算法讲稿3动态规划.pptx
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算法之动态规划问题
最长不升子列问题：给定一个整数序列A，找出 其最长不升子列
故事：人类为了回击外星人入侵，要把射程不同 的一排高炮依次发射，但发射的能量不会增加，因 此，射程是不增的，请挑选最长的高炮序列
4.5.2 最长不升子列问题的动态 规划解法示例
8 6 5 10 9 7 3 2
8自己构成最长子列8，长度为1，到第1位置的 最长子列长度是1；
它与钓鱼问题有什么区别和联系？钓鱼问题增 加了池塘之间移动所需时间的耗费；钓鱼问题 要求每个池塘相邻两个时段的收益是单调不增 的。可以认为，钓鱼问题是资源分配问题的特 例
4.3.2 资源分配问题的动态规划 解法示例
x01234
G1(x) 0 4 20 25 31 G2(x) 0 5 15 41 50 G3(x) 0 6 11 18 23 如果5个资源全部由G1(x)获得，则随时间增加，最 大收益分别为0, 4, 20, 25, 31, 31；如果1个资源由 G1(x)和G2(x)获得，则最大收益是max{4, 5}=5；如 果2个资源由G1(x)和G2(x)获得，则最大收益是max {20+0, 4+5, 0+15}，则最大收益是20……
花费时间2：所花费时间可以分为2+0+0，1+1+0，0+1+1三种，
其最大收益是：max{45, 30, 20} = 45
花费时间3：所花费时间可以分为3+0+0，2+1+0，1+1+1，0+1+2 四种。其最大收益是：max{45+0, 45+0, 30+20, 0+37} = 50
4.1.3 钓鱼问题的动态规划解法 的步骤
故事：人类为了回击外星人入侵，要把射程不同 的一排高炮依次发射，但发射的能量不会增加，因 此，射程是不增的，请挑选最长的高炮序列
4.5.2 最长不升子列问题的动态 规划解法示例
8 6 5 10 9 7 3 2
8自己构成最长子列8，长度为1，到第1位置的 最长子列长度是1；
它与钓鱼问题有什么区别和联系？钓鱼问题增 加了池塘之间移动所需时间的耗费；钓鱼问题 要求每个池塘相邻两个时段的收益是单调不增 的。可以认为，钓鱼问题是资源分配问题的特 例
4.3.2 资源分配问题的动态规划 解法示例
x01234
G1(x) 0 4 20 25 31 G2(x) 0 5 15 41 50 G3(x) 0 6 11 18 23 如果5个资源全部由G1(x)获得，则随时间增加，最 大收益分别为0, 4, 20, 25, 31, 31；如果1个资源由 G1(x)和G2(x)获得，则最大收益是max{4, 5}=5；如 果2个资源由G1(x)和G2(x)获得，则最大收益是max {20+0, 4+5, 0+15}，则最大收益是20……
花费时间2：所花费时间可以分为2+0+0，1+1+0，0+1+1三种，
其最大收益是：max{45, 30, 20} = 45
花费时间3：所花费时间可以分为3+0+0，2+1+0，1+1+1，0+1+2 四种。其最大收益是：max{45+0, 45+0, 30+20, 0+37} = 50
4.1.3 钓鱼问题的动态规划解法 的步骤
动态规划算法教学PPT
03
动态规划算法的实现步骤
明确问题，建立数学模型
1
确定问题的目标和约束条件，将其转化为数学模 型。
2
理解问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问 题。
3
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状 态和决策。
划分阶段，确定状态变量和决策变量
01
根据问题的阶段划分，将问题分解为若干个子问题。
02
确定状态变量和决策变量，以便描述子问题的状态 和决策。
02
将子问题的最优解组合起来，得到原问题的最优解。
对最优解进行验证和性能评估，确保其满足问题的要求。
03
04
动态规划算法的优化技巧
分支定界法
分支定界法是一种求解优化问题的算 法，它通过不断生成问题的分支并确 定每个分支的界限，来寻找最优解。 在动态规划中，分支定界法可以用来 优化状态转移方程，减少计算量。
详细描述
多目标规划问题在实际生活中应用广泛，如资源分配、项目计划、城市规划等领 域都有涉及。常用的求解多目标规划的方法包括权重和法、帕累托最优解等。
多阶段决策问题
总结词
多阶段决策问题是动态规划中的一类，解决的问题需要在多个阶段做出决策，每个阶段的决策都会影响到后续阶 段的决策。
详细描述
多阶段决策问题在实际生活中应用广泛，如生产计划、库存管理、路径规划等领域都有涉及。常用的求解多阶段 决策问题的方法包括递归法、动态规划等。
特点
动态规划算法具有最优子结构、重叠 子问题和最优解性质等特征。
动态规划算法的应用领域
计算机科学
在计算机科学中，动态规划算法广泛应用于字符 串处理、排序、数据压缩和机器学习等领域。
电子工程
在电子工程中，动态规划算法用于信号处理、通 信和控制系统等领域。
算法分析与设计动态规划ppt课件
问题的描述 1）二分检索树定义
二分检索树Ｔ是一棵二元树，它或者为空，或者其每个 结点含有一个可以比较大小的数据元素，且有：
