双根法是优化解析几何运算的又一利器
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①式中令 x 2 得， 22 5k 2 (2 2)2 20 (1 5k 2 )(2 x1)(2 x2 ) ，
所以
(2
x1 )(2
x2
)
80k 2 1 5k
16
2
，
①式中令 x 2 得， (2)2 5k 2 (2 2)2 20 (1 5k 2 )(2 x1)(2 x2 ) ，
得 x2
5k 2 x 22
20 0 .即 (1 5k 2 )x2
20k 2 x 20k 2
20
0，
x1
x2
20k 2 1 5k 2
,
x1x2
20k 2 1 5k
20
2
.
PB2 QB2 ， PB2 QB2 2 x1 2 x2 y1 y2 0 .
所以 m2
2 m
3 y1
2 m
3
y2
4m2 10 m2 2
4
6
.
④
③、④代入②易得 2m2 2 6m 4 6 11 0 ，故可解得 m 3 6 1， 2
因此直线 l
的方程为
x
36 2
1 y
3
0或
1 5k 2
1 5k 2
故 (1 k 2 )(5k 2 5) (2k 2 2)(5k 2 ) (k 2 1)(1 5k 2 ) 0 ，
所以 5k 4 5k 4 10k 4 10k 2 k 2 5k 2 5 1 0 ， 故16k 2 4 0 ， k 1 .
双根法是优化解析几何运算的又一利器
蓝云波 （广东省兴宁市第一中学，514500） 解析几何历来都是高考中的重点和难点，由于其方法巧妙，运算复杂，故常令人望而生畏.特别 是涉及繁冗运算的圆锥曲线综合解答题，即使学生在思路顺畅的情况下，都难于得出结果.因此，如 何提高解析几何的运算能力变得至关重要.要解决解析几何中的复杂运算，算理就显得非常重要.如 常见优化解析几何运算的方法有：利用圆锥曲线的定义、巧设直线方程、利用参数方程、运用点差 法、合理利用平面几何知识等等，本文提供另外一种优化解析几何运算的方法——双根法，它在解 决一类圆锥曲线问题中常能达到化繁为简、举重若轻的效果. 我们知道，二次函数有三种形式，分别是一般式、顶点式、双根式.其中双根式可以把一般式
所以
2 y1
2 y2
2m2 2
6m 1
，
m2 2
③
①式中再令 y 2 3 m
得 m2 2
2 m
3 2 2 3m
2 m
3 3 m2 2
2 m
3 y1
2 m
3 y2 ，
优化解法：同传统解法可得 x2 5k 2 x 22 20 0 与
(2 x1)(2 x2 ) k 2 (x1 2)(x2 2) 0 ，因为 x1, x2 是方程 x2 5k 2 x 22 20 0 的两根，所以 x2 5k 2 x 22 20 (1 5k 2 )(x x1)(x x2 ) ①，
故有 m2 2 y2 2 3my 3 m2 2 y y1y y2
①
因为 AP 2 x1, 2 y1 ， BP 2 x2, 2 y2 ，
所以 AP BP 2 x1 2 x2 2 y1 2 y2
例 2（2014 年高考辽宁理科数学第 20 题）圆 x2 y2 4 的切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围
x2 成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 P （如图）.双曲线 C1 ： a2
y2 b2
1过点 P 且离心
率为 3 .
（1）求 C1 的方程；
（2）椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点，直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A, B 两点.若以 线段 AB 为直径的圆过点 P ，求 l 的方程.
42
4
我们通过上面几道高考题的分析，我们发现，双根法在解决解析几何中涉及 MA MB （其 中 为常数， M 为定点， A, B 为直线与圆锥曲线的交点）的问题时具有巨大的威力，能使问题得
到有效的解决.使得繁琐的运算变成简单可行的任务，能极大地提高解题效率！
分析：本题是一道典型的直线与圆锥曲线的综合解答题，通常的做法是联立直线与圆锥曲线的
方程，利用韦达定理消元解决.结合本题，问题的关键是解决 PB2 QB2 这个条件转换为向量的数
量积为零之后的复杂运算，思路虽然清晰，但运算比较复杂.
