数字图像的频域变换
数字图像处理：部分课后习题参考答案
第一章1.连续图像中，图像为一个二维平面，(x,y)图像中的任意一点，f（x,y）为图像于(x,y)于处的值。
连续图像中，(x,y)的取值是连续的，f(x,y)也是连续的数字图像中，图像为一个由有限行有限列组成的二维平面，（i,j)为平面中的任意一点，g（i,j)则为图像在（i,j)处的灰度值，数字图像中，（i,j) 的取值是不连续的，只能取整数，对应第i行j列,g（i,j) 也是不连续的，表示图像i行j列处图像灰度值。
联系：数字图像g(i,j)是对连续图像f(x,y)经过采样和量化这两个步骤得到的。
其中g(i,j)=f(x,y)|x=i,y=j2. 图像工程的内容可分为图像处理、图像分析和图像理解三个层次，这三个层次既有联系又有区别，如下图所示。
图像处理的重点是图像之间进行的变换。
尽管人们常用图像处理泛指各种图像技术，但比较狭义的图像处理主要是对图像进行各种加工，以改善图像的视觉效果并为自动识别奠定基础，或对图像进行压缩编码以减少所需存储空间图像分析主要是对图像中感兴趣的目标进行检测和测量，以获得它们的客观信息，从而建立对图像的描述。
如果说图像处理是一个从图像到图像的过程，则图像分析是一个从图像到数据的过程。
这里的数据可以是目标特征的测量结果，或是基于测量的符号表示，它们描述了目标的特点和性质。
图像理解的重点是在图像分析的基础上，进一步研究图像中各目标的性质和它们之间的相互联系，并得出对图像内容含义的理解以及对原来客观场景的解释，从而指导和规划行动。
如果说图像分析主要以观察者为中心来研究客观世界，那么图像理解在一定程度上是以客观世界为中心，借助知识、经验等来把握整个客观世界(包括没有直接观察到的事物)的。
联系：图像处理、图像分析和图像理解处在三个抽象程度和数据量各有特点的不同层次上。
图像处理是比较低层的操作，它主要在图像像素级上进行处理，处理的数据量非常大。
图像分析则进入了中层，分割和特征提取把原来以像素描述的图像转变成比较简洁的非图形式的描述。
【精选】数字图像处理第3章
设定加权因子 ai 和 bi 的值，可以得到不同的变换。例如，当选定
a2 b1 切。
1 ，b2
0.1
，a1
a0
b0
0
，该情况是图像剪切的一种列剪
（a）原始图像
Digital Image Processing
（b）仿射变换后图像
3.1 图像的几何变换
◘透视变换 :
把物体的三维图像表示转变为二维表示的过程，称为透视 变换，也称为投影映射，其表达式为:
a2
b2
a1 b1
a0
b0
y
1
平移、比例缩放和旋转变换都是一种称为仿射变换的特殊情况。
仿射变换具有如下性质：
（1）仿射变换有6个自由度（对应变换中的6个系数），因此，仿射变换后 互相平行直线仍然为平行直线，三角形映射后仍是三角形。但却不能
保 证将四边形以上的多边形映射为等边数的多边形。
1D-DFT的矩阵表示 ：
F (0)
F (1)
WN00 WN10
F (2)
WN20
F (N 1)
W
(N N
1)0
WN01 WN11 WN21
WN(N 1)1
W
0( N
N
1)
WN1(N 1)
第3章 图像变换
◆ 3.1 图像的几何变换 ◆ 3.2 图像的离散傅立叶变换 ◆ 3.3 图像变换的一般表示形式 ◆ 3.4 图像的离散余弦变换 ◆ 3.5 图像的离散沃尔什－哈达玛变换 ◆ 3.6 K-L变换 ◆ 3.7 本章小结
频域处理-数字图像处理
频域处理
5.5 频域中图像处理的实现
5.5.1 理解数字图像的频谱图 数字图像平移后的频谱中,图像的能量将集中到频谱中
心(低频成分),图像上的边缘、线条细节信息(高频成分)将分 散在图像频谱的边缘。也就是说,频谱中低频成分代表了图 像的概貌,高频成分代表了图像中的细节。
频域处理
H(u,v)称作滤波器,它具有允许某些频率成分通过,而阻 止其他频率成分通过的特性。该处理过程可表示为
H 和G 的相乘是在二维上定义的。即,H 的第1个元素乘 以F 的第1个元素,H 的第2个元素乘以F 的第2个元素,以此类 推。滤波后的图像可以由IDFT 得到:
频域处理 图5 9给出了频域中图像处理的基本步骤。
频域处理
图5 10 基本滤波器的频率响应
频域处理
图5 11分别为采用D0=10、D0=30、D0=60、D0=160进行 理想低通滤波的结果。图5 11(c)存在严重的模糊现象,表明 图像中多数细节信息包含在被滤除掉的频率成分之中。随着 滤波半径的增加,滤除的能量越来越少,图5 11(d)到图5 11(f) 中的模糊现象也就越来越轻。当被滤除的高频成分减少时, 图像质量会逐渐变好,但其平滑作用也将减弱。
式中:u 取0,1,2,…,M -1;v 取0,1,2,…,N-1。
频域处理 对二维离散傅里叶变换,则有:
图像处理实践中,除了 DFT 变换之外,还可采用离散余弦 变换等其他正交变换。
频域处理
5.4 离散余弦变换(DCT)
离散余弦变换(DiscreteCosineTransform,DCT)的变换核 为余弦函数,因其变换核为实数,所以,DCT 计算速度比变换核 为复数的 DFT 要快得多。DCT 除了具有一般的正交变换性 质外,它的变换阵的基向量能很好地描述人类语音信号、图 像信号的相关特征。因此,在对语音信号、图像信号的变换 中,DCT 变换被认为是一种准最佳变换。
