论芝诺悖论

芝诺悖论
摘要
巴门尼德的学生芝诺在哲学上被亚里士多德誉为辩证法的创始人，他曾提出四个悖论：二分法、阿基里和乌龟赛跑、飞矢不动、一倍的时间等于一半的时间。

《西方哲学通史》中作者对芝诺的四个悖论是这样描述的：“第一个悖论指出运动的路程是无限可分的，第二个悖论则侧重说明运动的时间是无限可分的，第三个悖论说明运动路程和时间的无限可分性造成的速度是静止的，第四个悖论纯属数学游戏。

”但是通过不同时代人们的论证，证明芝诺的四个悖论是荒谬的，虽然人们论证了芝诺悖论的不合理性，但是这并不能抹杀芝诺的四个悖论在哲学上、数学上、思维方法上的伟大意义。

关键字：芝诺悖论；时间；运动；有限性；无限性
Abstracts
Parmenides’ student, Zeno was called the founder of dialectics in philosophy by Aristotle, he put forward four tense paradoxes: dichotomy, Aki racing with tortoise, the moving arrow is unmoved, and a time is equal to half of the time. It is described that:”the first paradox is the distance of movement is divided limitlessly; the second is puts particular emphasis on the time of movement is divided infinitely; the fourth is just a numbers game” in The History of Western Philosophy by Zhao Dunhua. However, it is proved ridiculous by scholars of separated epochs, although Zeno’s Paradoxes are unreasonable, there is great significance to Zeno’s Paradoxes on philosophy, math, and the way of thinking.
Key words: Zeno’s Paradoxes; time; movement; limitations; unlimitedness
1.概述
1.1芝诺简介
芝诺（Zenon）生活在古代希腊的埃利亚城邦，他是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德(Parmenides)的学生和朋友，关于他的生平，缺少可靠的文字记载。

芝诺有一本著作《论自然》。

在柏拉图的《巴门尼德》篇中，当芝诺谈到自己的著作时说：“由于青年时的好胜著成此篇，著成后，人即将它窃去，以致我不能决断，是否应当让它问世。

”
柏拉图在他的对话《巴门尼德》篇中，记叙了芝诺和巴门尼德于公元前5世纪中叶去雅典的一次访问。

其中说：“巴门尼德年事已高，约65岁；头发很白，但仪表堂堂，那时芝诺约40岁，身材魁梧而美观，人家说他已变成巴门尼德所钟爱的了。

”据信芝诺为巴门尼德的“存在论”辩护，但是不象他的老师那样企图从正面去证明存在是“一”不是“多”，是“静”不是“动”，他常常用归谬法从反面去证明：“如果事物是多数的，将要比是‘一’的假设得出更可笑的结果。

”他用同样的方法，巧妙地构想出一些关于运动的论点。

他的这些议论，就是所谓“芝诺悖论”。

芝诺是巴门尼德的学生。

针对伊奥尼亚派的变化本原观，提出否认运动可能性的四个论证。

他的极端论点与其说是巴门尼德学说的引申，不如说是为了维护巴门尼德所强调的真理而采取的矫枉过正的做法。

柏拉图后来在《巴门尼德篇》中说，他们的辩护策略是“以其人之道还治其人之身”：有人诘难说，如果承认存在是不变的一，那么便会得出事物不能运动的荒谬结论；他们则反击说，如果承认存在是变化的，那么也会得出事物不能运动的结论，并且这是与前提相矛盾的悖论，更加荒谬。

[1]
芝诺说：“我的这些论证的目的是保卫巴门尼得的那些论证，反对另一些取笑他的人，他们企图指出许多可笑的和矛盾的结果来，说是从对于一的肯定中得出来的。

我的答复是说给那些拥护多的人听的，我有意把他们的攻击还给他们自己，指出他们假定多存在的那些看法如果推下去，看来要比假定一存在更加可笑。

”
1.2芝诺悖论
1.2.1二分法
芝诺的这个“二分法”悖论有很多论述：如运动着的事物在达到目的地之前，先要完成全程的二分之一；在达到二分之一处前，又要完成它的二分之一，如此分割，乃至无穷，永远也达不到目的地。

