(名师整理)最新中考数学专题复习《函数》精品教案

1中考数学人教版专题复习：函数一、教学内容平面直角坐标系、一次函数、反比例函数、二次函数四部分．二、知识要点1. 平面直角坐标系（1）平面直角坐标系中各象限、坐标轴上、坐标轴夹角平分线上点的坐标特征． （2）关于坐标轴、原点对称的点的坐标特征．2. 一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象和性质3. 反比例函数y ＝kx （k ≠0）的图象和性质4. 二次函数的图象和性质（1）二次函数的解析式：①一般式：y＝ax2＋bx＋c（a≠0），其顶点坐标是（－b2a，4ac－b24a）．②顶点式：y＝a（x－h）2＋k（a≠0）．（2）二次项系数a对抛物线的影响：①当a＞0时，抛物线的开口向上；当a＜0时，抛物线的开口向下．②︱a︱的大小决定抛物线的开口大小．︱a︱越大，抛物线的开口越小，︱a︱越小，抛物线的开口越大．（3）常数项c对抛物线的影响：c的大小决定抛物线与y轴的交点位置．c＝0时，抛物线过原点；c＞0时，抛物线与y 轴交于正半轴；c＜0时，抛物线与y轴交于负半轴．（4）a、b的符号决定抛物线的对称轴的位置．当－b2a＞0时，对称轴在y轴的右方；当－b2a＜0时，对称轴在y轴的左方．（5）b2－4ac的值决定抛物线与x轴的交点情况．当b2－4ac＞0时，有两个交点；当b2－4ac＝0时，只有一个交点；当b2－4ac＜0时，没有交点．（6）抛物线y＝a（x－h）2＋k的图像可以由y＝ax2的图像移动而得到．将y＝ax2向上移动k个单位得y＝ax2＋k；将y＝ax2向右移动h个单位得y＝a（x－h）2；将y＝ax2先向上移动k（k＞0）个单位，再向右移动h（h＞0）个单位，即得函数y＝a（x－h）2＋k的图像．三、重点难点本讲重点是一次函数、反比例函数、二次函数的解析式、图像和性质．难点是运用函数思想和数形结合的思想解决综合问题和实际问题．四、考点分析函数知识是历年中考的重点，压轴题往往与函数相关．主要考查的知识点有：确定函数表达式、函数图像和性质、综合运用方程、几何、函数等知识解决问题．选择题、填空题占5分左右，综合题一般都在10分以上．23【典型例题】例1. 填空题（1）如果点M （a ＋b ，ab ）在第二象限，则点N （a ，b ）在第__________象限． 解析：∵M （a ＋b ，ab ）在第二象限，∴a ＋b ＜0，ab ＞0，∴a ＜0，b ＜0，∴N （a ，b ）在第三象限．（2）如图所示，直线y ＝－43x ＋4与y 轴交于点A ，与直线y ＝45x ＋45交于点B ，且直线y ＝45x ＋45与x 轴交于点C ，则△ABC 的面积为__________．xy OA BCD解析：设直线y ＝45x ＋45与y 轴交于点D ．则易求OD ＝45，OA ＝4，∴AD ＝165，在y ＝45x ＋45中，令y ＝0，可求出C （－1，0），即OC ＝1，而同样解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－43x ＋4y ＝45x ＋45 可求出B 点的横坐标为32，∴S △ABC ＝S △ADC ＋S △ADB ＝12×AD×1＋12×AD×32＝12×165＋12×165×32＝4．例2. 选择题（1）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，对称轴是x ＝1，则下列结论中正确的是（ ）A ．ac ＞0B ．b ＜0C ．b2－4ac ＜0D ．2a ＋b ＝0x yO解析：抛物线开口向下，∴a＜0；又∵对称轴为x＝1，∴－b2a＝1，即b＝－2a，∴2a＋b＝0，∴b＞0．又∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2－4ac＞0；因为抛物线与y轴交点在x 轴上方，∴c＞0，即ac＜0，选项D正确．（2）已知函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c＋2＝0的根的情况是（）A．无实根B．有两个相等实数根C．有两个异号实数根D．有两个同号不等实数根解析：方程ax2＋bx＋c＋2＝0即ax2＋bx＋c＝－2．从图像上看，当函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为－2时，对应的x有2个不等的正实数根，故选D．例3.甲车由A地出发沿一条公路向B地行驶，3小时到达．