线性规划含参数习题
线性规划练习题
1.已知实数x,y满足2x 则2x y 2的最小值为（）xA. 1B. 3C. 4D. 62x 2.设关于x, y的不等式组0表示的平面区域内存在点P（x o, y o），满足X。
2y o2，贝y m的取值范围是() -)B.1 2(,3)C(,严3.已知a 0，x,y满足约束条件5，3)1x y 3，若zy a(x 2)2x y的最大值为1，则a()A.1B.!C .4 21D. 22x8x 4 .设x, y满足约束条件xyyy0,若目标函数z1-y(a 0,b 0)的最大值b为2，则 a b的最小值为（）A. 9B.25.当实数x,y满不等式组: y2x 00 时，恒有axy 2y 3成立，则实数a的取值范围是x 6.设实数x， y满足xy2 0,y2y 5 0,则z2 0,乂 -的取值范围是.x y2x y 1 0,7.设x,y满足约束条件x y 0,,若目标函数z ax by a 0,b 0的最大值x 0, y 0,为i，贝y丄4的最小值为__________ .a b8.已知方程x2ax 2b 0 (a R,b R),其一根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2) 内，则L2的取值范围为.a 1x y > 0,9.已知实数x, y满足条件x y > 0,则y x的最小值为二x < 1,10.若x,y满足条件y 2|x| 1，则z=x+3y的最大值为.y x 111.如图，直三棱柱ABC ABG的底面是边长为4正三角形，AA1 2、、6，M为A1B1的中点.(I)求证：AB MC ;(U)在棱CC1上是否存在点P，使得MC 平面ABP ?若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由.12.如图，在三棱锥P—ABC中，PA= PB= AB= 2，BC= 3，Z ABC= 90°平面PABL平面 ABC D E分别为AB AC中点.(1)求证：DE//平面PBC(2)求证：AB丄PE;(3)求二面角A— PB- E的大小.13.如图，已知四棱锥P- ABCD底面ABCD为边长为2对的菱形，PA!平面ABCD/ ABC=60，E，F分别是BC, PC的中点.(1)判定AE与PD是否垂直，并说明理由;(2)若PA=2求二面角E-AF- C的余弦值.14.如图，在四棱锥 P ABCD中，底面ABCD是正方形.点E是棱PC的中点，平面ABE 与棱PD交于点F .(I)求证：AB // EF ;(U)若PA AD，且平面PAD 平面ABCD，试证明AF 平面PCD ;(川)在(U)的条件下，线段PB上是否存在点M ,使得EM 平面PCD?(请说明理由) 15.如图，在长方体ABCD A I B I C I D i中，面BMD.N与棱CC i, AA i分别交于点M , N，且M,N 均为中点.(1)求证：AC// 面BMD i N;(2)若AD CD 2，DDi厶2'。
含参数的线性规划问题
线性规划
由目标函数几何意义求参数
3x y 6 0
【例3】(2009·山东)设x，y满足约束条件
x
y
2
0
，
x 0, y 0
若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12，则 2 3 的最
ab
小值为( )
(A) 25 (B) 8 (C)11 (D)4
含参数的线性规划问题 专题讲座
深圳市民办学校高中数学教师 欧阳文丰制作
平面区域与目标函数
复习回顾 目标函数的几何意义
1. z ax by 直线型，z表示纵截距的b倍 2. z ax by 点到直线距离型
3. z OA OB 转化为坐标形式或投影 4. z y b 斜率型
6
3
3
线性规划
x y 2
【 练 习2】 已 知x, y满 足 不等 式 组 y x 0,
x
0
目 标 函数z ax y只 在(1,1)处 取 最小 值 ，
则 有( )
A. a 1 B.a 1 C. a 1 D. a 1
线性规划
【练习3】(2010·安徽)设x,y满足约束条件
A. 5, 10 B.5，10 C. 0，5 D. 0，10
线性规划
【 练 习4】 已 知 函 数f ( x) 1 x3 1 ax2 bx 32
在 区 间 1,3上 单 调 递 减 ， 则a2 b2的 最 小 值 是__1__3____.
线性规划
【例5】已知函数y f ( x)在R上单调递增，函数 y f ( x 1)的图像关于点(1,0)对称，若对于任意 的x, y R,不 等 式f ( x2 6x 21) f ( y2 8 y) 0 恒 成 立 ， 则 x2 y2的 取 值 范 围 是________.
线性规划题及答案
线性规划题及答案引言概述：线性规划是运筹学中的一种数学方法，用于寻觅最优解决方案。
在实际生活和工作中，线性规划问题时常浮现，通过对问题进行建模和求解，可以得到最优的决策方案。
本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出详细的答案解析。
一、生产规划问题1.1 生产规划问题描述：某工厂生产两种产品A和B，产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
每天工厂有8小时的生产时间，产品A每单位需要2小时，产品B每单位需要3小时。
问工厂每天应该生产多少单位的产品A 和产品B，才干使利润最大化？1.2 生产规划问题答案：设产品A的生产单位为x，产品B的生产单位为y，则目标函数为Max Z=100x+150y，约束条件为2x+3y≤8，x≥0，y≥0。
通过线性规划方法求解，得出最优解为x=2，y=2，最大利润为400元。
二、资源分配问题2.1 资源分配问题描述：某公司有两个项目需要投资，项目A每万元投资可获得利润2万元，项目B每万元投资可获得利润3万元。
公司总共有100万元的投资额度，问如何分配投资额度才干使利润最大化？2.2 资源分配问题答案：设投资项目A的金额为x万元，投资项目B的金额为y万元，则目标函数为Max Z=2x+3y，约束条件为x+y≤100，x≥0，y≥0。
通过线性规划方法求解，得出最优解为x=40，y=60，最大利润为240万元。
三、运输问题3.1 运输问题描述：某公司有两个仓库和三个销售点，每一个销售点的需求量分别为100、150、200，每一个仓库的库存量分别为80、120。
仓库到销售点的运输成本如下表所示，问如何安排运输方案使得总成本最小？3.2 运输问题答案：设从仓库i到销售点j的运输量为xij，则目标函数为Min Z=∑(i,j) cij*xij，约束条件为每一个销售点的需求量得到满足，每一个仓库的库存量不超出。
通过线性规划方法求解，得出最优的运输方案，使得总成本最小。
四、投资组合问题4.1 投资组合问题描述：某投资者有三种投资标的可选择，预期收益率和风险如下表所示。
第6课含参数的线性规划
2 o 2
x
得4a+6b=12
2 3 ( 2 3)( 4a 6b) a b a b 12
13 b a 25 6 ab 6
成才之路黑白页59页2题
x y 0
若不等式组
2x
y
0
y
2
表示的区域是一个三角形
x y a
y
则实数a的取值范围
0 a 1或a 4 是______________3_.
