数学悖论
十大数学悖论
十大数教悖论之阳早格格创做1．理收师悖论（罗素悖论）：某村惟有一人理收，且该村的人皆需要理收，理收师确定，给且只给村中不自己理收的人理收.试问：理收师给不给自己理收？如果理收师给自己理收，则违背了自己的约定；如果理收师不给自己理收，那么依照他的确定，又该当给自己理收.那样，理收师坠进了二易的境天.2．道谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的形而上教家伊壁门僧德斯犹如许断止：“所有克里特人所道的每一句话皆是谎话.”如果那句话是果然，那么也便是道，克里特人伊壁门僧德斯道了一句真话，然而是却与他的真话——所有克里特人所道的每一句话皆是谎话——相悖；如果那句话不是果然，也便是道克里特人伊壁门僧德斯道了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所道的每一句话皆是真话，二者又相悖.所以何如也易以自圆其道，那便是出名的道谎者悖论. :公元前4世纪，希腊形而上教家又提出了一个悖论：“尔当前正正在道的那句话是假的.”共上，那又是易以自圆其道！道谎者悖论于今仍困扰着数教家战逻辑教家.道谎者悖论有许多形式.如：尔预止：“您底下要道的话是‘不’，对于分歧过失？用‘是’或者‘不是’去回问.”又如，“尔的下一句话是错（对于）的，尔的上一句话是对于（错）的”.3．跟无限相闭的悖论：{1，2，3，4，5，…}是自然数集：{1，4，9，16，25，…}是自然数仄圆的数集.那二个数集不妨很简单形成一一对于应，那么，正在每个集中中有一般多的元素吗？4.伽利略悖论：咱们皆了解完全大于部分.由线段BC上的面往顶面A连线，每一条线皆市与线段DE(D面正在AB上,E面正在AC上)相接，果此可得DE与BC一般少，与图冲突.为什么？5.预料不到的考查的悖论：一位教授宣布道，正在下一星期的五天内（星期一到星期五）的某一天将举止一场考查，然而他又报告班上的共教：“您们无法了解是哪一天，惟有到了考查那天的早上八面钟才报告您们下午一面钟考.您能道出为什么那场考查无法举止吗？6.电梯悖论：正在一幢摩天大楼里，有一架电梯是由电脑统造运止的，它每层楼皆停，且停顿的时间皆相共.然而，办公室靠拢顶层的王先死道：“每当尔要下楼的时间，皆要等很暂.停下的电梯经常要上楼，很罕见下楼的.真偶怪！”李小姐对于电梯也很不谦意，她正在靠近下层的办公室上班，每天中午皆要到顶楼的餐厅用饭.她道：“不管尔什么时间要上楼，停下去的电梯经常要下楼，很罕见上楼的.真让人烦死了！”那到底是怎么回事？电梯明显正在每层停顿的时间皆相共，可为什么会让靠近顶楼战下层的人等得不耐烦？7.硬币悖论：二枚硬币仄搁正在所有，顶上的硬币绕下圆的硬币转化半圈，截止硬币中图案的位子与启初时一般；然而，按常理，绕过圆周半圈的硬币的图案应是往下的才对于！您能阐明为什么吗？8.谷堆悖论：隐然，1粒谷子不是堆；如果1粒谷子不是堆，那么2粒谷子也不是堆；如果2粒谷子不是堆，那么3粒谷子也不是堆；……如果99999粒谷子不是堆，那么100000粒谷子也不是堆；……如果1粒谷子降天不克不迭产死谷堆，2粒谷子降天不克不迭产死谷堆，3粒谷子降天也不克不迭产死谷堆，依此类推，无论几粒谷子降天皆不克不迭产死谷堆.那便是令所有古希腊震惊一时的谷堆悖论.从真正在的前提出收，用不妨担当的推理，然而论断则是明隐过失的.它证明定义“堆”缺少精确的鸿沟.它分歧于三段论式的多前提推理，正在一个前提的连绝聚集中产死悖论.从不堆到有堆中间不一个精确的界限，办理它的办法便是引进一个朦胧的“类”.那是连锁（Sorites）悖论中的一个例子,归功于古希腊人Eubulides，厥后的猜疑论者不启认它是知识.“Soros”正在希腊语里便是“堆”的意义.最初是一个游戏：您不妨把1粒谷子道成是堆吗？不克不迭；您不妨把2粒谷子道成是堆吗？不克不迭；您不妨把3粒谷子道成是堆吗？不克不迭.然而是您早早会启认一个谷堆的存留，您从哪里区别他们？9.浮图悖论：如果从一砖塔中抽与一齐砖，它不会塌；抽二块砖，它也不会塌；……抽第N块砖时，塔塌了.当前换一个场合启初抽砖，共第一次纷歧样的是，抽第M块砖是，塔塌了.再换一个场合，塔塌时少了L块砖.以此类推，每换一个场合，塔塌时少的砖块数皆不尽相共.那么到底抽几块砖塔才会塌呢？10.出名的鸡与蛋问题：天下上是先有鸡仍旧先有蛋？▲一些瞅面：老套的问题，天然是先有鸡，不过刚刚启初它不是鸡，而是别的动物，厥后它们的繁衍办法爆收了变更，——成为了卵死，所以才有了蛋.最早不卵死动物，很多死物仍旧无性繁殖的，厥后缓缓进化成卵死战哺乳动物，所以按原理该当进步化成死物原体才大概有蛋的由去.“蛋”有大概去自中星球，厥后环境符合而孵化，之后正在天球繁衍.....便产死了鸡死蛋，蛋又孵化成鸡.。
有趣的数学悖论
问题就在于亚里士多德的观念是错的
▪ 现在我们都知道在不计空气阻力的情况下， 不管物体质量大小，物体下落速度总是相同 的。
毕达哥拉斯悖论
▪ 毕达哥拉斯是公元前5世纪的数学家和哲学家。 他曾创立了著名的毕达哥拉斯学派。该学派认为任 何两条线段都是可通约的，即万物皆数。然而其学 派中一个成员希帕索斯却发现边长为一的正方形的 对角线与边长是无法比的。在当时这与毕达哥拉斯 学派的数学观点不符，于是人们就将其称为毕达哥 拉斯悖论或希帕所斯悖论。还因此引发了第一次数 学危机。
卖亏了
▪ 一个商贩卖 葱，1元钱1斤。过来个买葱人说： 这一大捆葱我都要了，不过要分开秤，葱白7 角钱一斤，葱叶3角钱一斤。这样葱白加葱叶 还是1元，对不对？商贩想，7角加3角正好是 1元，没错，就同意了。结果买葱人走后，商 贩发现少卖了许多钱。商贩为什么卖亏了？
知道为什么吗？
其实道理很简单，我们假设葱白葱叶 一样重。那么葱1元1斤相当与斤葱白 斤葱叶卖1元，也就是说1斤葱白+1斤 葱叶要卖2元钱，而按买葱人的算法1 斤葱白+1斤葱叶只卖1元钱，当然要 亏了。
什么是悖论（paradox）？
▪ 即同人们通常的见解相抵触的理论，观点， 或说法。
பைடு நூலகம்悖论主要有三中类型
第一种：似是而非型
▪ 这种悖论论断看起来是正确的，实际上却错 了，这种讲假话的悖论也称假语悖论。这类 悖论的生成都是通过一个微妙而隐蔽的推理 错误生成一个矛盾。
下面看几个例子
1元钱到哪去了？
▪ 三个学生住店，服务员收费30元，于是三个 学生每人交10元。后来老板说今天特价，只 收25元，要服务员把多的5元退给三人。爱贪 小便宜的服务员想：“5元给三人也不好分， 自己留下2元，给他们每人1元刚好。”于是， 服务员退还了学生3元并私吞了2元。现在的 结果是：每位学生只出了9元，一共27元，加 上服务员的2元，才29元。剩下的1元钱到哪 去了？
数学悖论问题
5.