传统解法：（1）该椭圆的离心率 e 2 5 ，标准方程为 x2 y2 1；
x
3
6 2
1 y
3 0.
点评：本题方法使用了巧设直线方程的技巧，有效地降低了运算，在此基础上运用双根法，更 是达到了优化运算的效果，可以说是双剑合璧！
【变式
2】：（2015 年高考福建理科数学第
18 题）已知椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 过点
0,
2 my1 3 2 my2 3 2 y1 2 y2
m2
2 m
3 y1
2 m
3 y2
2 y1
2 y2 0
②
①式中令 y 2 得 2 m2 2 2 6m 3 m2 2 2 y1 2 y2 ，
点评：此法通过巧设双根式并进行合理赋值，运算极为简洁，真正达到了化繁为简的效果，可 以说几乎没有什么运算了，令人叹为观止！
【变式 1】：（2013 年上海春季高考理科第 28 题） 已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F11,0 、
F2 1,0，短轴的两个端点分别为 B1, B2 .
（1）若△ F1B1B2 为等边三角形，求椭圆 C 的方程；
化简得 (1 k 2 )x1x2 (2k 2 2)(x1 x2 ) 4k 2 4 0 .
所以
(1
k2)
20k 2 20 1 5k 2
(2k 2
2)
20k 1 5k
2 2
4k 2
4
0，
所以 (1 k 2 ) 5k 2 5 (2k 2 2) 5k 2 k 2 1 0 ，
所以 (x1
2)( x2
2)
16 1 5k 2
，
(2 x1)(2 x2 ) k 2 (x1 2)(x2
2)
80k 2 16 k 2 16
1 5k 2
1 5k 2
64k 2 16 1 5k 2
0.
所以 64k 2 16 0 ，即 k 1 .下同传统解法. 2
但效率却不够高，且极容易出错.事实上，我们只要能把 (2 x1)(2 x2 ) 和 (x1 2)(x2 2) 用 k 来
表示，问题便能得到解决.如若注意到 x1, x2 是方程的两根，可把 x2 5k 2 x 22 20 0 左端的式
子用双根法表示，然后进行合理赋值，就能轻而易举得到结果.
2 故直线 l 的方程为 y 1 (x 2) ，即 x 2 y 2 0 或 x 2 y 2 0 .
2
点评：此法虽然思路清晰，但运算极为繁琐.特别是在紧张的考试中，学生能算出最后结果的微 乎其微.
本题中，如何化简 (2 x1)(2 x2 ) k 2 (x1 2)(x2 2) 0 是运算的难点.上述的解法虽然可行，
因为点 P, Q 在直线 y k(x 2) 上，所以 y1 k(x1 2), y2 k(x2 2) .
所以 (2 x1)(2 x2 ) k 2 (x1 2)(x2 2) 0
所以 4 2(x1 x2 ) x1x2 k 2 x1x2 2k 2 (x1 x2 ) 4k 2 0
y ax2 bx c(a 0) 表示为 y a(x x1)(x x2 )a 0，x1, x2 为方程 ax2 bx c 0 的两根.
对于双根式的应用，笔者通过翻阅大量资料发现，其应用大都仅仅局限于二次函数方面，似乎不能 在其他方面发挥功效，笔者又在知网上搜索双根法的文章，也不能看到其他方面的应用，似乎甚少 人研究.但事实上，双根法还可以有更精彩的应用.笔者下面通过几道近几年的高考题为例，谈谈它 在优化解析几何运算方面的应用.现分析如下，供大家参考.
2 ，且离心率为
2
．
2
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）设直线 x my 1m R交椭圆 E 于 A ， B 两点，判断点 G 9 ,0 与以线段 AB 为直
4
径的圆的位置关系，并说明理由．
（答案：（1） x2 y2 1；（2）点 G 9 ,0 在以线段 AB 为直径的圆的圆外）
（2）若椭圆 C 的短轴长为 2 ，过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P, Q 两点，且 F1P F1Q ，求 直线 l 的方程.
