数列的概念与简单表示法知识点

数列

一、数列的概念与简单表示法

1、 数列的概念

⑴ 数列的定义：

按照一定顺序排列的一列数称为数列。数列中的每个数称为该数列的项。 数列中每一项都和它的序号有关。数列的一般形式为 ,,,,21n a a a ，或者简记为}{n a ，其中n a 表示数列}{n a 的通项。 注：

① 研究对象:“数”(与集合相区别)。 ② 首项（第1项）：数列中的排在第1位的数。 第2项 ：数列中的排在第2位的数。 …… 通项（第n 项）：数列中的排在第n 位的数。 ③ 注意n a 与}{n a 含义的区别： n a ：表示数列}{n a 中的第n 项。

}{n a ：表示数列 ,,,,21n a a a ，简单记法。

④ 数列的项性质：

有序性 ：一个数列不仅与构成数列的数有关，而且与排列顺序有关。 可重复性 ：数列中数可以重复出现。 补充知识：

集合中元素的性质：确定性、互异性、无序性。

例：a 1、2、3、4、5、6和6、5、4、3、2、1构成同一个结合，不同的数列

b 1、2、2、3、5、5可以表示数列，但不能构成集合。 ⑵ 从函数的角度研究数列：

对于任意一个数列}{n a ，其每一项与序号都有对应的关系，见下表：

数列可以看作一个定义域为正整数集N (或它的有限子集｛1,2,3，…,n ｝)的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。 注：1、数列可以看作特殊的函数（离散型），其图像是一系列孤立的点。

2、函数不一定是数列。

⑴ 列表法：列出表格表示出数列的项和序号的关系

在平面直角坐标中，数列的图像是一系列横坐标为正整数的孤立的点（n ,n a ）。 ⑶ 通项公式法：用数学式子表示数列。最常用的数列表示方法。

3、 数列的通项公式：

⑴ 数列的第n 项叫做数列的通项。

⑵ 如果数列}{n a 的第n 项n a 与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示， 那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

注：① 并不是所有的数列都可以用通项公式表示

例：π小数点后每一位所构成的数列1,4,1,5,9，2,6… π精确到1,0.1,0.01,0.001，…的近似值组成的数列3,3.1，3.14,3.142，… ② 只给出一个数列的若干项，而未指明数列构成规律时，该数列的通项公

式不能唯一确定。 例：数列1,4,7,10，… 通项公式可以是2n 3-=n

a ,也可以()()()()43212n 3----+-=n n n n a n

③ 数列通项公式的表示方法不唯一。 例：数列-1，1,-1,1,-1，… 通项公式可以是)(cos πn a n =,也可以是n

1-）（=n a 。

4、 数列的递推公式：

⑴ 递推公式：

如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即或，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式。

⑵ 通项公式与递推公式异同点：

相同点：都可以确定一个数列，都可以求出数列的任意一项。 不同点：通项公式可以通过代入项数n 直接求出项n a 。简单直接

递推公式需要通过一次或者多次赋值，求出需要的项n a 。赋值繁琐 所以我们经常会研究根据递推公式求通项公式的问题。（相应专题练习）

n a 1-n a )(1-=n n a f a ),(21--=n n n a a f a

n n

k k

a a a a

+++=∑= 211

叫做数列{}n a 的前n 项和，记作n S

数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系：

n a a a S +++= 21n

⎩⎨

⎧≥-==-)2()1(1

1n n S S n S a n n

注：1、1n

--=n n S S a 不是对一切正整数n 都成立的，而是对于2≥n 的一

切正整数恒成立，因为当1=n 时，1n

--=n n S S a ，0S 无意义。

2、由前n 项和n S 求通项公式时，要分两种情况：1=n 和2≥n ，然后验证两种情形可否用同一式子表示。若当1=n 时，1a 也适合n a 的表达式，则将两种情况统一合写。若不能，则需要采用分段形式来表示。

例： （1）n S *1-1

n n +=）（；

（2）n n S +=2n 2；

（3）322

n

++=n n S ； （4）n S 2n =；

（5）32n

+=n S ；

6、 数列的分类：

7、 数列的性质： 单调性，周期性，有界性

⑴ 单调性：

递增数列：*N n ∈∀，1+n a >n a

递减数列：*

N n ∈∀，1+n a

a

摆动数列：有大有小 常数列：*

N n ∈∀，

1+n a =n

a

求数列的最大（小）项，一般先研究数列的单调性，

可以用⎩⎨⎧≥≥+-11n n n n a a a a ()*,2N n n ∈≥或⎩⎨⎧≤≤+-1

1

n n n n a a a a ()

*,2N n n ∈≥求解，

也可以转换为函数的最值问题或利用数形结合求解。

⑵ 周期性：

*N n ∈∀，k +n a

=n a （k 为正整数），那么称数列{}n a 是以k 为周期的周期函数。

例：①)(sin πn a n =、)cos(πn a n =、n

n a )1(-=

注意：

sinn

=n a ，

n

c os a n =不是周期函数。

②)(为常数c c a n =

③递推公式（创新题型）：1-1-n n n a a a =+，31

21==a a ， ⑶ 有界性：

*N n ∈∀， M a ≤n

,那么称{}n a 为 有界数列，否则称{}n a 为无界数列。

例：1、)(sin π

n a n =、,n

1

=n a n n a -=2等均为有界数列 2、32+=n a n 、2

n a n =、n

n a 2=等均为无界数列