数字图像处理 -习题2增强-噪声-几何变换-频域变换
第三章图像增强一.填空题1. 我们将照相机拍摄到的某个瞬间场景中的亮度变化范围，即一幅图像中所描述的从最暗到最亮的变化范围称为____动态范围__。
2.所谓动态范围调整，就是利用动态范围对人类视觉的影响的特性，将动态范围进行__压缩____，将所关心部分的灰度级的变化范围扩大，由此达到改善画面效果的目的。
3. 动态范围调整分为线性动态范围调整和__非线性调整___两种。
4. 直方图均衡化把原始图的直方图变换为分布均匀的形式，这样就增加了象素灰度值的动态范围从而可达到增强图像整体对比度的效果。
基本思想是：对图像中像素个数多的灰度值进行__展宽_____，而对像素个数少的灰度值进行归并，从而达到清晰图像的目的。
5. 数字图像处理包含很多方面的研究内容。
其中，__图像增强_的目的是将一幅图像中有用的信息进行增强，同时将无用的信息进行抑制，提高图像的可观察性。
6. 灰级窗，是只将灰度值落在一定范围内的目标进行__对比度增强___，就好像开窗观察只落在视野内的目标内容一样。
二.选择题1. 下面说法正确的是：（B ）A、基于像素的图像增强方法是一种线性灰度变换；B、基于像素的图像增强方法是基于空间域的图像增强方法的一种；C、基于频域的图像增强方法由于常用到傅里叶变换和傅里叶反变换，所以总比基于图像域的方法计算复杂较高；D、基于频域的图像增强方法比基于空域的图像增强方法的增强效果好。
2. 指出下面正确的说法：（D ）A、基于像素的图像增强方法是一种非线性灰度变换。
B、基于像素的图像增强方法是基于频域的图像增强方法的一种。
C、基于频域的图像增强方法由于常用到傅里叶变换和傅里叶反变换，所以总比基于图像域的方法计算复杂较高。
D、基于频域的图像增强方法可以获得和基于空域的图像增强方法同样的图像增强效果。
3.指出下面正确的说法：（D ）①基于像素的图像增强方法是一种非线性灰度变换。
②基于像素的图像增强方法是基于空域的图像增强方法的一种。
《图像频域分析》课件
图像离散傅里叶变换
1
图像的频率表示
将图像转换到傅里叶频域，使用矩形表示图像的幅度谱，颜色越深表示幅值越大。
2
图像离散傅里叶变换的原理
通过将空间域图像转换为频率域的方法，进行图像处理。
3
图像频域滤波
用于去除图像中的噪声，提高图像的质量和清晰度。
小波变换和小波分析
小波变换的概念
一种对信号的局部分析方 法，能够提供信号的时间 和频率分辨率，对非平稳 信号有很好的处理效果。
包括进一步提高精度和准确性，加速计算速度，并将频域分析应用于实际场景中。
参考文献
• 华伟，林旭，李雨松. 图像处理[M]. 清华大学出版社, 2002. • 唐业光,刘红岩.数字图像处理及MATLAB实现[M]. 清华大学出版社, 2009. • 岑凯利,李兆洪.高清数字图像处理[M]. 电子工业出版社, 2018.
《图像频域分析》PPT课 件
图像频域分析是一种对数字图像进行分析和处理的方法，通过变换图像的表 示方法，使得在一些应用中更容易描述和处理。
介绍
频域分析是什么
频域分析是将信号或数据在频域上进行变换，以便更好地理解其特征。
频域分析的作用
频域分析可以用于改善图像的清晰度、对比度和边缘处理，从而实现数字图像的改进。
图像频域分析的意义
图像频域分析在图像处理、模式识别、图像压缩和通信等领域中有着广泛的应用和意义。
傅立叶变换
离散傅立叶变速傅立叶变换（FFT）
将一个长度为n的序列变换成 一组长度为n/2，处理速度比 DFT更快。
傅立叶变换的应用
用于声音、图像、信号的分析 和处理。
小波变换的基本原理
通过对信号进行分解和重 构的方法，寻找其中的与 不同尺度有关的特征。
数字图像处理_图像的频域变换处理
图像的频域变换处理1 实验目的 1. 掌握Fourier ，DCT 和Radon 变换与反变换的原理及算法实现，并初步理解Fourier 、Radon和DCT 变换的物理意义。
2、 利用傅里叶变换、离散余弦变换等处理图像，理解图像变换系数的特点。
3、 掌握图像的频谱分析方法。
4、 掌握图像频域压缩的方法。
5、 掌握二维数字滤波器处理图像的方法。
2 实验原理1、傅里叶变换 fft2函数：F=fft2(A);fftshift 函数：F1=fftshift(F);ifft2函数：M=ifft2(F);2、离散余弦变换：dct2函数 ：F=dct2(f2)；idct2函数：M=idct2(F)；3、 小波变换对静态二维数字图像，可先对其进行若干次二维DWT 变换， 将图像信息分解为高频成分H 、V 和D 和低频成分A 。
对低频部分A ，由于它对压缩的结果影响很大，因此可采用无损编码方法， 如Huffman 、 DPCM 等；对H 、V 和D 部分，可对不同的层次采用不同策略的向量量化编码方法，这样便可大大减少数据量，而图像的解码过程刚好相反。
（1）dwt2[CA,CH,CV,CD]=dwt2(X,’wname’)[CA,CH,CV,CD]=dwt2(X,LO_D,HI_D’)()()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ψ=dt a b t t Rf a 1b ,a W *()⎪⎭⎫ ⎝⎛-ψ=ψa b t a 1t b ,a 112()00(,)[(,)](,)ux vy M N j M N x y f x y eF f x y F u v π---+====∑∑1100(21)(21)(,)(,)()()cos cos 22M N x y x u y v F u v f x y C u C v M Nππ--==++=∑∑CA 图像分解的近似分量,CH 水平分量,CV 垂直分量,CD 细节分量； dwt2(X,’wname ’) 使用小波基wname 对X 进行小波分解。