·Ｔ的左子树的所有元素比根结点中的元素小； ·Ｔ的右子树的所有元素比根结点中的元素大； ·Ｔ的左子树和右子树也是二分检索树。 注： ·二分检索树要求树中所有结点的元素值互异
29
二分检索树
COST(n)0
for jn -1 to 1 by –1 do
设r是一个这样的结点,<j, r>∈E且使c(j,r)+COST(r)取小值
COST(j)c(j,r)+COST(r)
D(j)r repeat P(1)1;P(k)n
计算出COST(j)的值， 并找出一条最小成本 路径
for j2 to k-1 do
12
4.2 多段图
多段图向前处理的算法
– 设P(i, j)是一条从Vi中的节点j 到汇点t 的最小 成本路径，COST(i, j)表示这条路径的成本， 根据向前处理方法有公式4.5：
13
多段图的向前处理算法
因为，若<j, t> ∈E成立,有COST(k-1,j)=c(j,t), 若<j, t> ∈E不成立，则有COST(k-1,j)=∞，所以 可以通过如下步骤解式公式（4.5），并求出 COST(1,s)。 首先对于所有j∈Vk-2，计算COST(k-2, j)，然后对 所有的j∈Vk-3，计算计算COST(k-3, j)等等，最后 计算出计算COST(1, s)
BCOST(2，4)=3； BCOST(2，5)=2；
21
V1
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V4
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24
9
1
3
二分检索树Ｔ是一棵二元树，它或者为空，或者其每个 结点含有一个可以比较大小的数据元素，且有：
·Ｔ的左子树的所有元素比根结点中的元素小； ·Ｔ的右子树的所有元素比根结点中的元素大； ·Ｔ的左子树和右子树也是二分检索树。 注： ·二分检索树要求树中所有结点的元素值互异
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二分检索树
COST(n)0
for jn -1 to 1 by –1 do
设r是一个这样的结点,<j, r>∈E且使c(j,r)+COST(r)取小值
COST(j)c(j,r)+COST(r)
D(j)r repeat P(1)1;P(k)n
计算出COST(j)的值， 并找出一条最小成本 路径
for j2 to k-1 do
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4.2 多段图
多段图向前处理的算法
– 设P(i, j)是一条从Vi中的节点j 到汇点t 的最小 成本路径，COST(i, j)表示这条路径的成本， 根据向前处理方法有公式4.5：
13
多段图的向前处理算法
因为，若<j, t> ∈E成立,有COST(k-1,j)=c(j,t), 若<j, t> ∈E不成立，则有COST(k-1,j)=∞，所以 可以通过如下步骤解式公式（4.5），并求出 COST(1,s)。 首先对于所有j∈Vk-2，计算COST(k-2, j)，然后对 所有的j∈Vk-3，计算计算COST(k-3, j)等等，最后 计算出计算COST(1, s)
BCOST(2，4)=3； BCOST(2，5)=2；
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V1
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1
3
《动态规划》课件
《动态规划》ppt课 件
xx年xx月xx日
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的求解方法 • 动态规划的应用实例 • 动态规划的优化技巧 • 动态规划的总结与展望
目录
01
动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法。
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最 优子结构的问题，通过将问题分解为 子问题，可以找到最优解。
动态规划的适用范围
最优化问题
01
动态规划适用于解决最优化问题，如最大/最小化问题、决策问
题等。
子问题重叠
02
动态规划适用于子问题重叠的情况，即子问题之间存在共享状
态或参数。
递归关系
03
动态规划适用于具有递归关系的问题，可以通过递归方式求解
机器调度问题
总结词
动态规划可以应用于机器调度问题，以确定最优的调度方案，满足生产需求并降低成本 。
详细描述
机器调度问题是一个经典的优化问题，涉及到如何分配任务到机器上，以最小化成本或 最大化效率。通过动态规划，可以将机器调度问题分解为一系列子问题，如确定每个任 务的调度顺序、分配机器等，并逐个求解子问题的最优解，最终得到整个调度方案的最
VS
详细描述
记忆化搜索法是一种优化技术，通过存储 已解决的子问题的解，避免重复计算，提 高求解效率。这种方法适用于子问题数量 较少且相互独立的情况。
04
动态规划的应用实例
最短路径问题
总结词
通过动态规划解决最短路径问题，可以找到 从起点到终点的最短路径。
详细描述