（答案：（1） 3x2 3y2 1 ；（2）直线 l 的方程为 x 7 y 1 0 或 x 7 y 1 0 ） 4
我们现在再来看更为复杂的例 2，若用传统解法解决，几乎不能算出来，而双根法则显示出巨 大的威力.
2 b12
1，解得 b12
3
.因此
C2
的方程为
x2 6
y2 3
1.
显然 l 的斜率不为 0 ，故可设 l 的方程为 x my 3 .点 Ax1, y1 , Bx2 , y2 ，
x my 3,
由 x2 6
y2 3
Βιβλιοθήκη Baidu,
得
m2
2
y2
2
3my 3 0 ，因为 y1, y2 是方程的两根，
5
20 4
（2）由（1）知 B1 2,0, B2 2,0.当直线 l 垂直于 x 轴时，显然不成立.
当直线 l 不垂直于 x 轴时，可设其方程为 y kx 2. Px1, y1 ,Qx2 , y2 .
y kx 2,
由 x2
20
y2 4
1,
解析：（1）可求得点 P 的坐标为
2,
2
， C1 的方程为 x2
y2 2
1 ；（略）
（2）由（1）知 C2 的焦点坐标为 3,0 ,
3,0
x2 ，由此设 C2 的方程为 3 b12
y2 b12
1，其中
b1 0 .由点 P
2,
2
2 在 C2 上，得 3 b12
例 1（2012 年高考重庆卷第 20 题）如图所示，设椭圆的中心为原点 O ，长轴在 x 轴上，上顶点
为 A ，左、右焦点分别为 F1, F2 ，线段 OF1, OF2 的中点分别为 B1, B2 ，且△ AB1B2 是面积为 4 的直
角三角形. （1）求该椭圆的离心率和标准方程；
（2）过 B1 作直线 l 交椭圆于 P, Q 两点，使 PB2 QB2 ，求直线 l 的方程.
所以
(2
x1 )(2
x2
)
80k 2 1 5k
16
2
，
①式中令 x 2 得， (2)2 5k 2 (2 2)2 20 (1 5k 2 )(2 x1)(2 x2 ) ，
得 x2
5k 2 x 22
20 0 .即 (1 5k 2 )x2
20k 2 x 20k 2
20
0，
x1
x2
20k 2 1 5k 2
,
x1x2
20k 2 1 5k
20
2
.
PB2 QB2 ， PB2 QB2 2 x1 2 x2 y1 y2 0 .
所以 m2
2 m
3 y1
2 m
3
y2
4m2 10 m2 2
4
6
.
④
③、④代入②易得 2m2 2 6m 4 6 11 0 ，故可解得 m 3 6 1， 2
因此直线 l
的方程为
x
36 2
1 y
3
0或
1 5k 2
1 5k 2
故 (1 k 2 )(5k 2 5) (2k 2 2)(5k 2 ) (k 2 1)(1 5k 2 ) 0 ，
所以 5k 4 5k 4 10k 4 10k 2 k 2 5k 2 5 1 0 ， 故16k 2 4 0 ， k 1 .