若目标函数 z = ax + by (a>0,b>0 )的最大值为12，
则 2 3 的最小值为______________ ab
解：画出 3x-y-6≤0可行域
x-y+2≥0
y
x≥0,y≥0
将目标函数化为 y a x z
(4,6)
bb
a
2
∵a>o,b>0 ∴
k 0 b
在（4，6）取得最大值
A．[0，＋∞)
B．[ 2－1，＋∞) C．(－∞， 2＋1]
o 1x
D．[1－ 2，＋∞)
跟踪检测
y1
已知实数x、y满足
y
2
x
1
,
如果目标函数
x y m
z=x-y的最小值为-1，则m=_____. m=5
y
x+y=m
y=2x-1
x-y= -1
(2,3)
y=1
0
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y x
变式（A层）（11湖南）设m＞１，在约束条件
y
mx
下，目标函数 z x 5 y 最大值为４，
x y 1
含参的线性规划
4)（链接高考09安徽)若不等式组
第8课线性规划（经典例题练习、附答案）
第8课线性规划（经典例题练习、附答案）第8课线性规划◇考纲解读①从实际情境中抽象出⼆元⼀次不等式组；②了解⼆元⼀次不等式的⼏何意义，能⽤平⾯区域表⽰⼆元⼀次不等式组；③从实际情境中抽象出⼀些简单的⼆元线性规划问题，并能加以解决．◇知识梳理1．平⾯区域①⼆元⼀次不等式0Ax By C ++>在平⾯直⾓坐标系中表⽰0Ax By C ++=某⼀侧所有点组成的__________．②在直线的某⼀侧取⼀特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表⽰直线哪⼀侧的平⾯区域.（特殊地，当C ≠0时，常把_______作为此特殊点）王新敞③在坐标系中画不等式0Ax By C ++>所表⽰的平⾯区域时，把直线0Ax By C ++=画成虚线，表⽰区域__________边界直线．④在坐标系中画不等式0Ax By C ++≥所表⽰的平⾯区域时，把直线0Ax By C ++=画成实线，表⽰区域____________边界直线．2.线性规划：①求线性⽬标函数在线性约束条件下的最⼤值或最⼩值的问题，统称为________问题②满⾜线性约束条件的解（x ，y ）叫做__________，由所有可⾏解组成的集合叫做__________.（类似函数的定义域）；③使⽬标函数取得最⼤值或最⼩值的可⾏解叫做____________ 线性规划问题⼀般⽤图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x 、y ；（2）找出线性约束条件；（3）确定线性⽬标函数z =f （x ，y ）；（4）画出可⾏域（即各约束条件所⽰区域的公共区域）；（5）利⽤线性⽬标函数作平⾏直线系f （x ，y ）=t （t 为参数）；（6）观察图形，找到直线f （x ，y ）=t 在可⾏域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案◇基础训练1．（2008⼭东青岛）若y x z y y x x y y x +=??-≥≤+≤2,11,则满⾜约束条件的最⼤值为（）A ．2B ．3C ．4D ．52. (2008佛⼭⼀模)在平⾯直⾓坐标系中，不等式组0401x y x y x +≥??-+≥??≤?表⽰的平⾯区域⾯积是（）．A ．3B ．6C ．92D ．9 3．设实数x , y 满⾜的最⼤值是则x y y y x y x ,03204202??≤->-+≤-- _________4．（2008⼭东济宁）已知点(,)P x y 的坐标满⾜条件41x y y x x +≤??≥??≥?，点O 为坐标原点，那么||PO 的最⼤值等于_______,最⼩值等于____________.◇典型例题例1．已知实数x ，y 满⾜不等式组22021x y x y +-≥??≤??≤?，求22z x y =+-⼤值和最⼩值．例2．为迎接2008年奥运会召开，某⼯艺品加⼯⼚准备⽣产具收藏价值奥运会标志——“中国印·舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”.该⼚所⽤的主要原料为A 、B 两种贵重⾦属，已知⽣产⼀套奥运会标志需⽤原料A 和原料B 的量分别为4盒和3盒，⽣产⼀套奥运会吉祥物需⽤原料A 和原料B 的量分别为5盒和10盒.若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该⼚⽉初⼀次性购进原料A 、B 的量分别为200盒和300盒.问该⼚⽣产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该⼚⽉利润最⼤，最⼤利润为多少？◇能⼒提升1.（2007⼴州⼆模）已知⽅程2x bx 10(b R 0)a a a +-=∈>、且有两个实数根，其中⼀个根在区间(1,2)内，则a -b 的取值范围为（）A ．()+∞-1,B ．()1,-∞-C ．()1,∞-D ．()1,1-2．给出平⾯区域（包括边界）如图所⽰，若使⽬标函数(0)z ax y a =+>取得最⼤值的最优解有⽆穷多个，则a 的值为（） A ．14 B ．35 C ．4 D ．533．（2008佛⼭⼆模）已知A 为xOy 平⾯内的⼀个区域．命题甲：点20(,){(,)|0}360x y a b x y x x y -+≤??∈≥??+-≤?；命题⼄：点A b a ∈),(．如果甲是⼄的充分条件，那么区域A的⾯积的最⼩值是（）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．(2008深圳⼆模)当点(,)M x y 在如图所⽰的三⾓形ABC 内（含边界）运动时，⽬标函数z kx y =+取得最⼤值的⼀个最优解为(1,2)，则实数k 的取值范围是（）A ．(,1][1,)-∞-+∞B ．[1,1]-C ．(,1)(1,)-∞-+∞D ．(1,1)-5．实数x ，y 满⾜不等式组00220y x y x y ≥??-≥??--≥?若ωω则,11+-=x y 的取值范围是 . 6.(2008韶关⼆模)某车间⽣产甲、⼄两种产品，已知制造⼀件甲产品需要A 种元件5个，B 种元件2个，制造⼀件⼄种产品需要A 种元件3个，B 种元件3个，现在只有A 种元件180个，B 种元件135个，每件甲产品可获利润20元，每件⼄产品可获利润15元，试问在这种条件下，应如何安排⽣产计划才能得到最⼤利润？2)第8课线性规划◇知识梳理1. ①平⾯区域，②原点，③不包括，④包括. 2. ①线性规划，②可⾏解，③最优解。
简单的线性规划典型例题
简单的线性规划典型例题求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积.某矿山车队有4辆载重量为10 t的甲型卡车和7辆载重量为6 t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360 t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?参考答案例1：依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为或其平面区域如图：或或∴面积S=×4×4=8画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.例2：弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么z=252x+160y，作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图作出直线l0：252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求.此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，zmin=252×2+160×5=1304.答：每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.篇二：不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析线性规划讲义【考纲说明】（1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义；（2）掌握简单的二元线性规划问题的解法．（3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；（4）会用画网格的方法求解整数线性规划问题．（5）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力．【知识梳理】简单的线性规划问题一、知识点1. 目标函数: Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数． 2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域. 3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. 1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验．3. 平移直线ｙ＝－kｘ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储知识：一．1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=02. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B0时，Ax0+By0+C当B0时，Ax0+By0+C03. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B0时，Ax0+By0+C当B0时，Ax0+By0+C0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反,即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)02.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)0 二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式Ax+By+C0（或0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界;②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地, 当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
线性规划（linprog）【精选】
线性规划是一种优化方法，Matlab优化工具箱中有现成函数linprog对如下式描述的LP问题求解：%min f'x%s.t .(约束条件)：Ax<=b%(等式约束条件)：Aeqx=beq%lb<=x<=ublinprog函数的调用格式如下：x=linprog(f,A,b)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)[x,fval]=linprog(…)[x, fval, exitflag]=linprog(…)[x, fval, exitflag, output]=linprog(…)[x, fval, exitflag, output, lambda]=linprog(…)其中：x=linprog(f,A,b)返回值x为最优解向量。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq) 作有等式约束的问题。
若没有不等式约束，则令A=[ ]、b=[ ] 。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) 中lb ,ub为变量x的下界和上界，x0为初值点，options为指定优化参数进行最小化。
Options的参数描述：Display显示水平。
选择’off’ 不显示输出；选择’Iter’显示每一步迭代过程的输出；选择’final’ 显示最终结果。