实验五--图像频域变换
实验五图像频域变换一、实验目的1.了解傅里叶变换在图像处理中的应用2.利用Matlab语言编程实现图像的频域变换。
二、实验内容1. 打开并显示一幅图像，对其进行Fourier变换，观察其频谱图像。
2. 用两种方法将图像的频域中心移动到图像中心，然后观察其Fourier变换后的频谱图像。
（见Fourier变换的性质：f(x,y) (-1)x+y F(u-N/2,v-N/2)）对图像的Fourier变换频谱进行滤波，如：将频谱超过某个给定的值（均值或2/3均值）的变换值变为0，然后再求其Fourier逆变换，比较所得图像与原图像的差别。
3.对图像进行离散余弦变换，并观察其变换域图像。
要求：用Matlab语言进行编程实现上述功能，同时也应该熟悉用Matlab中现有的函数来实现。
傅里叶变换A)傅里叶变换基本操作I = imread(你的图像);imshow(I);title('源图像');J = fft2(I);figure, imshow(J);title('傅里叶变换');%频移JSh = fftshift(J);figure, imshow(JSh);title('傅里叶变换频移');%直接傅里叶反变换Ji = ifft2(J);figure, imshow(Ji/256);title('直接傅里叶反变换');%幅度JA = abs(J);iJA = ifft2(JA);figure, imshow(iJA/256);title('幅度傅里叶反变换');%相位JP = angle(J);iJP = ifft2(JP);figure, imshow(abs(iJP)*100);title('相位傅里叶反变换');B)利用MATLAB软件实现数字图像傅里叶变换的程序I=imread(‘原图像名.gif’); %读入原图像文件imshow(I); %显示原图像fftI=fft2(I); %二维离散傅里叶变换sfftI=fftshift(fftI); %直流分量移到频谱中心RR=real(sfftI); %取傅里叶变换的实部II=imag(sfftI); %取傅里叶变换的虚部A=sqrt(RR.^2+II.^2);%计算频谱幅值A=（A-min(min(A))）/(max(max(A))-min(min(A)))*225;%归一化figure; %设定窗口imshow(A); %显示原图像的频谱C)绘制一个二值图像矩阵,并将其傅里叶函数可视化。
图像频域处理的概述
摘要图像的频域处理是指根据一定的图像模型，对图像频谱进行不同程度修改的技术。
二维正交变换是图像处理中常用的变换，其特点是变换结果的能量分布向低频成份方向集中，图像的边缘、线条在高频成份上得到反映，因此正交变换在图像处理中得到广泛运用。
傅里叶作为一种典型的正交变换，在数学上有比较成熟和快速的处理方法。
卷积特性是傅里叶变换性质之一，由于它在通信系统和信号处理中的重要地位－－应用最广。
在用频域方法进行卷积过程中尤其要注意傅里叶变换的周期性，注意周期延拓的重要作用，本次课设将对此作详细的介绍。
关键字：频域处理，二维傅里叶变换，卷积，周期延拓1 图像频域处理的概述图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。
如大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变化剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。
频域处理是指根据一定的图像模型，对图像频谱进行不同程度修改的技术，通常作如下假设：1)引起图像质量下降的噪声占频谱的高频段；2)图像边缘占高频段；3)图像主体或灰度缓变区域占低频段。
基于这些假设，可以在频谱的各个频段进行有选择性的修改。
为什么要在频率域研究图像增强（1）可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。
一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通。
（2）滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质。
（3）可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导。
（4）一旦通过频率域试验选择了空间滤波，通常实施都在空间域进行。
2 二维傅里叶变换由于图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。
傅立叶变换在实际中的物理意义，设f 是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f 的谱。