在图论中，最短路径问题是一个经典的优化 问题，旨在找到从起点到终点之间的一条路 径，使得路径上的所有边的权重之和最小。 动态规划是一种有效的解决方法，通过将问 题分解为子问题并存储子问题的解，避免了 重复计算，提高了求解效率。
xx年xx月xx日
• 动态规划概述 • 动态规划的基本概念 • 动态规划的求解方法 • 动态规划的应用实例 • 动态规划的优化技巧 • 动态规划的总结与展望
目录
01
动态规划概述
定义与特点
定义
动态规划是一种通过将原问题分解为 相互重叠的子问题，并存储子问题的 解以避免重复计算的方法。
特点
动态规划适用于具有重叠子问题和最 优子结构的问题，通过将问题分解为 子问题，可以找到最优解。
动态规划的适用范围
最优化问题
01
动态规划适用于解决最优化问题，如最大/最小化问题、决策问
题等。
子问题重叠
02
动态规划适用于子问题重叠的情况，即子问题之间存在共享状
态或参数。
递归关系
03
动态规划适用于具有递归关系的问题，可以通过递归方式求解
机器调度问题
总结词
动态规划可以应用于机器调度问题，以确定最优的调度方案，满足生产需求并降低成本 。
详细描述
机器调度问题是一个经典的优化问题，涉及到如何分配任务到机器上，以最小化成本或 最大化效率。通过动态规划，可以将机器调度问题分解为一系列子问题，如确定每个任 务的调度顺序、分配机器等，并逐个求解子问题的最优解，最终得到整个调度方案的最
VS
详细描述
记忆化搜索法是一种优化技术，通过存储 已解决的子问题的解，避免重复计算，提 高求解效率。这种方法适用于子问题数量 较少且相互独立的情况。
04
动态规划的应用实例
最短路径问题
总结词
通过动态规划解决最短路径问题，可以找到 从起点到终点的最短路径。
详细描述
在图论中，最短路径问题是一个经典的优化 问题，旨在找到从起点到终点之间的一条路 径，使得路径上的所有边的权重之和最小。 动态规划是一种有效的解决方法，通过将问 题分解为子问题并存储子问题的解，避免了 重复计算，提高了求解效率。
《动态规划课件》课件
应用场景：求解最短路径、背 包问题等
注意事项：避免重复计算子问 题和记忆化搜索
定义：将问题划分为 若干个较小的子问题， 并逐个解决子问题， 最终得到原问题的解
特点：将原问题分解为 更小的子问题，通过求 解子问题的最优解得到 原问题的最优解
应用场景：适用于 具有重叠子问题和 最优子结构特性的 问题
示例：背包问题、 最大子段和问题等
分段算法的代码 实现
分段算法的时间 复杂度分析
避免重复计算：使用备忘录或动态规划表来记录已计算过的子问题 减少子问题的数量：通过合并或减少不必要的子问题来降低计算复杂度 选择合适的递归方式：根据问题的特点选择最优的递归方式 优化递归栈：通过减少递归深度或使用循环代替递归来提高性能
优化算法：动态规划可以优化算法，提高计算效率 避免重复计算：通过记忆化搜索，避免重复计算，提高计算速度
添加标题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
添加标题
添加标题
添加标题
动态规划与分治法比较：分治法将 问题分解为子问题，而动态规划将 子问题联系起来
动态规划与回溯法比较：回溯法会 穷举所有可能解，而动态规划可以 避免不必要的搜索
机器学习与深度 学习中的动态规 划
自然语言处理中 的动态规划
计算机视觉中的 动态规划
推荐系统中的动 态规划
最大子段和问题的定义 最大子段和问题的应用场景 最大子段和问题的解决方法 最大子段和问题的实际应用案例
定义：矩阵链乘法问题是一种优化问题，通过动态规划算法来求解
应用场景：在科学计算、机器学习、图像处理等领域都有广泛的应用
算法原理：通过动态规划算法，将矩阵链乘法问题转化为子问题，从而避免重复计算，提高 计算效率
应用场景：背包问题在计算机科学、运筹学、经济学等领域都有广泛的应用，如资源分配、路径规划、时间表安 排等。
动态规划 PPT课件
5
常用算法与程序设计
3. 最优性原理
最优性原理：“作为整个过程的最优策略具有这样的 性质，无论过去的状态和决策如何,对前面的决策所形成 的状态而言,余下的诸决策必须构成最优策略”。 也就是说,最优决策序列中的任何子序列都是最优的。 最优性原理体现为问题的最优子结构特性。当一个问 题的最优解中包含了子问题的最优解时，则称该问题具 有最优子结构特性。 最优子结构特性是动态规划求解问题的必要条件。
cij ai1 b1 j ai 2 b2 j ain bnj a ik bkj k 1 cmp am1b1 p am 2 b2 p amn bnp a mk12 bkp 返回
Visual FoxPro
k 1 n k 1 n
k 1 n
常用算法与程序设计
3
常用算法与程序设计
2一般方法
多阶段决策问题 多阶段决策过程的每一阶段可能有多种可供 选择的决策，必须从中选择一种决策。各阶 段的决策构成一个决策序列。决策序列不同， 所导致的问题的结果可能不同。 多阶段决策的最优化问题就是：求能够获得 问题最优解的决策序列——最优决策序列。
4
常用算法 a11 b11 a12b21 a1n bn1 a1k bk 1
c1 j a11 b1 j a12b2 j a1n bnj a1k bkj
k 1 n
n
ci1 ai1 b11 ai 2 b21 ain bn1 a ik bk 1