MaxFunEvals 函数评价的最大允许次数Maxiter 最大允许迭代次数TolXx处的终止容限[x,fval]=linprog(…) 左端fval 返回解x处的目标函数值。
[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b, Aeq,beq,lb,ub,x0) 的输出部分：exitflag描述函数计算的退出条件：若为正值，表示目标函数收敛于解x处；若为负值，表示目标函数不收敛；若为零值，表示已经达到函数评价或迭代的最大次数。
高一数学线性规划试题答案及解析
高一数学线性规划试题答案及解析1.若实数、满足约束条件则的最大值是_________【答案】3【解析】画出可行域如下图所示，为目标函数在轴上的截距，画出的图像如图中虚线部分，平移直线过点时有最大值3．故答案为3．【考点】线性规划的应用．2.在直角坐标系中，已知点，，，点在三边围成的区域（含边界）上，且.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）用表示，并求的最小值.【答案】（1），（2）的最小值-1.【解析】（1）向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的.若已知有向线段两端点的的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程的思想的运用及运算法则的正确使用；（2）利用线性规划求目标函数的最值一般步骤：一画、二移、三求，其关键是准确的作出可行域，理解目标函数的意义；（3）在线性约束条件下，线性目标函数只有在可行域的顶点或者边界上取得最值.在解答选择题和填空题时可以根据可行域的顶点直接进行检验.试题解析：解（Ⅰ），∴....................5分由，，，8分设，直线过点时，取得最小值-1，即的最小值-1【考点】（1）向量的坐标表示;（2）线性目标函数的最值.3.已知点（3，1）和（- 4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a<-7或 a>24B．a="7" 或 a=24C．-7<a<24D．-24<a<7【答案】C【解析】由线性规划相关知识：两点位于直线的两侧，则一侧使得直线方程大于零，一侧使得直线方程小于零.即有,故选C.【考点】线性规划.4.实数满足，如果目标函数的最小值为，则实数b的值为_____ .【答案】8【解析】绘制平面区域可得：要使由最小值-2，则直线,在轴上有最大截距为2，且经过点B,由,又因B也在上，故有.【考点】线性规划.5.已知变量满足约束条件，若的最大值为，则实数．【答案】-1或．【解析】作出约束条件所对应的可行域:,由于的最大值为,所以直线必过点A(-2,3)或点B(4,3),因此有解得或,故应填入:-1或．【考点】线性规划．6.设动点满足,则的最大值是．【答案】100【解析】先画出可行域，根据目标函数可知最优解为C（20，0），带入目标函数得最大者为100【考点】线性规划问题7.已知变量，满足约束条件，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】依题意可画出不等式组所表示的的可行域，可知直线与的交点，作出直线：，平移直线，则可知当，时，的最小值为.【考点】线性规划.8.设变量、满足约束条件，则z＝2x＋3y的最大值为【答案】18【解析】变量x，y满足约束条件，表示的可行域为如图，所以z＝2x＋3y的最大值就是经过M即的交点（3，4）时，所以最大值为：3×2+4×3=18．故答案为：18．【考点】线性规划的应用.9.不等式组表示的平面区域的面积为 .【答案】9【解析】由题意得：平面区域为一个三角形及其内部，其中因此面积为【考点】线性规划求面积10.某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．求该公司从每天生产的甲、乙两种产品中，可获得的最大利润．【答案】该公司从每天生产的甲、乙两种产品中，可获得的最大利润为2800元.【解析】设公司每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，公司共可获得利润为z元/天，则由已知，得z=300x+400y．且画可行域如图所示，目标函数z=300x+400y可变形为解方程组得，即A(4，4).所以，Z=1200+1600=2800.所以，该公司从每天生产的甲、乙两种产品中，可获得的最大利润为2800元. 9分【考点】简单线性规划的应用点评：中档题，作为应用问题，解简单线性规划问题，要遵循“审清题意，设出变量，布列不等式组，画，移，解，答”等步骤。
简单的线性规划问题
简单的线性规划问题例1：求z =3x +5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤+.35,1,1535y x x y y x解：不等式组所表示的平面区域如图所示：例2：若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1x ＋y ≥0x －y －2≤0，求目标函数z ＝x －2y 的最大值[解析] 先作出可行域如图．作直线x－2y＝0在可行域内平移，当x－2y－z＝0在y轴上的截距最小时z值最大．当移至A(1，－1)时，z max＝1－2×(－1)＝3，1.在平面直角坐标系中，若点(3t－2，t)在直线x－2y＋4＝0的下方，则t的取值范围是( C)A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－2，＋∞) D．(0,2) [解析]∵点O(0,0)使x－2y＋4>0成立，且点O在直线下方，故点(3t －2，t )在直线x －2y ＋4＝0的下方⇔3t －2－2t ＋4>0，∴t >－2.[点评] 可用B 值判断法来求解，若B>0，令d ＝B (Ax 0＋By 0＋C )，则d >0⇔点P (x 0，y 0)在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方；d <0⇔点P (x 0，y 0)在直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方．2．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，则z ＝2x ＋y的最大值为( C )A ．－2B ．4C ．6D ．8 [解析]3.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －y ＋1≥0，y ≥1，则z ＝2x －y 的最大值为( C )A．－1 B．0 C．3 D．4[解析]作出可行域如图，作直线l0：2x－y＝0，平移l0当平移到经过点A(2,1)时，z max＝3.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z＝3x －y 的最大值为( D )A ．－4 B ．0 C.43D ．4[解析]该线性约束条件所代表的平面区域如图，易解得A (1,3)，B (1，53)，C (2,2)，由z ＝3x －y 得y ＝3x －z ，由图可知当x ＝2，y ＝2时，z 取得最大值，即z 最大＝3×2－2＝4.故选D.5．已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y －x ≥0，x ≥0.目标函数z ＝ax ＋y只在点(1,1)处取最小值，则有( D ) A ．a >1 B ．a >－1 C ．a <1D ．a <－1[解析] 作出可行域如图阴影部分所示．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .只在点(1,1)处z 取得最小值，则斜率－a >1，故a <－1，故选D.6．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0，若目标函数z ＝x ＋ay (a ≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为( C )A ．0<a <13B ．a ≥13C ．a >13D ．0<a <12[解析] 作出可行域如图，∵目标函数z ＝x ＋ay 恰好在点A (2,2)处取得最大值，故－1a>－3，∴a >13.★7.若2x ＋4y <4，则点(x ，y )必在( D )A ．直线x ＋y －2＝0的左下方B ．直线x ＋y －2＝0的右上方C ．直线x ＋2y －2＝0的右上方D ．直线x ＋2y －2＝0的左下方 [解析] ∵2x ＋4y ≥22x ＋2y ，由条件2x ＋4y <4知， 22x ＋2y <4，∴x ＋2y <2，即x ＋2y －2<0，故选D. ★8．设O 为坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，若点N (x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，2x ＋y －12≤0，x ≥1，则使OM →·ON →取得最大值的点N 的个数是( D )A ．1 B ．2 C ．3D ．无数个[分析] 点N (x ，y )在不等式表示的平面区域之内，U ＝OM →·ON →为x ，y 的一次表达式，则问题即是当点N 在平面区域内变化时，求U 取到最大值时，点N 的个数．[解析] 如图所示，可行域为图中阴影部分，而OM →·ON →＝2x ＋y ，所以目标函数为z ＝2x ＋y ，作出直线l ：2x ＋y ＝0，显然它与直线2x ＋y －12＝0平行，平移直线l 到直线2x ＋y－12＝0的位置时目标函数取得最大值，故2x ＋y －12＝0上每一点都能使目标函数取得最大值，故选D.9．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤3，x ＋2y －2≥0，所表示的平面区域为S ，若A 、B为区域S 内的两个动点，则|AB |的最大值为(B)A ．25 B.13 C ．3 D. 5[解析] 在直角坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形观察不难得知，位于该平面区域内的两个动点中，其间的距离最远的两个点是(0,3)与(2,0)，因此|AB |的最大值是13，选B.10.若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( B )A ．－1 B ．1 C.32D ．2[解析] 本题考查了不等式组所表示的平面区域及数形结合思想解决问题的能力．由约束条件作出其可行域，如图由图可知当直线x ＝m 过点P 时，m 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y －3＝0，得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴P (1,2)，此时x ＝m ＝1.[点评] 对于可行域中含有参数的情形，不妨先取特殊值来帮助分析思路．★11.设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －10≤0，x －2y ＋8≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为(A) A.256 B.83 C.113D ．4[解析] 由可行域可得，当x ＝4，y ＝6时，目标函数z ＝ax ＋by 取得最大值，∴4a ＋6b ＝12，即a 3＋b2＝1，∴2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·(a 3＋b 2)＝136＋b a ＋a b ≥136＋2＝256，故选A.12．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥0，y ≤4.表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是( D )A ．(0,1) B ．(1,2) C ．[2,4] D ．[2，＋∞)[解析] 作出可行区域，如图，由题可知点(2，a 2)应在点(2,4)的上方或与其重合，故a 2≥4，∴a ≥2或a ≤－2，又a >0且a ≠1，∴a ≥2.★13．