从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。
数字图像-医学图像处理 Part2：解答题和计算题
Part2：解答题和计算题2.1 图像处理基础一、简答题1、解释模拟图像和数字图像的概念。
(10分)模拟图像在水平与垂直方向上灰度变化都是连续的，因此有时又将模拟图像称之为连续图像( continuous image)数字图像是指把模拟图像分解成被称作像素的若干小离散点，并将各像素的颜色值用量化的离散值，即整数值来表示的图像。
因此，又将数字图像称为离散图像（discrete image)。
像素是组成数字图像的基本元素。
2、简述图像的采样和量化过程,并解释图像的空间分辨率和灰度分辨率的概念。
(10分) 空间采样将在空间上连续的图像转换成离散的采样点（即像素）集的操作。
由于图像是二维分布的信息，所以采样是在x轴和y轴两个方向上进行。
量化把采样后所得的各像素的灰度值从模拟量到离散量的转换称为图像灰度的量化。
量化值一般用整数来表示。
考虑人眼的识别能力，目前非特殊用途的图像均为8bit量化，即用0~255描述“黑~白”。
空间分辨率(spatial resolution )：图像空间中可分辨的最小细节。
一般用单位长度上采样的像素数目或单位长度上的线对数目表示。
灰度分辨率(contrast resolution )：图像灰度级中可分辨的最小变化。
一般用灰度级或比特数表示。
3、在理想情况下获得一幅数字图像时，采样和量化间隔越小，图像的画面效果越好。
当一幅图像的数据量被限制在一个范围内时,如何考虑图像的采样和量化，使得图像的表现效果尽可能的好? (10 分)当限定数字图像的大小时, 为了得到质量较好的图像，一般可采用如下原则：①对缓变的图像，应该细量化，粗采样，以避免假轮廓②对细节丰富的图像，应细采样，粗量化，以避免模糊4、图像量化时，如果量化级别较少时会发生什么现象?为什么? (10分)如果量化级比较少，会出现伪轮廓现象。
原因：量化过程是将连续的颜色划分到有限个级别中，必然会导致颜色的信息缺失。
当量化级别数量级过小时，图像灰度分辨率就会降低，颜色层次就会欠丰富，不同的颜色之间过渡就会变得突然，所以可能会导致伪轮廓现象。
数字图像处理之频率域图像增强
图像增强技术广泛应用于医学影 像、遥感、安全监控、机器视觉
等领域。
频率域图像增强的概念
01
频率域图像增强是指在频率域 对图像进行操作，通过改变图 像的频率成分来改善图像的质 量。
02
频率域增强方法通常涉及将图 像从空间域转换到频率域，对 频率域中的成分进行操作，然 后再将结果转换回空间域。
直方图规定化
直方图规定化是另一种频率域图像增强 方法，其基本思想是根据特定的需求或 目标，重新定义图像的灰度级分布，以
达到增强图像的目的。
与直方图均衡化不同，直方图规定化可 以根据具体的应用场景和需求，定制不 同的灰度级分布，从而更好地满足特定
的增强需求。
直方图规定化的实现通常需要先对原始 图像进行直方图统计，然后根据规定的 灰度级分布进行像素灰度值的映射和调
灵活性
频率域增强允许用户针对特定频率成 分进行调整，从而实现对图像的精细 控制。例如，可以增强高频细节或降 低噪声。
总结与展望 数字图像处理之频率域图像增强的优缺点
频谱混叠
在频率域增强过程中，如果不采取适 当的措施，可能会导致频谱混叠现象， 影响图像质量。
计算复杂度
虽然频率域增强可以利用FFT加速， 但对于某些复杂的图像处理任务，其 计算复杂度仍然较高。
傅立叶变换具有线性、平移不变性和周期性等性质，这些性质在图像增强中具有重 要应用。
傅立叶变换的性质
线性性质
傅立叶变换具有线性性质，即两 个函数的和或差经过傅立叶变换 后，等于它们各自经过傅立叶变
换后的结果的和或差。
平移不变性
傅立叶变换具有平移不变性，即 一个函数沿x轴平移a个单位后， 其傅立叶变换的结果也相应地沿
THANKS
数字图像处理(冈萨雷斯)-4_fourier变换和频域介绍(dip3e)经典案例幻灯片PPT
F (u,v)
F *(u, v)
f ( x ,y ) ☆ h ( x ,y ) i f f t c o n j F ( u , v ) H ( u , v )
h(x,y):CD 周期延拓
PAC1
h:
PQ
QBD1
DFT
H (u,v)
F*(u,v)H(u,v)
IDFT
R(x,y):PQ
✓ 使用这组基函数的线性组合得到任意函数f，每个基函数的系 数就是f与该基函数的内积
图像变换的目的
✓ 使图像处理问题简化； ✓ 有利于图像特征提取； ✓ 有助于从概念上增强对图像信息的理解；
图像变换通常是一种二维正交变换。
一般要求： 1. 正交变换必须是可逆的； 2. 正变换和反变换的算法不能太复杂； 3. 正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分布在低频率 成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上，有利于图像处理
4.11 二维DFT的实现
沿着f(x,y)的一行所进 行的傅里叶变换。
F (u ,v ) F ( u , v ) (4 .6 1 9 )
复习：当两个复数实部相等,虚部互为相 反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.
