数学建模 概率模型案例
数学建模-第四章-概率统计模型
数
学 建
4.2 报纸零售商最优购报问题
模
报纸零售商售报： a (零a-b；退回一份赔 b-c 题 每天购进多少份可使收入最大？
购进太多卖不完退回赔钱
分 析
购进太少不够销售赚钱少
应根据需求确定购进量
存在一个合 适的购进量
每天需求量是随机的
每天收入是随机的
△+6 △+2
多雨 P（N3）=0.1
△+1.2
数
学 例4.4.1只包括一个决策点，称为单级决策问 建 题。在有些实际问题中将包括两个或两个以 模 上的决策点，称为多级决策问题，可利用同
样的思路进行决策。
例4.1.2 某工程采用正常速度施工，若无坏天气的 影响，可确保在30天内按期完成工程，但据天气预 报，15天后天气肯定变坏，有40%的可能出现阴雨 天气，但这不会影响工程进度，有50%的可能遇到 小风暴，而使工期推迟15天；另有10%的可能遇到 大风暴而使工期推迟20天。对于以上可能出现的情 况，考虑两种方案：
3
1
1
1
55
E(A2 ) 3 30 3 25 3 0 3
1
1
1
E(A3 ) 3 10 3 10 3 10 10
显然 E(A 1)E(A2)都达到最大值，这时究竟选
那一个策略可由决策者的偏好决定，若是乐观型的，
可选A1，否则选A2 。
数
学
建
模 从本例可以看出，对不确定型的决策问题，采 用不同的决策准则所得到的结果并非完全一致。 但难说哪个准则好，哪个准则不好。究竟在实 际问题中采用哪个准则，依决策者对各种自然 状态的看法而定。因此，为了改进不确定型决 策，人们总是设法得到各自然状态发生的概率， 然后进行决策。
概率图模型在城市规划中的实际应用案例解析(九)
概率图模型在城市规划中的实际应用案例解析概率图模型是一种用图表示和推断概率模型的数学工具。
它能够处理不确定性和复杂性，并且在许多领域，包括医学、金融、自然语言处理等都有广泛的应用。
在城市规划中，概率图模型同样发挥着重要作用。
本文将通过几个实际案例来解析概率图模型在城市规划中的应用。
案例一：交通流量预测在城市规划中，交通流量预测是一个非常重要的问题。
通过准确的交通流量预测，可以帮助交通管理部门更好地规划道路建设和交通信号灯的调整，从而提高交通效率，减少交通拥堵。
概率图模型可以用来建立交通流量预测模型。
通过收集历史交通数据，将道路网建模成一个概率图，通过对交通流量的条件概率进行建模，可以预测未来某个时刻某段道路的交通流量。
这样的预测模型不仅可以帮助规划者更准确地了解城市交通的状况，也可以提供给导航软件和交通管理系统，从而实现智能交通管理。
案例二：人口迁移模式分析城市规划中，人口迁移模式分析对于合理规划城市人口分布和公共设施建设具有重要意义。
概率图模型可以用来分析人口迁移的模式。
通过收集历史的人口普查数据和其他社会经济数据，可以建立一个人口迁移的概率图模型。
通过这个模型，可以分析不同人群之间的迁移模式，找出人口迁移的规律和趋势，从而为城市规划者提供科学的依据。
比如，可以发现哪些地区存在人口过度集中或者过度流失的问题，从而进行相应的规划调整和政策制定。
案例三：城市风险评估在城市规划中，评估城市的风险是非常重要的。
城市可能面临的风险包括自然灾害、环境污染、交通拥堵等。
概率图模型可以用来对城市风险进行评估。
通过收集城市各类风险事件的历史数据，可以建立一个城市风险评估的概率图模型。
通过这个模型，可以定量地评估不同风险事件发生的概率，从而帮助规划者合理安排城市的资源，采取相应的预防措施，减少风险事件对城市造成的损失。
总结概率图模型在城市规划中有着广泛的应用。
它可以用来进行交通流量预测、人口迁移模式分析，城市风险评估等工作。
数学建模-概率模型
如对均值为mu、标准差为sigma的正态分布，举例如下：
1．密度函数：p=normpdf(x,mu,sigma) (当mu=0,sigma=1时可缺省)
例 1 画出正态分布 N (0,1) 和 N (0,22 ) 的概率密度函数图形.