给定n个矩阵{A0,A1,…,An－1}， 其中Ai
， i=0,…,n-1 的 维 数为 pipi+1 ，并且 Ai 与 Ai+1 是可乘的。考察这 n个矩阵的连 乘积 A0A1…An1 ，由于矩阵乘法满足
常用算法与程序设计
3. 最优性原理
最优性原理：“作为整个过程的最优策略具有这样的 性质，无论过去的状态和决策如何,对前面的决策所形成 的状态而言,余下的诸决策必须构成最优策略”。 也就是说,最优决策序列中的任何子序列都是最优的。 最优性原理体现为问题的最优子结构特性。当一个问 题的最优解中包含了子问题的最优解时，则称该问题具 有最优子结构特性。 最优子结构特性是动态规划求解问题的必要条件。
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k 1 n k 1 n
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常用算法与程序设计
3
常用算法与程序设计
2一般方法
多阶段决策问题 多阶段决策过程的每一阶段可能有多种可供 选择的决策，必须从中选择一种决策。各阶 段的决策构成一个决策序列。决策序列不同， 所导致的问题的结果可能不同。 多阶段决策的最优化问题就是：求能够获得 问题最优解的决策序列——最优决策序列。
4
常用算法 a11 b11 a12b21 a1n bn1 a1k bk 1
c1 j a11 b1 j a12b2 j a1n bnj a1k bkj
k 1 n
n
ci1 ai1 b11 ai 2 b21 ain bn1 a ik bk 1
给定n个矩阵{A0,A1,…,An－1}， 其中Ai
， i=0,…,n-1 的 维 数为 pipi+1 ，并且 Ai 与 Ai+1 是可乘的。考察这 n个矩阵的连 乘积 A0A1…An1 ，由于矩阵乘法满足
《动态规划教学》课件
动态规划的理论研究
要点一
动态规划算法的收敛性研究
深入探讨动态规划算法的收敛速度和收敛条件，为算法优 化提供理论支持。
要点二
动态规划的近似算法研究
研究近似动态规划算法，在保证一定精度下降低计算复杂 度，提高求解效率。
THANK YOU
缺点
01
空间复杂度高
动态规划通常需要存储所有子问题的解决方案，因此其空 间复杂度通常较高。对于大规模问题，可能需要大量的存 储空间，这可能导致算法在实际应用中受到限制。
02 03
可能陷入局部最优解
虽然动态规划有助于找到全局最优解，但在某些情况下， 它可能陷入局部最优解。这是因为动态规划通常从问题的 初始状态开始，逐步解决子问题，如果初始状态不是最优 的，则可能在整个过程中都围绕着一个非最优的解决方案 。
期权定价
动态规划可以用于期权定价模型，以更准确地预测期 权价格。
计算机科学
算法优化
动态规划可以用于优化算法，以提高计算效率和 准确性。
数据压缩
动态规划可以用于数据压缩算法，以更有效地压 缩和解压缩数据。
游戏开发
动态规划可以用于游戏开发和AI算法，以提高游 戏的可玩性和智能性。
生物信息学
基因序列比对
动态规划可以用于基因序列比对 ，以ห้องสมุดไป่ตู้定不同基因序列之间的相 似性和差异性。
蛋白质结构预测
动态规划可以用于预测蛋白质的 三维结构，以更好地理解蛋白质 的功能和作用机制。
进化树构建
动态规划可以用于构建进化树， 以更好地理解物种的进化关系和 演化历程。
05
动态规划的优缺点
优点
高效性
动态规划能够有效地解决最优化问题，特别是那些具有重叠子问题和最优子结构的问题。通过将问题分解为子问题并 存储它们的解决方案，动态规划避免了重复计算，从而大大提高了算法的效率。
动态规划专题完整ppt
then begin m:=s[c[k-1,j]]+v[c[k,i],c[k-1,j]]; d:=c[k-1,j]; end;
s[c[k,i]]:=m; { S[c[k,j] ] 记录第K个阶段的第J个结点到 终点的最短距离}
h[c[k,i]]:=d;｛h[j]记录第j阶段最优路径经过的编号｝ end; end; writeln(s[n]);
三、动态规划中的几个概念
1、阶段
把解题的次序称为规划方向，把地位相同的结点称为一个 阶段。
2、状态
每一阶段的一个结点称为这个阶段的一个状态。如例1 中的第3阶段，有3个结点C1、C2、C3，称第3阶段有4种 状态，分别是C1、C2、C3。
3、状态转移方程 除边界外的任一阶段都得由其前面的阶段递推得到，这递
如：输入数据： N=7 4 3 2 1 4 4 t[i] 3 4 2 2 4 r[i] 输出 14 1 2+3 4+5 6+7
分析：
设F[i] 表示第i个人到第N个人买票所要的最小 时间。
F[i]=min{t[i]+f[i+1],r[i]+f[i+2] } (i=1,2,…,n-1)
F[n]=t[n] 目标是求f[1], 即所有歌迷总的买票时间的最小 值。
推的过程就表现出了阶段的动态演变。这种根据已有状态求得
未知状态的过程，我们称之为状态转移，状态转移的规则用数 学语言来描述，就称为状态转移方程。状态转移方程的形式多 样，如例1中的形式为G[i]=min{G[j]+ei,j}，ei,j∈E。
例题2：排队买票问题