在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1，所表示的平面区域的面积为( B ) A. 2 B.32 C.322D ．2[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1，的图形如图．解得：A (0,1) D (0，－1) B (－1，－2) C (12，－12)S △ABC ＝12×|AD |×|x C －x B |＝12×2×(12＋1)＝32，故选B.★14．已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 值为(A) A. 3 B.32C. 2 D ．4[解析]由题可知，当x＝0时，z＝kx＋y＝y，因此要使目标函数z＝kx＋y(k>0)取得最大值，则相应直线经过题中的平面区域内的点时，相应直线在y轴上的截距最大．由目标函数z＝kx＋y(k>0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kx＋y＝0的倾斜角为120°，于是有－k＝tan120°＝－3，k＝3，选A.★15．在直角坐标系xOy中，已知△AOB的三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0,2x＋3y＝30，则△AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为(B )A ．95 B ．91C ．88D ．75 [解析]由2x ＋3y ＝30知，y ＝0时，0≤x ≤15，有16个；y ＝1时，0≤x ≤13；y ＝2时，0≤x ≤12； y ＝3时，0≤x ≤10；y ＝4时，0≤x ≤9； y ＝5时，0≤x ≤7；y ＝6时，0≤x ≤6； y ＝7时，0≤x ≤4；y ＝8时，0≤x ≤3； y ＝9时，0≤x ≤1，y ＝10时，x ＝0.∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个．16．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，y ≥－x ，x ≤a ，表示的平面区域S 的面积为4，点P (x ，y )∈S ，则z ＝2x ＋y 的最大值为___6_____．[解析]由题意知⎩⎪⎨⎪⎧12×2a×a ＝4，a >0，∴a ＝2，易得z ＝2x ＋y 的最大值为6.★17.若由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n ，x －3y ≥0，y ≥0，(n >0)确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x 轴上，则实数m ＝__－33.[解析] 根据题意，三角形的外接圆圆心在x 轴上， ∴OA 为外接圆的直径，∴直线x ＝my ＋n 与x －3y ＝0垂直， ∴1m ×13＝－1，即m ＝－33.18．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则目标函数z ＝4x＋y 的最大值为_11_____[解析]如图，满足条件的可行域为三角形区域(图中阴影部分)，故z＝4x＋y在P(2,3)处取得最大值，最大值为11.19．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：a b(万吨)c(百万元)A 50%1 322(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为___15_____(百万元)．[解析] 设需购买A 矿石x 万吨，B 矿石y 万吨，则根据题意得到约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，目标函数为z ＝3x ＋6y ，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取得最小值，最小值为：z min ＝3×1＋6×2＝15.1百吨需要资金2百万元，需场地2百平方米，可获利润3百万元；投资生产B 产品时，每生产1百米需要资金3百万元，需场地1百平方米，可获利润2百万元．现该单位有可使用资金14百万元，场地9百平方米，如果利用这些资金和场地用来生产A 、B 两种产品，那么分别生产A 、B 两种产品各多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？[解析] 设生产A 产品x 百吨，生产B 产品y 百米，共获得利润S 百万元，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤14，2x ＋y ≤9，x ≥0，y ≥0，目标函数为S ＝3x ＋2y .作出可行域如图，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝9，2x ＋3y ＝14，解得直线2x ＋y ＝9和2x ＋3y ＝14的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫134，52，平移直线y ＝－32x ＋S2，当它经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫134，52时，直线y ＝－32x ＋S 2在y 轴上截距S 2最大，S 也最大．此时，S ＝3×134＋2×52＝14.75.因此，生产A 产品3.25百吨，生产B 产品2.5百米，可获得最大利润，最大利润为1475万元★21.北京某商厦计划同时出售新款空调和洗衣机，由于这两种产品的市场需求量大，供不应求，因此该商厦要根据实际情况（如成本、工资）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大，通过调查，得到这两种产品的有关数据如下表：试问：怎样确定两种产品的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润刘多少？正解：设空调、洗衣机的月供应量分别为x 、y ，总利润是p ，那么满足条件： .9600,942223023960)2(3)23(31:8226386)22()3()2()23(2220:)2()5(30230:)1()4(86)3(0,0)2(110105)1(3002030元的最大值是时即当此时当且仅当解之得得由得由p y x y x y x p y x y x p n m n m n m yx y n m x n m y x n y x m p y x y x yx p y x y x y x ⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+=+≤≤∴+++=∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+=+∴+=++++++=≤+≤≤+≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=≥≥≤+≤+10．某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资每份由金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资每份由金融投资40万元，房地产投资30万元组成．已知每份稳健型组合投资每年可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元．若可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，那么这两种组合投资各应注入多少份，才能使一年获利总额最多？[解析] 设稳健型投资x 份，进取型投资y 份，利润总额为z (单位：10万元，则目标函数为z ＝x ＋1.5y (单位：10万元)，线性约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋40y ≤160，30x ＋30y ≤180，x ≥0，y ≥0x ∈N ，y ∈N，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0x ∈N ，y ∈N，作出可行域如图，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，x ＋y ＝6，得交点M (4,2)，作直线l 0：x ＋1.5y ＝0，平移l 0，当平移后的直线过点M 时，z 取最大值：z max ＝(4＋3)×10万元＝70万元．答：稳健型投资4份，进取型投资2份，才能使一年获利总额最多.(理)(2012·辽宁文，9)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55 [答案] D[解析] 本题考查线性规划的知识．作出可行域如图所示：令z ＝2x ＋3y ，则y ＝－23x ＋13z . 要使z 取得最大值，需直线y ＝－23x ＋13z 在y 轴上的截距最大，移动l 0：y ＝－23x 当l 0过点C (5,15)时，z 取最大值z max ＝55.解线性规划问题，准确作出可行域是关键，同时还要注意目标函数z ＝2x ＋3y 与z ＝2x －3y 最优解是不同的．13．(文)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3t ，B 原料2t ；生产每吨乙产品要用A 原料1t ，B 原料3t ，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13t，B原料不超过18t.那么该企业可获得最大利润是( )A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元[答案] D [解析] 设生产甲、乙两种产品分别为x t ，y t ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，x ≥0，y ≥0，获利润ω＝5x ＋3y ，画出可行域如图，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝13，2x ＋3y ＝18，解得A (3,4)．∵－3<－53<－23， ∴当直线5x ＋3y ＝ω经过A 点时，ωmax ＝27.(理)(2011·四川文，10)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10t 的甲型卡车和7辆载重量为6t 的乙型卡车，某天需送往A 地至少72t 的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润z＝( ) A．4650元B．4700元C ．4900元D ．5000元[答案] C [解析] 设该公司派甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋6y ≥72，2x ＋y ≤19，x ＋y ≤12，0≤x ≤8，x ∈N 0≤y ≤7，y ∈N 利润z ＝450x ＋350y ，可行域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝19，x ＋y ＝12，得A (7,5)．当直线350y ＋450x ＝z 过A (7,5)时z 取最大值，∴z max ＝450×7＋350×5＝4900(元)．故选C.．(理)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.(1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在(1)的条件下，求x，y为何值时，z＝xP甲＋yP乙最大，最大值是多少？[解析] (1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ P 甲－P 乙＝0.251－P 甲＝P 乙－0.05， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ P 甲＝0.65，P 乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P 甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P 乙＝0.4.