在MATLAB中输入以下命令： x=-6:0.01:6; y=normpdf(x); z=normpdf(x,0,2); plot(x,y,x,z)
9.1 传送系统的效率
背
传送带
景 挂钩
产品
工作台
工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若 工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。
在生产进入稳态后，给出衡量传送带效 率的指标，研究提高传送带效率的途径
模型分析
• 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应 假定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产 品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将 产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下 这件产品并立即投入下件产品的生产。 • 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产 完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的， 并且在一个周期内任一时刻的可能性相同。
例：现有100个零件，其中95个长度合格，94个直径和格， 92个两个尺寸都合格。任取一个，发现长度合格，问直径 合格的概率。
设A=‘长度合格’，B=‘直径合
格’
P( A) 95 , P( AB) 92
100
100
P(B | A) P( AB) 92 P( A) 95
全概率公式和贝叶斯公式
u0 u0
L(
x)
c 2
x
0
(
x
r
)
p(r
)dr
数学建模概率模型
2
记为X ~ N（， 2 )
背景:如果决定试验结果X的是大量随机因素的总和，假设
各个因素之间近似独立，并且每个因素的单独作用相对均匀 地小，那么X的分布近似正态分布。
如：同龄人的身高、体重、考试分数、某地区年降水量等。
3、数学期望的概念和计算 描述了随机变量的概率取值中心—均值
数学期望
Y gX
E( X ) xk pk k 1
E( X ) xf ( x)dx E(Y ) EgX g( xk ) pk k 1
E(Y ) Eg( X )
g( x) f ( x)dx
4、MATLAB中相关的的概率命令
常见的几种分布的命令字符为： 正态分布：norm 指数分布：exp 泊松分布：poiss 二项分布：bino
G(n)
n
0
[(
a
b)r
(b
c)(n
r
)]
p(r
)drຫໍສະໝຸດ n(ab)np(r
)dr
dG (a b)np(n)
n
(b c) p(r)dr
dn
0
(a b)np(n) n (a b) p(r)dr
n
(b c)0 p(r)dr (a b)n p(r)dr
例3 有10台机床,每台发生故障的概率为0.08,而10台机床工作 独立,每台故障只需一个维修工人排除.问至少要配备几个维修 工人,才能保证有故障而不能及时排除的概率不大于5%。
解：随机变量X示发生故障的机床的台数,则 X ~ B(10,0.08)
即P{X n} 0.95
数学建模(6离散概率模型)
的概率为α。
的概率为 95%
如果要求控制y值，适合 解方程组：
怎么办？ 即可
数学建模(6离散概率模型).pptx(3/3)
R2(t)
子系统2推进
可控宇宙火箭推进点火系统
检查每个子系统，子系统1（通讯系统）是并联的，可靠 性为0.998，子系统2（推进系统）是串联的，可靠性为0.8208。 这两个子系统是串联的，所以整个系统的可靠性是两个子系统 可靠性的乘积： Rs(t)=R1(t)*R2(t)=0.998*0.8208=0.8192
pptx13人的健康状况分为健康和疾病两种状态设对特定年龄段的人今年健康明年保持健康状态的概率为08而今年患病明年转为健康状态的概率为07健康与疾病人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计订保险金和理赔金的数额若某人投保时健康问10年后他仍处于健康状态的概率n1只取决于x
奥兰多 0.6 坦帕 0.3
0.4
0.6
奥兰多P
坦帕q
0.3 汽车租赁例中奥兰多和坦帕的马尔可夫链
4.模型求解
n 0 1 2 奥兰多 1 0.6 0.48 0.444 0.4332 0.42996 0.428988 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 0.428696 坦帕 0 0.4 0.52 0.556 0.5668 0.57004 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012 0.571012
对每个状态从当前状态向下一个状态的转移概率之和为1。
例1：汽车租赁
数学建模-概率模型
确定性现象的特征
条件完全决定结果
随机现象
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象.
实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2 明天的天气可
特征: 条件不能完全决定结果
能是晴 , 也可能是多云
或雨.
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联 系 , 其数量关系无法用函数加以描述. 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象这 种本质规律的一门数学学科. 如何来研究随机现象?
P( A)
m n
A
所包含样本点的个数 样本点总数
.
古典概型的基本模型:摸球模型
(1) 无放回地摸球
(2) 有放回地摸球
例1 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的.
解 假设接待站的接待时间没有
规定,且各来访者在一周的任一天
0.0000003 .
小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从 而可知接待时间是有规定的.
例2 假设每人的生日在一年 365 天中的任一天 是等可能的 , 即都等于 1/365 ,求 64 个人中至少 有2人生日相同的概率.