赛德尔悖论：赛德尔悖论是关于集合中自身是否是自己的成员的问题。具体地说，如果有一个集合包含自身的元素，则称该集合是自指的。赛德尔悖论就是指出不存在一个集合同时既包含自身的元素，又不包含自身的元素。这看起来似乎与常识相违背，因此被称为赛德尔悖论。
6.
这些数学悖论问题都是深奥而有趣的问题，对于理解数学的本质和逻辑思维的训练都具有很大的启示作用。
数学悖论是指在数学中出现的看似矛盾或荒谬的结论或情况。以下是几个经典的数学悖论问题：它断言当n大于2时，a^n + b^n = c^n方程没有正整数解。虽然费马大定理已被证明，但其证明过程非常复杂，历史上曾引发过很多争议。
2.
3.
伯利兹巴悖论：伯利兹巴悖论是集合论中的一个悖论，它指出对于任何一个集合来说，不存在一个集合包含所有集合的元素。这个结论看起来与集合的定义相矛盾，因此被称为伯利兹巴悖论。
十大数学悖论
十大数学悖论1．剃头师悖论（罗素悖论）：某村只有一人剃头,且该村的人都须要剃头,剃头师划定,给且只给村中不本身剃头的人剃头.试问：剃头师给不给本身剃头？假如剃头师给本身剃头,则违反了本身的商定;假如剃头师不给本身剃头,那么按照他的划定,又应当给本身剃头.如许,剃头师陷入了两难的地步.2．撒谎者悖论：公元前6世纪,古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如斯断言：“所有克里特人所说的每一句话都是假话.”假如这句话是真的,那么也就是说,克里特人伊壁门尼德斯说了一句实话,但是却与他的实话——所有克里特人所说的每一句话都是假话——相悖;假如这句话不是真的,也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句假话,则实话应是：所有克里特人所说的每一句话都是实话,两者又相悖.所以如何也难以自圆其说,这就是有名的撒谎者悖论. :公元前4世纪,希腊哲学家又提出了一个悖论：“我如今正在说的这句话是假的.”同上,这又是难以自圆其说！撒谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家.撒谎者悖论有很多情势.如：我预言：“你下面要讲的话是‘不’,对不合错误？用‘是’或‘不是’来答复.”又如,“我的下一句话是错（对）的,我的上一句话是对（错）的”.3．跟无穷相干的悖论：{1,2,3,4,5,…}是天然数集：{1,4,9,16,25,…}是天然数平方的数集.这两个数集可以或许很轻易组成一一对应,那么,在每个聚集中有一样多的元素吗？4.伽利略悖论：我们都知道整体大于部分.由线段BC上的点往极点A连线,每一条线都邑与线段DE(D点在AB上,E点在AC上)订交,是以可得DE与BC一样长,与图抵触.为什么？5.预感不到的测验的悖论：一位师长教师宣告说,鄙人一礼拜的五天内（礼拜一到礼拜五）的某一天将进行一场测验,但他又告知班上的同窗：“你们无法知道是哪一天,只有到了测验那天的早上八点钟才通知你们下昼一点钟考.你能说出为什么这场测验无法进行吗？6.电梯悖论：在一幢摩天大楼里,有一架电梯是由电脑掌握运行的,它每层楼都停,且逗留的时光都雷同.然而,办公室接近顶层的王师长教师说：“每当我要下楼的时刻,都要等良久.停下的电梯老是要上楼,很少有下楼的.真奇异！”李蜜斯对电梯也很不满足,她在接近底层的办公室上班,天天正午都要到顶楼的餐厅吃饭.她说：“不管我什么时刻要上楼,停下来的电梯老是要下楼,很少有上楼的.真让人烦逝世了！”这毕竟是怎么回事？电梯明明在每层逗留的时光都雷同,可为什么会让接近顶楼和底层的人等得不耐心？7.硬币悖论：两枚硬币平放在一路,顶上的硬币绕下方的硬币迁移转变半圈,成果硬币中图案的地位与开端时一样;然而,按常理,绕过圆周半圈的硬币的图案应是朝下的才对！你能解释为什么吗？8.谷堆悖论：显然,1粒谷子不是堆;假如1粒谷子不是堆,那么2粒谷子也不是堆;假如2粒谷子不是堆,那么3粒谷子也不是堆;……假如99999粒谷子不是堆,那么100000粒谷子也不是堆;……假如1粒谷子落地不克不及形成谷堆,2粒谷子落地不克不及形成谷堆,3粒谷子落地也不克不及形成谷堆,依此类推,无论若干粒谷子落地都不克不及形成谷堆.这就是令全部古希腊震动一时的谷堆悖论.从真实的前提动身,用可以接收的推理,但结论则是显著错误的.它解释界说“堆”缺乏明白的鸿沟.它不合于三段论式的多前提推理,在一个前提的持续积聚中形成悖论.从没有堆到有堆中央没有一个明白的界线,解决它的方法就是引进一个隐约的“类”.这是连锁（Sorites）悖论中的一个例子,归功于古希腊人Eubulides,后来的疑惑论者不承认它是常识.“Soros”在希腊语里就是“堆”的意思.最初是一个游戏：你可以把1粒谷子说成是堆吗？不克不及;你可以把2粒谷子说成是堆吗？不克不及;你可以把3粒谷子说成是堆吗？不克不及.但是你迟早会承认一个谷堆的消失,你从哪里区分他们？9.宝塔悖论：假如从一砖塔中抽取一块砖,它不会塌;抽两块砖,它也不会塌;……抽第N块砖时,塔塌了.如今换一个地方开端抽砖,同第一次不一样的是,抽第M 块砖是,塔塌了.再换一个地方,塔塌时少了L块砖.以此类推,每换一个地方,塔塌时少的砖块数都不尽雷同.那么到底抽若干块砖塔才会塌呢？10.有名的鸡与蛋问题：世界上是先有鸡照样先有蛋？▲一些不雅点：老套的问题,当然是先有鸡,只是刚开端它不是鸡,而是此外动物,后来它们的繁衍方法产生了变更,——成为了卵生,所以才有了蛋.最早没有卵活泼物,很多生物照样无性滋生的,后来慢慢进化成卵生和哺乳动物,所以按道理应当先辈化成生物本体才可能有蛋的由来.“蛋”有可能来自外星球,后来情况顺应而孵化,之后在地球繁衍.....就形成了鸡生蛋,蛋又孵化成鸡.。