甲车行驶的路程y（千米）与所用时间x（时）之间的函数图像如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若乙车与甲车同时从A地出发，沿同一条公路匀速行驶至B地．乙车的速度与甲车出发1小时后的速度相同，在图中画出乙车行驶的路程y（千米）与所用时间x（时）的函数图像．45分析：y 与x 之间的函数关系式分两段表示． 解：（1）当0≤x ≤1时，设y ＝k 1x （k 1≠0）．∵图像过（1，90），∴k 1＝90，∴y ＝90x ． 当1＜x ≤3时，设y ＝k 2x ＋b （k 2≠0）． ∵图像过（1，90），（3，210）， ∴⎩⎨⎧k 2＋b ＝903k 2＋b ＝210 ，∴⎩⎨⎧k 2＝60b ＝30 ． ∴y ＝60x ＋30． （2）图像如图所示．例4. 如图所示，Rt △ABO 的顶点A 是双曲线y ＝kx 与直线y ＝－x ＋（k ＋1）在第四象限6的交点，AB ⊥x 轴于B ，且S △ABO ＝32． （1）求这两个函数的解析式；（2）求直线与双曲线的两个交点A 、C 的坐标和△AOC 的面积．分析：（1）过双曲线上任意一点向x 轴或y 轴作垂线所得直角三角形面积为︱k ︱2，由S △ABO ＝32及k ＜0便可得k 值，从而求得两个函数的解析式；（2）求A 、C 两点的坐标即求直线与双曲线方程组成方程组的解．而S △AOC 的面积可通过分割成两个三角形面积求解．O yxACDB解：（1）设A 点坐标为（x ，y ），∵S △AOB ＝32，∴12︱xy ︱＝32，∴︱k ︱＝3，即k ＝±3． ∵点A 在第四象限，∴k ＝－3．∴反比例函数及一次函数解析式分别为y ＝－3x ，y ＝－x －2． （2）由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3x y ＝－x －2， 解这个方程组得⎩⎨⎧x 1＝－3y 1＝1 ，⎩⎨⎧x 2＝1y 2＝－3．∴点A 的坐标为（1，－3），点C 的坐标为（－3，1）．如图所示，设直线AC 与y 轴交于点D ，则D 点的坐标为（0，－2）， S △AOC ＝S △AOD ＋S △COD ＝12×2×1＋12×2×3＝4．7例5. 如图所示，足球场守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起，据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式； （2）足球第一次落地点C 距守门员多少米？（取43＝7）（3）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？（取26＝5）xy OCD MNAB124解：（1）设第一次落地前抛物线为y ＝a （x －6）2＋4．∵其过点A （0，1），∴a （0－6）2＋4＝1，∴a ＝－112． ∴抛物线表达式为y 1＝－112（x －6）2＋4． （2）当y 1＝0时，有－112（x －6）2＋4＝0，解得x ＝43＋6≈13（米）（取正根）． 即第一次落地点C 到守门员的距离为13米． （3）由（1）y 1＝－112（x －6）2＋4得C 点（13，0），设抛物线CND 的表达式为y 2＝－112（x －k ）2＋2， 当x ＝13，y 2＝0时，有－112（13－k ）2＋2＝0， 解得k ＝13＋26≈18（米）（取正根），∴有y2＝－112（x－18）2＋2．对此当y2＝0时，有－112（x－18）2＋2＝0，解得x＝18＋26≈23（米）（取正根），∴BD＝OD－OB＝23－6＝17（米）．所以运动员乙应再向前跑17米．评析：先要集中精力求抛物线y1，解决（1）的表达式，其中OA＝1米，BM＝4米，OB＝6米是关键词．选择顶点式求简化运算；再求落地点C（13，0）既是y1的终点，也是y2的起点，这样也就打开解题局面．这类综合题呈阶梯递进，前面的结论常为后面问题的条件，宜逐阶打开局面，步步逼进．例6.某蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x（月份）与市场售价p（元/千克）的关系如下表：上市时间x（月份） 1 2 3 4 5 6市场售价p（元/千克）10.5 9 7.5 6 4.5 3函数的图像是抛物线的一段（如图所示）．（1）写出上表中表示的市场售价p（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；（2）若图中抛物线过A、B、C点，写出抛物线对应的函数关系式；（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？