初中数学竞赛辅导----几何变换(旋转)

第2讲几何变换——旋转

典型例题

【例1】C是线段AE上的点，以AC、CE为边在线段AE的同侧作等边三角形ABC、CDE，

△是等设AD的中点是M，BE的中点是N，连结MN、MC、NC，求证：CMN

边三角形．Array【例2】如图，两个正方形ABCD和AKLM有一个公共点A．求证：这两个正方形的中心以

及线段BM，DK的中点是某正方形的顶点．

L

【例3】 已知：如图，ABC △、CDE △、EHK △都在等边三角形，且A 、D 、K 共线，

AD DK =．求证：HBD △也是等边三角形．

【例4】 ABC △是等边三角形，P 是AB 边的中点，Q 是AC 边的中点，R 为BC 边的中点，

M 为RC 上任意一点，且PMS △是等边三角形，S 与Q 在PM 的同侧，求证：

RM QS =．

E

C

H

D

B

A

Q

⋅

S M

P

C

B

A

R

【例5】 ABCD 是正方形，P 是ABCD 内一点，1PA =，3PB =

，PD =求正方形ABCD

的面积．

【例6】 P 是等边三角形ABC 内的一点，6PA =，8PB =，10PC =．求ABC △的边长．

D

【例7】 设O 是等边ABC △内一点，已知115AOB ︒∠=，125BOC ︒∠=，求以线段OA 、OB 、

OC 为边所构成的三角形的各内角大小．

【例8】 如图，在ABC △中，90ACB ︒∠=，AC BC =，P 是ABC △内一点，3PA =，1PB =，

2PC =，求BPC ∠．

【例9】 如图，已知ABC △中，90A =，AB AC =，D 为BC 上一点，求证：

A

P

C

B

2222BD DC AD +=．

【例10】 如图，在等腰直角ABC △中，90ACB ︒∠=，CA CB =，P 、Q 在斜边AB 上，且

45PCQ ︒∠=，求证：222PQ AP BQ =+．

【例11】 在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，满足EF BE DF =+，

A

D

C

B

A

Q

B

C

P

AE 、AF 分别与对角线BD 交于M 、N ．求证：

（1）45EAF ︒∠=； （2）222MN BM DN =+．

【例12】 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD CD ⊥，2BC CD AD ==，E 是CD 上一点，

且45ABE ︒∠=，AD α=．求CE 的长．

E D

C

B

A D

F

【例13】 已知：ABC △中，120A ︒∠≥，P 是不与A 重合的定点，求证：

PA PB PC AB AC +++＞．

【例14】 已知：如图，ABD △是等边三角形，ABC △中，BC a =，CA b =．问：当ACB ∠为

何值时，C 、D 两点的距离最大？最大值是多少？

P C

B

A

【例15】 已知ABC △，以其各边为底边，向ABC △的外部作等腰三角形ABD 、BCE 、CAF ，

使顶角都等于120︒，求证：DEF △是正三角形．

【例16】 已知：ABC △是锐角三角形，三边长分别是a 、b 、c ，O 是ABC △内的一点，

120AOB BOC COA ︒∠=∠=∠=，OA u =，OB v =，OC w =，DEF △是等边三角

形，P 是DEF △内一点，PD a =，PE b =，PF c =． 求证：DEF △的边长等于u v w ++．

E

B

D

A

F

C

【例17】 已知：三条平行直线l 、m 、n ，求证：存在一个等边三角形ABC ，使顶点A 、B 、

C 分别在l 、m 、n 上．

作业

1. 已知：ABCD 是正方形，O 是其中心，OEFG 也是正方形，两个正方形的边长都是a ，OG 、

OE 分别交CD 、BC 于H 、K ．求证：21

4OKCH S a =．

2. 已知：如图，ABCD 是正方形，12∠=∠．求证：BE DF AE +=．

3. ABC △是等边三角形，P 是其内的一点，3PA =，4PB =，5PC =，求ABC △的面积．

1

F

D

E

A

C

2

B

4. P 是等边ABC △内部一点，APB ∠、

BPC ∠、CPA ∠的大小之比是5:6:7，求以PA 、PB 、PC 为边的三角形的三个角的大小之比．

5.

6. 等边ABC △

的边长a =，点P 是ABC △内一点，且222PA PB PC +=，若

5PC =，求PA 、PB 的长．

7.

8. 在梯形ABCD 中，AD BC ∥（BC AD ＞），90D ︒∠=，12BC CD ==，E 在CD 上，

45ABE ︒∠=，若10AE =，求CE 的长．

9.

10. 如图，P 、Q 是边长为1的正方形ABCD 内两点，使得45PAQ PCQ ︒∠=∠=．求

P A B P C Q Q A D

S S S ∆∆∆

++的值．

B

E

D

C

B