数学史上十个有趣的悖论
数学史上十个有趣的悖论数学史上十个有趣的悖论1. 贝尔曼-福特悖论：贝尔曼和福特提出了一个悖论，即在某些情况下，一个更短的路径可能比一个更长的路径需要更多的时间来到达。
这与我们直觉中的常识相悖，但在一些特殊的网络或图形结构中确实存在。
2. 贝利悖论：贝利悖论是一个关于概率的悖论。
它认为，如果一个事件在无穷次试验中发生的概率为1，那么在有限次试验中发生的概率也应该接近1。
然而，这个悖论表明，在某些情况下，有限次试验中事件发生的概率可以远远小于1。
3. 监狱悖论：监狱悖论是一个涉及概率和信息理论的悖论。
它认为，如果一个被告的定罪率很高，那么当一个新的证据出现时，这个被告的定罪率反而会降低。
这个悖论挑战了我们对证据和定罪率之间关系的直觉。
4. 伯罗利悖论：伯罗利悖论是概率论中的一个悖论。
它指出，在一个非常大的随机样本中，某个事件的概率与在一个较小的样本中的概率可能截然不同。
这个悖论揭示了我们在处理大样本和小样本时概率的表现方式的差异。
5. 孟克顿悖论：孟克顿悖论是一个关于集合论的悖论。
它指出，如果一个集合包含了所有不包含自身的集合，那么它既包含自身又不包含自身。
这个悖论揭示了集合论中的一些潜在的矛盾和难题。
6. 伊普西隆悖论：伊普西隆悖论是一个关于几何学的悖论。
它认为，在一个无限大的平面上，可以找到两个面积完全相等的形状，但一个形状的周长比另一个形状的周长更长。
这个悖论在无限性的背景下挑战了我们对形状和大小的直觉。
7. 赫尔曼悖论：赫尔曼悖论是一个关于游戏理论的悖论。
它指出，在一个竞争性的游戏中，一个玩家的最佳策略可能会使其处于劣势的局面。
这个悖论挑战了我们对最佳决策和优势策略的理解。
8. 麦克阿瑟悖论：麦克阿瑟悖论是一个关于进化生物学的悖论。
它认为，自私的个体在一个群体中可以获得更大的优势，但在整个群体中自私的个体却会导致整体效益较低。
这个悖论揭示了个体利益和群体利益之间的矛盾。
9. 巴塞尔悖论：巴塞尔悖论是一个关于级数求和的悖论。
数学史上十个有趣的悖论
数学史上十个有趣的悖论1. 赫拉克利特悖论：你永远无法踏入同一条河流。
因为河流的水流不断更替，所以你每次接触到的都是不同的水。
2. 亚里士多德悖论：有一只鸟，如果它每天吃一只虫子就会活下去，那么它连续吃两只虫子会发生什么？它会死亡，因为它每天只需要一只虫子来维持生命。
3. 形而上学悖论：如果一个人把一艘船的每一块木头一块一块地替换掉，那么到最后是否还是同一艘船呢？4. 希尔伯特问题的悖论：是否存在一个包含所有数学真理的最终公式列表？如果是，那么这个列表将包含说真话的几句话和谎言。
但如果它不能说出哪句话是真话，哪句话是谎言，那么这个列表就不完整。
5. 斯特芬兹悖论：如果你有一个无穷的房间，房间里有一个无穷大的桶，里面装满了无穷多的球，但只有两种颜色：红和白。
你是否能用有限的步骤将球分成两堆，一堆红的，一堆白的？6. 孪生数悖论：对于任何一个素数，若将它加一或减一，它们之间的差值必定是二。
因此，两个素数之间一定有一个偶数。
7. 吉尔伯特-陶逊悖论：如果一个村庄中只有男人和小孩，那么这个村庄中一定存在一个人至少有红色头发吗？实际上是可以的，因为这个悖论只是一个错综复杂的抽象预测。
8. 无穷大悖论：如果你将自然数的所有数字分成偶数和奇数，你会发现奇数会比偶数多一些。
但是，当你将这些数字除以二，结果是每个数字都是整数，因此奇数和偶数应该在数量上相同。
9. 托勒密悖论：在托勒密的地球中心宇宙模型中，一颗星星的轨道被假定为匀速圆周运动。
这导致了一个悖论，因为我们观察到的星星的视差应该与其轨道的半径有关，但实际上并非如此。
10. 蒙提霍尔悖论：你在面前有三个门，其中一个门后面是奖品，另两个门后面没有奖品。
你选择了一个门，然后主持人打开了另一个没有奖品的门。
你是否应该更改你的选择以提高你获得奖品的机会？是的，你应该更改你的选择，因为这将让你获得奖品的机会增加到2/3。
世界十大数学悖论
世界十大数学悖论：1.说谎者悖论：一个克里特人说：“我说这句话时正在说慌。
”然后这个克里特人问听众他上面说的是真话还是假话。
2.柏拉图与苏格拉底悖论：柏拉图调侃他的老师：“苏格拉底老师下面的话是假话。
”苏格拉底回答说：“柏拉图上面的话是对的。
”不论假设苏格拉底的话是真是假，都会引起矛盾。
3.鸡蛋的悖论：先有鸡还是先有蛋？4.书名的悖论：美国数学家缪灵写了一部标题为《这本书的书名是什么》的书，问：缪灵的这本书的书名是什么？5.印度父女悖论：女儿在卡片上写道：“今日下午三时之前，您将写一个‘不’字在此卡片上。
”随即女儿要求父亲判断她在卡片上写的事是否会发生；若判断会发生，则在卡片上写“是”，否则写“不”。