(2)依题意得x 、y 应满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋8y ≤32，20x ＋5y ≤55，x ≥0，y ≥0，且z ＝0.65x ＋0.4y .作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．作直线l ：0.65x ＋0.4y ＝0即13x ＋8y ＝0，把直线l 向上方平移到l 1的位置时，直线经过可行域内的点M ，且l 1与原点的距离最大，此时z 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝8，4x ＋y ＝11，得x ＝2，y ＝3.故M 的坐标为(2,3)，所以z 的最大值为z max ＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.16．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5min ，生产一个骑兵需7min ，生产一个伞兵需4min ，已知总生产时间不超过10h.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？[解析] (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.(2)约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋7y ＋4100－x －y ≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z .整理得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z .目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300，如图所示，作出可行域．初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以W max ＝550(元)．答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．2．已知a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，M ＝2a ＋2b ，则M 的整数部分是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] B[解析] ∵a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，∴0<a <1，设t ＝2a ，则t ∈(1,2)，M ＝2a ＋2b ＝2a ＋21－a ＝t ＋2t≥22，等号在t ＝2时成立，又t ＝1或2时，M ＝3，∴22≤M <3，故选B.3．(2011·湖北高考)直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20，表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个[答案] B[解析] 直线2x ＋y －10＝0与不等式组表示的平面区域的位置关系如图所示，故直线与此区域的公共点只有1个，选B.4．(2011·黄山期末)设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0，所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[2，10] C ．[2,9] D ．[10，9][答案] C[解析] 作出不等式表示的平面区域如图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19＝0，x －y ＋8＝0，得A (1,9)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19＝0，2x ＋y －14＝0，得B (3,8)，当函数y ＝a x 过点A 时，a ＝9，过点B 时，a ＝2，∴要使y ＝a x 的图象经过区域M ，应有2≤a ≤9.5．(2012·河南洛阳市模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥3x ，x ＋ay ≤7，其中a >1，若目标函数z ＝x ＋y 的最大值为4，则a的值为________．[答案] 2 [解析]作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．∵y ＝－x ＋z ，∴欲使z 最大，只需使直线y ＝－x ＋z 的纵截距最大，∵a >1，∴直线x ＋ay ＝7的斜率大于－1，故当直线y ＝－x ＋z 经过直线y ＝3x 与直线x ＋ay ＝7的交点(71＋3a ，211＋3a )时，目标函数z 取得最大值，最大值为281＋3a .由题意得281＋3a＝4，解得a ＝2.6．(2012·太原部分重点中学联考)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≥0，2x －y －6≤0，x ＋y －k －2≥0，且x 2＋y 2的最小值为m ，当9≤m ≤25时，实数k 的取值范围是( )A ．(17－2,5)B ．[17－2,5]C ．(17－2,5]D ．(0,5][答案] B [解析]不等式组表示的可行域如图中的阴影部分，x 2＋y 2的最小值m 即为|OA |2，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0x ＋y －k －2＝0，得A (k ＋32，k ＋12)．由题知9≤(k ＋32)2＋(k ＋12)2≤25，解得17－2≤k ≤5.作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当平移到经过平面区域内的点(3,0)时，相应的直线在x 轴上的截距最大，此时z ＝2x ＋y 取得最大值，最大值是6，故选C.8．某人有楼房一幢，室内面积共计180m 2，拟分隔成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积18m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积15m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？[解析] 设隔出大房间x 间，小房间y 间时收益为z 元， 则x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧18x ＋15y ≤180，1000x ＋600y ≤8000，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈Z ，且z ＝200x ＋150y .约束条件可化简为： ⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ≤60，5x ＋3y ≤40，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈Z .可行域为如图所示的阴影部分(含边界)作直线l ：200x ＋150y ＝0，即直线l ：4x ＋3y ＝0把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过点B ，且与原点的距离最大，此时z ＝200x ＋150y 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ＝60，5x ＋3y ＝40，得到B (207，607)．由于点B 的坐标不是整数，而最优解(x ，y )中的x ，y 必须都是整数，所以，可行域内的点B (207，607)不是最优解，通过检验，当经过的整点是(0,12)和(3,8)时，z取最大值1800元．于是，隔出小房间12间，或大房间3间、小房间8间，可以获得最大收益．[点评] 当所求解问题的结果是整数，而最优解不是整数时，可取最优解附近的整点检验，找出符合题意的整数最优解．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
高考数学线性规划常见题型及解法[1]
![高考数学线性规划常见题型及解法[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/e12c850c001ca300a6c30c22590102020740f2d2.png)
高考数学线性规划常见题型与解法线性规划问题是高考的重点，也是常考题型，属于中等偏简单题，易得分，高考中要求会从实际问题中建立一格二元线性规划的模型，使实际问题得到解决。
现就常见题型与解决方法总结如下： 一、求线性目标函数的最值；例题：(2012年广东文5)已知变量,x y 满足条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为 A.3 .1 C5 6解析:利用线性规划知识求解。
可行域如图阴影所示，先画出直线01:2l y x =-，平移直线0l ,当直线过点A 时，2z x y =+的值最小，得110,x x y =-⎧⎨--=⎩12,x y =-⎧⎨=-⎩min (1,2),12(2)5A z ∴--∴=-+⨯-=- 探究提高：本题主要考查线性规划求最值,同时考查学生的作图能力，数形结合思想与运算求解能力，难度适中。
二、求目标函数的取值范围；例题：(2012山东文6)设变量,x y 满足约束条件2224,41x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是解析：作出不等式组表示的区域，如图阴影部分所示，作直线30x y -=，并向上、向下平移，由图可得，当直线过点C 时，目标函数取得最大值，当直线过点A 是，目标函数取得最小值，由210,(2,0)240x y A x y ++=⎧⎨+-=⎩得;由4101,(,3)2402x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得B 探究提高：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条条件，取得目标函数的最大（小）值，进一步确定取值范围 三、求约束条件中参数的取值；例题：(2012福建文10)若直线2x y =上存在点(,)x y 满足条件-30-2-30,x y x y x m +≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为（ ）解析：在同一直角坐标系中函数2x y =的图像与30230x y x y +-≤⎧⎨--≤⎩，所表示的平面区域图阴影部分所示。
含有参数的线性规划问题及其解法
边界直线的交点, 并且取得该最值时的目标函数所表示的直
线也经过这个交点, 此时形成三线共点的态势. 若最优解不
唯一, 则取得该最值时的目标函数所表示的直线必与某一边 界直线重合. 以上两点经验直取核心在解决线性规划的最值
等有关问题时具有很好的指导作用.
2. 目标函数含有参数
x + 2y − 3 0,
12
中学数学研究
2019 年第 3 期 (上)
含有参数的线性规划问题及其解法
浙江省绍兴市柯桥区钱清中学 (312025) 王红娟 湖北省阳新县高级中学 (435200) 邹生书
线性规划问题通常是指在线性约束条件下求线性目标 函数的最值问题, 其求解方法就是图解法. 根据二元不等式 组的解与坐标平面内点的对应关系, 将约束条件转化为平面 区域, 然后利用目标函数的几何意义求最优解和最值. 线性 规划问题将函数、方程、不等式和最值融为一体, 将代数与解 析几何有机联合, 将函数方程、数形结合和化归转化等数学 思想深透到问题的解决过程之中, 因此线性规划问题成为考 查考生能力和综合素养的良好载体. 其中含有参数的线性规 划问题, 对考生能力方面的要求更高, 从而使得问题难度大 增. 笔者通过统计发现含有参数的线性规划问题在高中较为 少见, 但在高考模拟考和联考中却风起云涌屡见不鲜, 下面 主要以模拟考试的题目为例, 分类解析这类问题的解法.