解 64 个人生日各不相同的概率为
p1
365
364
(365 36564
2. 假设遗传基因是由两个基因A和B控制的，则有 三种可能基因型：AA、AB和BB。
例如：金鱼草是由两个基因决定它开花的颜色，AA 型开红花，AB型开粉花，而BB型开白花。这里AA型 和AB型表示了同一外部特征，此时可以认为基因A 支配了基因B，也可以说基因B对基因A是隐性的。
数学建模概率课件
1传送系统的效率
背
传送带
景 挂钩
产品
工作台
工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工 作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。
在生产进入稳态后，给出衡量传送带效 率的指标，研究提高传送带效率的途径
问题分析
• 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假 定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产品 后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产 品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这 件产品并立即投入下件产品的生产。
• 可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品 总数的比例，作为衡量传送带效率的数量指标。
• 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产 完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的， 并且在一个周期内任一时刻的可能性相同。
模型建立
• 定义传送带效率为一周期内运走的产品数（记作s, 待定）与生产总数 n（已知）之比，记作 D=s /n
准 调查需求量的随机规律——每天 备 需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2…
建 • 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n) 模 • 已知售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c
r n 售出r 赚(a b)r
退回n r 赔(b c)(n r)
r n 售出n 赚(a b)n
D
m [1 (1 n
n m
n(n 1) 2m2 )]
1
n 1 2m
定义E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比） 当n远大于1时, E n/2m ~ E与n成正比，与m成反比
若n=10, m=40, D87.5% (89.4%)
数学建模中的概率统计方法选讲
数学建模中的概率统计方法选讲案例一：常用分布及中心极限定理与“DVD 在线租赁”问题（2005B ）“DVD 在线租赁”为2005年全国大学生建模竞赛的B 题，原题参见附件中的文件“2005B ”。
现考虑问题（1）：网站正准备购买一些新的DVD ，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD 的人数（表1给出了其中5种DVD 的数据）。
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD 两次，而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD 来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD ？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD 呢？问题（1）的分析与求解：可以通过“点估计”的方法，得到抽样的1000名会员租赁上述5种DVD 的概率为● 通过1000个样本来推断10万个会员的“总体”： 假设随机变量，否则种个会员租第第⎩⎨⎧=,0,1DVDj i ij ξ 其中10000,...,2,1=i . 显然，ij ξ服从两点分布，即j ij p P ==)1(ξ,而上表就给出了这些概率的估计值。
进一步，设∑==Ni ij j 1ξη，10000=N ，即表示10000人中愿意租赁第j 张DVD 的人数，显然，随机变量),10000(~j j p B η。
● 由De Moivre —Laplace 中心极限定理，如果准备了)5.0(j E η张DVD ，则满足至少jη5.0人看到该DVD 的概率（可靠性）为5.0)0(}0)5.0()5.0(5.0{)}5.0(5.0{=Φ≈≤-=≤j j j j j D E P E P ηηηηη显然，为了增加右边的可靠性，比如，增加到0.99，则由等式99.0)33.2(})5.0()5.0()5.0()5.0(5.0{}5.0{=Φ≈-≤-=≤j j j j j j D E X D E P X P ηηηηηη,可知)1(100002133.25000)5.0(33.2)5.0(j j j j j p p p D E X -⨯⨯+=+=ηη如何考虑“60％的会员每个月会租赁DVD 两次，40％的会员每个月会租赁DVD 一次”的问题？方法一：10万人的60%为6万人，每个月租赁两次，即12万次；40%为4万人，每月租赁一次，即4万次，合计每月有16万人次的租赁，对于第j 张DVD ，能否类似地假设为∑==Mi ij j 1ξη，16000=M ，而且随机变量),16000(~j j p B η，然后再求？答案是否定的，因为),16000(~j j p B η不再成立。
数学建模概率模型例题
随机性模型 马氏链模型
9.1 传送系统的效率
背 景
传送带 挂钩 产品 工作台
工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若 工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。 在生产进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研 究提高传送带效率的途径
问题分析
• 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应 假定工人们的生产周期相同，即每人作完一件产 品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将 产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下 这件产品并立即投入下件产品的生产。 • 可以用一个周期内传送带运走的产品数占产 品总数的比例，作为衡量传送带效率的数量指标。 • 工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生 产完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机 的，并且在一个周期内任一时刻的可能性相同。
n 1 m n n( n 1) D [1 (1 )] 1 2 2m n m 2m 定义E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比）
当n远大于1时, E n/2m 若n=10, m=40, D87.5%
E与n成正比，与m成反比
提高效率的途径： • 增加m
9.2 报童的诀窍
x s u 0, x u S
确定(s, S), 使目标函数——每周总费用的平均值最小 s ~ 订货点， S ~ 订货值 订货费c0, 购进价c1, 贮存费c2, 缺货费c3, 销售量 r 平均 费用
c0 c1u L( x u ), J (u ) L( x )
求解
J ( z)
( z )
( z )
dJ 0 dz
( z) ( z)( z) 0
( z) ( z)
( z ) z ( y )dy
数学建模 第二章 概率统计模型
参数检验
• 回归系数的检验，即检验每个解释变量对响应变量的影响是否有 统计学上的意义。若有m个回归系数 ，假设检验为：
• 常用的回1归,L系,数m检验方法有Wald统计量：
H0 : b j = 0 H1 : b j ? 0 (j 1,2,L ,m)
• 式中分子为解释变量的参数估计值，分母为参数估计值Wald的标
第二章 概率统计模型
一个例子
• 二战时期，，为了提高飞机的防护能力，英国的科学家、 设计师和工程师决定给飞机增加护甲.