4.6
二维离散傅里叶变换的性质
其他性质：
✓尺度变换〔缩放〕及线性性
a f( x ,y ) a F ( u ,v ) f( a x ,b y ) 1 F ( u a ,v b ) |a b |
域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通
✓ 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质
✓ 给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题，频率域处理对 于试验、迅速而全面地控制滤波器参数是一个理想工具
✓ 一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间域用硬件实现
数字图像处理5-二维傅里叶变换,汉明窗,二维频谱
Lines
lines1
lines -f
lines-f1
Rice
rice1
rice -f
rice-f1
如上所示，第一列为原图，第二列为加过汉明窗的原图，第三列为原 图的二维傅里叶变换频域图， 第四列为第二列图像的二维傅里叶变换 频域图。 可以看见在 lines-f， 也就是 lines 原图的二维傅里叶频谱图中， 存在明 显的水平和垂直分量。这里的水平和垂直分量主要是由 lines 这张图 本身的特点导致的。如果将原图做水平方向的分解，就是取出一行的 像素，可以得到一个周期性方波。而周期性方波的频谱则是 sa 函数 的周期性采样，值为在奇数项存在的依次递减的数。因此可以在图中 看到加强的横线和竖线。 Rice 这张图与 lines 这张图有区别，其无论哪个方向的分量都没有什 么规律，但是 rice-f 即他的二维傅里叶变换谱中却也存在水平和垂直 的分量。这些分量的形成与 MATLAB 中的 fft2 函数的算法有关，这里
如上，由于要解释 rice-f 中出现的水平与垂直分量，这里就从程序的 后半部分开始解释。其前半部分与后半部分的算法完全一致，就不做 赘述。 首先读入图像，获得其大小。而后生成两个汉明窗，分别加在 x 和 y 两个方向上，这样就生成了 rice1 这样的四周是黑色的图像。之后对 原图进行傅里叶二维变换。 这里就要说到 MATLAB 中 fft2 函数的算法， 其在运算的过程中对图像进行了周期延拓，x 轴 y 轴两个方向都进行 了无限的循环。由于图像本身左右两个边界像素不同，上下两个边界
Test
test-f
test1-f
test-i
之后来说第二个任务，首先 test 为原图，test-f 为原图的傅里叶变换 （没有使用 fftshift 函数搬运），test1-f 为原图像素乘以（-1）^（x+y） 后的傅里叶变换（没有使用 fftshift 函数搬运），而 test-i 为傅里叶变 换后做共轭，再做反变换后再乘以（-1）^（x+y）的结果。 代码如下：
请简述空域处理方法和频域处理方法的区别
空域处理方法和频域处理方法是数字图像处理中常用的两种方法。
它们有着各自独特的特点和应用场景。
本文将从原理、应用和区别三个方面对这两种处理方法进行详细比较。
一、原理1. 空域处理方法空域处理方法是指直接对图像的像素进行操作。
它是一种基于图像的原始信息进行处理的方法。
常见的空域处理操作包括亮度调整、对比度增强、图像锐化等。
这些操作都是基于每个像素点周围的邻域像素进行计算和处理的。
2. 频域处理方法频域处理方法是将图像从空间域转换到频率域进行处理。
其基本原理是利用傅里叶变换将图像信号从空间域转换到频率域，然后对频率域的图像进行滤波、增强等处理，最后再利用傅里叶反变换将图像信号转换回空间域。
二、应用1. 空域处理方法空域处理方法适用于对图像的局部信息进行处理，如调整图像的明暗、对比度和色调等。
它可以直接对原始图像进行处理，因此在实时性要求较高的场景下具有一定优势。
2. 频域处理方法频域处理方法适用于对图像的全局信息进行处理，如去除图像中的周期性噪声、增强图像的高频细节等。
由于频域处理方法能够通过滤波等手段对图像进行全局处理，因此在一些需要对图像进行频谱分析和滤波的场景下有着独特的优势。
三、区别1. 数据处理方式空域处理方法是直接对图像的像素进行操作，处理过程直接，但只能处理原始图像信息。
而频域处理方法是将图像信号转换到频率域进行处理，可以更全面地分析和处理图像的频率特性。
2. 处理效果空域处理方法主要用于对图像的局部信息进行处理，因此适合对图像的亮度、对比度等进行调整。
而频域处理方法主要针对图像的全局信息进行处理，能够更好地处理图像的频率特性，如滤波、增强等。
3. 处理速度空域处理方法直接对原始图像进行处理，处理速度较快；而频域处理方法需要将图像信号转换到频率域进行处理，处理速度相对较慢。
空域处理方法和频域处理方法分别适用于不同的处理场景。
空域处理方法主要用于对图像的局部信息进行处理，处理速度较快；而频域处理方法主要用于对图像的全局信息进行处理，能够更全面地分析和处理图像的频率特性。
数字图像处理——图像频域变换
图像频域变换_离散余弦变换
离散余弦变换的频谱分布
程序：DCTFFT.m DCTspectrum.m
离散余弦变换之后的图像左上角对应于频谱的低频成分，最亮。
图像频域变换_离散余弦变换
离散余弦变换总结
（1）离散余弦变换相对于傅立叶变换而言，只有实数运算，没有复数运算，计 算量大大降低。 （2）离散余弦变换是可分离的变换，其变换核为余弦函数，且正反变换核相同。
