级数定义性质

部分和数列 sn : s1 u1 ,
sn u1 u2 un ,
s2 u1 u2 , s3 u1 u2 u3 ,
收敛与发散定义 定义 若级数
un 的部分和数列 S n
n 1

的极限存在(收敛)， 设
则称级数
u
n 1
n1

lim sn 不存在,
n
发散.
a S 1 q
综上
当 q 1 时 , 收敛 n aq n 0 当q 1时, 发散

1 1 1 1 1 6 6 11 11 16 (5n 4) (5n 1)
通项u 可改写为 证明：
n
例2 证明级数收敛，并求其和
n
n
lim Sn S ,
收敛， S 称为 级数的和.
这时也称该级数收敛于 S .
并 记 为 S un ,

●若部分和数列的极限不存在（发散），
则称级数
u 发散.
n 1 n
●级数的收敛或发散(简称敛散性)
定义:余和
若级数
u
n 1

n
收敛, 其和是S, 记rn S S n ,即
1 1 1 1 un ( ). (5n 4) (5n 1) 5 (5n 4) (5n 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 S (1 ) ( ) ( ) (1 ) 5 6 6 11 5n 4 5n 1 5 5n 1
如果q 1时
an a1q
n 1
a1 an q Sn 1 q a1 (1 q ) Sn 1 q
n
n 1
当q 1时, lim q 0
n n
a lim sn S n 1 q
n
a 因此几何级数收敛.其和是 1 q
n lim q 当q 1时, n
级数
数项级数 函数项级数
数学分析的研究对象:函数.(一)
数学分析研究函数所用的方法：极限.(二)
数学分析的研究主要对象:连续函数.(三)
实数集关于极限运算是封闭的. (四)
这个性质就是实数集的完备性(连续性)
研究函数性态的重要工具:导数和微分.(五)
微积分的基本定理:中值定理(六)
导数的逆运算:不定积分(七)
n
n 1
例1 讨论等比级数（几何级数）的敛散性
n n 1 2 n aq aq a aq aq aq n 0 n 1
其中a 0, q是公比 .
1)
解Hale Waihona Puke Baidu
sn a aq aq 2 aq n1
n a aq n a aq , 1 q 1 q 1 q
{an }收敛时,其极限值就是级数(5)的和.
级数 un收敛 部分和数列{S n } 的收敛
n 1

级数 u 收敛 部分和数列 {S }的收敛
n 1 n n

lim S n lim uk S
n n k 1
研究无穷级数收敛问题,实质上就是研究部分和数列的收敛问题
{an } , 如果把它看作某一数项级数的部分和数列, 则
这个数项级数就是
u
n1

a u u u
n 1 2
n
n
a1 ( a2 a1 ) ( a3 a2 ) ( an an1 ) . (5)
1 2
3 n
u u u u 这时数列 {an }与级数 (5) 具有相同的敛散性, 且当
级数是逼近理论的基础， 是研究函数、进行近似计算的一种有用的工具.
级数理论的主要内容是研究级数的收敛性
以及级数的应用.
9.1数项级数
一 二 三 四 五 收敛与发散的概念 收敛级数的性质 同号级数 变号级数 绝对收敛级数的性质
一 收敛与发散的概念
我们已经在初等数学中知道: 有限个 实数 u1, u2 ,, un 相加, 其结果是一个实数. 本节将讨论“无限个实数相加”所可 能出现的情形及其特征.如,《庄子· 天下篇》 “ 一尺之棰,日取其半,万世不竭”的例中, 把每天截下那一部分的长度“加”起来:
称为数项级数(1)的通项或一般项或第n项.
u
n 1

n
. 在不致误解时可简记为 un .
上面级数
定义:部分和
数项级数(1)的前n项之和记为
Sn uk u1 u2 un ,
k 1 n
(2)
称为数项级数(1)的 n 项部分和.
显然, 对给定级数, 其任意n项部分和s n , 都是已知的 , 于是, 级数对应一个已知的部 分和数列 {s n }.
称差值为收敛级数的n项余和，简称余和. 显然，级数收敛，总有
lim r lim (S S ) lim S lim S S S 0
n n n n n n n
u1 u2 un
(1)
注 由于级数(1)的收敛或发散(简称敛散性),是由它 的部分和数列 { Sn } 来确定, 因而也可把级数(1)作为 数列 { Sn } 的另一种表现形式. 反之, 任给一个数列
即 aq aq
n 0 n 1
n
a 1 q
lim sn
因此几何级数发散.
2)
如果 q 1时
当q 1时,
当q 1时,
a a a
发散. 级数变为a a a a
0 , n是偶数 Sn a , n是奇数
sn na ,
这就是“无限个数相加”的一个例子.
定义 给定一个数列{un}, 即
u1 , u2 , u3 , , un ,
将其各项依次用“+”号连接起来的表达式
u1 u2 un
(1)
由于式中的每一项都是常数， (无穷多个数之和)
称为数项级数或无穷级数(也常简称级数),
其中 un 常记为
定积分(八)
级数理论是分析学的一个分支； 它与另一个分支微积分学一起 作为基础知识和工具出现在其余 各分支中。 二者共同以极限为基本工具， 分别从离散与连续两个方面， 结合起来研究分析学的对象， 即变量之间的依赖关系──函数。
级数分为:数项级数与函数项级数. 数项级数是函数项级数的特殊情况，
他又是函数项级数的基础.