• 为了不过多加重飞机的负载，护甲必须加在最必要的地 方，那么是什么地方呢?
• 统计学家将每架中弹但仍返航的飞机的中弹部位描绘在 图纸上，然后将这些图重叠，形成了一个密度不均的弹 孔分布图.
成一类。
• K均值聚类
K均值聚类首先人为确定分类数，起步于一个初始的分类，然后 通过不断的迭代把数据在不同类别之间移动，直到最后达到预 定的分类数为止。
• 第一步 将所有的样品分成K个初始类； • 第二步 逐一计算每一样品到各个类别中心点的距离，把
各个样品按照距离最近的原则归入各个类别，并计算新 形成类别的中心点。 • 第三步 按照新的中心位置，重新计算每一样品距离新的 类别中心点的距离，并重新进行归类，更新类别中心点。 • 第四步 重复第三步，直到达到一定的收敛标准，或者达 到分析者事先指定的迭代次数为止。
• 模型求解： • 1. 抽取[0,1]之间均匀分布的随机数，确定这次模拟路口停红灯
的车数，例如，抽到0.732，则这个数落在区间（0.671，0.857） 的范围里，所以这次模拟停车数为3； • 2. 计算红灯转为绿灯后，在绿灯延续期间d（如题设5分钟）内， 这部车以速度u通过道口共需时间t=（50/50）*3（分钟），如果 t>d,那么道口发生堵塞，在本次模拟中t=3分钟，没有发生堵塞； • 3. 抽取随机数很多次，如10000次，记下其中多少次发生堵塞， 从而估算出道口发生堵塞的概率。
概率图模型在智能交通管理中的实际应用案例分享(十)
概率图模型在智能交通管理中的实际应用案例分享智能交通管理一直是城市规划和发展的重要组成部分。
如何利用先进的技术手段来提高交通管理的效率和安全性，一直是交通行业所关注的焦点。
近年来，概率图模型作为一种有效的数学工具，被广泛应用于智能交通管理系统中，取得了显著的成效。
本文将通过实际案例的分享，探讨概率图模型在智能交通管理中的实际应用。
1. 交通流预测概率图模型在交通流预测方面发挥了重要作用。
以某城市的交通拥堵预测系统为例，该系统利用概率图模型分析历史交通数据，包括车流量、车速、车辆位置等信息，构建了一个全面的交通流模型。
通过概率图模型的学习和推理能力，系统可以对未来交通拥堵情况进行精确预测，为交通管理部门提供重要决策支持。
通过实时监测和分析，系统可以根据概率图模型的预测结果，及时调整交通信号灯配时，优化路线规划，从而减少交通拥堵，提高通行效率。
2. 交通事故分析概率图模型还可以在交通事故分析中发挥重要作用。
某城市交通管理部门利用概率图模型构建了交通事故模型，将事故发生的概率与各种因素进行了关联分析。
通过对历史事故数据的深入挖掘，系统利用概率图模型揭示了交通事故发生的潜在规律和影响因素。
进一步地，系统可以根据概率图模型的预测结果，提出针对性的交通安全措施，包括加强交通警示标识、增设交通监控摄像头等，从而有效降低交通事故的发生率。
3. 路线推荐概率图模型在智能交通管理系统中也被广泛应用于路线推荐。
以某智能导航App为例，该App利用概率图模型分析了大量的用户出行数据和道路交通状况数据，构建了一个全面的路线推荐模型。
通过对用户行为和道路状况进行监测和学习，系统可以根据概率图模型的推理结果，为用户提供最优的出行路线推荐，包括避开拥堵路段、选择最短路线等，极大地提高了用户出行的便利性和效率。
4. 其他应用领域除了上述几个方面，概率图模型还在智能交通管理系统的其他领域得到了广泛应用。
比如，利用概率图模型进行交通信号灯配时优化、车辆智能控制系统、交通网络建模等方面，都取得了显著的成效。
数学建模概率模型案例
数学建模概率模型案例概率模型是数学建模的重要工具之一，广泛应用于各个领域。
以下是一个基于概率模型的数学建模案例。
问题描述：医院的急诊科接诊员需要根据患者的症状来判断是否需要进行心电图检查。
根据以往的医疗记录，我们知道有一种患者患有心脏病的概率是0.1，有心脏病的患者在进行心电图检查时有90%的准确率，没有心脏病的患者在进行心电图检查时有95%的准确率。
急诊科接诊员在给患者进行评估时会根据患者的症状判断是否需要进行心电图检查，但出于经济和时间的考虑，每天只能对20%的患者进行心电图检查。
问题分析：在这个问题中，我们需要建立一个概率模型来评估患者是否需要进行心电图检查。
我们需要考虑两个因素：患者是否有心脏病以及是否进行了心电图检查。
