｘ
有 效前 沿过交 点 的切线 斜率
ｂ ｋ， ＝—— ＝ — — ｌ 二 二 — ～ ＿ — 二— —— ！ ＿ ＝＝ —— — —
Ｗ ∑ Ｗ 。
对于 给定 的 目标 收益 率值 ， 资 者会 选 取 投
作者简介 ： 程春利 （９ ４ ） 女 ， １８ 一 ， 辽宁鞍山人 ， 在读硕 士， 主要研究方 向： 系统安 全理论及应用 ， — ｉ：ｃ＿ ４ １５ ６ ．ｏ 单锋 Ｅ ｍａ ｃ１８ １２ ＠１ ３ ｃｍ； ｌ （９ ０ ） 男 ， １６ 一 ， 辽宁普兰店人， 教授 ， 主要研究方向 ： 信息化理论与应用 ， － ｉ ｓａｆｎ ｓ＠１３ ｃｍ。 Ｅｍａｌ ｈｎｅｇｈ ６ ．ｏ ：