布里渊区与能带,光学晶体局域态

1，布里渊区与能带2，光子晶体局域态

(2008-03-26 12:51:28)

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在波矢空间中取某一倒易阵点为原点（通常为高对称点），作所有倒易点阵矢量的垂直平分面，这些面波矢空间划分为一系列的区域：其中最靠近原点的一组面所围的闭合区称为第一布里渊区；在第一布里渊区之外，由于一组平面所包围的波矢区叫第二布里渊区；依次类推可得第三、四、…等布里渊区。

各布里渊区体积相等，简单立方、体心立方和面心立方点阵的简约区分别为立方体，都等于倒易点阵的元胞体积。周期结构中的一切波在布里渊区界面上产生布喇格反射，在文献中不加定语的布里渊区指的往往就是它。对于电子德布罗意波，这一反射可能使电子能量在布里渊区界面上（即倒易点阵矢量的中垂面）产生不连续变化。根据这一特点，1930年L.-N.布里渊首先提出用倒易点阵矢量的中垂面来划分波矢空间的区域，因此只需要用第一布里渊区中的波矢来描述能带电子、点阵振动和自旋波……的状态，从此被称为布里渊区。

第一布里渊区就是倒易点阵的维格纳－赛茨元胞，如果对每一倒易点阵作此元胞，它们会毫无缝隙的填满整个波矢空间。第一布里渊区就是倒易点阵的维格纳－赛茨元胞，由于完整晶体中运动的电子、声子、磁振子、……等元激发（见固体中的元激发）的能量和状态都是倒易点阵的周期函数，从此被称为布里渊区。因此只需要用第一布里渊区中的波矢来描述能带电子、点阵振动和自旋波……的状态。

布里渊区的形状取决于晶体所属布喇菲点阵的类型。都等于倒易点阵的元胞体积。简单立方、体心立方和面心立方点阵的简约区分别为立方体，菱十二面体和截角八面体（十四面体）。由于一组平面所包围的波矢区叫第二布里渊区；依次类推可得第三、四、…等布里渊区。它们都是对称的多面体，这些面波矢空间划分为一系列的区域：其中最靠近原点的一组面所围的闭合区称为第一布里渊区；在第一布里渊区之外，并具有相应点阵的点群对称性，这一特征使简约区中高对称点的能量求解得以简化（见晶体的对称性）。

在能带图中，

横轴为波矢，波矢轴上会有几个大写字母表示布里渊区的几个高对称性点，如X, M, K, W 等。

对这样的能带图，我的理解是这样的：对于从波矢空间原点到其他点的方向上，能带图描绘出沿着这一方向从k=0到布里渊区边界对于连续波矢值的能带曲线。

对于其他高对称性点，如在波矢轴上从X 到W,曲线描绘的是波矢末端从X变化到W时的能带曲线，也就是沿着布里渊区的边界。所以能带图并不会表现出所有波矢对应的能带情况。

这样画能带图的原因是，由于在布里渊区的边界会产生带隙，所以只需要这样画就可以表现出全部需要研究的能带情况了。

“如果是一个表示能带的平面图，横轴表示波矢，这个值是连续的，这就可以理解为是在布里渊区内相应的波矢起点到终点的一条线，有时是从中心到边界，有时是在边界上。能带图都是计算出来的，往往画出来的是具有高对称性的那些位置，因为能带分布也反映了晶格分布。“

Points of high-symmetry on the Brillouin zone have specific

importance. The most important point for optoelectronic devices

is the center at k = 0, known as the gamma point Γ.

Note the points Γ, X, W, K,…

光子晶体简介

众所周知，电子在周期势场中传播时，由于电子波会受到周期势场的布拉格散射，会形成能带结构，带与带之间可能存在带隙。电子波的能量如果落在带隙中，传播是禁止的。其实，不管任何波，只要受到周期性调制，都有能带结构，也都有可能出现带隙。能量落在带隙中的波是不能传播的。电磁波或者光波也不会例外。不过人们真正清楚其物理含义已经是八十年代末了。

1987年Yabnolovitch [1]在讨论如何抑制自发辐射时提出了光子晶体这一新概念。几乎同时，John [2]在讨论光子局域时也独立提出。如果将不同介电常数的介电材料构成周期结构，电磁波在其中传播时由于布拉格散射，电磁波会受到调制而形成能带结构，这种能带结构叫做光子能带 (photonic band)。光子能带之间可能出现带隙，即光子带隙 (photon ic bandgap, 简称PBG)。具有光子带隙的周期性介电结构就是光子晶体 (photonic cryst als)，或叫做光子带隙材料 (photonic bandgap materials)，也有人把它叫做电磁晶体(electromagnetic crystals)。图1给出光子晶体的结构及光子能带结构。

固体物理中的许多概念都可用在光子晶体上，如倒格子、布里渊区、色散关系、Bloch函数、Van Hove奇点等。由于周期性，对光子也可以定义有效质量。不过需要指出的是光子晶体与常规的晶体（从某种意义上来说可以叫做电子晶体）有相同的地方，也有本质的不同，如光子服从的是Maxwell方程，电子服从的是薛定谔方程；光子波是矢量波，而电子波是标量波；电子是自旋为1/2的费米子，光子是自旋为1的玻色子；电子之间有很强的相互作用，而光子之间没有。

光子晶体的基本特征是具有光子带隙，频率落在带隙中的电磁波是禁止传播的，因为带隙中没有任何态存在。光子带隙的存在带来许多新物理和新应用 [3-5]。

自发辐射是爱因斯坦在1905年提出的，对许多物理过程和实际应用有重要的影响，如自发辐射是半导体激光器的阈电流的主要原因，只有超过阈电流才能发出激光。八十年代以前，人们一直认为自发辐射是一个随机的自然现象，是不能控制的。Purcell在1946年提出自

发辐射可以人为改变 [6]，但没有受到任何重视。直到光子晶体的出现才改变了这种观点[1]。自发辐射几率由费米黄金定则给出

其中，|V|称为零点Rabi矩阵元，????是光场的态密度。如果电磁波的态密度为零，则自发辐射的几率为零，即没有自发辐射。光子带隙中的态密度为零，因此，频率落在光子带隙中的电磁波的自发辐射被完全抑制。如果引入缺陷，在光子带隙中可能出现态密度很高的缺陷态，因此可以增强自发辐射。有文献称将自发辐射可以控制的这种现象叫Purcell效应。