[1]又如向一个目的地进发，首先必须经
过到达目的路程的一半。

然而要经过这路程的一半，结果这一半又成为目的地，因而又必须先经过这一半的一半，如此类推, 以至无穷。

[2]再如在你穿过一定距离的全部之前，你必须穿过这个距离的一半。

这样下去就会陷于无止境。

[3]中国也有类似于芝诺“二分法”悖论的表述，就是《庄子·天下》中所说的：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。

”就是说，一尺长的木棍，今天取它的一半，剩下一半，明天取它剩下一半的一半，就会剩下一半的一半，后天、大后天依次取它剩下的一半，总是会有一半留下。

这个木棍可以无限地分割下去，永远都分不完。

芝诺的这个“二分法”悖论，毫无疑问是在否认运动的可能性。

芝诺的“二分法”悖论虽然会给人正确的错觉，但是仔细分析，会发现芝诺在辩证的过程中犯了几个错误。

对“二分法”，亚里士多德准确而简短地转述说：“你不能在有限时间内越过无穷的点。

在你穿过一定距离的全部之前，你必须穿过这个距离的一半。

这样做下去就会陷于无止境，所以，在任何一定的空间中都有无穷个点，你不能在有限时间中一个一个接触无穷个点。

”[4]剖析这一论证，我们可以发现：第一，芝诺的“二分法”揭示了空间的连续性与点截性、可分性与不可分性的矛盾，但把空间的点截性、可分性绝对化了而把时间仅仅看作是一个有限的、不可分的连续。

第二，芝诺的“二分法”揭示了有限和无限的矛盾，但是它使一方绝对化了。

在这个问题上芝诺犯这样几个错误：一是他在理解运动时仅仅强调了空间的无限性，而忽略了空间的有限性。

二是在同一个论证中，他强调了时间韵有限性，而忽略了时间的无限性。

而这两个性质相同，方向相反的错误相结合，使他产生了第三个错误，把本来具有高度一致性的时间和空间绝对地对立起来，轻率地断言，空间是无限的，而时间却是有限的。

[5]
对于芝诺的“二分法”，想证明它正确与否，必须辩证地看待这个问题，其中必须考虑它的前提条件。

若不把运动看成连续性的，不把速度因素算在内，设从A到B的这段路程100米，要想从A走到B，要先走100米的50米，再走50米的25米，再走25米的12.5米，依次走下去，永远也不能到达B点。

正如“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，若假设存在可以无限取这一尺之锤的工具，那么可以得出，一尺约等于33.3333厘米，今天取其一半，还剩约等于16.66665厘米，明天取剩下一半的一半，还剩约等于8.333325厘米，后天取剩下一半的一半，还剩剩下约等于4.1666625厘米，如此取下去，永远也取不到尽头。

但是，对于芝诺的“二分法”，若把运动看成连续性的，同时也把速度因素算在内，路程等于速度乘以时间，设速度为每秒一米，那么从A到B的100米路程只需100秒就可以走完，若非要以芝诺的“二分法”来描述，那么就先走100米的50米，需要50秒，再走50米的25米，需要25秒，再走25米的12.5米，需要12.5
秒，依次走下去，这时，需要注意的是，当最后剩下的路程小于1米的时候，那么一步就可以走到终点。

正如“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，当这个“棰”只剩下1毫米时，肉眼可能已经不能看到，当它已经不可以称之为“棰”的时候，我们又是在取什么的一半呢？更何况当这个“棰”更小的时候，可能不会存在可以继续把这个“棰”分割下去的工具了。

总之，芝诺的“二分法”，虽然揭示了时间、空间所固有的可分和不可分、有限和无限、连续性和间断性等辩证矛盾，但是，他最终创裂了这些矛盾，把其中一个侧面孤立起来，加以绝对化，否定了另一个侧面。

并用主观任竟的联系，似是而非的论证否定了运动的真实性，借以证明只是不变不动的存在才是唯一真实的，充分基露了芝诺哲学的诡辩实质。

[5]因此，芝诺的“二分法”悖论是荒谬的。

1.2.2阿基里和乌龟赛跑
设想奥林匹克赛跑冠军阿基里和乌龟赛跑，乌龟先爬一段路程；当阿基里跑完这段路程时，乌龟又向前爬了一段路程；当阿基里跑完这一段时，乌龟又再向前爬了一段；一追一爬，以至无穷，阿基里永远也赶不上乌龟。

