《5.2.1三角函数的概念(第二课时)》

目标检测
3 对于①sin θ＞0，②sin θ＜0，③cos θ＞0，④cos θ＜0，⑤tan θ＞0与 ⑥tan θ＜0，选择恰当的关系式序号填空：
（1）角θ为第二象限角的充要条件是__①__④__或__①__⑥__或__④__⑥___； （2）角θ为第三象限角的充要条件是__②__④__或__②__⑤__或__④__⑤___．
作业：教科书习题5.2第1，3，4，5，7，8，9，10题．
目标检测
1 求下列三角函数的值：
（1）cos( 23π ) ； （2）tan 25π ．
6
6
答案： 3； 3 . 23
目标检测
2 角α的终边与单位圆的交点是Q，点Q的纵坐标是，说出几个满足条 件的角α．
答案： π；5π；13π 等； 66 6
5. 2. 1 三角函数的概念
第二课时
创设情境
思考 前面学习了三角函数的定义，根据已有的学习函数的经验， 你认为接下来应研究三角函数的哪些问题？
因为单位圆上点的坐标或坐标比值就是三角函数，而单位圆具有对称 性，这种对称性反映到三角函数的取值规律上，就会呈现出比幂函数、 指数函数和对数函数等更丰富的性质．例如，我们可以从定义出发， 结合单位圆的性质直接得到一些三角函数的性质．
新知探究
追问：（1）观察诱导公式一，对三角函数的取值规律你有什么进一步 的发现？它反映了圆的什么特性？ （2）你认为诱导公式一有什么作用？ （1）诱导公式一体现了三角函数周期性取值的规律，这是“单位圆上 的点绕圆周旋转整数周仍然回到原来位置”的特征的反映．
（2）利用公式一可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π角的 三角函数值．同时，由公式一可以发现，只要讨论清楚三角函数在区 间[0，2π]上的性质，那么三角函数在整个定义域上的性质就清楚了．
用集合语言表示的结果是： 当α∈{β|2kπ＜β＜2kπ＋π，k∈Z}时，sin α＞0； 当α∈{β|2kπ＋π＜β＜2kπ＋2π，k∈Z}时，sin α＜0； 当α∈{β|β＝kπ，k∈Z}时，sin α＝0．
其他两个函数也有类似结果．
新知探究
例1
求证：角θ为第三象限角的充要条件是
sin tan
再见
新知探究
问题1 由三角函数的定义以及任意角α的终边与单位圆交 点所在的象限，你能发现正弦函数、余弦函数和正切函数 的值的符号有什么规律吗？如何用集合语言表示这种规律？
y
++ - -x
sin α
y
-+ - +x
cos α
y
-+ + -x
tan α
新知探究
问题1 由三角函数的定义以及任意角α的终边与单位圆交 点所在的象限，你能发现正弦函数、余弦函数和正切函数 的值的符号有什么规律吗？如何用集合语言表示这种规律？
（1）cos 250°；
（2）sin
π 4
；
（3）tan（－672°）； （4）tan 3π．
解：（3）因为tan（－672°）＝tan（48°－2×360°）＝tan 48°， 而48°是第一象限角，所以tan（－672°）＞0；
（4）因为tan 3π＝tan（π＋2π）＝tan π，而π的终边在x轴上， 所以tan π＝0．
4
4
42
新知探究
例3 求下列三角函数值：
（1）sin 1 480°10′（精确到0.001）； （2）cos 9π ； 4
（3）tan
11π 6
．
解：（3）tan(11π ) tan( π 2π) tan π 3 .
6
6
63
课堂练习
教科书第182页练习第1，2，3，4，5题．
作业布置
θ θ
0. 0.
① ②
证明：先证充分性． 因为角θ为第三象限角，所以θ角的终边可能位于第三或第四象限， 也可能与y轴的负半轴重合； 又因为②式tan θ＞0成立， 因为①②式都成立， 所以θ角的终边可能位于第一或第三象限． 于是角θ为第三象限角． 所以θ角的终边只能位于第三象限．
新知探究
例1
求证：角θ为第三象限角的充要条件是
sin tan
θ θ
0. 0.
① ②
再证必要性． 因为①式sin θ＜0成立， 由定义①②式都成立．
新知探究
问题2 联系三角函数的定义、象限角以及终边相同的角的 表示，你有发现什么？
sin（α＋k·2π）＝sin α， cos（α＋k·2π）＝cos α， tan（α＋k·2π）＝tan α， 其中k∈Z．
新知探究
例3 求下列三角函数值：
（1）sin 1 480°10′（精确到0.001）； （2）cos 9π ； 4
（3）tan
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11π 6
．
解：（1）sin1480°10′＝sin（40°10′＋4×360°） ＝sin 40°10′≈0.645；
（2）cos 9π cos( π 2π) cos π 2；
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例2 确定下列三角函数值的符号，然后用计算器验证：
（1）cos 250°；
（2）sin
π 4
；
（3）tan（－672°）； （4）tan 3π．
解：（1）因为250°是第三象限角，所以cos250°＜0；
（2）因为
π 4
是第四象限角，所以sin
π 4
；
新知探究
例2 确定下列三角函数值的符号，然后用计算器验证：