问：父亲是写“是”还是写“不”？6.蠕虫悖论：一只蠕虫从一米长的橡皮绳的一端以每秒1厘米的速度爬向另一端，橡皮绳同时均匀地以每秒1米的速度向同方向延伸，蠕虫会爬到另一端吗？7.龟兔赛跑悖论：龟对兔说：“你不要想追上我，我现在在你的前方1米，虽然你的速度是我的百倍，但等你追到我现在的地点时，我又向前爬了1厘米到C1点，等你追到C1点时，我已爬到距你1/100厘米的C2点，如此下去，你总在Cn点，我却在你的前方Cn+1点。
”兔子当然不服，可又说不过乌龟。
实际上比赛起来，用不了1秒钟，兔子已跑在乌龟的前面了。
8.语言悖论：N是用不超过25个自然字不能定义的最小正整数。
数一数上述N定义中的自然字只有23个，没有超过25个，即用不超过25个自然字定义了N，与N是用不超过25个自然字不能定义相矛盾。
9.选举悖论：A、B、C竞选，民意测验表明：有2/3的选民愿选A而不愿选B，有2/3的选民愿选B而不愿选C。
于是A说：“根据2/3的选民保我而反B，2/3的选民保B而反C，说明我优于B，B优于C，所以我优于C，从而我最优，应该选我。
”C不服说道：“那2/3保A反B之外的1/3选民反A而保C，那2/3保B而反C的选民之外1/3的选民反A而保C，则形成2/3的选民保C 而反A，按你的逻辑，我亦优于你，你优于B，我C最优，应选我。
数学有趣的悖论
数学有趣的悖论数学是一门令人着迷的学科，它充满了各种有趣的悖论。
在本文中，我们将探讨一些令人费解的数学悖论，以及它们背后的逻辑和原因。
1. 质数悖论质数是指只能被1和自身整除的正整数。
然而，质数的数量是无穷的，这个结论可以通过数学家欧几里得的证明得到。
但是，我们也可以用反证法来证明质数的数量是有限的。
假设质数的数量是有限的，那么我们可以找到一个最大的质数。
然而，我们可以通过将这个最大质数加1，得到一个更大的质数，这就与假设相矛盾了。
所以，质数的数量是无穷的。
2. 伯努利悖论伯努利悖论是一个关于概率的悖论。
假设我们抛掷一枚公正的硬币，每次结果都是正面或反面。
根据概率理论，正面和反面的出现概率应该是相等的，即50%。
然而，伯努利悖论指出，如果我们连续抛掷硬币无限次，那么正面和反面出现的次数将不会完全相等。
事实上，根据伯努利悖论的计算，正面出现的次数将会稍微多一些。
3. 无穷悖论无穷悖论源于对无穷的理解和定义。
数学中有很多不同的无穷概念，如可数无穷和不可数无穷。
然而，无穷悖论指出，无穷减去无穷不等于零。
例如，我们可以考虑一个集合，其中包含所有正整数。
这个集合是无穷的。
然而，如果我们从这个集合中删除所有偶数，剩下的元素仍然是无穷的。
所以，无穷减去无穷不等于零，这与我们通常对减法的理解相矛盾。
4. 贝尔曼方程悖论贝尔曼方程是强化学习中的核心概念之一。
它描述了一个价值函数的递归关系。
然而，贝尔曼方程悖论指出，有时候贝尔曼方程的解可能并不存在。
这是因为贝尔曼方程要求价值函数在所有状态下都是有限的，但是在某些情况下，却可能存在无限的回报。
这个悖论挑战了我们对强化学习问题的理解。
5. 瑞利-贝努利悖论瑞利-贝努利悖论是一个关于大数定律的悖论。
根据大数定律，随着试验次数的增加，事件发生的频率将趋近于事件的概率。
然而，瑞利-贝努利悖论指出，在某些情况下，大数定律可能不适用。
例如，如果我们抛掷一个不均匀的硬币，它可能有更高的概率出现正面。
数学十大著名悖论
十大数学著名悖论1. 二分法悖论概述：运动的不可分性，由古希腊哲学家芝诺提出。
每次到达一个点都需要先到达中点，形成无限过程，直到19世纪数学家解决了无限过程的问题。
脑洞：无限二分16寸芝士乳酪蛋糕却不能吃的快感，探讨物质、时间和空间的无限可分性。
2. 飞矢不动概述：箭在瞬间位置不动，暗示了时间的瞬间性。
关联到量子力学和相对论，强调运动在特定时刻的相对性。
脑洞：看到漂亮妞心动3秒，上去要电话惨遭拒绝。
咳咳，飞矢不动，我没心动。
3. 忒修斯之船概述：船上的木头逐渐替换，引发同一性的哲学争议。
讨论木头替换后船是否仍然是原来的船。
脑洞：人体细胞每七年更新一次，七年后，镜子里是另一个你。
4. 托里拆利小号概述：体积有限的物体，表面积可以无限。
源自17世纪的几何悖论，涉及到平凡的几何图形和无限的概念。
脑洞：平胸不一定能为国家省布料的时候。
5. 有趣数悖论概述：将数字的特征定义为有趣或无趣，涉及质数、斐波那契数列等。
引出无趣数概念，研究整数的有趣属性。
脑洞：n只青蛙n张嘴，2n只眼睛4n条腿，你想起数列是个什么鬼了吗？6. 球与花瓶概述：无限个球和一个花瓶进行操作，放10个球再取出1个，引发花瓶内球的数量无限和可变的讨论。
脑洞：小学奥林匹克暗袋摸球概率题终极版。
7. 土豆悖论概述：土豆的含水量和干物质之间的矛盾，涉及百分比的计算。
展示了百分比在特定情境下的谬误。
脑洞：理科生们笑到内伤。
8. 饮酒悖论概述：酒吧里的人是否都在喝酒，引出实质条件的悖论。
通过逻辑演绎表明酒吧中的每个人都在喝酒。
脑洞：一人喝酒导致全场人喝酒，数学的实质条件逻辑。
9. 理发师悖论概述：小城理发师的承诺，引出对自己刮脸的矛盾。
赫赫有名的罗素悖论，影响了数学领域的发展。
脑洞：对于不刮胡子的女理发师不成立。
10. 祖父悖论概述：通过时光机回到过去，引发关于杀死祖父的时间旅行悖论。
