2019_2020学年新教材高中数学第五章统计与概率5.1.4用样本估计总体课件新人教B版

探究三
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利用频率分布直方图求参数
典例从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:cm)数据
绘制成频率分布直方图(如图所示).由图中数据可知a=
.
若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分
层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学
(1)众数是最高的矩形的底边中点的横坐标.
(2)中位数左右两侧直方图面积相等.
(3)平均数等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之
和.
2.利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数均为估计值,与
实际数据可能不一致.
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探究一
探究二
探究三
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延伸探究1若本例条件不变,求数学成绩的平均分. 解:由题干图知这次数学成绩的平均分为 40+2 50×0.005×10+50+2 60×0.015×10+60+2 70×0.02×10+70+2 80×0.03×10 +80+2 90×0.025×10+90+2100×0.005×10=72.
5.1.4 用样本估计总体
-1-
课标阐释
1.会用样本的数字特征估 计总体的数字特征(重点). 2.能用样本的分布来估计 总体的分布(难点). 3.通过利用样本的数字特 征及频率分布来估计总体 培养学生的直观想象与逻 辑推理能力(目标素养).
思维脉络
课前篇自主预习
一
二
一、用样本的数字特征估计总体的数字特征
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认
为选派哪位学生参加合适?请说明理由.
分析:(1)作茎叶图时要注意区分样本数据的“茎”和“叶”,一般情况
下,茎叶图的“叶”为样本数据的最后一位数,将样本数据的更高次位
数字作为茎叶图的“茎”;
(2)要从平均数及方差两方面对学生进行评价.
探究一
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分析:对实际问题的分析评价,不仅要依据数据的数字特征,还要
综合考虑数据分布的影响,养成从多角度看问题的习惯.
解:(1)平均数������=1 500+ 4 000 + 3 500 + 2 000 × 2 + 1 500 + 1 000 × 5 + 500 × 3 + 0 × 20
7
所以������甲2 < ������乙2 ,故甲车间产品较稳定.
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频率分布直方图与数字特征的综合应用 例3某校从参加学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成 绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.
(1)求这次测试数学成绩的众数; (2)求这次测试数学成绩的中位数.
衡点
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众数、中位数、平均数的简单运用 例1某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下表:
职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员
人数 1
1
工资 5 500 5 000
21
53
20
3 500 3 000 2 500 2 000 1 500
m,1.69 m.
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平均数和方差的运用
例2甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期
间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:
甲:82 81 79 78 95 88 93 84
乙:92 95 80 75 83 80 90 85
(1)用茎叶图表示这两组数据;
33 ≈1 500+591=2 091(元),中位数是 1 500 元,众数是 1 500 元.
(2)新的平均数是������'=1 500+ 28 500 + 18 500 + 2 000 × 2 + 1 500 + 1 000 × 5 + 500 × 3 + 0 × 20
33 ≈1 500+1 788=3 288(元),新的中位数是 1 500 元,新的众数是 1 500
A.130 B.140 C.133D.137 答案:C 解析:由已知可以判断a∈(130,140),所以[(140-
a)×0.015+0.01×10]×100=20,解得a≈133.
元. (3)在这个问题中,中位数和众数均能反映该公司员工的工资水平,
因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大,这样导
致平均数与中位数偏差较大,所以平均数不能反映这个公司员工的
工资水平.
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反思感悟特征数字的应用技巧 1.众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量,当一 组数据中个别数据较大时,可用中位数描述其集中趋势,当一组数 据中有不少数据重复出现时,其众数往往更能反映问题. 2.在求平均数时,可采用新数据法,即当所给数据在某一常数a的 左右摆动时,用简化公式:������ = ������'+a.
2.做一做:已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图 如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 .
答案:90 解析:由题中茎叶图可知,5位裁判打出的分数分别为 89,89,90,91,91,故平均数为 89+89+950+91+91=90.
一
二
课前篇自主预习
二、用样本的分布来估计总体的分布
1.填空.
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数; (2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元,董事长的工资 从5 500元提升到30 000元,那么新的平均数、中位数、众数又是多 少?(精确到元) (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平?结合 此问题谈一谈你的看法.
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方法点睛(1)频率分布直方图中,每个矩形的面积表示相应组的频
率;
(2)在频率分布直方图中,所有小矩形的面积之和为1.
