离散时间信号与离散时间系统..

§7-1 概述

一、 离散时间信号与离散时间系统

离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的

信号。

离散时间系统：处理离散时间信号的系统。 混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连 续时间信号的系统。

二、 连续信号与离散信号

连续信号可以转换成离散信号，从而可以用离散时间系统（或数字信号处理系统）进行处理：

三、 离散信号的表示方法：

1、 时间函数：f(k)<——f(kT)，其中k 为序号，相当于时间。 例如：)1.0sin()(k k f =

2、 （有序）数列：将离散信号的数值按顺序排列起来。例如：

f(k)={1,0.5,0.25,0.125,……,}

时间函数可以表达任意长（可能是无限长）的离散信号，可以表达单边或双边信号，但是在很多情况下难于得到；数列的方法表示比较简单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。 四、 典型的离散时间信号 1、 单位样值函数：

⎩⎨

⎧==其它001)(k k δ

下图表示了)(n k -δ的波形。

这个函数与连续时间信号中的冲激函数)(t δ相似，也有着

与其相似的性质。例如：

)()0()()(k f k k f δδ=，

)()()()(000k k k f k k k f -=-δδ。

2、 单位阶跃函数：

⎩⎨

⎧≥=其它001)(k k ε

这个函数与连续时间信号中的阶跃函数)

(t ε相似。用它可以产生（或表示）单边信号（这里称为单边序列）。

3、 单边指数序列：

)(k a k

ε

比较：单边连续指数信号：)()()(t e t e t

a at εε=，其底一定大于零，不会出现负数。

4、 单边正弦序列：)()cos(0k k A εφω+

双边正弦序列：)cos(0φω+k A

(a) 0.9a = (d) 0.9a =-

(b) 1a = (e) 1a =-

(c) 1.1a = (f) 1.1a =-

五、 离散信号的运算

1、 加法：)()()(21k f k f k f +=<—相同的k 对应的数相加。

2、 乘法：)()()(21k f k f k f ⋅=

3、 标量乘法：)()(1k f a k f ⋅=

4、 移序：)()(1n k f k f -=

当n>0时，信号向右移（后移）——>称为减序； 当n<0时，信号向左移（前移）——>称为增序。

离散信号的移序计算相当于连续时间信号的时间平移计算。

六、 线性移不变离散时间系统

1、 线性离散时间系统

系统的激励和响应之间满足齐次性和叠加性关系的离散时间系统。

)()()()(22112211k r a k r a k e a k e a +⇔+

2、 移不变离散时间系统

系统的激励和响应之间满足移不变关系的离散时间系统。 )()(n k r n k e -⇔-

3、 线性移不变离散时间系统

同时满足线性和移不变性的系统。 七、

离散时间系统的描述方法：见§7-3。

§7-2 抽样信号与抽样定理

离散信号可以通过对连续信号抽样得到；连续信号可以通过抽样转化为离散信号，从而可以用离散时间系统进行处理。但是，这牵涉到两个问题：

1） 怎样进行抽样？

2） 如何抽样才能不损失原来信号中的信息？

一、 抽样器及其数学模型

抽样是通过一定的装置（等间隔地）抽取原来连续信号中的很小的一段。其等效电路

它也可以用一个开关信号相乘的数学模型来表示， 其中的开关函数为：

∑+∞

-∞

=-=

k kT t G t s )

()(τ

当0→τ时，开关函数近似为：

∑+∞

-∞

=→→→⋅=-=k T t kT t t s )

(lim )(lim )(lim 0

δ

τδτ

τττ

可见，开关函数近似成为一个幅度为无穷小的周期性冲激序列。这个“无穷小”会给我们分析带来不便，所以一般直接用幅度为1的周期性冲激序列代替它，即： ∑+∞

-∞

==-=

k T t kT t t s )

()()(δ

δ

这样，抽样以后的信号为：

∑∑∑∞

+-∞

=∞

+-∞

=+∞

-∞=-=-=

-=⋅=k k k s kT t kT f kT t t f kT t t f t s t f t f )

()()()()

()

()()()(δδδ

显然，抽样以后的信号只与原来的信号在某些离散的时间点上的值有关。

二、 抽样定理

显然，利用原来的信号在某些离散的时间点上的值构成的信号，是否会损失信息？或者，在何条件下，可以用抽样后的信号，不失真地还原出原来的信号？ 1、 抽样信号的频谱：

∑+∞

-∞

=-=k s kT t t f t f )

()

()(δ

∑∑∑∞

+-∞

=∞

+-∞

=+∞-∞=-=-=⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡-=k s k s

s k s s s k j F T k j F k j F j F )(*)(1)

(*)(2)(*)(21)(ωωδωωωδωπ

ω

ωωδωωπω

其中

T s π

ω2=

，称为抽样（角）频率；T 称为抽样（取样）周期。 可见，抽样后信号的谱是抽样以前的谱按抽样（角）频率周期化

的结果。如果原来信号最大频率分量为的谱m ω

，抽样频率m s ωω2>，则周期化后的各个频谱不会相互重叠。将抽样信号通过一个截止频率为2/s ω、增益为T 的ILPF ，可以不失真地还原原来的信号。此低通滤波器的冲激响应:

⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=222)(t Sa t Sa T

t h c c s ωωπω

则

∑

+∞

-∞

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-=

n s nT t Sa nT f t f 2)()()(ω

这个定理称为Nyquist 抽样定理，或Shannon 抽样定理。它说明

模拟信号可以有条件地由其无数个离散点上的数值恢复出，也就是说在m s ωω2>时，用信号的一些离散的时间点上的数值来代替这个信号可以不损失任何信息。

能够完全不失真地还原信号所需要的最小的抽样频率m s ωω2=称为Nyquist 抽样频率，或Shannon 抽样频率。