涉及对时间和平行宇宙的思考。
脑洞：时间旅行中的命运操纵与平行宇宙的可能性。
数学四大悖论
数学四大悖论
1.费马大定理悖论：费马大定理是一个世界闻名的问题，它被认为是数学史上最伟大的问题之一。
然而，费马大定理也是数学史上最大的悖论之一。
费马大定理的证明一直是数学界的一个未解之谜，即使是最聪明的数学家也无法证明它。
虽然有许多人声称已经证明了费马大定理，但这些证明都被证明是不正确或存在错误。
2. 托勒密定理悖论：托勒密定理是一个基本的几何定理，它断言在一个凸四边形中，两对对立的角的积相等。
然而，在20世纪初期，一些数学家发现了一个托勒密定理的悖论。
他们发现了一个凸四边形，可以被划分成两个凸四边形，使得两个凸四边形的两对对立的角积都相等，但整个凸四边形的两对对立的角积不相等。
这个发现震惊了整个数学界，并引起了数学家对几何学的讨论和重新审视。
3. 无穷小悖论：无穷小是微积分中的一个基本概念。
一个数列如果极限为0，那么它被称作是无穷小。
然而，在数学中，出现了一些无穷小的悖论。
例如，当一个无穷小被乘以无穷大时，结果可以是任何值，这与我们通常的数学直觉相矛盾。
这些悖论引发了数学家的思考和讨论，并促进了微积分的发展。
4. 齐比奥悖论：齐比奥悖论是一个古老的悖论，它与集合论有关。
它的内容是：“如果所有的马都是有毛的，那么所有没有毛的动物都不是马”。
这个悖论的问题在于，它可以被应用于任何一个动物，而不仅仅是马。
因此，它导致了集合论中的悖论，这个悖论在数学中引发了一场集合论的危机。
数学家们不得不重新审视集合论的基础，
并开发了新的集合论，来避免这种悖论的出现。
古希腊哲学家芝诺德四大数学悖论
古希腊哲学家芝诺德四大数学悖论古希腊哲学家芝诺的四大数学悖论 1，二分法悖论:任何一个物体要想由A点运动到B点，必须首先到达AB中点C，随后需要到达CB中点D，再随后要到达DB 中点E。
依此类推。
这个二分过程可以无限地进行下去，这样的中点有无限多个。
所以，该物体永远也到不了终点B。
不仅如此，我们会得出运动是不可能发生的，或者说这种旅行连开始都有困难。
因为在进行后半段路程之前，必须先完成前半段路程，而在此之前又必须先完成前1/4路程......因此，物体根本不能开始运动，因为它被道路无限分割阻碍着。
2,阿基里斯追龟悖论:如果让乌龟先行一段路程，那么阿基里斯将永远追不上乌龟。
乌龟先行了一段距离，阿基里斯为了赶上乌龟，必须要到达乌龟的出发点A。
但当阿基里斯到达A点时，乌龟已经向前进到了B点。
而当阿基里斯到达B点时，乌龟又已经到了B前面的C点...........依此类推，两者虽越来越接近，但阿基里斯永远落在乌龟的后面而追不上乌龟。
3、飞矢不动悖论:任何一个东西呆在一个地方那不叫运动，可是飞动着的箭在任何一个时刻不也是呆在一个地方吗,既然飞矢在任何一个时刻都能呆在一个地方，那飞矢当然是不动的。
4、运动场悖论: 芝诺提出这一悖论可能是针对时间存在着最小单位一说,现在的普朗克—惠勒时间 Planck-Wheeler time)。
对此，他做出如下论证:设想有三列实体，最初它们首尾对齐。
设想在最小时间单元内，C列不动，A列向左移动一位，B列向右移动一位。
相对B而言，A移动了两位。
就是说，我们应该有一个能让B相对于A移动一位的时间。
自然，这时间是单元时间的一半，但单元时间是假定不可分的，那么这两个时间就是相同的了，即最小时间单元与他的一半相等。
数学 悖论
红衣女子是真实的 还是在拼图里的？
两列火车会相撞吗？
美国魔术· 安德鲁斯创造了这个精彩的幻觉作品
球和影幻觉：两幅幻觉图中，球相对于背景的位置一样吗？
折叠的棋盘：你从上面还是从下面看到棋盘呢?
曲折的悖论：这是一个奇妙的不可能成立的曲折体， 由匈牙利艺术家托马斯· 伐克期创作
瑞典艺术家奥斯卡· 卢特 斯瓦尔德，给了我们不可 能的三角形中又一种变化。
1 2 1
概率悖论之贝壳之谜
• 三个贝壳的谜题改编自蒙特霍问题，也就是三门 问题，源于博弈论和数学游戏问题.以下是蒙提霍 尔问题的一个著名的叙述：假设你正在参加一个 游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中 一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊.你选 择了一扇门，假设是一号门，然后知道门后面有 什么，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三 号门.他然后问你：“你想选择二号门吗？”转换 你的选择对你来说是一种优势吗？这条问题亦被 叫做蒙提霍尔悖论：虽然该问题的答案在逻辑上 并不自相矛盾，但十分违反直觉.这问题曾引起一 阵热烈的讨论.
概率悖论之三张卡片的骗局
• 问题提出：三张卡片，分别为第一张A两面 都是红色，第二张B，一面是红色，一面是 黑色，第三张C两面都是黑色.庄家把卡片 放在帽子里摇晃，取出一张放在桌子上， 打赌下面和上面的颜色相同.庄家会这样说， 这个赌博是公平的.假定取出的卡片上面是 红色，那么不可能是卡片C，所以要么是A， 要么是B，也就是要么相同，要么不同，这 样的话输赢的概率都是1/2.