u 0 v 0 M 1 N 1
2 x 1 u cos 2 y 1 v
2M 2N 2M 2N
2 x 1 u cos 2 y 1 v
式中：
u, x 0,1, 2, v, y 0,1, 2,
1 M a u 2 M
根据二维离散余弦变换核可以分离性，一般将二维DCT变换可以分成两个一维 DCT变换来完成：
f x, y F行 f x, y F x, v
T T T 转置 F x, v F列 f x, v F u, v 转置 F u, v
f t e j2t dt
j2 t
f t t k T e
dt
f t t k T e j2t dt
f k T e j2 k T
周期为 1 T
图像频域变换_傅里叶变换
f t e j t dt
o
t
F
1
t e j t dt f 0 1
单位冲激串
-
o
sT
sT t
第四章数字图像的变换域处理
Lｅnａ图像的移动后的频谱结果显示于图4.２中，对比图４．２与图４.１(ｂ),可以看出其移动效果。
例4.1利用卷积定理计算两个矩阵Ａ、B的卷积
>>[M,N]=size(Ａ);
>>[P，Q]=sｉze(B）;
>＞p1=M+Ｐ－1;
>＞q1=N＋Ｑ-1;
＞>A1=fft２（Ａ,p1,q1);
>>T=dｃtｍtx(n）;
函数返回值T为 的变换核矩阵，对于 的方阵Ａ,可以使用矩阵运算Ｂ=T*A＊D’计算其DCT变换。
例4．3利用Ｄcｔmtx（)函数编程实现对Lｅna图片计算其离散余弦变换。
＞＞f=imreaｄ('E:＼mａｔlab7\leｎａ.bmｐ＇);
＞>g＝ｒgｂ２gray(f);
一维离散线性变换可以表示为变换矩阵形式,对于一个 的向量 ，其离散线性变换可以表示为:
(4-２1)
其中, 为变换结果， 为 的变换矩阵，如果 矩阵是非奇异的,其逆矩阵 存在,其逆变换可以表示为:
(4－２2)
如果逆矩阵 等于变换矩阵的 共轭转置，有
（4-23）
则称 矩阵为酉矩阵，对应的变换为酉变换。离散傅里叶变换的也可写成式(4－２1）的矩阵表示,变换矩阵 为:
>>B1=fft2(B,ｐ1,q1）;
>>C=A1.*B1;
>＞C1=ifft2(C）;
其中ffｔ2(A,p1,q1）是将图像Ａ扩展为 矩阵后再计算其傅里叶变换。
４.２离散余弦变换
4.2.1离散余弦变换
离散余弦变换(Dｉscｒete CoｓｉnｅＴrａnsform, DCT)的变换基矢量为余弦函数,一维离散余弦变换的基矢量为:
频域分析在数字图像处理中的应用
频域分析在数字图像处理中的应用随着数字技术的不断发展，数字图像处理技术越来越成熟。
频域分析是数字图像处理中一种常用的基于时域的方法之一。
在图像处理中，频域分析可以用来分析和识别图像中的特征。
频域分析可以通过将原始图像变换为频率域图像来达到这一目的。
频域分析是一个广泛的概念，涉及到很多技术和算法。
本文将重点讨论如何利用频域分析来处理数字图像。
我们将从以下几个方面来介绍频域分析在数字图像处理中的应用。
一、基本概念频域分析是一种将信号表示为频率成分的过程。
它可以将时域信号转换为频域信号，从而实现对信号特征的识别和分析。
在数字图像处理中，频域分析的基本原理是将图像转换为频率域，以便更好地理解和处理图像。
这种转换可以使用傅里叶变换或小波变换等技术来实现。
二、频域滤波频域滤波是数字图像处理中最常用的应用之一。
它利用频率分析技术来去除图像中的噪声、增强图像的细节和特征。
频域滤波可以分为低通滤波和高通滤波两种。
低通滤波可以去除图像中的高频成分，从而平滑图像。
高通滤波可以去除图像中的低频成分，从而强调图像中的细节和特征。
这些滤波器可以通过傅里叶变换进行设计和实现。
三、频域变换频域变换可以将图像从时域转换为频率域。
这种转换可以通过傅里叶变换、小波变换和离散余弦变换等技术来实现。
这些变换可以将图像中的信号分离为不同的频率成分，从而更好地理解和处理图像。
在频域分析中，傅里叶变换和小波变换是最常用的方法。
四、特征提取频域分析可以用来提取图像中的特征。
这些特征可以包括灰度分布、纹理、形状等。
这些特征可以用来识别目标、分类和匹配。
在脸部识别和指纹识别等领域，频域分析的特征提取技术已经得到广泛应用。
结论：总之，频域分析在数字图像处理中有着广泛的应用。
通过频域分析，可以更好地理解和处理图像。
目前，各种频域分析技术正在不断发展和改进。
可以预见，随着技术的不断更新，频域分析将在数字图像处理中发挥越来越重要的作用。
数字图像的频域变换
(完整版)数字图像处理简答题
1. 图像处理的主要方法分几大类?答：图字图像处理方法分为大两类：空间域处理（空域法）和变换域处理（频域法）。
空域法：直接对获取的数字图像进行处理。
频域法：对先对获取的数字图像进行正交变换，得到变换系数阵列，然后再进行处理，最后再逆变换到空间域，得到图像的处理结果2. 图像处理的主要内容是什么?答：图形数字化（图像获取）：把连续图像用一组数字表示，便于用计算机分析处理。
图像变换：对图像进行正交变换，以便进行处理。
图像增强：对图像的某些特征进行强调或锐化而不增加图像的相关数据。
图像复原：去除图像中的噪声干扰和模糊，恢复图像的客观面目。
图像编码：在满足一定的图形质量要求下对图像进行编码，可以压缩表示图像的数据。
图像分析：对图像中感兴趣的目标进行检测和测量，从而获得所需的客观信息。