一场演唱会即将举行。现有N（0〈N<=200〉个歌迷 排队买票，一个人买一张，而售票处规定，一个人每次最 多只能买两张票。假设第i位歌迷买一张票需要时间Ti（1 〈=I〈=n〉，队伍中相邻的两位歌迷（第j个人和第j+1个 人）也可以由其中一个人买两张票，而另一位就可以不用 排队了，则这两位歌迷买两张票的时间变为Rj，假如 Rj<T(j)+T(j+1)，则这样做就可以缩短后面歌迷等待的时间， 加快整个售票的进程。现给出N，Tj和Rj，求使每个人都买 到票的最短时间和方法。
s[c[k,i]]:=m; { S[c[k,j] ] 记录第K个阶段的第J个结点到 终点的最短距离}
h[c[k,i]]:=d;｛h[j]记录第j阶段最优路径经过的编号｝ end; end; writeln(s[n]);
三、动态规划中的几个概念
1、阶段
把解题的次序称为规划方向，把地位相同的结点称为一个 阶段。
2、状态
每一阶段的一个结点称为这个阶段的一个状态。如例1 中的第3阶段，有3个结点C1、C2、C3，称第3阶段有4种 状态，分别是C1、C2、C3。
3、状态转移方程 除边界外的任一阶段都得由其前面的阶段递推得到，这递
如：输入数据： N=7 4 3 2 1 4 4 t[i] 3 4 2 2 4 r[i] 输出 14 1 2+3 4+5 6+7
分析：
设F[i] 表示第i个人到第N个人买票所要的最小 时间。
F[i]=min{t[i]+f[i+1],r[i]+f[i+2] } (i=1,2,…,n-1)
F[n]=t[n] 目标是求f[1], 即所有歌迷总的买票时间的最小 值。
推的过程就表现出了阶段的动态演变。这种根据已有状态求得
未知状态的过程，我们称之为状态转移，状态转移的规则用数 学语言来描述，就称为状态转移方程。状态转移方程的形式多 样，如例1中的形式为G[i]=min{G[j]+ei,j}，ei,j∈E。
例题2：排队买票问题
一场演唱会即将举行。现有N（0〈N<=200〉个歌迷 排队买票，一个人买一张，而售票处规定，一个人每次最 多只能买两张票。假设第i位歌迷买一张票需要时间Ti（1 〈=I〈=n〉，队伍中相邻的两位歌迷（第j个人和第j+1个 人）也可以由其中一个人买两张票，而另一位就可以不用 排队了，则这两位歌迷买两张票的时间变为Rj，假如 Rj<T(j)+T(j+1)，则这样做就可以缩短后面歌迷等待的时间， 加快整个售票的进程。现给出N，Tj和Rj，求使每个人都买 到票的最短时间和方法。
动态规划专题讲义课件
VS
状态转移方程是动态规划中的重要概念，它描述了状态之间的转移关系。在求解问题时，通过状态转移方程可以将一个状态转移到另一个状态，从而逐步求解出问题的最优解。
状态转移方程的建立需要通过对问题进行深入分析，找出状态之间的依赖关系，并建立数学模型。在应用状态转移方程时，需要注意状态的初始状态和终止状态，以及状态转移过程中的约束条件。
02
动态规划的基本概念
最优化原理是动态规划的核心思想，它认为一个问题的最优解可以通过子问题的最优解来构建。在解决复杂问题时，将问题分解为若干个子问题，分别求解子问题的最优解，再利用子问题的最优解来求解原问题的最优解。
最优化原理的应用范围很广，包括计算机科学、运筹学、经济学等领域。通过将问题分解为子问题，可以降低问题的复杂度，提高求解效率。
自顶向下策略
自底向上策略
分支定界法：通过将问题分解为多个分支来解决问题，同时使用界限来排除不可能的解。与动态规划结合，可以更有效地处理具有大量状态和决策的问题。
THANK YOU
感谢各位观看
排班问题
如求解最优的排班方案，使得员工的工作计划合理且满足各种约束条件。
03
递推关系
建立子问题的解之间的递推关系，通过这种关系逐步求解更大规模的问题，直到达到原问题的解。
01
将原问题分解为子问题
将原问题分解为若干个子问题，这些子问题是原问题的较小规模或部分问题的解。
02
存储子问题的解
将已解决的子问题的解存储起来，以便在求解更大规模的问题时重复使用，避免重复计算。
03
动态规划的算法实现
状态空间法是动态规划的基本方法，通过构建状态转移方程来求解最优化问题。
状态转移方程描述了从状态转移至其他状态的过程，通过迭代更新状态变量的值，最终得到最优解。
《动态规划》课件
《动态规划》PPT课件
动态规划（Dynamic Programming）是一种用来解决复杂问题的算法思想。
什么是动态规划
动态规划是一种将问题拆分成子问题并进行最优解比较的算法，常用于求解最优化问题。
问题模型
状态
将问题抽象成能够描述当前情况的状态。
目标
定义问题的目标，通常是最小化或最大化某 个指标。
经典面试题：爬楼梯问题
爬楼梯问题是指给定楼梯的阶数，求解爬到楼顶的不同方式的数量。
经典面试题：硬币找零问题
硬币找零问题是指给定一定面值的硬币和一个金额，找到凑出该金额的最少 硬币数。
经典面试题：最长回文子串问题
最长回文子串问题是指找到给定字符串中最长的回文子串。
实用案例：机器人找出路
机器人找出路是指给定一个迷宫，找到从起点到终点的路径。
决策
根据状态作出选择或决策。
转移方程
根据子问题的最优解推导出整体问题的最优 解。
最优子结构和重叠子问题
1 最优子结构
问题的最优解包含了子问题的最优解。
2 重叠子问题
子问题之间存在重复的计算，可以利用记 忆化存储中间结果来优化。
动态规划三部曲
1
定义状态
明确问题的状导转移方程
国王游戏问题
国王游戏问题是指在一个棋盘上放置国王，使得它们无法互相攻击。