（收益＝市场售价－种植成本）分析：由图表易求二次函数、一次函数解析式，用含x的关系式表示收益，运用函数性质求解最值．891234567891012345678ABCOxy解：（1）根据表中数据可知，p 与x 之间符合一次函数，所以设市场售价p 关于上市时间x 的函数关系式为p ＝kx ＋b （k ≠0）． 由题意得⎩⎨⎧k ＋b ＝10.52k ＋b ＝9 ，解得⎩⎨⎧k ＝－1.5b ＝12故市场售价p 关于上市时间x 的关系式为p ＝－1.5x ＋12． （2）设图中抛物线解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），由题意得⎩⎨⎧4a ＋2b ＋c ＝616a ＋4b ＋c ＝336a ＋6b ＋c ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝－3c ＝11．所以抛物线对应的函数关系式为y ＝14x 2－3x ＋11． （3）设每千克的收益为w 元，则由题意知w ＝p －y ＝－1.5x ＋12－（14x 2－3x ＋11）＝－14x 2＋1.5x ＋1， 由二次函数的性质知，当x ＝－b2a ＝3时有最大收益，最大收益为3.25元． 所以，3月份上市出售蔬菜每千克收益最大，最大值为3.25元．评析：（1）发现p 与x 成一次函数关系的方法是比较每月份p 值成等差下降，进而归纳其函数为直线（0≤x ≤6且x 为正整数）；（2）确立抛物线表达式可直接从图像提取条件，但要注意解方程组务求准确无误；（3）只需依公式运算．10【方法总结】1. 一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图像是直线，它与x 轴的交点为（－bk ，0），与y 轴的交点为（0，b ），与坐标轴围成的三角形面积为b 2︱2k ︱，函数的增减性只与k 有关．2. 反比例函数y ＝kx 图像上的点横坐标与纵坐标之积为定值k ，在判断函数值大小时，要先确定图像上点的位置，再由反比例函数的增减性作出判断．3. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）中，a 的符号决定抛物线的开口方向，c 的符号决定抛物线与y 轴交点的位置，a 、b 的符号共同决定对称轴的位置，b 2－4ac 的符号决定抛物线与x 轴交点的个数．【模拟试题】（答题时间：50分钟） 一、选择题1. 下列四个函数中，y 随x 的增大而减小的是（ ） A . y ＝2xB . y ＝－2x ＋5C . y ＝－3xD . y ＝－x 2＋2x －12. 在函数y ＝x ＋3中，自变量x 的取值范围是（ ） A . x ≥－3B . x ＞－3C . x ≤－3D . x ＜－33. 如图抛物线的函数表达式是（ ） A . y ＝x 2－x ＋2 B . y ＝－x 2－x ＋2C . y ＝x 2＋x ＋2D . y ＝－x 2＋x ＋24. 在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m 的某种气体，当改变容积V 时，气体的密度ρ也随之改变．ρ与V 在一定范围内满足ρ＝mV ，它的图像如图所示，则该气体的11质量是（ ）A . 1.4kgB . 5kgC . 6.4kgD . 7kg5. 如图所示的计算程序中，y 与x 之间的函数关系所对应的图象应为（ ）x 入输数反相取2×4+y出输2-2-442-2-4Oyx 2-2-442-2-4Oyx 2-2-442-2-4Oyx 2-2-442-2-4Oyx DCB A*6. 直线y ＝ax ＋b 经过第二、三、四象限，那么下列结论中正确的是（ ） A .（a ＋b ）2＝a ＋bB . 点（a ，b ）在第一象限内C . 反比例函数y ＝ax ，当x ＞0时函数值y 随x 的增大而减小 D . 抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴过第二、三象限*7. 正比例函数y ＝2kx 与反比例函数y ＝k －1x 在同一坐标系中的图像不可能是（ ）OyxOyxOyxOyx*8. 在同一直角坐标系中，函数y ＝mx ＋m 和函数y ＝－mx 2＋2x ＋2（m 是常数，且m ≠0）的图象可能．．是（ ）12x y Ox y Oxy OxyO ABCD**9. 两个不相等的正数满足a ＋b ＝2，ab ＝t －1，设S ＝（a －b ）2，则S 关于t 的函数图像是（ ）A . 