悖论(paradox)来希腊自语“para+dokein”，意思是“多想一想”
悖论有点像魔术中的变戏法，它使人们在看完之 后，几乎没有—个不惊讶得马上就想知道：“这套戏 法是怎么搞成的？”当把技巧告诉他时，他就会不知 不觉地被引进深奥而有趣的数学世界之中。 正是因为悖论的存在， 数学才能越来越严密，可以说，
数学四大悖论
数学四大悖论数学是一门充满了美感和逻辑性的学科，但在这个领域中也存在着一些看似矛盾、荒诞的悖论。
以下是数学四大悖论：1.罗素悖论罗素悖论是由英国数学家伯特兰·罗素（Bertrand Russell）于1901年提出的。
他构思了一个集合，这个集合包含所有不包含自身的集合。
根据传统的集合论，这个集合应该是存在的。
但当我们试图将这个集合是否包含自身这一要素套入其中时，会陷入一个矛盾的局面：如果这个集合不包含自身，那么它应该包含在这个集合中；但如果它包含自身，那么它又不可能包含在这个集合中，因为它包含了一个包含自身的集合。
这就是罗素悖论。
2.贝尔悖论贝尔悖论是由美国逻辑学家诺尔曼·L·贝尔（Norman L. Geisler）提出的。
这个悖论涉及了一个涉及到无限序列的问题。
假设有一个无限序列A1,A2,A3…，这个序列中所有的数字都是0或1。
接下来，我们可以构建一个新的序列B，它的第n位是A(n+1)的相反数。
比如，如果A序列是0,1,0,1…那么B序列就是1,0,1,0…接下来，我们来讨论一个问题：在这个新序列B中，有没有一个长度为n的子序列与A相同？如果存在，那么根据B的定义，这个子序列中的每一位都与A的相应位不同，所以这个子序列在B中不可能出现。
但是，如果不存在这样的子序列，那么B序列就不可能与A序列相反，因为每个长度为n的子序列都会在B序列中出现。
3.高斯悖论高斯悖论是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）在1796年提出的。
这个问题涉及到一个三元数列：1,-1,1,-1…。
我们可以将这个数列进行逐项相乘得到一个新的数列：1,-1,-1,1,1,-1,-1,1…。
如果我们将每个数取绝对值并相加，就可以得到一个数列：1,1,1,1,1,1,1,1…但这与原来的数列被称为奇异级数，因为它相加得到的和是无限大，但我们的答案确是一个有限的数。
数学悖论的例子
数学悖论的例子
以下是 8 条关于数学悖论的例子：
1. 龟兔赛跑悖论啊！就像兔子速度明明超级快，乌龟慢得要死，按常理兔子肯定能赢，可要是让乌龟先跑一段路，兔子再去追，神奇的是，从数学角度分析，兔子竟然永远追不上乌龟！你说这怪不怪？
2. 理发师悖论呀！说一个理发师只给那些不给自己理发的人理发，那他到底给不给自己理发呢？这可真是把人都绕晕了！
3. 芝诺悖论知道不？比如阿强要从 A 点走到 B 点，明明距离是固定的，但
按他的理论，阿强得先走到一半，再走到剩下的一半的一半，这样一直分下去，阿强永远也到不了 B 点，这不是很荒唐吗！
4. 说谎者悖论简直绝了！阿珍说“我现在说的这句话是谎话”，那她这句话到底是真是假呢？这不是让人抓狂么！
5. 集合悖论也很有意思呀！比如说有一个集合，它包含所有不包含自身的集合，那它包不包含它自己呢？哎呀，头都大了！
6. 硬币悖论懂吗？想象一下，把一枚硬币不停地翻转，正面之后肯定是反面，反面之后肯定是正面，那岂不是意味着它永远也停不下来了？这合理吗！
7. 祖父悖论也很神奇呢！要是阿明穿越回去杀了自己年轻的祖父，那阿明还会出生吗？这问题好棘手啊！
8. 无限旅馆悖论也超有趣！一个旅馆有无限个房间，而且都住满了人，这时又来了一个人，按照数学逻辑竟然还可以住下，难道房间还能凭空变出来？太不可思议了吧！
我觉得这些数学悖论真的是让人大开眼界，它们挑战着我们的常规思维，让我们对数学的奇妙之处有了更深的认识啊！。
罗素集合论悖论
罗素集合论悖论罗素集合论悖论，又称为罗素悖论或罗素悖论悖论，是数理逻辑领域中的一个重要悖论，由英国哲学家、数学家罗素在1901年提出。
该悖论揭示了集合论的一个内在矛盾，引发了对集合论基础的深刻反思，并对数学逻辑的发展产生了深远影响。
我们需要了解集合论的基本概念。
在数学中，集合是由一些确定的对象构成的整体。
集合论的基本假设是：对于任意给定的条件，都存在一个集合，包含满足该条件的所有对象。
然而，罗素集合论悖论却以一种巧妙的方式否定了这个假设。
罗素集合论悖论的表述如下：考虑一个集合R，该集合包含所有不属于自己的集合。
换句话说，R是一个特殊的集合，其中只包含那些不包含自己的集合。
接下来，我们思考这样一个问题：R是否包含自己？如果R包含自己，根据R的定义，它不应该包含自己；而如果R不包含自己，那么根据R的定义，它应该包含自己。
这样的矛盾使得罗素集合论悖论成为了一个无解的问题。
罗素集合论悖论的重要性在于它揭示了集合论的自指问题。
自指是指一个概念引用了自己的情况。
在罗素集合论悖论中，集合R引用了自己，导致了矛盾的产生。
为了解决这个悖论，数学家们提出了多种方法。
其中一种方法是限制集合的形成条件，即不允许引用自身的集合。
这种方法被称为限制公理，它排除了类似于罗素集合论悖论的自指问题，从而确保了集合论的一致性。
另一种方法是引入层次集合论。
层次集合论的基本思想是将集合分层，每一层只包含前一层的子集。
通过这种方式，集合的自指问题被有效地规避，从而避免了悖论的出现。
罗素集合论悖论的出现对于数学逻辑的发展产生了深远的影响。
它促使数学家们重新审视了集合论的基础，提出了一系列新的公理系统，如ZF集合论和GB集合论，以解决集合论的悖论。
这些公理系统成为了现代数学的基石，为数学家们提供了一个严密而一致的工具。
除了对数学的影响外，罗素集合论悖论还引发了对哲学和认识论的思考。
它挑战了人们对于集合的直觉认识，使得人们对于集合的本质和定义产生了更深入的思考。
数学上的悖论
数学上的悖论
数学上有很多著名的悖论，以下是其中一些示例：
1. 赛兹悖论（Russell's paradox）：由英国数学家伯特兰·罗素提出的悖论，涉及到集合论中的自指问题。
简而言之，它证明了不存在一个包含所有不包含自己的集合的集合。
2. 卡塔兰数悖论：卡塔兰数是组合数学中的一种数列，用于描述许多组合问题。
然而，当使用相关的递归公式进行计算时，很容易出现负数结果，这与卡塔兰数的定义相矛盾。
3. 第二哥德尔不完备性定理：哥德尔于1931年提出的两个不完备性定理表明，任何基于自然数的形式理论都存在无法被证明或证伪的命题。
这意味着在数学领域中，总会存在无法确定真伪的命题，从而引发了对数学基础和形式系统的思考。
这些悖论都挑战了数学体系的完备性、一致性或者自指性，进一步推动了数学基础研究的发展。
数学悖论与三次数学危机
数学悖论与三次数学危机数学，作为一门精确的科学，自古以来一直受到人们的推崇和喜爱。
然而，数学也并非完美无缺，它也存在着一些悖论和危机，这些问题挑战着人们对数学的认知和理解。
本文将探讨数学悖论与三次数学危机，并着重讨论数学领域中的挑战和问题。
一、数学悖论1. 贝塞尔悖论：贝塞尔曲线在数学和科学领域中广泛应用，它是一种描述曲线形状的数学工具。
然而，贝塞尔悖论指出，贝塞尔曲线的某些性质与直觉相悖。
例如，当贝塞尔曲线被细分为越来越多的段落时，曲线并不会平滑地收敛到给定的目标形状。
这一悖论引发了对曲线近似和计算的许多挑战。
2. 伯克霍夫悖论：伯克霍夫悖论涉及到在无限次迭代的情况下，计算某些概率的困难性。
例如，如果我们有一枚硬币，每次抛掷，正面朝上的概率为1/2。
那么，如果我们连续无限次抛掷硬币，正面朝上的次数相对于总次数的比例又是多少呢？直觉上，这个比例应该是1/2，但根据伯克霍夫悖论，这个比例实际上是一个不确定的值。
3. 瑕疵统计：瑕疵统计是指在无限时间和空间中的某些分布，存在着某些奇怪的性质。
例如，考虑一个线段，我们可以通过在中间随机选择一个点，然后将剩余部分一分为二。
重复此过程，我们将得到一系列长度不断减小的线段。
然而，根据瑕疵统计，最终我们会得到一个长度为零的线段。
这种现象挑战着我们对无穷的理解。
二、三次数学危机1. 黑洞信息悖论：黑洞是宇宙中最神秘而又引人入胜的天体之一。
然而，根据黑洞信息悖论，当物质进入黑洞时，所有关于该物质的信息都将永久性地丢失。
这一结果与量子力学的基本原理相矛盾，其中信息是不可破坏的。
黑洞信息悖论挑战了我们对信息保存和宇宙进化的理解。
2. 艾伦-克拉曼恩悖论：在数学中，一个凯莱集合是指具有类似于实数线的长度，但没有定义的集合。
这种存在令人惊讶，因为对于实数而言，我们可以精确地描述和测量其长度。