图像识别：找到图像的特征，以便进一步处理。
图像理解：在图像分析的基础上得出对图像内容含义的理解及解释，从而指导和规划行为。
3. 名词解释：灰度、像素、图像分辨率、图像深度、图像数据量。
答：灰度:使用黑色调表示物体,即用黑色为基准色，不同的饱和度的黑色来显示图像.像素：在卫星图像上，由卫星传感器记录下的最小的分立要素(有空间分量和谱分量两种)。
通常，表示图像的二维数组是连续的，将连续参数 x,y ，和 f 取离散值后，图像被分割成很多小的网格，每个网格即为像素 图像分辨率：指对原始图像的采样分辨率，即图像水平或垂直方向单位长度上所包含的采样点数。
单位是“像素点/单位长度”图像深度是指存储每个像素所用的位数,也用于量度图像的色彩分辨率.图像深度确定彩色图像的每个像素可能有的颜色数,或者确定灰度图像的每个像素可能有的灰度级数.它决定了彩色图像中可出现的最多颜色数,或灰度图像中的最大灰度等级（图像深度：位图图像中，各像素点的亮度或色彩信息用二进制数位来表示，这一数据位的位数即为像素深度，也叫图像深度。
图像深度越深，能够表现的颜色数量越多，图像的色彩也越丰富。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
25
离散余弦变换（3）
原始图像 DCT频谱图
DCT变换频域图上的每个点和空间域的原始图 像的每个象素点具有一一对应关系吗？ 像的每个象素点具有一一对应关系吗？
26
小波变换（1）
• Fourier频谱图中的每一个点的值取决于原始 图像中的所有点，因此不具有空间上的局部 分析能力，且在高频低频的分辨率不变
频域变换
-- 将图像从灰度空间变换到其它空间 -- 如通过Fourier变换到频率域 -- 可以用于特征提取、 可以用于特征提取、压缩编码、 压缩编码、提高计算效率等
2
练习
• 编写程序实现图像的旋转
方案一： 方案一：扩大图像尺寸， 扩大图像尺寸， 以保留图像全部内容 方案二： 方案二：保持图像尺寸， 保持图像尺寸， 部分图像内容会丢失
f (r , θ + θ0 ) ⇔ F (ω,ϕ + θ0 )
20
Fourier变换的性质（3）
• 旋转不变性
空间域函数f(x,y) 空间域函数f(x,y)旋转 f(x,y)旋转θ 旋转θ0角度后， 角度后，相应的Fourier 相应的Fourier变换 Fourier变换 F(u,v) F(u,v)在频域中也旋转同一θ 在频域中也旋转同一θ0角，反之， 反之，F(u,v)在频域中 F(u,v)在频域中 旋转θ 旋转θ0角，其反变换f(x,y) 其反变换f(x,y)在空间域中也旋转 f(x,y)在空间域中也旋转θ 在空间域中也旋转θ0角 21
19
– 以Fourier变换的幅值作为特征具有平移不变性
Fourier变换的性质（2）
• 旋转不变性
x = r cos θ y = r sin θ 如果引入极坐标 u = ω cos φ v = ω sin φ
则f(x,y)和F(u,v)分别变为f(r,θ) 和F(ω ，φ) 在极坐标系中，存在以下变换对
ux + vy f (x − x , y − y ) ⇔ F (u, v )exp − j 2π N
0 0 0 0
– 当空域中f(x,y)产生移动时，在频域中只发生相移， 而Fourier变换的幅值不变
| F (u, v)e
− j 2π ( ux0 +vy0 )
|=| F (u, v) |
+ [ f (1,1) + f (0, 0) − f (0,1) − f (1, 0) ] xy + f (0, 0)
5
本讲内容
• 图像频域变换的基本概念 • 典型的图像频域变换方法
–FFT、DCT、小波变换等
• 图像频域变换的应用
6
图像频率的基本概念（1）
• 我们通过什么感知到图像中的物体？
灰度或色彩的空间分布形成的边缘、 灰度或色彩的空间分布形成的边缘、轮廓、 轮廓、结构
• 离散余弦变换反变换
1 2 N −1 (2 y + 1)vπ f ( x, y ) = F (0,0) + ∑ F (0, v) ⋅ cos N N v =1 2N 2 N −1 (2 x + 1)uπ + ⋅ F ( u , 0 ) cos ∑ N u =1 2N N − 1 N − 1 2 (2 x + 1)uπ (2 y + 1)vπ + ∑ ∑ F (u , v) ⋅ cos ⋅ cos N u =1 v =1 2N 2N
8
图像频域变换的目的（1）
原始图像 高频分量图像
• 通过频域变换可以将图像中的不同对象按 高频和低频分量分别进行处理
–比如通过增强高频分量来提取图像的边缘信息
9
图像频域变换的目的（2）
• 图像频域变换的一般形式
正变换 空间域
g (u, v) = T ( f ( x, y ) )
频率域/ 变换域
f ( x, y )
17
Fourier变换（4）
• Fourier变换示例（Matlab实现）
F = fft2(I) 原始图像 I 幅值谱 |F|
F' = fftshift(F) 幅值谱 |F'|
将频谱图的低频部分移 动到图像中心
18
Fourier变换的性质（1）
• 平移不变性
–在空域中，图像原点平移到(x0，y0)时，其对应的频 谱F(u,v)要乘上一个负的指数项
24
离散余弦变换（2）
• 离散余弦变换正变换
1 F (0,0) = N
N −1 N −1 x =0 y = 0
∑ ∑ f ( x, y )