建立概率模型：1.定义事件：-A：患者有心脏病-B：患者进行了心电图检查-C：急诊科接诊员推荐患者进行心电图检查2.计算概率：-P(A)=0.1，患者有心脏病的概率-P(A')=0.9，患者没有心脏病的概率-P(B，A)=0.9，有心脏病的患者进行心电图检查的准确率-P(B，A')=0.95，没有心脏病的患者进行心电图检查的准确率3.根据贝叶斯定理计算后验概率：-P(A，B)=P(B，A)*P(A)/P(B)-P(A'，B)=P(B，A')*P(A')/P(B)4.根据给定条件计算先验概率：-P(B)=P(B，A)*P(A)+P(B，A')*P(A')5.根据条件概率计算P(C，B)：-P(C，B)=P(C,B)/P(B)进一步分析：根据模型，我们可以进行一些进一步的分析。
1.如果患者没有进行心电图检查，根据模型我们可以计算出他是否有心脏病的概率。
2.如果患者进行了心电图检查，根据模型我们可以计算出他有心脏病的概率。
3.根据模型的输出，急诊科接诊员可以根据患者的症状和推荐指标来判断是否进行心电图检查。
总结：这个案例展示了如何建立一个基于概率模型的数学建模问题。
数学建模案例分析4足球门的危险区域--概率统计方法建模
§4 足球门的危险区域一、问题提出在足球比赛中，球员在对方球门前不同的位置起脚射门对对方球门的威胁是不一样的。
在球门的正前方的威胁要大于在球门两侧射门；近距离的射门对球门的威胁要大于远射。
已知标准球场长为104米，宽为69米；球门高为2.44米，宽为7.32米。
实际上，球员之间的基本素质可能有一定差异，但对于职业球员来讲一般可以认为这种差别不大。
另外，根据统计资料显示，射门时球的速度一般在10米/秒左右。
下面要建模研究下列问题：（1）针对球员在不同位置射门对球门的威胁度进行分析，得出危险区域；（2）在有一名守门员防守的情况下，对球员射门的威胁度和危险区域作进一步研究。
二、问题分析根据这个问题，要确定球门的危险区域，也就是要确定球员射门最容易进球的区域。
球员无论从哪个地方射门，都有进与不进两种可能，这本身就是一个随机事件，无非是哪些地方进球的可能性最大，即是最危险的区域。
影响球员射门命中率的因素很多，其中最重要的两点是球员的基本素质（技术水平）和射门时的位置。
对每一个球员来说，基本素质在短时间内是不可能改变的，因此，我们主要是在确定条件下，对射门位置进行分析研究。
也就是说，我们主要是针对同素质的球员在球场上任意一点射门时，研究其对球门的威胁程度。
某一球员在球门前某处向球门内某目标点射门时，该球员的素质和球员到目标点的距离决定了球到达目标点的概率，即命中球门的概率。
事实上，当上述两个因素确定时，球飞向球门所在平面上的落点将呈现一个固定的概率分布。
稍作分析容易断定，该分布应该是二维正态分布，这是我们解决问题的关键所在。
球员从球场上某点射门时，首先必定在球门平面上确定一个目标点，射门后球依据该概率分布落入球门所在平面。
将球门视为所在平面上的一个区域，在区域内对该分布进行积分，即可得到这次射门命中的概率。
然而，球员在选择射门的目标点时是任意的，而命中球门的概率对目标点的选择有很强的依赖性。
这样，我们遍历球门区域内的所有点，对命中概率作积分，将其定义为球场上某点对球门的威胁程度，根据威胁度的大小来确定球门的危险区域。
数学建模案例分析
4 n 数值方法可得 f ( x ) 的最小值点 x 16.92 。由此可得 C 6 5(0.997) n 的最小值点为 17， C 的最小值为 1.48(分／二极管)。
*
5、结果分析
对于检验次品二极管的质量控制步骤可以使用分组检验的方法做得非常 经济．逐个检验的花费是5分/个。次品的二极管出现得很少，每一千中只有 三个。使用每一组17个二极管串联起来分组化验，在不影响质量的前提下可 以将检验的费用降低到三分之一(1.5分/二极管)。质量控制步骤的实行将依 赖于若干模型范围之外的因素。也许由于我们操作的特殊性对于10个或20个 一批的二极管或者n是4或5的倍数时检验起来更容易。好在对于我们的问题来 说，在n=10和n=35之间时检验的平均花费A没有明显的变化。在操作过程中的 次品率q＝o.003同样也是必须考虑的。例如，这个数值可能会随着工厂内的 环境条件而发生变化。
x p
i i
i
。这一组概率值{ p i }表明了随机变量 X 的分布。
•对于我们的问题，任何的n>1，随机变量C 取两个可能数值中的一个：如果所有 的二极管都是好的，则 C＝4+n 否则 C＝(4+n)+5n