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变式训练某校100名学生的数学测试成绩的频率分布直方图如 图所示,分数不低于a即为优秀,若优秀的人数为20人,则a的估计值 是( )
探究二
探究三
解:(1)作出茎叶图如下:
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(2)派甲参赛比较合适.理由如下:
������甲
=
1(70×2+80×4+90×2+8+9+1+2+4+8+3+5)=85,
8
������乙 = 18(70×1+80×4+90×3+5+0+0+3+5+0+2+5)=85,
������甲2 = 18[(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88-
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解:(1)众数为70+2 80=75. (2)设中位数为x,由于前三个矩形面积之和为0.4,第四个矩形面积
为0.3,0.3+0.4>0.5,
因此中位数位于第四个矩形内,得0.1=0.03(x-70),
所以x≈73.3.
反思感悟1.利用频率分布直方图估计数字特征:
85)2+(93-85)2+(95-85)2]=35.5,
������乙2 = 18[(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(9085)2+(92-85)2+(95-85)2]=41,因为������甲 = ������乙, ������甲2 < ������乙2 ,
7
100)2+(98-100)2+(99-100)2]=17(4+1+1+4+9+4+1)≈3.43; ������乙2 = 17[(110-100)2+(115-100)2+(90-100)2+(85-100)2+(75-
100)2+(115-100)2+(110-
100)2]=1(100+225+100+225+625+225+100)≈228.57.
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变式训练2某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料,在自动包装传 送带上每隔30分钟抽取一包产品,称其质量,分别记录抽查数据如 下(单位:kg):
甲:102 101 99 98 103 98 99 乙:110 115 90 85 75 115 110 试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差,并说明哪个车 间产品比较稳定.
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解:������甲 = 17(102+101+99+98+103+98+99)=100,
������乙 = 17(110+115+90+85+75+115+110)=100,
������甲2
=
1[(102-100)2+(101-100)2+(99-100)2+(98-100)2+(103-
这 n 个数的平均数.
(2)标准差
用如下公式来计算标准差:
s=
1 ������
[(������1-������)2
+
(������2-������)2
+
…
+
(������������
-������)2].
一
二
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(3)方差 标准差的平方s2叫做方差. s2=���1���[(x1-������)2+(x2-������)2+…+(xn-������)2].
生中选取的人数应为
.
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解析:由10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1,得a=0.03,后三组
的频数之比为0.03∶0.02∶0.01=3∶2∶1,故从身高在[140,150]内的 学生中选取的人数为18× =163.
答案:0.03 3
众数
众数是最高长方形的中点所对应的数据,表示样本数据的中 心值
中位 数
(1)在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图面积相 等,由此可以估计中位数的值,但是有偏差; (2)表示样本数据所占频率的等分线
(1)平均数等于每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐
平均 标之和;
数 (2)平均数是频率分布直方图的重心,是频率分布直方图的平
分布的估计一般也有误差,如果总体在每一个分组的频率记为
π1,π2,…,πn,样本在每一组的频率记为p1,p2,…,pn,一般来说,
1 ������
������∑=������1(πi-pi)2=n1[(π1-p1)2+(π2-p2)2+…+(πn-pn)2]不等于零.
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一
二
2.三种数字特征与频率分布直方图有何关系? 提示:
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变式训练1在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的17名运
动员的成绩如表所示:
成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数
23234111
分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数. 解:在17个数据中,1.75出现了4次,出现的次数最多,即这组数据的 众数是1.75 m.表中的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的, 其中第9个数据1.70是最中间的一个数据,即这组数据的中位数是 1.70 m;这组数据的平均数是 ������ = 117(1.50×2+1.60×3+…+1.90×1)=281.775≈1.69(m). 故17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75 m,1.70
1.填空.
(1)众数、中位数、平均数的定义
①众数:一组数据中重复出现次数最多的数.
②中位数:把一组数据按从小到大的顺序排列,处在中间位置的
数(或中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数.Fra Baidu bibliotek
③平均数:如果有 n 个数 x1,x2,…,xn,那么������ = ���1���(x1+x2+…+xn)叫做
延伸探究2本例条件不变,求80分以上(含80分)的学生人数.
解:[80,90)分的频率为0.025×10=0.25, 频数为0.25×80=20. [90,100]分的频率为0.005×10=0.05, 频数为0.05×80=4.
所以80分以上的学生人数为20+4=24.
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探究二
所以甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适.
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反思感悟计算方差及标准差的步骤
(1)求样本数据的平均数������; (2)求每个样本数据与样本平均数的差 xi-������(i=1,2,…,n); (3)求(xi-������)2(i=1,2,…,n); (4)求 s2=���1���[(x1-������)2+(x2-������)2+…+(xn-������)2]; (5)求 s= ������2,即为标准差.