2 N −1 N −1 (2 y + 1)vπ F (0, v) = f ( x , y ) cos ⋅ ∑∑ N x =0 y =0 2N 2 N −1 N −1 (2 x + 1)uπ F (u ,0) = f ( x , y ) cos ⋅ ∑∑ N x =0 y = 0 2N 2 N −1 N −1 (2 x + 1)uπ (2 y + 1)vπ F (u , v) = ∑ ∑ f ( x, y ) ⋅ cos ⋅ cos N x =0 y = 0 2N 2N
15
∑∑
Fourier变换（2）
1 M −1N−1 f (x, y) exp[ − j2π(ux/ M + vy/ N)] ∑∑ 正 F(u, v) = MN x=0 y=0
变 换 u = 0,1,L, M −1, v = 0,1,L, N −1, j = −1
• 二维离散Fourier变换(2dDFT)的结果是复数
22
Fourier变换的性质（5）
• 卷积定理
f(x,y) F(u,v)
T []
相乘
H(u,v)
T []
−1
h(x,y)
g(x,y)
T []
G(u,v)
空间域的卷积可以通过Fourier频率域的乘积实现， 频率域的乘积实现， 从而降低计算的复杂度， 从而降低计算的复杂度，提高效率（ 提高效率（Fourier变换 有快速算法， 有快速算法，即FFT）
7
图像频率的基本概念（2）
• 为什么会感知到边缘？
灰度变化较大/ 灰度变化较大/较快的地方形成边缘 图像的空间频率反映了图象的灰度或 图像的空间频率反映了图象的灰度或 色彩随着空间坐标变化而变化的快慢
• 变化平缓的图像频带窄、变化剧 烈的图像频带宽 • 图像中的高频分量—— 边缘和细节部分 • 图像中的低频分量—— 背景和缓慢变化部分
Fourier变换的性质（4）
• 卷积定理
设f和g的Fourier变换结果分别为F和G， 即
f ( x, y ) ⇔ F (u, v) g ( x, y ) ⇔ G (u, v)
则
f ( x, y ) ∗ g ( x, y ) ⇔ F (u , v) ⋅ G (u , v) f ( x, y ) ⋅ g ( x, y ) ⇔ F (u , v) ∗ G (u , v)
23
离散余弦变换（1）
• 离散余弦变换(Discrete Cosine Transform-简称 DCT)是Fourier变换的一种特殊情况 • 其变换核是为实数的余弦函数，因而DCT的计算速 度比DFT快得多 • DCT计算复杂性适中，又具有可分离特性，还有快 速算法，所以被广泛地用在图象数据压缩编码算 法中，如JPEG、MPEG-1、MPEG-2及H.261等压缩编 码国际标准都采用了离散余弦变换编码算法
2013-2014秋学期
第四讲
数字图像处理
数字图像的频域变换
赵启军 qjzhao@
四川大学计算机学院
知识回顾
灰度变换
-- 代数运算、 代数运算、在灰度域进行 -- 如加、 如加、减、乘、除等 -- 改变图像的对比度、 改变图像的对比度、目标与背景分离等
数字图 像变换
几何变换
-- 几何运算、 几何运算、在空间域进行 -- 如平移、 如平移、缩放、 缩放、旋转等 -- 改变图像中物体的位置、 改变图像中物体的位置、形状等
f(x,y) g(x,y) z(x,y)=f(x,y)*g(x,y) *表示卷积运算 二维数字图像卷积
z (i, j ) = ∑∑ f ( k , l ) g (i − k , j − l )
k =1 l =1 n m
z(x,y)
13
图像滤波与卷积（4）
• 以一维函数卷积为例。假设f(x)(x=0,1 ,A-1)以及g(x) (x=0,1, ,C-1)是两个有限离散函数，其线性卷积定义为
1 M −1N−1 f (x, y) exp[ − j2π(ux/ M + vy/ N)] ∑∑ 正 F(u, v) = MN x=0 y=0
变 换 u = 0,1,L, M −1, v = 0,1,L, N −1, j = −1
M −1 N −1
反 f ( x, y ) = F (u , v ) exp[ j 2π (ux / M + vy / N )] u =0 v =0 变 换 x = 0,1, L , M − 1, y = 0,1L , N − 1
Fourier 变换
原始图像
Fourier频谱图 （幅值） 幅值）
11
图像滤波与卷积（2）
• 所谓图像滤波在频域就是仅保留指定频段 的信号，而去除其余信号
– 低通、高通、带通滤波
Fourier反变换
Fourier变换
滤 波
12
图像滤波与卷积（3）
• 根据线性系统理论，用一个二维函数对另 一个二维函数（图像）进行滤波的结果是 这两个二维函数的卷积
4
练习：方案二
• 输入：原始图像I0,旋转中心(xc,yc),旋转角度θ • 输出：旋转后图像I1
计算I0高度和宽度： 高度和宽度：H、W 初始化旋转后图像I1：I1(1:H,1:W)=0 for I1上每一个像素点(x1,y1) 计算其在原始图像I0上的位置(x0,y0) if (x0,y0)在I0的有效范围内 if (x0,y0)均为整数 I1(x1,y1)=I0(x0,y0) else 使用双线性插值计算I1(x1,y1) end end end f ( x, y ) = [ f (1, 0) − f (0, 0) ] x + [ f (0,1) − f (0, 0) ] y