这个悖论说明，运动中的事物没有快慢之分。

[1]阿基里斯是古希腊神话中的英雄，海洋女神忒提斯的儿子，他健步如飞，能日行千里。

在这里，芝诺借助推理的方法，提出了时间和空间可以无限分割的问题。

他推理的前提是：在有限的时间内要通过无穷个点是不可能的。

他的推理过程是：阿基里斯要追上乌龟，首先必须到达乌龟的起点处A，而当阿基里斯赶到A点时，乌龟已向前跑了一段路S1，到了B点；当阿基里斯跑完S1这段路程到达B点时，乌龟又向前跑了一段路S2到达C点；当阿基里斯赶到C点时，乌龟又向前跑了一段路S3到达D点，如此下去，虽然S2比S1小，S3比S2小，但总是还有一段距离存在。

Sn会越来越小，但由于时空是无限可分的，所以总有比Sn更小的Sn+1存在，那么点与点的距离虽然不断缩小，但永远不会重合。

所以，阿基里斯虽然健步如飞，日行千里，但在他前面却永远有着新的Sn+x等待着他去超越，阿基里斯永远也别想追上乌龟。

[6]在芝诺的这个悖论里，同样需要辩证地看待。

当把速度因素算在这个悖论中时，这个悖论就是完全不合理的。

按照常识，我们假设乌龟的速度是0.01米每秒，阿基里的速度是1米每秒，阿基里的速度是乌龟的100倍。

这时，我们假设从A到B有100米，阿基里从A到B需要100秒，而乌龟从A到B则需要10000秒，就算乌龟先跑一段，以阿基里的速度同样是可以追上乌龟的。

因此，虽然芝诺的这个悖论乍一看好像是正确的，但是只要仔细辩证，就会发现芝诺的这个悖论如此荒谬。

历史上很多哲学家都对芝诺的这个悖论进行了反驳。

亚里士多德说：“在它
领先的时间内是不能被赶上的，但是，如果芝诺允许它能越过所规定的有限的距离的话，那么它也是可以被赶上的。

”[7]黑格尔则说：“运动的意思是，在这个地点同时又不在这个地点；这就是空间和时间的连续性，并且这才是使得运动可能的条件。

而芝诺在他一贯的推理里把这两个点弄得严格地相互反对了。

”[4]因此，芝诺的这个悖论看似完美无缺，但实际上却是荒谬的。

1.2.3飞矢不动
飞矢在一段时间里通过一段路程，这一段时间可被分成无数时刻；在这一个时刻，箭矢都占据着一个位置，因此是静止不动的；就是说，它停驻在这段路程的各个不同位置上，而不是从一个位置飞至另一个位置。

[1]
飞矢不动可以表达为：一个确定的时刻对应一个确定的位置，即飞着的箭头也就没发生位置改变(运动被定义为位置的改变)，于是“飞着的矢也不动了”。

“飞矢不动”命题实质是否定无限可分的连续结构，如果结构是连续的，无限的可分，即使分到时刻与位置一一对应，也会出现“飞着的矢也不动了”。

[8]这个悖论在我看来问题更多，如果飞矢静止时占据着一个位置，这个当它处于占据着一个位置的点的时候，它是静止的，又怎么可以说它是运动的呢？
黑格尔也曾说过：“它所根据的假定是时间由霎间组成，如果不承认这个假定，就不会得出这个结论。

”黑格尔指出：“当我们一般地说到运动时，我们总是这样说，物体在这一个地点，然后走向另一个地点。

由于它在运动，它已不复在第一个地点，但是也还不在第二个地点，如果它在两个地点中的一个地点，则它就是静止的。

人们说，它是介于两个地点之间，但这并没有说明什么，因为介于两个地点之间它还是在一个地点，因此，这里还是存在着同样的困难。

但运动的意思是说，在这个地点而同时又不在这个地点，这就是空间和时间的连续性—并且这才是使得运动可能的条件，芝诺在他的一贯的推理里把这两点弄得严格地相互反对了。

”[4]
1.2.4一倍的时间等于一半的时间
A1 A2 A3 A4
B1 B2 B3 B4 —→
←—C1 C2 C3 C4 设B、C两系列运动速度相同，A、B、C三系列的每一部分大小相同；那么，
B4到达A4的时间与C1到达A1的时间相等，但B系列的运动时间是C系列运动时间的一半（因为相对于A只移动了两格），或者说，C系列的运动时间比B系列运动时间多一倍（因为相对于B移动了四格）。