射线（不含端点）B . 线段（不含端点）C . 直线D . 抛物线的一部分**10. 已知a 、b 、c 为非零实数，且满足b ＋c a ＝a ＋b c ＝a ＋cb ＝k ，则一次函数y ＝kx ＋1＋k 的图像一定经过（ ）A . 第一、二、三象限B . 第二、四象限C . 第一象限D . 第二象限二、填空题1. 函数y ＝1x －1中，自变量x 的取值范围是__________．2. 二次函数y ＝（x －1）2＋2的最小值是__________．3. 试写出图像位于第二、四象限的一个反比例函数的解析式__________．4. 函数y ＝－3x 的图像过点（－1，a ），则a ＝__________．5. 如图所示，二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 和一次函数y 2＝mx ＋n 的图像，观察图像写出y 2≥y 1时，x 的取值范围__________．136. 如图，已知函数y ＝ax ＋b 和y ＝kx 的图像交于点P ，则根据图像可得关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧y ＝ax ＋by ＝kx的解是__________．*7. 已知二次函数的图象经过原点及点（－12，－14），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为__________．**8. 如图，若正方形OABC 的顶点B 和正方形ADEF 的顶点E 都在函数y ＝1x （x ＞0）的图象上，则点E 的坐标是（_____，_____）．三、解答题1. 如图，已知A （－4，n ），B （2，－4）是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝mx 的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；（3）求方程kx＋b－m x＝0的解（请直接写出答案）；（4）求不等式kx＋b－mx＜0的解集（请直接写出答案）．OyxABC2.如图，抛物线y＝ax2－x－32与x轴正半轴交于点A（3，0）．以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF．（1）求a的值．（2）求点F的坐标．**3.在杭州市中学生篮球赛中，小方共打了10场球．他在第6，7，8，9场比赛中分别得了22，15，12和19分，他的前9场比赛的平均得分y比前5场比赛的平均得分x要高．如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分．（1）用含x的代数式表示y；（2）小方在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少？（3）小方在第10场比赛中，得分可达到的最小值是多少？**4.某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y（元）与月份x之间14满足函数关系y＝－50x＋2600，去年的月销售量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：（1（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了m%，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3月份至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予财政补贴936万元，求m的值（保留一位小数）（参考数据：34≈5.831，35≈5.916，37≈6.083，38≈6.164）1516【试题答案】 一、选择题1. B 【∵－2＜0，∴y ＝－2x ＋5的y 值随x 的增大而减小】2. A 【∵x ＋3≥0，∴x ≥－3】3. D 【将（－1，0）、（0，2）、（2，0）三点代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中即可】4. D 【代入（5，1.4），m ＝7】5. D6. D 【图像过二、三、四象限，∴a <0，b <0】7. D 【研究k ＞0或k <0的图像位置】8. D 【若m ＞0，直线过一、三象限，抛物线开口向下，A 、B 、C 、D 均不正确，这种假设不成立．则m <0，∴直线过二、三、四象限，抛物线开口向上，B 、D 可能正确．