双根法是优化解析几何运算的又一利器
蓝云波 （广东省兴宁市第一中学，514500） 解析几何历来都是高考中的重点和难点，由于其方法巧妙，运算复杂，故常令人望而生畏.特别 是涉及繁冗运算的圆锥曲线综合解答题，即使学生在思路顺畅的情况下，都难于得出结果.因此，如 何提高解析几何的运算能力变得至关重要.要解决解析几何中的复杂运算，算理就显得非常重要.如 常见优化解析几何运算的方法有：利用圆锥曲线的定义、巧设直线方程、利用参数方程、运用点差 法、合理利用平面几何知识等等，本文提供另外一种优化解析几何运算的方法——双根法，它在解 决一类圆锥曲线问题中常能达到化繁为简、举重若轻的效果. 我们知道，二次函数有三种形式，分别是一般式、顶点式、双根式.其中双根式可以把一般式
所以
2 y1
2 y2
2m2 2
6m 1
，
m2 2
③
①式中再令 y 2 3 m
得 m2 2
2 m
3 2 2 3m
2 m
3 3 m2 2
2 m
3 y1
2 m
3 y2 ，
优化解法：同传统解法可得 x2 5k 2 x 22 20 0 与
(2 x1)(2 x2 ) k 2 (x1 2)(x2 2) 0 ，因为 x1, x2 是方程 x2 5k 2 x 22 20 0 的两根，所以 x2 5k 2 x 22 20 (1 5k 2 )(x x1)(x x2 ) ①，
故有 m2 2 y2 2 3my 3 m2 2 y y1y y2
①
因为 AP 2 x1, 2 y1 ， BP 2 x2, 2 y2 ，
所以 AP BP 2 x1 2 x2 2 y1 2 y2
例 2（2014 年高考辽宁理科数学第 20 题）圆 x2 y2 4 的切线与 x 轴正半轴， y 轴正半轴围
x2 成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为 P （如图）.双曲线 C1 ： a2
y2 b2
1过点 P 且离心
率为 3 .
（1）求 C1 的方程；
（2）椭圆 C2 过点 P 且与 C1 有相同的焦点，直线 l 过 C2 的右焦点且与 C2 交于 A, B 两点.若以 线段 AB 为直径的圆过点 P ，求 l 的方程.
42
4
我们通过上面几道高考题的分析，我们发现，双根法在解决解析几何中涉及 MA MB （其 中 为常数， M 为定点， A, B 为直线与圆锥曲线的交点）的问题时具有巨大的威力，能使问题得
到有效的解决.使得繁琐的运算变成简单可行的任务，能极大地提高解题效率！
分析：本题是一道典型的直线与圆锥曲线的综合解答题，通常的做法是联立直线与圆锥曲线的
方程，利用韦达定理消元解决.结合本题，问题的关键是解决 PB2 QB2 这个条件转换为向量的数
量积为零之后的复杂运算，思路虽然清晰，但运算比较复杂.
传统解法：（1）该椭圆的离心率 e 2 5 ，标准方程为 x2 y2 1；
x
3
6 2
1 y
3 0.
点评：本题方法使用了巧设直线方程的技巧，有效地降低了运算，在此基础上运用双根法，更 是达到了优化运算的效果，可以说是双剑合璧！
【变式
2】：（2015 年高考福建理科数学第
18 题）已知椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 过点
0,
2 my1 3 2 my2 3 2 y1 2 y2
m2
2 m
3 y1
2 m
3 y2
2 y1
2 y2 0
②
①式中令 y 2 得 2 m2 2 2 6m 3 m2 2 2 y1 2 y2 ，
点评：此法通过巧设双根式并进行合理赋值，运算极为简洁，真正达到了化繁为简的效果，可 以说几乎没有什么运算了，令人叹为观止！
【变式 1】：（2013 年上海春季高考理科第 28 题） 已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F11,0 、
F2 1,0，短轴的两个端点分别为 B1, B2 .
（1）若△ F1B1B2 为等边三角形，求椭圆 C 的方程；
化简得 (1 k 2 )x1x2 (2k 2 2)(x1 x2 ) 4k 2 4 0 .
所以
(1
k2)
20k 2 20 1 5k 2
(2k 2
2)
20k 1 5k
2 2
4k 2
4
0，
所以 (1 k 2 ) 5k 2 5 (2k 2 2) 5k 2 k 2 1 0 ，
所以 (x1
2)( x2
2)
16 1 5k 2
，
(2 x1)(2 x2 ) k 2 (x1 2)(x2
2)
80k 2 16 k 2 16
1 5k 2
1 5k 2
64k 2 16 1 5k 2
0.