方法二 若二元一次不等式可化为 y > kx + b, 则其表
示的平面区域为直线 y = kx + b 的上半平面, 反之为该直线
的下半平面. 若二元一次不等式可化为 x > my + n, 则其确 定的平面区域为直线 y = kx + b 的右侧半平面, 反之为该直
3.3.2简单的线性规划问题2
[规范作答] 设需截第一种钢板 x 张，第二种钢板 y 张． 2x＋y≥15， x＋2y≥18， 可得 x＋3y≥27， x≥0，y≥0.
且 x、y 都是整数，
求目标函数 z＝x＋y 取最小值时的 x、y.2 分 作可行域如图所示，6 分
18 x＝ 5 ， x ＋ 3 y ＝ 27 ， ∵ ∴ 2x＋y＝15， y＝39， 5 平移直线
18 39 ∴A 5 ， 5
18 39 z＝x＋y，可知直线经过点 5 ， 5 ，此时
x＋y
18 39 57 18 39 ＝5， 但 5 与 5 都不是整数， 所以可行域内的点 A 5 ， 5 不
是最优解.8 分
方法一：平移求解法 首先在可行域内打网格，其次描出
下取得最大值时的最优解只有一个， 则实数 a
的取值范围是________． 解析：
x＋y－3≥0 作出线性约束条件2x－y≤0 y≤a
表示的平面
区域， 如图中阴影部分所示．
• 因为取得最大值时的最优解只有一个，所以目 标函数对应的直线与平面区域的边界线不平行， 根据图形及直线的斜率，可得实数 a的取值范 围是[2，＋∞)． • 答案： [2，＋∞)
∴A′(3,3)是最优解． 所以，甲、乙两种药片各用 3 片配餐最好．
•
已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x －y≤2.若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,1) 处取得最大值，则a的取值范围为________．
• 由题目可获取以下主要信息： • ①可行域已知； • ②目标函数z＝ax＋y(a＞0)仅在(3,1)处取得最大 值． • 解答本题可先画出可行域，利用数形结合求解．
• 1 ． 用图解法解决线性目标函数的最优解问题的 一般步骤 • (1)画：根据线性约束条件，在直角坐标系中，把 可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可 以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大 的平面区域． • (2)移：运用数形结合的思想，把线性目标函数看 成直线系，把目标函数表示的直线平行移动，最 先通过或最后通过的顶点便是所需要的点． • (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的 最大值和最小值．
(完整)高中数学含参数的线性规划题目及答案.doc
线性含参经典小题x 1,2x y 的最小值为 1，则 a1.已知 a 0 ， x, y 满足约束条件，x y 3, 若 z （）ya x 3 .A.1B.1C.1D.242x 2 y 3 0,2.已知变量 x, y 满足约束条件， x 3y3 0, 若目标函数 z yax 仅在点 3，0 处取得最y 10.大值，则实数 a 的取值范围为（ ） A. (3 ，5)B.( 1 ，)C.(-1，2)D.( 1 ，23 1 )x y 1,ax 2 y 仅在点（1,0）处取得最小值，则 a 的取值范围是（ ）3.若 x, y 满足 x y1, 且 z2xy 2.A. （-1,2）B.（-2,4）C.（-4,0）D.（ -4,2）若直线 y 2x 上存在 x, y 满足约束条件 x y 3 0,）x 2 y 3 0, 则实数 m 的最大值为（4.x m.A.-1B.1C.3 D.22x y 05.若不等式组 2x y 2 表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是（ ）y 0x y a4B. 0 a 14 4 A. aC.1 aD. 0 a 1或 a333x 2 0,2 y 的最大值为 2，则实数 a若实数x, y 满足不等式组，y 1 0, 目标函数 t x 6.x 2y a 0.的值是（ ） A.-2B.0C.1D.2y x设 m 1，在约束条件 ymx 下，目标函数 z x my 的最大值小于 2，则 m 的取值 7.x y 1范围为（）A. 1，1 2B. 12,C.(1，3)D. 3，8.已知 x, y 满足约束条件x y 1 0,当目标函数 zax by(a 0, b0) 在该约束条件下2x y 3 0,取到最小值 2 5 时， a 2 b 2 的最小值为（ ）A 、5B 、4C 、 5D 、2x y2 09. x, y 满足约束条件 x 2 y 2 0 ，若 z y ax 取得最大值的最优解不唯一， 则实数 a 的2x y 2 0值为A, 1或 1B. 2或1C.2 或 1D. 2或 122x 2 y 40,10、当实数 x ， y 满足 x y 1 0, 时， 1 ax y 4 恒成立，则实数 a 的取值范围是x 1.________.11.已知 a>0,x,y 满足约束条件 错误 !未找到引用源。
线性规划问题 含参数问题
(1)一般地，二元一次不等式 Ax＋By＋C>0 在平面直角坐标 系中表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧的所有点组成的平面区域 (半平面)不含边界直线．不等式 Ax＋By＋C≥0 所表示的平面区 域(半平面)包括边界直线．
(2)对于直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点(x，y)，使得 Ax＋By＋C 的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其 坐标适合同一个不等式 Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内 的点，其坐标适合另一个不等式 Ax＋By＋C<0.
解:(1)不等式 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 上及右下方的点的集 合.x+y≥0 表示直线 x+y=0 上及右上方的点的集合,x≤3 表示直线 x=3 上
及左方的点的集合.
������-������ + 5 ≥ 0, 所以,不等式组 ������ + ������ ≥ 0, 表示的平面区域如图阴影部分所示.
D．(0,1]∪43，＋∞
(1)解 x－y≥0， 不等式组2x＋y≤2， 表示的平面区域 x＋y＝a.