然而，艾伦-克拉曼恩悖论指出，某些特殊的凯莱集合存在于一个叫做超计算的理论计算机中。
数学有趣的悖论
数学有趣的悖论数学中存在许多有趣的悖论，这些悖论挑战了我们对逻辑和数学规则的直觉理解。
它们引发了深入思考和讨论，有时甚至对我们对现实世界的理解产生了影响。
本文将介绍一些数学中有趣的悖论，展示它们的独特之处和引发的思考。
1. 费马大定理费马大定理是数学史上最著名的悖论之一。
它由法国数学家费马于17世纪提出，直到1994年才由英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。
费马大定理表述为：对于任何大于2的整数n，关于x、y、z的方程x^n + y^n = z^n没有正整数解。
这意味着对于n大于2的情况下，无法找到满足这个方程的整数解。
费马大定理的证明非常困难，耗费了数学家们几个世纪的时间。
这个悖论引发了许多数学家的思考和努力，推动了数学领域的发展。
2. 无理数的存在无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数。
例如，根号2是一个无理数，它不能表示为两个整数的比值。
然而，无理数与有理数（可以表示为两个整数的比值）一样真实存在。
这个悖论使我们感到困惑，因为我们习惯于以分数或小数的形式表示数字。
无理数的存在挑战了我们对数字的直觉理解，但它也为数学提供了更广阔的可能性。
3. 罗素悖论罗素悖论是数理逻辑领域的一个重要悖论。
它由英国哲学家罗素于20世纪初提出。
罗素悖论可以简单地表述为：对于所有集合，如果一个集合不包含自身，那么它应该包含在自身之中；反之，如果一个集合包含自身，那么它不应该包含在自身之中。
这个悖论引发了对集合论的深入研究和对数理逻辑的重新思考，对于建立数学的严谨基础起到了重要的推动作用。
4. 希尔伯特旅店悖论希尔伯特旅店悖论是由德国数学家希尔伯特提出的一个有趣的悖论。
设想有一家无限多个房间的旅店，每个房间都已经住满。
那么，当一位新的客人到来时，旅店的经理怎么安排他的住宿呢？希尔伯特提出了一个巧妙的解决方案：将第一个房间的客人移动到第二个房间，第二个房间的客人移动到第三个房间，以此类推，第n个房间的客人移动到第n+1个房间。
十大数学悖论(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】十大数学悖论1．理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。
试问：理发师给不给自己理发？如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。
这样，理发师陷入了两难的境地。
2．说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。
”如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。
所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。
:公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：“我现在正在说的这句话是假的。
”同上，这又是难以自圆其说！说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家。
说谎者悖论有许多形式。
如：我预言：“你下面要讲的话是‘不’，对不对？用‘是’或‘不是’来回答。
”又如，“我的下一句话是错（对）的，我的上一句话是对（错）的”。
3．跟无限相关的悖论：{1，2，3，4，5，…}是自然数集：{1，4，9，16，25，…}是自然数平方的数集。
这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗？4.伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。
由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC一样长，与图矛盾。
为什么？5.预料不到的考试的悖论：一位老师宣布说，在下一星期的五天内（星期一到星期五）的某一天将进行一场考试，但他又告诉班上的同学：“你们无法知道是哪一天，只有到了考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。
你能说出为什么这场考试无法进行吗？6.电梯悖论：在一幢摩天大楼里，有一架电梯是由电脑控制运行的，它每层楼都停，且停留的时间都相同。
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罗素的“悖论”英国现代数理学家、哲学家罗素，是数学中逻辑主义学派的代表人物。
1903年他提出了著名的“悖论”，导致了“集合论”理论的发展。
所谓悖论，是从一些貌似正确的或看来可接受的约定出发，经过简明正确的推理，却得到自相矛盾的结论。
例如，对一个命题，如果假定它为真，经过无懈可击的推理，却推出它为假；但假定它为假，又能推出它为真。
这样的命题就是一个悖论。
下面是罗素提出的一个命题：某理发师规定：他只给那些自己不给自己刮脸的人刮脸。
这个理发师该不该给自己刮脸呢？很显然，如果这个理发师给自己刮脸，那么按规定他就不该给自己刮脸；同时，如果他不给自己刮脸，那么按规定他又应该给自己刮脸。
多尴尬的理发师！这样自相矛盾的命题就是悖论。
聪明的读者，请你分析下面的一句话：安第斯山人迪皮克说：“所有安第斯山人说的话都是谎话。
”你能推出这句话中的悖论吗6参考答案：如果这句是真话，由于迪皮克是安第斯山人，他也是说谎者，因此这句话是谎话。
如果这句话是谎话，那么安第斯山人不都是说谎者，可是他的话说明是在说谎，因此是句真话。
摘要：本文主要通过数学史上的三次危机的产生与消除，针对它们的本质浅谈自己的认识，实际导致这三次危机原因在与人的认识。
第一次数学危机是人们对万物皆数的误解，随着无理数的发现，把第一次数学危机度过了。
第二次数学危机是人们对无穷小的误解，微积分的出现产生了一种新的方法，即分析方法，分析方法是算和证的结合。
是通过无穷趋近而确定某一结果。
罗素悖论的发现，给数学界以极大的震动，导致了数学史上的第三次危机。
为了探求其根源和解决难题的途径，在数学界逻辑界进行了不懈的探讨，提出了一系列解决方案，并在不知不觉中大大推动了数学和逻辑学的发展。
关键词：危机；万物皆数；无穷小；分析方法；集合一、前言数学常常被人们认为是自然科学中发展得最完善的一门学科，但在数学的发展史中，却经历了三次危机，人们为了使数学向前发展，从而引入一些新的东西使问题化解，在第一次危机中导致无理数的产生；第二次危机发生在十七世纪微积分诞生后，无穷小量的刻画问题，最后是柯西解决了这个问题；第三次危机发生在19世纪末，罗素悖论的产生引起数学界的轩然大波，最后是将集合论建立在一组公理之上，以回避悖论来缓解数学危机。
本文回顾了数学上三次危机的产与发展，并给出了自己对这三次危机的看法，最后得出确定性丧失的结论。
二、数学史上的第一次“危机”第一次数学危机是发生在公元前580～568年之间的古希腊。
那时的数学正值昌盛，忒被是以毕达哥拉斯为代表的毕氏学派对数的认识进行了研究，他们认为“万物皆数”。
所谓数就是指整数，他们确定数的目的是企图通过揭示数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，信条是：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比，即世界上只存在整数与分数，除此之外他们不认识也不承认别的数。
在那个时期，上述思想是绝对权威、是“真理”。
但是不久人们发现即使边长为1的正方形对角线不是可比数。
这样毕达哥拉斯“万物皆数”是不成立的，绝对的权威受到了严重的挑战：一方面证明单位正方形对角线的长不是整数分数，按照他们的观点，这种长度不是数！另一方面，他们不承认自己的观点有问题，这就陷入了极大的矛盾之中，这是第一次数学危机。
三、第二次数学危机第二次数学危机发生在十七世纪。
十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。
其实我翻了一下有关数学史的资料，阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素，直到很多年后，牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地——微积分。