所以 64k 2 16 0 ，即 k 1 .下同传统解法. 2
但效率却不够高，且极容易出错.事实上，我们只要能把 (2 x1)(2 x2 ) 和 (x1 2)(x2 2) 用 k 来
表示，问题便能得到解决.如若注意到 x1, x2 是方程的两根，可把 x2 5k 2 x 22 20 0 左端的式
子用双根法表示，然后进行合理赋值，就能轻而易举得到结果.
2 故直线 l 的方程为 y 1 (x 2) ，即 x 2 y 2 0 或 x 2 y 2 0 .
2
点评：此法虽然思路清晰，但运算极为繁琐.特别是在紧张的考试中，学生能算出最后结果的微 乎其微.
本题中，如何化简 (2 x1)(2 x2 ) k 2 (x1 2)(x2 2) 0 是运算的难点.上述的解法虽然可行，
因为点 P, Q 在直线 y k(x 2) 上，所以 y1 k(x1 2), y2 k(x2 2) .
所以 (2 x1)(2 x2 ) k 2 (x1 2)(x2 2) 0
所以 4 2(x1 x2 ) x1x2 k 2 x1x2 2k 2 (x1 x2 ) 4k 2 0
y ax2 bx c(a 0) 表示为 y a(x x1)(x x2 )a 0，x1, x2 为方程 ax2 bx c 0 的两根.
对于双根式的应用，笔者通过翻阅大量资料发现，其应用大都仅仅局限于二次函数方面，似乎不能 在其他方面发挥功效，笔者又在知网上搜索双根法的文章，也不能看到其他方面的应用，似乎甚少 人研究.但事实上，双根法还可以有更精彩的应用.笔者下面通过几道近几年的高考题为例，谈谈它 在优化解析几何运算方面的应用.现分析如下，供大家参考.
2 ，且离心率为
2
．
2
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）设直线 x my 1m R交椭圆 E 于 A ， B 两点，判断点 G 9 ,0 与以线段 AB 为直
4
径的圆的位置关系，并说明理由．
（答案：（1） x2 y2 1；（2）点 G 9 ,0 在以线段 AB 为直径的圆的圆外）
（2）若椭圆 C 的短轴长为 2 ，过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P, Q 两点，且 F1P F1Q ，求 直线 l 的方程.
（答案：（1） 3x2 3y2 1 ；（2）直线 l 的方程为 x 7 y 1 0 或 x 7 y 1 0 ） 4
我们现在再来看更为复杂的例 2，若用传统解法解决，几乎不能算出来，而双根法则显示出巨 大的威力.
2 b12
1，解得 b12
3
.因此
C2
的方程为
x2 6
y2 3
1.
显然 l 的斜率不为 0 ，故可设 l 的方程为 x my 3 .点 Ax1, y1 , Bx2 , y2 ，
x my 3,
由 x2 6
y2 3
Βιβλιοθήκη Baidu,
得
m2
2
y2
2
3my 3 0 ，因为 y1, y2 是方程的两根，
5
20 4
（2）由（1）知 B1 2,0, B2 2,0.当直线 l 垂直于 x 轴时，显然不成立.
当直线 l 不垂直于 x 轴时，可设其方程为 y kx 2. Px1, y1 ,Qx2 , y2 .
y kx 2,
由 x2
20
y2 4
1,
解析：（1）可求得点 P 的坐标为
2,
2
， C1 的方程为 x2
y2 2
1 ；（略）
（2）由（1）知 C2 的焦点坐标为 3,0 ,
3,0
x2 ，由此设 C2 的方程为 3 b12
y2 b12
1，其中
b1 0 .由点 P
2,
2
2 在 C2 上，得 3 b12
例 1（2012 年高考重庆卷第 20 题）如图所示，设椭圆的中心为原点 O ，长轴在 x 轴上，上顶点
为 A ，左、右焦点分别为 F1, F2 ，线段 OF1, OF2 的中点分别为 B1, B2 ，且△ AB1B2 是面积为 4 的直
角三角形. （1）求该椭圆的离心率和标准方程；
（2）过 B1 作直线 l 交椭圆于 P, Q 两点，使 PB2 QB2 ，求直线 l 的方程.