线性规划基本概念及模型构建

LP （Linear Programming）
Alex 有一个家庭农场。

除了农场上的农作物以外，他还饲养了一些猪拿到市场上出售，猪可获得的饲料及其所含成分如下表：Alex如何喂养猪更好？
成分/每公斤
玉米槽料苜蓿每日最小需求量碳水化合物
蛋白质
维他命
成本(美分)903010842080207240606060200180150
问题1：科学养猪线性规划建模（猪饲料的配方）饲养成本最小
--- 每天玉米、槽料、苜蓿各喂多少公斤？
--- 必须满足要求12--- 追求成本最低 Min. 84x 1+ 72x 2+ 60x 3
3x 1x 2x 3
知识点 建模三要素
决策变量约 束目标 90x 1+ 20x 2+ 40x 3 ≥ 20030x 1+ 80x 2+ 60x 3 ≥ 18010x 1+ 20x 2+ 60x 3 ≥ 150
x i ≥0 , i =1，2，3
成分/每公
斤
玉米槽料苜蓿每日最小需求量碳水化合物
蛋白质
维他命
成本(美分)903010842080207240606060200180150
s.t. 90x 1+ 20x 2+ 40x 3 ≥ 200
30x 1 + 80x 2+ 60x 3 ≥ 180
10x 1+ 20x 2+ 60x 3 ≥ 150
x i ≥0 , i =1,2,3
Min . 84x 1+ 72x 2+ 60x 3
目标函数约束函数符号中必含等号符号的右侧为常数线性--变量均为1次方
Max. 或 Min.线性--所有变量均为1次方常规约束：变量非负！知识点 模型表示
？线性规划模型能求解出来吗？
能！--- 万能的单纯形法
结合软件 QSB应用
知识点 线性规划建模三步骤
领任务—需要你拍板定方案（决策变量）
有啥规定吗（约束函数）若干方案满足规定，怎么评价谁好（目标函数）
Alex 经营着一个幼儿园。

市场上可获得的食材成分如下表：
Alex 如何养孩更好？
成分/每公斤
牛肉（1）西红柿（2）…山药（108）每日需求量限制碳水化合物（1）
蛋白质（2）
…
维他命（56）
成本(元)9030…10642080…205……………4060…6018不低于200不超过180…刚好150
（配餐方案）饲养成本最小
知识点 线性规划建模训练1—科学养孩
决策变量 --- 每天牛肉、西红柿、…、山药各喂多少公斤？约束 --- 必须满足要求。

90x 1+ 20x 2+ …+40x 108 ≥ 200
30x 1+ 80x 2+ …+60x 108 ≤ 180
…
10x 1+ 20x 2+ …+60x 108 = 150 x i ≥0 , i =1，2，…，1081
2目标 --- 追求成本最低？ Min. 64x 1+ 5x 2+ …+18x 1083
x 1x 2…x 108
知识点 分析过程
知识点 科学养孩问题的模型
Min. 64x1+ 5x2+ …+18x108
s.t. 90x1+ 20x2+ …+40x108 ≥ 200
30x1 + 80x2 + …+60x108 ≤ 180
…
10x1+ 20x2+ …+60x108 = 150
x i ≥0 , i=1,2,…,108
a ≤ x1+ x2+ …+x108 ≤ b
建模型不是一蹴而就的，要反复斟酌、完善。

模型错了，后面的万能方法是无法补救的！！
知识点 线性规划建模训练2—科学选址某市打算通过改变公安局分局的布局达到加强高犯罪率地区的管制效果。

该市共由7片行政区域组成，所考虑的分
局候选地址及其所能管制到的区域如下表。

试构建以最少数目的分局覆盖所有区域的线性规划模型。

分局候选地址覆盖区域分局候选地址覆盖区域A1,5,6E2,5,6
B2,3,5F1,3,4,7
C1,3,5
D2,4,7
x i =
0 第i 个候选地址不设置分局
1 第i 个候选地址设置分局
i =1,2,3, …, 6
Min . Z=x 1+ x 2+ x 3+ x 4+ x 5+ x 6
纯整数线性规划问题
s.t.
x 1+x 3+x 6 ≥ 1x i =0 or 1， i =1,2,3, …, 7
x 2+x 4+x 5≥ 1x 2+x 3+x 6≥ 1
x 4+x 6≥ 1
x 1+x 2+x 3+x 5≥ 1x 1+x 5≥ 1
x 4+x 6≥ 1
知识点 科学选址模型
0-1规划分局候选地址
覆盖区域分局候选地址
覆盖区域A
1,5,6
E
2,5,6
B 2,3,5F 1,3,4,7
C 1,3,5
D 2,4,7
某文具厂拟生产小、中、大三种型号的黑板，所需资源为玻璃板、劳动力和机器设备。

三种黑板的资源消耗如下表：
资源小号黑板中号黑板大号黑板资源可使用量
玻璃板（单位：块）
劳动力(单位：人日)
机器设备（单位：台时）1
2
1
2
3
2
4
4
3
100
100
50
不考虑固定费用，每种黑板每件获利分别为20元、30元、40元。

此外，不管每种黑板制造的数量是多少，都要支付一
笔固定费用：小号25元，中号50元，大号75元。

请制定一个
获利最大的生产计划。

知识点 固定成本问题
决策变量 ---小、中、大三种型号的黑板各生产多少个？
约束 --- 必须满足要求。

玻璃板 x 1+ 2x 2+ 4x 3 ≤ 100 劳动力 2x 1+ 3x 2+ 4x 3 ≤ 100
设备 x 1+ 2x 2 + 3x 3 ≤ 50
x i ≥0 , i =1,2,3, 且为整数
1
2
目标 --- 追求利润最大化？ Max. 20x 1+ 30x 2+40x 33
x 1x 2x 3y 1 , y 2 , y 3是否生产（0 or 1）-25 y 1 – 50 y 2 - 75y 3
x 1 ≤ 100 y 1
x 2 ≤ 100 y 2 x 3 ≤ 100 y 3 y 1 , y 2 , y 3 = 0 or 1知识点 分析过程
- ?
x 1+ 2x 2+ 4x 3 ≤ 100 2x 1+ 3x 2+ 4x 3 ≤ 100 x 1+ 2x 2 + 3x 3 ≤ 50
x i ≥0 , i =1,2,3, 且为整数
Max. 20x 1+ 30x 2+40x 3 -25 y 1 – 50 y 2 - 75y 3x 1 -100 y 1 ≤0 x 2 -100 y 2 ≤0
x 3-100 y 3 ≤0
y 1 , y 2 , y 3 = 0 or 1
知识点 固定成本模型
s.t.
知识点 建模之案例
香港工商银行人员配置问题
控制大气污染问题。