因为我们必须重新检验每一个二极管。用 p表示所有的二极管都是 正品的概率，剩下的可能性(有一个或更多的次品二极管 )一定有概 率1-p。则C的平均或期望值是
3、建模
考虑随机一个变量X，它可以取一个离散数值集合中的任何一个数值
X {x1 , x2 ,}
同时假设 X xi 的概率是 p i ,我们记为 P{X= x i }＝p i ，显然这时有∑p i ＝1。因为 X 以 概率 p i 取数值 x i ，所以 X 的平均或期望值一定是所有可能的 x i 的加权平均，权值就是相应 的概率值 pi ．可以写为 E ( X )
概率统计模型(数学建模)
思考： 如何改进模型使“效率”降低？
考虑通过增加钩子数来使效率降低的方法：
在原来放置一只钩子处放置的两只钩子成为一个钩对。一
周期内通过 m 个钩对，任一钩对被任意工人触到的概率
p 1/ m ，不被触到的概率 q 1 p，于是任一钩对为空的概率
工人生产周期相同，但由于各种因素的影响，经过相 当长的时间后，他们生产完一件产品的时刻会不一致， 认为是随机的，并在一个生产周期内任一时刻的可能 性一样。
由上分析，传送系统长期运转的效率等价于一周期的效 率，而一周期的效率可以用它在一周期内能带走的产品 数与一周期内生产的全部产品数之比来描述。
2 模型假设
则
r
Gn
n
0
a
b
r
b
c
n
r
pr
dr
n
a
b
npr
dr
计算
dG dn
a
bnpn
n
0
b
cprdr
a
bnpn
n
a
b
pr
dr
b
c n 0
pr dr
a
b n
pr dr
令 dG 0 ，得到 dn
n
0
n
pr dr pr dr
a b
b c
使报童日平均收入达到最大的购进量 n 应满足上式。
因为
0
pr dr
统计模型
如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们认识程度的限 制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规 律的模型，那么通常要搜集大量的数据，基于对数据的统 计分析建立模型，这就是本章还要讨论的用途非常广泛的 一类随机模型—统计回归模型。
数学建模案例
➢ 报童卖报问题 ➢ 博弈问题➢ 航空公司超订机票问题 ➢ 彩票中的概率问题➢ 报童卖报问题 报童每天清晨从邮局购进报纸零售，晚上卖不出去的退回，设报纸每份的购进价为b ，零售价为a ，退回价为c ，当然应有c b a >>。
请你给报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。
解 报童购进数量应根据需求量确定，但需求量是随机的，所以报童每天如果购进的报纸太少，不够买的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完就要赔钱，这样由于每天报纸的需求量是随机的，致使报童每天的收入也是随机的，因此衡量报童的收入，不能是报童每天的收入，而应该是他长期（几个月、一年）卖报的日平均收入。
从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入。
假设报童已经通过自己的经验或其它渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r 份的概率是)(r f ，（r ＝0,1,2,…）。
设报童每天购进n 份报纸，因为需求量r 是随机的，r 可以小于n 、等于n 或大于n ；由于报童每卖出一份报纸赚b a -，退回一份报纸赔b －c ，所以当这天的需求量r ≤n ，则他售出r 份，退回n －r 份，即赚了(b a -)r ，赔了(b －c)(n －r)；而当n r >时，则n 份全部售出，即赚了(b －c)n 。
记报童每天购进n 份报纸时平均收入为)(n G ，考虑到需求量为r 的概率是)(r f ，所以∑∑=∞+=-+----=nr n r r nf b a r f r n c b r b a n G 01)()()()])(()[()( ， (4.2-1)问题归结为在c b a r f 、、、)(已知时，求n 使)(n G 最大。
