波函数及其统计解释

上述的解释是对处于同一状态的大量电子而言。
在实验中可以控制电子枪的电压，使发出的电子束的 强度十分微弱，以至电子是一个一个通过。假如时间不 长，则落在屏幕上的是一个个的点，而不是扩散开的衍 射图案。就这个意义而言，电子是粒子而不是扩展开的 波。
但时间一长，则感光点在屏幕上的分布显示衍射图样， 与强度较大的电子束在较短时间内得到的图样相同。可 以认为：尽管不能确定一个电子一定到达照相底片的什 么地方，但它到达衍射图样极大值的几率必定较大，而 到达衍射图样极小值的地方的几率必定较小，甚至为零。
在量子物理中，却将这种波方程的复数表示借用过来， 并不再取它的实部，而赋予它新的物理意义。即 用它表示微观客体的波粒子二象性，它就是波函数。
在量子力学中，粒子的状态用波函数来描写，根据薛 定谔方程得出波函数的变化规律。如果已知波函数，则 可由它求出所有描述粒子状态的物理量。
在量子物理中，波函数常用ψ(x,y,z,t)表示，它的最简 单的一个表示式为
3.3 波函数及其统计解释
一、波函数 二、波函数的统计解释 三、波函数的标准条件和归一化
一、波函数
在经典力学中，我们只要知道了质点的运动 方程及其初始条件，就可以知道它的确切位置 和动量。这种方法在宏观世界取得很大的成功， 但不能适用于具有波粒二象性的微观粒子。
量子力学原理之一：微观粒子的状态可用 波函数来描述。
在经典物理中，为了计算方便，常将波方程表示成 复数，如单色平面波
y( x, t) Acos(t kx)
表示为Y ( x, t ) Aei(tkx)
显然，y（x，t）等于Y（x，t）的实部，这样计算时 用Y（x，t），算完后再取它的实部，这样做在经典物 理中是为了计算的方便，在物理学中并无新意。
按波动的观点来看，在衍射图样中，在极大值处 波的强度极大，而极小值处波的强度很小，甚至为 零。
对比上述两中观点：如果粒子的状态用波函数 ψ(x,y,z,t)描述，那么波函数模的平方|ψ|2与t时刻在空 间（x,y,z)处单位体积内找到粒子的数目成正比。也 就是说，在波的强度为极大值的地方，找到的粒子 数目为极大，在波强度为零的地方找到粒子的数目 为零。
波函数ψ描述微观粒子的状态，它按波动的方式变化传播， 充分体现了微观粒子的波动性。但对微观粒子进行探测时， 它总是作为一个整体以几率密度|ψ|2被发现，这充分表现了它 的粒子性，这就把波粒二性有机地统一起来了。
微观粒子和经典质点的区别： 微观粒子的位置是几率性的，经典质点的位置是决定性的。
比较
经典波函数:
归一化条件： 根据几率理论，我们知道在整个空间找到 粒子的几率应该等于1，所以波函数应满足
| ( x, y, z, t) |2 dV 1

积分对整个空间进行，上式称为归一化条 件，满足归一化条件的波函数称为归一化波 函数。
例题：设有波函数 (x) Cex2 /2( x )
所以对一个粒子而言，其波函数可以解释为： 波函数的模的平方|ψ|2与t时刻在空间（x,y,z)处单位 体积内发现粒子的几率w(x,y,z,t)(几率密度）成正比。
这个解释由玻恩首先提出，它不仅成功解释了电 子衍射实验，对其他许多问题的解释也很成功。
波函数是几率波。 |ψ|2是单位体积内粒子出现的几率，称为几率密度。
试由归一化条件确定归一化常数C。
解：因为波函数是一维的，由归一化条件有


*
(
x)
(
x)dx
|
C
|2
e x2 dx


| C |2 1
1 所以 C
4
波 恩
THE END
( x, t ) Aei(t kx)
又因为
式中 2，k 2

p h
h k
2
可得
E h h 2
自由粒子的
( x, t ) Ae i / ( Et px ) 波函数
推广到三维，有 (r , t ) Ae i / ( Et p.r )
它表示自由粒子的状态，因为自由粒子不受任何作 用，所以P是恒定的，则与它相联系的波长也不变，故 可用单色平面波表示。 处于不同状态下的微观粒子，描写其运动状态的波函 数的具体形式也不一样。
二、波函数的统计解释
波函数的物理意义是什么呢？现看看电子衍射实验
对于电子衍射结果，我 们可以从“粒子”和“波 动”两个观点分别加于解 释，从而找出他们的联系。 按粒子的观点看，在衍射 图样中，极大值处表明有 较多的电子到达，而极小 值处则很少，甚至没有电 子到达。
(1) 可测，有直接物理意义 (2) 和 c 不同
(1) 不可测，无直接物理意义， 物质波波函数： | |2才可测，且有物理意义；
(2) 和 c 描述相同的概率分布 (c是常数)。
三、波函数的标准条件和归一化
标准条件：单值、连续和有限 单值：微观粒子在空间某点出现的几率密度是一 个确定的数值。 连续：几率密度连续的。 有限：几率密度不会趋于无穷大，应该是有限的。