编辑距离问题
编辑距离问题是指计算两个字符串之间转换的最小操作次数，包括插入、删 除和替换操作。
矩阵连乘问题
矩阵连乘问题是指给定一系列矩阵，找到最佳的乘法顺序，使得计算乘法的总次数最小。
最长递增子序列问题
最长递增子序列问题是指找到给定序列中最长的递增子序列的长度。
斐波那契数列问题
动态规划（Dynamic Programming）是一种用来解决复杂问题的算法思想。
什么是动态规划
动态规划是一种将问题拆分成子问题并进行最优解比较的算法，常用于求解最优化问题。
问题模型
状态
将问题抽象成能够描述当前情况的状态。
目标
定义问题的目标，通常是最小化或最大化某 个指标。
经典面试题：爬楼梯问题
爬楼梯问题是指给定楼梯的阶数，求解爬到楼顶的不同方式的数量。
经典面试题：硬币找零问题
硬币找零问题是指给定一定面值的硬币和一个金额，找到凑出该金额的最少 硬币数。
经典面试题：最长回文子串问题
最长回文子串问题是指找到给定字符串中最长的回文子串。
实用案例：机器人找出路
机器人找出路是指给定一个迷宫，找到从起点到终点的路径。
决策
根据状态作出选择或决策。
转移方程
根据子问题的最优解推导出整体问题的最优 解。
最优子结构和重叠子问题
1 最优子结构
问题的最优解包含了子问题的最优解。
2 重叠子问题
子问题之间存在重复的计算，可以利用记 忆化存储中间结果来优化。
动态规划三部曲
1
定义状态
明确问题的状导转移方程
国王游戏问题
国王游戏问题是指在一个棋盘上放置国王，使得它们无法互相攻击。
编辑距离问题
编辑距离问题是指计算两个字符串之间转换的最小操作次数，包括插入、删 除和替换操作。
矩阵连乘问题
矩阵连乘问题是指给定一系列矩阵，找到最佳的乘法顺序，使得计算乘法的总次数最小。
最长递增子序列问题
最长递增子序列问题是指找到给定序列中最长的递增子序列的长度。
斐波那契数列问题
《动态规划》课件
特点
动态规划具有最优子结构和重叠子问题的特点，能够通过保存已解决的子问题来避免重复计 算。
应用场景
动态规划广泛应用于路线规划、资源分配、序列匹配等问题，能够有效地解决复杂的优化和 决策问题。
动态规划的优缺点
1 优点
动态规划能够提供最优的解决方案，同时能够高效地解决问题，避免重复计算。
2 缺点
使用动态规划解决问题需要设计状态转移方程，对于复杂问题可能需要较高的思维和计 算复杂度。
《动态规划》PPT课件
欢迎来到《动态规划》PPT课件! 本课程将深入探讨动态规划的应用和技巧， 帮助你理解这一强大的问题求解方法。
什么是动态规划
动态规划是一种通过将问题拆分为更小的子问题，并根据子问题的解来求解 原问题的方法。它可以应用于许多领域，包括优化、组合数学和图论。动态规划的特点 Nhomakorabea应用场景
参考资料
• 经典教材 • 学术论文 • 网络资源
确定问题的初始状态和结束条件，作为动态规划的边界。
4
确定优化方向
选择最优的状态转移路径，以达到问题的最优解。
经典问题解析
斐波那契数列
通过动态规划求解斐波那契数列，可以有效 地避免重复计算，提高计算效率。
最长公共子序列
使用动态规划求解最长公共子序列，可以在 时间复杂度为O(n*m)的情况下找到最长公共 子序列。
最优子结构
定义
最优子结构表示一个问题的最优解可以通过子 问题的最优解来构建。
举例
在路径规划问题中，通过求解子问题的最短路 径，可以获得整个路径规划的最短路径。
重叠子问题
定义
重叠子问题表示一个问题的子问题会被重复计 算多次。
举例
在斐波那契数列中，计算每个数字需要依赖于 前两个数字，导致重复计算了相同的子问题。
动态规划具有最优子结构和重叠子问题的特点，能够通过保存已解决的子问题来避免重复计 算。
应用场景
动态规划广泛应用于路线规划、资源分配、序列匹配等问题，能够有效地解决复杂的优化和 决策问题。
动态规划的优缺点
1 优点
动态规划能够提供最优的解决方案，同时能够高效地解决问题，避免重复计算。
2 缺点
使用动态规划解决问题需要设计状态转移方程，对于复杂问题可能需要较高的思维和计 算复杂度。
《动态规划》PPT课件
欢迎来到《动态规划》PPT课件! 本课程将深入探讨动态规划的应用和技巧， 帮助你理解这一强大的问题求解方法。
什么是动态规划
动态规划是一种通过将问题拆分为更小的子问题，并根据子问题的解来求解 原问题的方法。它可以应用于许多领域，包括优化、组合数学和图论。动态规划的特点 Nhomakorabea应用场景
参考资料
• 经典教材 • 学术论文 • 网络资源
确定问题的初始状态和结束条件，作为动态规划的边界。
4
确定优化方向
选择最优的状态转移路径，以达到问题的最优解。
经典问题解析
斐波那契数列
通过动态规划求解斐波那契数列，可以有效 地避免重复计算，提高计算效率。
最长公共子序列
使用动态规划求解最长公共子序列，可以在 时间复杂度为O(n*m)的情况下找到最长公共 子序列。
最优子结构
定义
最优子结构表示一个问题的最优解可以通过子 问题的最优解来构建。
举例
在路径规划问题中，通过求解子问题的最短路 径，可以获得整个路径规划的最短路径。
重叠子问题
定义
重叠子问题表示一个问题的子问题会被重复计 算多次。
举例
在斐波那契数列中，计算每个数字需要依赖于 前两个数字，导致重复计算了相同的子问题。
《动态规划算法》课件