再判断抛物线对称轴的位置，－b 2a ＝1m <0，∴D 正确】9. B 【S ＝（a －b ）2＝（a ＋b ）2－4ab ＝22－4（t －1）＝8－4t ．∵a 、b 是两个不相等的正数，且a ＋b ＝2，∴0<a <2，0<b <2，∴0<ab <4，∴1<t <5．∴S 的图像是一条线段（不含端点）】10. D 【由b ＋c a ＝a ＋b c ＝a ＋cb ＝k 可得b ＋c ＝ak ，a ＋b ＝ck ，a ＋c ＝bk ．∴2（a ＋b ＋c ）＝（a ＋b ＋c ）k ，当a ＋b ＋c ≠0时k ＝2；当a ＋b ＋c ＝0时k ＝－1．则y ＝2x ＋3或y ＝－x ，∴图象一定过第二象限】二、填空题1. x ≠12. 23. 不唯一，如y ＝－1x174. 3【将（－1，a ）代入得y ＝－3－1＝3】5. －2≤x ≤16. ⎩⎨⎧x ＝－4y ＝－2 【交点坐标为二元一次方程组的解】7. y ＝x 2＋x或y ＝－13x 2＋13x 【因为二次函数经过原点，所以设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ，将（－12，－14）代入得－14＝14a －12b ，整理得a －2b ＝－1．二次函数与x 轴交点坐标为（1，0）或（－1，0），则⎩⎨⎧a －2b ＝－1a ＋b ＝0 或⎩⎨⎧a －2b ＝－1a －b ＝0 ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=3131b a 或⎩⎨⎧a ＝1b ＝1 ．所以y＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x ．】8.5＋12，5－12【根据题意正方形ABCO 的面积为1得其边长为1，则DE （1＋DE ）＝1，即DE 2＋DE －1＝0，解得DE ＝5－12（取正根）．OD ＝OA ＋DE ＝5＋12】三、解答题1.（1）∵B （2，－4）在函数y ＝mx 的图象上，∴m ＝－8．∴反比例函数的解析式为：y ＝－8x ． ∵点A （－4，n ）在函数y ＝－8x 的图象上， ∴n ＝2．∴A （－4，2）．∵y ＝kx ＋b 经过A （－4，2），B （2，－4），∴⎩⎨⎧－4k ＋b ＝22k ＋b ＝－4 ，解之得⎩⎨⎧k ＝－1b ＝－2 .18∴一次函数的解析式为：y ＝－x －2． （2）∵C 是直线AB 与x 轴的交点，∴当y ＝0时，x ＝－2， ∴点C （－2，0）， ∴OC ＝2．∴S △AOB ＝S △ACO ＋S △BCO ＝12×2×2＋12×2×4＝6． （3）x 1＝－4，x 2＝2．（4）－4＜x ＜0或x ＞2． 2.（1）把A （3，0）代入y ＝ax 2－x －32中，得a ＝12． （2）∵A （3，0），∴OA ＝3．∵四边形OABC 是正方形， ∴OC ＝OA ＝3．当y ＝3时，12x 2－x －32＝3，即x 2－2x －9＝0．解得x 1＝1＋10，x 2＝1－10＜0（舍去）．∴CD ＝1＋10． 在正方形OABC 中，AB ＝CB ． 同理BD ＝BF ． ∴AF ＝CD ＝1＋10，∴点F 的坐标为（3，1＋10）．3.（1）根据题意，小方前5场得分5x ，6~9场得分22＋15＋12＋19＝68，前9场得分9y ．∴9y ＝5x ＋68，即y ＝59x ＋689； （2）由题意有y ＞x ，即59x ＋689＞x ，解得x ＜17，19所以小方在前5场比赛中总分的最大值应为17×5－1＝84； （3）又由题意，小方在这10场比赛中得分至少为18×10＋1＝181分，设他在第10场比赛中的得分为S ，则有84＋（22＋15＋12＋19）＋S≥181，解得S≥29， 所以小方在第10场比赛中得分的最小值应为29分．4.（1）设销售量p 与月份x 之间的关系式为p ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧k ＋b ＝3.95k ＋b ＝4.3 ，解得⎩⎨⎧k ＝0.1b ＝3.8， 所以p ＝0.1x ＋3.8，设销售金额为w ，则w ＝py ＝－5x 2＋70x ＋9880， 当x ＝7时，w 最大＝10125万元．（2）当x ＝12时，y ＝2000，p ＝5，即去年12月份售价2000元，12月份销售量为5万台，2000（1－m %）⨯[5（1－1.5m %）＋1.5]×13%×3＝936． 解得m 1＝52.8，m 2＝133.9（舍去）．答：m 的值约为52.8.。