y≥0
如 求图A，(阴B影两部点分的)，坐标分别为23，23和(1,0)， 若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，
则直线 x＋y＝a 的 a 的取值范围
是
0＜a≤1
(3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各 个不等式所表示的平面区域的公共部分．
x－ｙ＋５≥０
画出
x＋ｙ≥０ 表示的平面区域
判定方法2：当A>0时
Y
x+y=0
Ax+By+C>0表示直线右方区域；
八种经典线性规划例题最全总结(经典)
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，D、，解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为，选C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于由右图可知,故0＜m＜3，选C七、比值问题当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。
高二数学线性规划试题答案及解析
高二数学线性规划试题答案及解析1.已知满足不等式组,使目标函数取得最小值的解（x，y）有无穷多个，则m的值是A．2B．-2C．D．【答案】D【解析】画出可行域，目标函数z=mx+y，取得最小值的最优解有无数个知取得最优解必在边界上而不是在顶点上，目标函数中系数必为负，最小值应在边界3x-2y+1=0上取到，即mx+y=0应与直线3x-2y+1=0平行，进而计算可得m值．【考点】线性规划2.若x，y满足则的最大值是．【答案】 10【解析】根据线性约束条件划出可行域，由目标函数得，即只需求直线在轴上的最大值即可。
【考点】线性规划求最值问题。
3.在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则实数a的值为．【答案】3【解析】由题意得：不等式组(a为常数)所表示的平面区域必须为一个封闭图形.直线恒过定点所以平面区域为三角形，面积为【考点】线性规划4.已知实数满足条件，则的最大值为．【答案】10【解析】作出满足约束条件下的平面区域，如图所示．由图可知点目标函数经过点时取得最大值，且最大值为．【考点】简单的线性规划．5.若实数满足，则的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】表示单位圆,表示单位圆上的点与点形成的直线的斜率.显然当与圆相切时,如图所示，可知 .【考点】线性规划求最值.6.不等式组所围成的平面区域的面积是 .【答案】2【解析】根据题意作出不等式组所表示的平面区域（如下图）直线的斜率都为，而直线的斜率都为1，所以该区域为正方形区域，其中该正方形的边长为，所以该平面区域的面积为.【考点】1.二元一次不等式表示的平面区域问题；2.两直线垂直的判定.7.设变量满足则目标函数的最小值为( )A．2B．4C．6D．以上均不对【解析】因为变量满足，符合的x,y的可行域如图所示的阴影部分，目标函数. 其中的最小值即为直线CD在y轴的截距最小.所以通过移动直线CD可知过点B是符合题意.又因为B（1,0）.所以.故选A.【考点】1.线性规划问题.2.作图的能力.3.对比归纳的思想.4.复杂问题简单化的转化过程.8.已知实数满足,且目标函数的最大值为6,最小值为1, 其中的值为( )A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】本题为线性规划含有带参数直线问题.需要对含参直线的斜率以及b进行讨论.另外借助选项,观察4个选项都是正数，所以.这样可以减少讨论情况 .利用现行约束条件作出可行域.当讨论（ⅰ）：若无论我们都可以作图，若则表示虚线下方无最大值不合题意.所以建立方程组和分别代入目标函数可以得出.（ⅱ）：同理当时，结合图像仍然会得如上的方程组.所以.所以答案为D.【考点】线性规划、分类讨论思.9.下列坐标对应的点中，落在不等式表示的平面区域内的是A．（0，0）B．（2，4）C．（-1，4）D．（1，8）【答案】A【解析】把选项中的点的坐标代入不等式检验，得点（0,0）符合题意，故选A【考点】本题考查了二元一次不等式表示平面区域点评：只需在这条直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0) ，以Ax0+By0+C的正负情况便可判断Ax+by+C>0 表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当C≠0 时，常把原点作为此特殊点．10.已知实数x,y满足,若取得最大值时的最优解有无数个,则a的值为（）A．0B．2C．-1D．【解析】先画出可行域，该可行域是一个三角形，因为取得最大值时的最优解有无数个，根据图象可知应该与边界平行，所以【考点】本小题主要考查简单线性规划.点评：目标函数的最优解有无数多个，处理方法一般是：①将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式②分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反③根据分析结果，结合图形做出结论④根据斜率相等求出参数．11.(本题满分12分)某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按40个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共120台,且冰箱至少生产20台．已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表:432【答案】【解析】设每周生产空调台、彩电台、则生产冰箱台,产值(千元). (2分)目标函数为(6分)所以题目中包含的限制条件为即: 可行域如图.(10分)解方程组得点的坐标为所以(千元) (12分)【考点】线性规划的最优解运用点评：解决该试题的关键是能根据题意抽象出不等式，同时结合二元一次不等式组表示的区域，平移法得到最值，属于基础题。
线性规划的常见题型及其解法学生版题型全面归纳好
课题 线性规划旳常见题型及其解法题目线性规划问题是高考旳重点，而线性规划问题具有代数和几何旳双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题旳解答变得愈加新奇别致．归纳起来常见旳命题探究角度有： 1．求线性目旳函数旳最值． 2．求非线性目旳函数旳最值． 3．求线性规划中旳参数． 4．线性规划旳实际应用．本节重要讲解线性规划旳常见基础类题型．【母题一】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目旳函数z ＝2x ＋3y 旳取值范围为( )A ．[7，23]B ．[8，23]C ．[7，8]D ．[7，25]【母题二】变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝y2x －1，求z 旳最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 旳取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 旳取值范围．角度一：求线性目旳函数旳最值1．(·新课标全国Ⅱ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 旳最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．22．(·高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目旳函数z ＝x ＋6y 旳最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．403．(·高考陕西卷)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成旳封闭区域，则2x －y 旳最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0D ．2角度二：求非线性目旳旳最值4．(·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所示旳区域上一动点，则直线OM 斜率旳最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－125．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，则z ＝2x ＋y －1x －1旳取值范围 ． 6．(·郑州质检)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2旳取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，4]C ．[2，2]D ．[2，4]7．(·高考北京卷)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所示旳平面区域，区域D 上旳点与点(1,0)之间旳距离旳最小值为________．8．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所示旳平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1有关直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中旳任意点A 与Ω2中旳任意点B ，|AB |旳最小值等于( )A ．285B ．4C ．125D ．2角度三：求线性规划中旳参数 9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所示旳平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等旳两部分，则k 旳值是( )A ．73B ．37C ．43D ．3410．(·高考北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 旳最小值为－4，则k 旳值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－1211．(·高考安徽卷)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 获得最大值旳最优解不唯一，则实数a 旳值为( )A ．12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－112．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤s ，y ＋2x ≤4.下，当3≤s ≤5时，目旳函数z ＝3x ＋2y 旳最大值旳取值范围是( )A ．[6，15]B ．[7，15]C ．[6，8]D ．[7，8] 13．(·通化一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1旳最小值为32，则a 旳值为________．角度四：线性规划旳实际应用14．A ，B 两种规格旳产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A 产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一种工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A 产品每件利润300元，B 产品每件利润400元，则这两台机器在一种工作日内发明旳最大利润是________元．15．某玩具生产企业每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一种卫兵需5分钟，生产一种骑兵需7分钟，生产一种伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一种卫兵可获利润5元，生产一种骑兵可获利润6元，生产一种伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产旳卫兵个数x与骑兵个数y表达每天旳利润w(元)；(2)怎样分派生产任务才能使每天旳利润最大，最大利润是多少？一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0旳两侧，则a 旳取值范围为( ) A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)2．(·临沂检测)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 旳最小值是( )A ．－3B ．0C ．32D ．33．(·泉州质检)已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 旳坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP→旳最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．24．已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1旳取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤53，5B ．[0，5]C ．⎣⎡⎭⎫53，5 D ．⎣⎡⎭⎫－53，5 5．假如点(1，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取旳整数值为( )A ．2B ．1C ．3D ．06．(·郑州模拟)已知正三角形ABC 旳顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 旳取值范围是( )A ．(1－3，2)B ．(0，2)C ．(3－1，2)D ．(0，1＋3)7．(·成都二诊)在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0，所示旳平面区域上一动点，则直线OP 斜率旳最大值为( )A ．2B ．13C ．12D ．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }旳面积为( )A ．2B ．1C ．12D ．149．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目旳函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)旳最大值为4，则ab旳取值范围是( )A ．(0，4)B ．(0，4]C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)10．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω旳公共部分为线段AB ，则以AB 为直径旳圆旳面积旳最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π11．(·东北三校联考)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 获得最大值旳最优解有无穷多种，则实数a 旳取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3,－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}12．(·新课标全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 旳最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－313．若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，则由点P (a ，b )所确定旳平面区域旳面积是( )A ．