微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。
直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。
柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。
无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass创立了极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。
四、数学史上的第三次危机1.悖论的产生及意义(1)什么是悖论悖论来自希腊语，意思是“多想一想”。
这个次的意义比较丰富，它包括一切与人的知觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。
悖论是自相矛盾的命题，即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出原命题成立。
如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。
古今中外有不少著名的悖论，他们震撼了逻辑学和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。
解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
(2)悖论产生的意义疏忽学悖论是在数学学科理论体系发展到相当高的阶段才出现的。
它是对数学学科理论体系可能存在的内在矛盾的揭示。
虽然暂时引起人们的思想混乱，对正常的科学研究可能会形成一定的冲击，但它对于揭露原有理论体系中的逻辑矛盾，对于揭露原有理论的缺陷或局限性，对于这一步深入理解，任何和评价原有科学理念，对于原有的科学概念或理论的进一步充实完善和促进科学管理的产生都有相当重要的意义，同时也为科学研究提供新的课题和研究方向。
2.第三次数学危机的产生与解决(1)第三次数学危机的产生其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。
如1897年，布拉利和福尔蒂提出了最大序数悖论。
1899年，康托尔自己发现了最大基数悖论。
但是，由于这两个悖论都涉及集合中的许多复杂理论，所以只是在数学界揭起了一点小涟漪，未能引起大的注意。
罗素悖论则不同。
它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。
所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。
如G.弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心地说：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。
罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。
”戴德金也因此推迟了他的《什么是数的本质和作用》一文的再版。
可以说，这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。
危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。
人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。
“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。
”1908年，策梅罗在自已这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统。
这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。
除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。
公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。
但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。
它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。
而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。
如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。
1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。
两年后，康托发现了很相似的悖论。
1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。
罗素悖论曾被以多种形式通俗化。
其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。
理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。
当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质："理发师是否自己给自己刮脸？"如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。
罗素悖论使整个数学大厦动摇了。
无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第２卷末尾写道："一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地"。
于是终结了近12年的刻苦钻研。
承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。
尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。
现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。
所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。
第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。
罗素在该悖论中所定义的集合R，被几乎所有集合论研究者都认为是在朴素集合论中可以合法存在的集合。
事实虽是这样但原因却又是什么呢？这是由于R是集合，若R含有自身作为元素，就有R R，那么从集合的角度就有R R。
一个集合真包含它自己，这样的集合显然是不存在的。
因为既要R有异于R的元素，又要R与 R是相同的，这显然是不可能的。
因此，任何集合都必须遵循R R的基本原则，否则就是不合法的集合。
这样看来，罗素悖论中所定义的一切R R的集合，就应该是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，这就是同类事物包含所有的同类事物，必会引出最大的这类事物。
归根结底，R也就是包含一切集合的“最大的集合”了。
因此可以明确了，实质上，罗素悖论就是一个以否定形式陈述的最大集合悖论。
(2)第三次数学危机的解决罗素的悖论产生后，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。
首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统（即所谓ZF公理系统），这场数学危机到此缓和下来。
现在，我们通过离散数学的学习，知道集合论主要分为Cantor集合论和Axiomatic集合论，集合是先定义了全集I，空集，在经过一系列一元和二元运算而得来的。
而在七条公理上建立起来的集合论系统避开了罗素悖论，使现代数学得以发展。
三次数学危机是我们数学史发展中的一个奠基，他为我们日后更详细、深入的研究数学做了很好的铺垫，我我想以后也许会有第四次数学危机，但数学家也会把它化解掉，只有出现危机，才能使我们的数学研究达到更高的境界。