通常需求量r 的取值和购进量n 都相当大，将r 视为连续变量，这时)(r f 转化为概率密度函数)(r P ，这样(4.2-1)式变为：⎰⎰+∞-+----=n ndrr nP b a dr r P r n c b r b a n G 0)()()()])(()[()(， (4.2-2)计算⎰-----=n r nP b a dr r P c b n nP b a dn dG)()()()()()(⎰+∞-+ndrr P b a )()(⎰⎰+∞-+--=nndrr P b a dr r P c b 0)()()()(，令 0=dn dG得c b ba dr r P dr r P nn--=⎰⎰∞+)()(0， (4.2-3)使报童日平均收入达到最大的购进量n 应满足(4.2-3)因为⎰+∞=01)(dr r P 所以(4.2-3)式可变为cb b a dr r P dr r P nn --=-⎰⎰00)(1)(即有⎰--=nc a ba dr r P 0)( (4.2-4)根据需求量的概率密度P(r)的图形（如图4.3）很容易从(4.2-4)式确定购进量n 。
概率模型案例
模型假设 1)n个工作台均匀排列,n个工人生产相互独立,生产周 ) 个工作台均匀排列, 个工人生产相互独立 个工作台均匀排列 个工人生产相互独立, 期是常数; 期是常数; 2)生产进入稳态,每人生产完一件产品的时刻在一个周 )生产进入稳态, 等可能的 期内是等可能 期内是等可能的; 3)一个周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台的上 )一个周期内 个均匀排列的挂钩 个均匀排列的挂钩通过每一工作台的上 到达第一个工作台的挂钩都是空的; 方,到达第一个工作台的挂钩都是空的; 4)每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只挂钩, )每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只挂钩, 能且只能触到一只挂钩 若这只挂钩是空的,则可将产品挂上运走;若该钩非空, 若这只挂钩是空的,则可将产品挂上运走;若该钩非空, 则这件产品被放下,退出运送系统. 则这件产品被放下,退出运送系统.
�
符号说明
模型的建立与求解
模型的建立与求解
模型的建立与求解
模型的建立与求解
模型的建立与求解
模型的建立与求解
模型的建立与求解
模型的建立与求解
模型的建立与求解
变小时, 当t变小时,曲面的峰度应增高,而面积减小,如图 所示 变小时 曲面的峰度应增高,而面积减小,如图7-4所示 由图可以看出该曲面的形式与二维正态分布的密度函数很相似,因此, 由图可以看出该曲面的形式与二维正态分布的密度函数很相似,因此, 采用该函数形式描述这种变化趋势.参数t表示从起脚射出到球到达球 采用该函数形式描述这种变化趋势.参数 表示从起脚射出到球到达球 门的时间,也就是给守门员的反应系数,该时间越长,曲面越平滑, 门的时间,也就是给守门员的反应系数,该时间越长,曲面越平滑,
数学建模简明教程课件：概率模型
31
图 7-4
32
5.决策树的优缺点
•决策树方法的优点：可以生成可以理解的规则；计 算量相对来说不是很大；可以处理连续和种类字段；决策 树可以清晰地显示哪些字段比较重要.
•决策树方法的缺点：对连续性的字段比较难预测； 对有时间顺序的数据，需要很多预处理的工作；当类别太 多时，错误可能就会增加得比较快；一般算法分类的时候 ，只是根据一个字段来分类.
(a b)np(r) d r
0
n
计算
(7.2.2)
d G (a b)np(n)
n
(b c) p(r) d r (a b)np(n)
(a b) p(r) d r
dn
0
n
n
(b c)0 p(r) d r (a b)n p(r) d r
18
令 d G 0 ，得到 dn
n
0
p(r)d r p(r)d r
14
2.问题的分析及假设
众所周知，应该根据需求量确定购进量.需求量是随机 的，假定报童已经通过自己的经验或其它的渠道掌握了需 求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量 为r份的概率是f(r)(r＝0，1，2，…).有了f(r)和a，b，c，就 可以建立关于购进量的优化模型了.
假设每天的购进量为n份，因为需求量r是随机的，故r 可以小于n、等于n或大于n，致使报童每天的收入也是随 机的.所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收 入，而应该是他长期(几个月或一年)卖报的日平均收入.