12B ．π4C ．1D ．π214．(·高考北京卷)设有关x ，y 旳不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表达旳平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2．求得m 旳取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，43 B ．⎝⎛⎭⎫－∞，13 C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－23D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－53 15．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表达旳平面区域为D ．若指数函数y ＝a x 旳图象上存在区域D 上旳点，则a 旳取值范围是 ( )A ．(1，3]B ．[2，3]C ．(1，2]D ．[3，＋∞)16．(·高考福建卷)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2旳最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．4917．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k (x －1)－1表达一种三角形区域，则实数k 旳取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)18．(·武邑中学期中)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则z ＝2x ＋y 旳最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．1019．(·衡水中学期末)当变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋3y ≤4x ≥m 时，z ＝x －3y 旳最大值为8，则实数m 旳值是( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－120．(·湖州质检)已知O 为坐标原点，A ，B 两点旳坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x －1≥0，则tan ∠AOB旳最大值等于( )A ．94B ．47二、填空题21．(·高考安徽卷)不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表达旳平面区域旳面积为________．23．(·重庆一诊)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目旳函数z ＝3x －y 旳最大值为____．24．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8旳最小值为________．25．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所示旳区域上一动点，则|OM |旳最小值是________．26．(·汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一种生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得旳最大利润是______万元．27．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜旳产量、成本和售价如下表：________亩．28．(·日照调研)若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表达旳平面区域，则当a 从－2持续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中旳那部分区域旳面积为________．29．(·高考浙江卷)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 旳取值范围是________．30．(·石家庄二检)已知动点P (x ，y )在正六边形旳阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形旳边长为2，若使目旳函数z ＝kx ＋y (k >0)获得最大值旳最优解有无穷多种，则k 旳值为________．31．设m ＞1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目旳函数z ＝x ＋my 旳最大值不不小于2，则m 旳取值范围 ．32．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，若目旳函数z ＝x －y 旳最小值旳取值范围是[－2，－1]，则目旳函数旳最大值旳取值范围是________．33．(·高考广东卷)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y在D 上获得最大值或最小值旳点}，则T 中旳点共确定________条不一样旳直线．34．(·湖北改编)已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ．若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 旳取值范围为__________．35．(·衡水中学模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y －13≤02y －x ＋1≥0x ＋y －4≥0且有无穷多种点(x ，y )使目旳函数z＝x＋my获得最小值，则m＝________．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
同步练习一、选择题（本题共13道小题，每小题0分，共0分）1.设x ，y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为( ) A.1 B.2 C.3 D.42.已知变量y x ,满足约束条件2203x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，，，若目标函数ax y z +=仅在点()3,5处取得最小值, 则实数a 的取值范围为 ( ) A.()+∞,1B.⎪⎭⎫⎝⎛+∞,73 C.()+∞,0 D.()1,-∞-3.变量x ，y 满足约束条件时，x ﹣2y+m≤0恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ． [0，+∞）B ． [1，+∞）C ． （﹣∞，3]D ． （﹣∞，0]4.设x ，y 满足约束条件，则的取值范围是（ ） A ． [2，5]B ． [1，5]C ． [，5]D ．[，2]5.已知实数,x y 满足：210210x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩,221z x y =--，则z 的取值范围是（ ）A ．5[,5]3 B ．[0,5] C ．[0,5) D ．5[,5)36.如果实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+103203x y x y x ，目标函数y kx z -=的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为（ ）A.1B.2C.3D.47.已知0a >,x ,y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为1，则a =( )A.14 B. 12C ．1D ．28.若直线1+=kx y 与圆0422=-+++my kx y x 交于N M ,两点,且N M ,关于直线0=-y x 对称,动点P ()b a ,在不等式组2000-+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩kx y kx my y 表示的平面区域内部及边界上运动，则21b w a -=-的取值范围是（ ）A ．),2[+∞B ．]2,(--∞C ．]2,2[-D ．),2[]2,(+∞⋃--∞9.若y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥+-,001532,0653y y x y x ，当且仅当3==y x 时，y ax z -=取最小值,则实数a 的取值范围是（ ）A. 32,43⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 23,34⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 23,35⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 33,45⎛⎫⎪⎝⎭10.若实数,x y 满足约束条件23502500x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则函数|1|z x y =++的最小值是( )A.0B.4C.83 D.7211.x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）A ．12或1-B ．2或12 C ．2或1 D ．2或1-12.如果实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+103203x y x y x ，目标函数y kx z -=的最大值为6，最小值为0，则实数k 的值为（ ）A.1B.2C.3D.413.已知不等式组0,360,60,x y k x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩表示的平面区域恰好被圆C ：()()22233x y r -+-=所覆盖，则实数k 的值是（ ）A. 3B.4C.5D.6二、填空题（本题共7道小题，每小题0分，共0分）14.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若2≤-mx y 恒成立，则实数m 的取值范围为 .15.在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤y x y x 2320给定，若(,)M x y 为D上的动点，点A 的坐标为(2,1)，则OM OA ⋅的最大值为 ．16.已知约束条件340,210,380,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩若目标函数(0)z x ay a =+≥恰好．．在点(2,2)处取到最大值，则a 的取值范围为 ▲ ．17.已知点P (x ，y ) 满足条件0,,20x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩（k 为常数），若3z x y =+的最大值为8，则k = ▲ 。
18.设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥-≤--,0,0,0,023y x y x y x 若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为1，则ba 11+的最小值为 ▲ ． 19.设25z x y =+，其中实数,x y 满足68x y ≤+≤且20x y -≤-≤，则z 的取值范围是 ▲ ．20.设1m >，已知在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数22z x y =+的最大值为32，则实数m 的值为___________．试卷答案1.D知识点：简单线性规划 解析：由题意作出其平面区域，则由目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，48a b ，则由4242a b ab得，ab ≤4，（当且仅当a=4，b=1时，等号成立）．故选D ．【思路点拨】由题意作出其平面区域，求出目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8时的最优解，利用基本不等式求解． 2.D 略 3.考点： 简单线性规划． 专题： 计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析： 由题意作出其平面区域，x ﹣2y+m≤0表示了直线上方的部分，故由解得，x=4，y=2；代入即可．解答： 解：由题意作出其平面区域，x ﹣2y+m≤0表示了直线上方的部分， 故由解得，x=4，y=2；则4﹣2×2+m≤0， 则m≤0． 故选D ． 点评： 本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题． 4.A 略 5.C 6.B试题分析：不等式组表示的可行域如图，()()()0,3,1,1,2,1C B A -∵目标函数y kx z -=的最小值为0，∴目标函数y kx z -=的最小值可能在A 或B 时取得；∴①若在A 上取得，则02=-k ，则2=k ，此时，y x z -=2在C 点有最大值，6032=-⨯=z ，成立；②若在B 上取得，则01=+k ，则1-=k ，此时，y x z --=，在B 点取得的应是最大值，故不成立，2=∴k ，故答案为 B.考点：线性规划的应用. 7.【知识点】简单的线性规划。
E5【答案解析】B 解析：由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC 内部及边界部分，由目标函数2z x y =+的几何意义为直线l ：2y x z =-+在y 轴上的截距，知当直线l 过可行域内的点(1,2)B a -时，目标函数2z x y =+的最小值为1，则1221,2a a -==。
故选B.【思路点拨】根据线性约束条件画出可行域，再利用目标函数所表示的几何意义求出a 的值。
8.D 9.C 10.【知识点】简单线性规划的应用；简单线性规划．E5【答案解析】A 解析：作出可行域如图，由，可得A，由，可得B （0，）， 由，可得C （0，﹣5）．A 、B ．C 坐标代入z=|x+y+1|，分别为：；，4，又z=|x+y+1|≥0，当x=0，y=﹣1时，z 取得最小值0．z=|x+y+1|取可行域内的红线段MN 时x+y+1=0．z 都取得最小值0． 故选A ．【思路点拨】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线x+y+1=0时，z 最小值即可． 11.D 略 12.B试题分析：不等式组表示的可行域如图，()()()0,3,1,1,2,1C B A -∵目标函数y kx z -=的最小值为0，∴目标函数y kx z -=的最小值可能在A 或B 时取得；∴①若在A 上取得，则02=-k ，则2=k ，此时，y x z -=2在C 点有最大值，6032=-⨯=z ，成立；②若在B 上取得，则01=+k ，则1-=k ，此时，y x z --=，在B 点取得的应是最大值，故不成立，2=∴k ，故答案为B.考点：线性规划的应用. 13.D 14.略 15.7 略 16.【知识点】简单的线性规划问题E5 【答案解析】(13，+∞) 作出不等式对应的平面区域， 当a=0时，z=x ，即x=z ，此时不成立．由z=x+ay 得y=-1a x+z a要使目标函数z=x+ay（a≥0）仅在点（2，2）处取得最大值，则阴影部分区域在直线y=-1ax+za的下方，即目标函数的斜率k=-1a，满足k＞k AC，即-1a＞-3，∵a＞0，∴a＞13，即a的取值范围为(13，+∞)，故答案为：(13，+∞)．的条件，即可求出a的取值范围．17.-6略18.4略19.[21，31]略20.32略。