第七章 方差分析基础

MSe 为方差分析的误差项均方；
n 为样本容量（每一处理内观察值的个数）；
第二：计算出显著水平下的最小显著差数 LSD
LSD
t,df
S x1 x2
x x
1
2
t
S x1 x2
第三：将任意两个处理平均数的差与 LSD 相比较
若
x1 x2 LSD0.05表示差异显著 x1 x2 LSD0.01表示差异极显著 x1 x2 LSD0.05表示差异不显著
◎ 处理内变异
同一处理内的各个观察值不完全相同，各个处理内的随机变异之和就构成了整个资料的
误差项变异。
◎处理间变异
各处理平均数之间有不同程度的差异，引起差异的原因有二：其一是处理的不同；其二是
不同处理受偶然因素影响的程度不同（即误差变异）。
因此:
处理间变异=处理间真实差异+处理内变异
当处理间真实差异=0 时，
当处理间真实差异＞0 时，
处理间变异=处理内变异
处理间变异＞处理内变异
利用这种关系，将处理间变异与处理内变异的比值定义为 F 值，
处理间方差 F 处理内方差
st2 se2
◆如果 F 与“1”相差不多，表明各处理效应在本质上相同，即处理间差异不显著。
◆如果 F 比“1”大得多，超出了通常偶然因素所能解释的范围，那就说明各处理效应 有本质差异。
第四步：多重比较（LSD 法） 首先 计算比较标准
S x1 x2 2MSe 2 8.17 2.02
n
4
LSD0.05 t S 0.05,dfe x1x2 t0.05,12 2.02 2.179 2.02 4.40 LSD0.01 t0.01,12 2.02 3.055 2.02 6.17
4
4.20
Q0.01 4.32 5.04 5.50
LSR0.05 4.40 5.39 6.01
LSR0.01 6.18 7.21 7.87
在农业和生物学上，由于试验工作者通常都寄希望于否定 H0，所以 LSD 和 SSR 得到较为 广泛的应用。如果试验是几个处理都与一个对照相比，则可选用 LSD 法；如果试验是每两个 处理都要进行相互比较，则宜选用 SSR 法。
DF
SS
MS
处理间
k-1
SSt
MSt
处理内
k(n-1)
SSe
MSe
总变异
kn-1
SST
F MSt/MSe
P100 书例[6.1]以 A，B，C，D4 种药剂处理水稻种子其中 A 为对照，处理各得 4 个苗高观察 值（cm）其结果如表 6.2，试进行方差分析。
表 6.2 水稻不同处理苗高（cm）
第一步：统计假设 H0： 1 2 ...... k 第二步：整理资料，计算矫正数及各种平方和
关于 F 值的大小，如何判断是否超过了用误差解释的范围？必须借助 F 测验。
2、F 分布与 F 测验 ◆F 分布 有一个平均数为 μ，方差为σ2 的正态总体，从中随机抽取两个样本，其容量分别为 n1 和
n2，则其自由度分别为 df1 =n1-1 和 df2=n2-1，方差为 s12和s22 ，令两个方差之比为 F，即
x…
s
2k…
k
每一个观察值的线性模型为：
xij i ij
总体符号
处 理 间 变 异 τi=(μiμ)
μ表示全试验观测值总体的平均数
处理内变异 εij=( xij- μi)
xij x ti eij
样本符号
由此可推知 : nk 个观察值的总变异可分解为处理间的变异和处理内的变异两部分。 二、自由度与平方和的分解
F
s12 s22
在给定的 样本容量 n1 和 n2 下，从该总体进行一系列的抽样，则可获得一系列 F 值，
各个 F 值所具有的概率构成一种分布，这一分布称为 F 分布。
F 分布的平均数 F 1
F 分布的取值范围为〔0，∞)
故 F 分布只有一尾概率（即右尾概率），进行的 F 测验仅为一尾测验。
F 分布是随自由度 df1 和 df2 的改变而改变的一组偏态曲线，只有当 df1 和 df2 都趋向
其次 进行均数间两两比较
二、最小显著极差法（LSR） 不同平均数间的比较采用不同的显著尺度 1、新复极差测验法（SSR 法或 Duncan 法）
SE MSe
计算平均数的标准误
n
根据 dfe , P 查 SSR 表，计算最小显著极差值 LSR
P 为某两个极差间所包含的平均数个数
LSR ,P SSR (dfe ,P) SE
2、q 测验法（或 Tukey 测验）
SE MSe
计算平均数的标准误