26
(4)设定变量： A——试销成功，——试销失败 B——大量销售成功，——大量销售失败
27
3.建立模型 先来计算两个概率，注意到P(A|B)＝0.84，P(B)＝0.6 ，P(A|)＝0.36，代入贝叶斯概率公式：
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因为
0
pr dr 1
pr dr
n 0
n
pr dr 1
n
0
a b p ( r )dr ac
因为当购进
售不完的 概率
n 份报纸时，
n
0
p ( r ) dr
n
a b bc p ( r ) dr
P 1
售完的 概率
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
0
pr dr是需求量 r 不超过 n的概率
2.确定目标函数的表达式
寻找设计变量与目标变量之间的关系
3.寻找约束条件
设计变量所受的限制
若每天购进 0 份， 则收入为 0。 若每天购进 1 份，
售出，则收入为 a-b。
退回，则收入为 –(b-c)。 售出1份，则收入为 a-b –(b-c) 。 售出2份，则收入为 2(a-b) 。 退回，则收入为 –2(b-c)。
r 0
n
r n 1
(a b)nf (r )
求 n 使 G(n) 最大
将r视为连续变量 f (r ) p(r ) (概率密度）
G(n) 0 [( a b)r (b c)( n r )] p(r )dr n (a b)np(r )dr
dG (a b)np(n) n (b c) p(r )dr 0 dn (a b)np(n) (a b) p(r )dr
退回n r 赔(b c)(n r )
r n 售出n 赚(a b)n
每天的收入函数记为U(n)，则
(a b)r (b c)(n r ) U (n, r ) (a b)n nr nr
收入函数的期望值为
G(n) [( a b)r (b c)( n r )] f (r )
是需求量 r 超过 n 的概率 P2 pr dr
n
上式意义为：购进的份数
n 应该使卖不完与卖完的概率
之比，恰好等于卖出一份赚的钱 a b 与退回一份赔的钱 b c 之比。
n
0
p ( r ) dr
n
a b bc p ( r ) dr
根据需求量的概率密度 pr 的图形可以确定购进量 n 在图中用 P1 , P2 分别表示曲线 pr 下的两块面积，则
n
n
(b c) p(r )dr (a b) p(r )dr
0 n
n
dG (b c) dn
n
0
n
p(r )dr (a b) p(r )dr
n
dG 0 dn
p ( r ) dr a b p ( r ) dr b c
0 n
使报童日平均收入达到最大的购进量 n 应满足上式。
效率：工人所生产的产品数， 传送系统带走的产品数， 稳态：工人生产一件产品的时间长短相同， 即，生产周期相同， 当生产进入稳态后，工人生产一件产品的 时刻再一个周期那是等可能， 工人的生产是相互独立的。 钩子均匀排列，到达第一个工作台上方的 钩子为空钩。
模型的建立：工人人数n个 钩子个数 m个 带走的产品数s个 定义：当生产进入稳态后，衡量传送系统 效率的指标，在一个生产周期内 D＝带走的产品数/生产的产品数 ＝s/n
则传送系统效率为：d=s/n=mp/n m 1 n = [1 (1 ) ]
n m
m n
当n＝10,m=40
m n n(n 1) n 1 D [1 (1 )] 1 2 n m 2m 2m
D 87.5%
报童的诀窍
问题：报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上
将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，
零售价为a，退回价为c，假设a>b>c。即报童售出
一份报纸赚a- b，退回一份赔b-c。报童每天购进
报纸太多，卖不完会赔钱；购进太少，不够卖会 少挣钱。试为报童筹划一下每天购进报纸的数量， 以获得最大收入。
1.确定设计变量和目标变量
每天的总收入为目标变量 每天购进报纸的份数为设计变量
(i 1,2,, n)
则随机变量 X 的数学期望值为
E( X ) xi pi
(i 1,2,, n)
连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f ( x) 则随机变量 X 的数学期望值为
E ( X ) xf ( x)dx
期望值反映了随机变量取值的“平均”意义！
传送系统的效率
P a b 1 P2 b c
结论
O
P 1
P 2
n r
当报童与报社签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大 时，报童购进的份数就应该越多。
若每天购进 2 份，
收入还与每天的需求量有关，而需求量是随机变量
则收入也是随机变量，通常用均值，即期望表示。
1 设每天购进 n 份，日平均收入为 G(n)
2 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c 3 每天需求量为 r 的概率 f(r), r=0,1,2…
r n 售出r 赚(a b)r
S的确定：与空钩个数有关 从工人角度：每个工人能将自己的产品挂 上钩子的概率与工人位置有关。 从钩子的角度：钩子无次序，处于同等地 位，在一周期内，m个钩子求出非空 的概率p，则s=mp
P的确定 任一只钩子被一名工人触到的概率： 任一只钩子不被一名工人触到的概率： 工人相互独立，任一只钩子不被n名工人 挂产品的概率： 任一只钩子非空的概率为
在机械化生产车间里，你可以看到这样的 情景：排列整齐的工作台旁工人们紧张的 生产同一种产品，工作台上方一条传送带 在运转，带上若干个钩子，工人们将产品 挂在经过他上方的钩子上带走，当生产进 入稳态后，请大家构造一个衡量传送系统 效率的指标，并建立模型描述此指标与工 人数量、钩子数量等参数的关系。
概率模型 （一）传送系统的效率问题 （二）报童的诀窍 （三）航空公司的超额订票问题
随机模型
确定性因素和随机性因素 随机因素可以忽略
随机因素影响可以简单 地以平均值的作用出现 随机因素影响必须考虑 概率模型 统计回归模型 确定性模型
随机性模型 马氏链模型
数学期望 离散型随机变量 X 的概率分布为
P( X xi ) pi