运筹学课件 运筹学期末总复习

第五章 整数规划
n
max(min) z cjxj
j1
n
aijx j (, )bi (i 1,2,, m)
st.xjj1 0( j 1,2,, n)
xj部分或全部取整数
整数规划问题的松弛问题
整数规划的可行域：R’ 最优目标函数值Z’* 松弛问题的可行域：R 最优目标函数值Z*
则 R R' , Z*优于Z’*
bj
j1
ai，
i1
判断：
× 1、正偏差变量取正值，负偏差变量应取负值。
× 2、目标规划模型中，应同时包含绝对约束和目 标约束。
× 3、运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而 求解结果也可能出现下列四种情况：有唯一
最优解、无穷多最优解、无界解、无可行解。
4、表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯
√
判断：
× 1、整数规划解得目标函数值一般优于其相应的 线性规划问题的解得目标函数值。
× 2、指派问题效率矩阵的每个元素都乘上同一常 数k，不影响最优指派方案。
√ 3、指派问题数学模型的形式同运输问题十分相 似，故也可以用表上作业法求解。
第六章 动态规划
用动态规划的方法求解最短路问题。
2 C1 5
=0 是
无穷多 最优解
判断：
√ 1、图解法同单纯形法虽然求解的形式不同， 但从几何上理解，两者是一致的。
√ 2、线性规划模型中增加一个约束条件，可行 域范围一般将缩小，减少一个约束条件， 可行域范围一般将扩大。
× 3、线性规划问题的每一个基解对应可行域的 一个顶点。
× 4、线性规划问题的可行解如为最优解，则该 可行解一定是基可行解。
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第二章 线性规划
1、线性规划数学模型的标准形式：
n
max z c j x j j 1
特点： a、目标函数：max
st.
n j 1
aij x j
bi (i
1,2,, m)
x
j
0(
j
1,2,, n)
b、约束条件：等式
c、决策变量≥0 d、bi≥0
线性规划数学模型的三个要素： 决策变量、目标函数、约束条件
2、某厂生产A,B,C三种产品，其所需劳动力、材料 等数据见下表。
A B C 可用量(单位)
劳动力
635
65
材料
345
40
产品利润（元/件） 1 2 4
（1）确定获利最大的产品生产计划；
（2）求其对偶问题的最优解；
（3）产品A的利润变为3时，上述最优计划变不变； 如变化，请写出新的最优生产计划。
（4）若设计一种新产品D，单件劳动力消耗为8单位， 材料消耗为2单位，每件可获利3元，问该种产品 是否值得生产？(此时假设A的利润仍为1元）
判断：
× 5、线性规划可行域无界，则具有无界解。 × 6、线性规划问题的可行域一定是凸集。 √ 7、用单纯形法求解一般线性规划时，当目标函
数求最小值时，若所有的检验数Cj-Zj≥0， 则问题达到最优。 × 8、在非标准线性规划问题中，如果在约束条件 中出现等式约束，为了产生初始可行基需要 增加松弛变量。 × 9、当满足最优解，且检验数为零的变量的个数 大于基变量的个数时，可求得无界解。
2、对偶问题的性质：
➢ 弱对偶性及其推论 ➢ 最优性 ➢ 强对偶性 ➢ 互补松弛性 ➢ 变量的对应关系
3、灵敏度分析
（1）系数cj变化 （2）bi变化 （3）增加一变量xj （4）增加一个约束条件 （5）aij发生变化
判断：
√ 1、对偶问题的对偶问题一定是原问题。
2、根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，
形法。
判断：
√ 5、运输问题给出初始基可行解，从每一空格出 发可以找出而且仅能找出唯一的闭回路。
√ 6、如果运输问题单位运价表的某一行（某一列） 元素分别加上一个常数k，最优运输方案不会 发生变化。
× 7、如果运输问题单位运价表的某一行（某一列） 元素分别乘上一个常数k，最优运输方案不会 发生变化。
2、线性规划问题解的四种情况:
➢ 唯一最优解 ➢ 无穷多最优解 ➢ 无界解 ➢ 无解(无可行解)
3、单纯形法计算步骤
列出初始单纯形表 寻找初始基可行解
计算σ，进行最优性检验
所有σ≤0
是 存在人工 否 变量≠0
否
是否有换出变量
否
无 界
解
是
无 解
寻找换入，换出变量 求新基可行解
唯一最 优解
否
存在非 基变量 检验数
注意：运输问题解的退化。
2、产销不平衡运输问题的处理
产销不平衡问题
产销平衡问题
（1）总产量 > 总销量
m
n
ai bj
i1 m
j1 n
假想一销地Bn+1，令销量为 ai b，j 运价c = 0
i1
j1
（2）总产量 < 总销量
m
n
ai bj
i1
j1
n
m
假一想般一运产价地c =A0m+1，令产量为
第四章 线性规划的进一步讨论
1、目标规划
（1）偏差变量 d+,d-
d+ ≥0，d- ≥0，d+ • d- = 0
（2）目标函数
决策值=目标值
min{ f (d+ + d- ) }
决策值<目标值
min{ f (d+) }
决策值>目标值
min{ f (d- ) }
2、运输问题
表上作业法求解运输问题步骤： （1）确定初始运输方案：最小元素法、沃格尔法 判断是否为基可行解：基变量个数为m+n-1个 （2）对初始运输方案进行检验，确定是否为最优运 输方案：对偶变量法 （3）如果不是最优运输方案，进行调整得到新的运 输方案：闭回路法 （4）重复2、3步直到找到最优运输方案
4
B1
3 6
8 4 C2 5
D1 3 5
6
E1 4
A
5
8 7
B2
7
3 C3 4
84
D2 1
2
3
D3
3 E2
F
C4
第七章 网络优化模型
➢ 图的基本概念 ➢ 树的性质 ➢ 最小生成树 ➢ 最大流问题
√Baidu Nhomakorabea
其对偶问题无可行解，反之，但对偶问题无
×
可行解时，其原问题具有无界解。
3、若线性规划问题有无穷多最优解，则其对偶 问题也一定具有无穷多最优解。
√ 4、在完全市场经济条件下，当某种资源的市场 价格低于影子价格时，企业应买进资源，否
√
则应卖出。
练习题：
1、写出下列线性规划问题的标准形式及对偶问题。
（1） max z x1 2x2 3x3 4x4
x1 x2 x3 3x4 5 6 x1 7 x2 3x3 5x4 8 12x1 9x2 9x3 9x4 20 x1、x2 0，x3 0，x4无约束
（2）
min z 2x1 2x2 3x3
x1 x2 x3 4 2x1 x2 x3 6
x1
0，x2
0，x3无约束
第三章 对偶理论
1、线性规划问题的对偶问题：
线性规划原问题与对偶问题的关系见： 对称形式：
max z=C X s.t. AX ≤ b
X ≥0
min w=b’Y s.t. A’Y ≥ C’
Y ≥0
方程对变量，变量对方程； 正常对正常，不正常对不正常； 变量正常是非负，方程正常看目标 (max ≤ ，min ≥)。