总结词
多阶段决策优化
详细描述
背包问题是一个经典的动态规划问题，通过将问题分解 为多个阶段，并为每个阶段定义状态和状态转移方程， 我们可以找到最优解。在背包问题中，我们使用一个二 维数组来存储每个状态的最优解，并逐步更新状态以找 到最终的最优解。
最长公共子序列求解
总结词
字符串匹配优化
详细描述
最长公共子序列问题是一个经典的动态规划问题，用 于找到两个序列的最长公共子序列。通过动态规划， 我们可以避免在寻找公共子序列时进行冗余比较，从 而提高算法效率。在动态规划中，我们使用一个二维 数组来存储子问题的最优解，并逐步构建最终的最长 公共子序列。
动态规划的基本思想
01
将问题分解为子问 题
将原始问题分解为若干个子问题 ，子问题的解可以构成原问题的 解。
02
保存已解决的子问 题
将已解决的子问题的解保存起来 ，以便在求解其他子问题时重复 使用。
03
递推求解
从子问题的解逐步推导出原问题 的解，通常采用自底向上的方式 求解。
02
动态规划算法的步骤
可并行化
动态规划算法可以并行化执行，以提高计算效率，这对于 大规模问题的求解非常有利。
缺点
• 空间复杂度高：动态规划算法需要存储大量的中间状态，因此其空间复杂度通常较高，有时甚至会超过问题规 模的一个指数倍。
• 问题规模限制：由于动态规划算法的空间复杂度较高，因此对于大规模问题的求解可能会遇到困难。 • 可能产生大量重复计算：在动态规划算法中，对于每个子问题，可能会被多次计算和存储，这会导致大量的重复计算和存储空间浪费。 • 不易发现：动态规划算法的应用范围有限，对于一些非最优子结构问题或没有重叠子问题的优化问题，动态规划算法可能不适用。因此，在解决问题时需要仔细分析问题特性，判断是
多阶段决策优化
详细描述
背包问题是一个经典的动态规划问题，通过将问题分解 为多个阶段，并为每个阶段定义状态和状态转移方程， 我们可以找到最优解。在背包问题中，我们使用一个二 维数组来存储每个状态的最优解，并逐步更新状态以找 到最终的最优解。
最长公共子序列求解
总结词
字符串匹配优化
详细描述
最长公共子序列问题是一个经典的动态规划问题，用 于找到两个序列的最长公共子序列。通过动态规划， 我们可以避免在寻找公共子序列时进行冗余比较，从 而提高算法效率。在动态规划中，我们使用一个二维 数组来存储子问题的最优解，并逐步构建最终的最长 公共子序列。
动态规划的基本思想
01
将问题分解为子问 题
将原始问题分解为若干个子问题 ，子问题的解可以构成原问题的 解。
02
保存已解决的子问 题
将已解决的子问题的解保存起来 ，以便在求解其他子问题时重复 使用。
03
递推求解
从子问题的解逐步推导出原问题 的解，通常采用自底向上的方式 求解。
02
动态规划算法的步骤
可并行化
动态规划算法可以并行化执行，以提高计算效率，这对于 大规模问题的求解非常有利。
缺点
• 空间复杂度高：动态规划算法需要存储大量的中间状态，因此其空间复杂度通常较高，有时甚至会超过问题规 模的一个指数倍。
• 问题规模限制：由于动态规划算法的空间复杂度较高，因此对于大规模问题的求解可能会遇到困难。 • 可能产生大量重复计算：在动态规划算法中，对于每个子问题，可能会被多次计算和存储，这会导致大量的重复计算和存储空间浪费。 • 不易发现：动态规划算法的应用范围有限，对于一些非最优子结构问题或没有重叠子问题的优化问题，动态规划算法可能不适用。因此，在解决问题时需要仔细分析问题特性，判断是
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矩阵连乘问题
给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1， 2…，n-1。如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次 序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。
穷举法：列举出所有可能的计算次序，并计算出每一种计 算次序相应需要的数乘次数，从中找出一种数乘次数最少的 计算次序。
j]
pi1 pk
pj}
k 的位置只有 j i 种可能
i j i j
12
计算最优值
对于1≤i≤j≤n不同的有序对(i,j)对应于不同的子问题。因此， 不同子问题的个数最多只有
n 2
n
(n
2
)
由此可见，在递归计算时，许多子问题被重复计算多次。这也
是该问题可用动态规划算法求解的又一显著特征。
用动态规划算法解此问题，可依据其递归式以自底向上的方式 进行计算。在计算过程中，保存已解决的子问题答案。每个子 问题只计算一次，而在后面需要时只要简单查一下，从而避免
矩阵连乘问题
穷举法 动态规划
将矩阵连乘积 Ai Ai1...Aj 简记为A[i:j] ，这里i≤j
考察计算A[i:j]的最优计算次序。设这个计算次序在矩阵 Ak和Ak+1之间将矩阵链断开，i≤k<j，则其相应完全
加括号方式为 ( Ai Ai1...Ak )( Ak1Ak2...Aj )
计算量：A[i:k]的计算量加上A[k+1:j]的计算量，再加上 A[i:k]和A[k+1:j]相乘的计算量
设有四个矩阵 A, B, C，,它D们的维数分别是：
A 50 10 B 10 40 C 40 30 D 30 5