n
根据 dfe , P 查 q 表，计算最小显著极差值 LSR P 为某两个极差间所包含的平均数个数
LSR ,P q (dfe ,P)SE
上例：
第三步：列方差分析表并进行 F 测验
变异来源
Df
SS
MS
F
药剂 3 误差 12
504
1、总平方和分解 由表 7.1 可以看出，nk 个观察值的变异构成了整个资料的总变异，总变异的平方和即：
ssT
(xij x)2
xi2j
T2 nk
(7.1
）
SST 分解
k n
kn
(xij x..)2
(xi. x..) (xij xi.) 2
i1 j1
i1 j1
k n
(xi. x..)2 2(xi. x..)(xij xi.) (xij xi.)2
第三步：列方差分析表并进行 F 测验
变异来源
Df
SS
MS
药剂 3 误差 12
504
168
98
8.17
总变异 15
602
40.13
F 20.56
F0.05
F0.01
三、F 分布与 F 测验
1、F 测验的基本原理
由前面的分析可知，表 7.1 中 nk 个观察值的大小不尽相同，它们之间的变异构成了整
个数据的总变异，其总变异又可分为处理间变异和处理内变异。
i1 j1
i1
i1 j1
总平方和=处理间平方和+处理内平方和
记为：SST = SSt+ SSe
处理间平方和乃各处理的平均数的变异，即
处理间平方和乃各处理的平
均ss数t 的变n异，即(xi
x)2
1 n
(
Ti2 ) C
处理内（误差）平方和乃各组的 n 个观察值与其相应平均数的离差平方和，即
k
sse
于∞时，F 分布趋于对称分布。因此， F 分布某一特定曲线的形状取决于参数 df1 和 df2。 F 分布下一定区间的概率可以从已制成的统计表（附表 4）中查出。
幻灯片 29
◆ F 测验 测验某项变异因素的效应是否真实存在。
①若各处理的均数相等或者差异不显著，可以推断处理间不存在真实差异；
②若各处理的均数不等且差异显著，可以推断处理间有真实差异。
＆7.2 方差分析及基本原理 方差分析的概念：
将试验数据的总变异分解为不同来源的变异，从而评定不同变异来源的相对重要性的 一种统计方法。 一、数据结构与变异来源的分解
设有 k 个处理，每个处理有 n 个观察值，则共有 nk 个观察值，其数据结构和符号如 表 7.1。
处理 1 2 ： j ： n
总和 平均 均方
表 6.2 资料 LSR 值的计算（复新极差测验）
p
SSR0.05
SSR 0.01
2
3.08
4.32
3
3.23
4.55
4
3.33
4.68
LSR0.05 4.40 4.62 4.76
LSR0.01 6.18 6.51 6.69
表 6.2 资料 LSR 值的计算（q 法）
p
q0.05
2
3.08
3
3.77
＆7.3 多重比较 要明确各个处理平均数彼此间的差异显著性，还必须对各个平均数作相互比较，这种比
较称为多重比较。常用的有以下几种： 一、最小显著差数法（LSD） 实质是两个平均数相比较的 t 测验。具体方法如下： 第一：计算平均数差数的标准误
S x1 x2
2MSe
n 其中，
S x1 x 2
为平均数的差数标准误；
总和平方 T 2 336 2 C 观察值个数 kn 4 4 7056
ss总 ssT
x2 c 182 212 ... 322 c 602
ss处理 sst
Ti.2 c 722 922 ...1162 c 504
n
4
ss机误 sse ssT sst 602 504 98
168
20.56**
98
8.17
总变异 15
602
40.13
F 测验结论：药剂间对苗高的效应差异达极显著。 第四步：多重比较 首先 计算比较标准(常用三种 LSD 法、SSR 法、q 法） 其次 进行均数间两两比较 1、列梯形表法 2、划线法 3、标记字母法
F0.05 3.49
F0.01 5.59
SST = SSt+ SSe 总自由度=处理间自由度+处理内自由度
dfT = dft + dfe
于是， 处理间均方： 处理内均方： 总变异均方：
注意
MST
MS t
MSe
se2 s12 s22 sk2
se2
1 k
( s12
s22
sk2 )
表 7.2 表 7.1 资料的方差分析
变异来源
第三步：列方差分析表并进行 F 测验
变异来源
Df