两者应该相等却有差别，固有“一倍的时间等于一半的时间”的悖论。

[1]
“第四论涉及两排东西，每排都由数目相同、体积相等的物体所组成，此两排在一跑道中相对运动，他们前进的速度相等而方向相反；有一排居于跑道的中点和终点之间，另一排位中点和始点之间。

他认为这种情形包含如下结论：一给定时间之半多于该时间的两倍，[7]
这个论证所讨论的是存在于相反运动中的矛盾。

运动不仅具有绝对性，而且具有相对性。

“运动应该从它的反面即从静止中找到它的量度”，比较运动要有确定的参考系，某一运动，相对于不同的参考系，会得出不同的速度，在两种以上的运动状态中，不同的矢量关系也会有不同的运动结果，芝诺不懂这个道理，主观随意假定参考系，并从两个不同性质的参考系中作出量度，所以，他把全部问题搞乱了。

当他说B、C在时间t内走过同样的一段距离（2a）时，是相对于静止的参考系A说的，并抽掉了运动的矢量。

可是当他说B越过C列物体的数目要比越过A列物体的数目多一倍（4a）时, 是运动着的B相对于与它矢量相反，速度相同的运动物体C作参考系说的。

如此混淆不堪, 当然只能得出荒谬的结论。

其实, 由于B、C是以相反的矢量、相何的速度同时运动的, 因此在时间t中,B、C互为越过的距离是B、C共同完成的。

在这个时段中，B、C谁也没有真正通过4a，而是各自运动了2a。

因此，根本不能得出“一倍的时间等于一半的时间”的结论。

[9]
2.总结
很多哲学教材中都有对芝诺悖论的评价，如《西方哲学通史》中作者对芝诺悖论是这样描述的：“第一个悖论指出运动的路程是无限可分的，第二个悖论则侧重说明运动的时间是无限可分的，第三个悖论说明运动路程和时间的无限可分性造成的速度是静止的，第四个悖论纯属数学游戏。

”[10]《欧洲哲学通史》中也认为：“‘二分法’和‘阿基里斯追龟’说的是，某一有限的距离可以无限分割，‘飞矢不动’说的是运动的物体在每一个瞬间都处在一个静止的点上。

‘运动场’说的是物体的绝对运动和相对运动的矛盾。

”[11]
芝诺继承了思辨的风格，首次运用悖论方法进行诘难。

这些悖论在人们习以为常的运动观念中提出连续和间断、无限和有限、整体和部分的矛盾，深化了早期自然哲学家关于一和多、不变和变之间的讨论。

[1]因此，芝诺在哲学上被亚里士多德誉为辩证法的发明人是当之无愧的。

黑格尔在他的《哲学史讲演录》中指出：“芝诺主要是客观地辩证地考察了运动”，并称芝诺是“辩证法的创始人”。

虽然芝诺时代已经过去二千四百多年了，但是围绕芝诺的争论还没有休止。

虽然芝诺悖论可以说是荒谬的，但是不可否认，芝诺悖论给人类带来了很多进步，无论是哲学上、数学上还是思维方法上，因此，芝诺悖论中蕴含的深远意义也是怎么也无法抹杀的。

参考文献
[1]赵敦华.西方哲学简史[M].北京大学出版社,2001.
[2]张荣国.论素质与知识能力的辨证关系[J].中青年学者论坛,2009,5.
[3]管平.知识、能力、素质与高技能人才成长模式研究[J].机械职业教育,2006,1.
[4]黑格尔.哲学史讲演录.商务印书馆,1960.
[5]陈克良.芝诺的“二分法”辫证.浙江师大学报(社会科学版),1998,2.
[6]唐平.阿基里斯追不上乌龟和飞矢不动——芝诺的悖论及其给我们的启示.
[7]亚里士多德.物理学.商务印书馆,1982.
[8]佟春燕,蒋万清.芝诺悖论.产业与科技论坛,2009.
[9]郑明鲁,陈克良.芝诺的哲学思想是人类认识发展过程中的一个重要环节.
[10]赵敦华.西方哲学通史(第一卷)古代中世纪部分[M].北京大学出版社,1996.
[11]冒从虎.欧洲哲学通史[M].南开大学出版社,1985.。