总共有五中完全加括号的方式
( A((BC)D)) ( A(B(CD))) (( AB)(CD)) ((( AB)C)D) (( A(BC))D)
16000, 10500, 36000, 87500, 34500 8
T(n)
=n
n/2
n/2
n/2
n/2
T(n/4) T(n/4)
T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4) T(n/4) 7T(n/4)
完全加括号的矩阵连乘积
完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：
（1）单个矩阵是完全加括号的；
（2）矩阵连乘积 A 是完全加括号的，则 A 可 表示为2个完全加括号的矩阵连乘积 B和 C 的乘积并加括号，即 A (BC)
算法复杂度分析：
对于n个矩阵的连乘积，设其不同的计算次序为P(n)。 由于每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题： (A1...Ak)(Ak+1…An)可以得到关于P(n)的递推式如下：
P(n)
n1
P(k
1 )P(n
k
)
k 1
n 1 P(n) (4n / n3/2 ) n 1
9
10
分析最优解的结构
特征：计算A[i:j]的最优次序所包含的计算矩阵子 链 A[i:k]和A[k+1:j]的次序也是最优的。
矩阵连乘计算次序问题的最优解包含着其子问题 的最优解。这种性质称为最优子结构性质。问题 的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法求 解的显著特征。
11
建立递归关系
设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则 原问题的最优值为m[1,n]
串形与树形优化系列
算法设计与分析 >动态规划
优化子问题
最终不取作用 的优化子问题
贪心算法
动态规划算法
算法的步骤
1).分析最优解的结构. 2).给出计算局部最优解值的递归关系. 3).自底向上计算局部最优解的值. 4).根据最优解的值构造最优解.
常见应用: 0-1背包问题,图像压缩,最短路径,矩阵连乘,作业调度等等.
问题的整体的最优解中包 含着它的子问题的最优解
第i+1步问题的求解中包含第i步 子问题的最优解,形成递归求解.
与贪心算法比较:都是将问题的求解过程化为多步决策.区别是: 贪心法每采用一次贪心策略便做出唯一决策,求解过程只产生一个决 策序列;求解过程为自顶向下,不一定得到最优解. 动态规划的求解过程产生多个决策序列, 下一步的选择总是依赖上一 步的结果.求解过程多为自底向上.总能得到最优解.
当i=j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i,i]=0，i=1,2,…,n 当i<j时，
m[i, j] m[i,k] m[k 1, j] pi1 pk p j
这里 Ai 的维数为 pi1 pi
可以递归地定义m[i,j]为：
m[i,
j]
mikinj{m[i, k ]
0 m[k 1,
THale Waihona Puke n)=nn/2n/2
n/2
n/2
T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) T(n/4)T(n/4)T(6n/4)T(n/4
算法总体思想
如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求 得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算 法。
注意0-1背包问题不能用贪心算法求解.
算法总体思想
动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分 解成若干个子问题
T(n)
=n
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
5
算法总体思想
但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同子问题的 数目常常只有多项式量级。在用分治法求解时，有些子问题被 重复计算了许多次。
第3章 动态规划
1
学习要点: • 理解动态规划算法的概念。 • 掌握动态规划算法的基本要素 • （1）最优子结构性质 • （2）重叠子问题性质 • 掌握设计动态规划算法的步骤。 • (1)找出最优解的性质，并刻划其结构特征。 • (2)递归地定义最优值。 • (3)以自底向上的方式计算出最优值。 • (4)根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。
2
算法设计与分析 >动态规划
第三章.动态规划(Dynamic Programming)
用以求解最优化问题
3.1 基本思想
将问题的求解过程化为多步选择或决策的结果,在每一步决策上, 列出各种可能的选择(各子问题的可行解),舍去那些肯定不能成为 最优解的局部解.最后一步得到的解必是最优解.
适用问题: 具备最优子结构性质和子问题重叠性的最优化问题.