数值分析考试题

邢台学院2015—2016学年第二学期期末考试 2013级本科、2015级接本数学与应用数学专业

《数值分析》试题（A 卷）

（本试卷满分100分，考试时间110分钟）

一、判断题 (每小题3分，共24分)

1．解对数据的微小变化高度敏感是病态的.

2．当f (x )为连续函数，节点x i (i=0,1,…,n )为等距节点，构造拉格朗日插值多项式L n (x ),则n 越大L n (x )越接近f (x ).

3．当数据量很大时用最小二乘拟合比用插值好.

4．高斯求积公式系数都是正数，故计算总是稳定的.

5．如果矩阵对称，则1A A ∞=.

6．设A 为非奇异矩阵且0c ≠，则cond(A ) v = cond(cA ) v .

7．若方阵A 的谱半径()1A ρ<，则解方程组Ax =b 的Jacobi 迭代法收敛.

8．不动点迭代是线性收敛的.

二、填空题 (每小题3分，共18分)

9．计算球体积要使相对误差限为3％，那么度量半径R 所允许的相对误差 限是________.

10．在所有最高项系数为1的n 次多项式中，_____多项式在[-1,1]上与零的 平方逼近误差最小.

11．n = 2的牛顿-科特斯求积公式即辛普森公式的代数精确度为_______.

12．向量(1,2,3)x =-的2-范数2x =_______.

13．迭代公式(1)()k k x Bx f +=+收敛的充要条件是_______.

14．设1324A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦

，则A ∞=_______.

三、解答题（15-19题每题8分，20-21题每题9分，共58分）

15. 利用x =1, 4, 9

16. 求32()221f x x x x =++-在[-1,1]上的最佳二次逼近多项式(利用切比雪夫多项式33()43T x x x =-).

17. 写出梯形公式与辛普森公式，并分别计算积分1011dx x

+⎰. 18. 若矩阵A 可以LU 分解，则求解方程组Ax =b 的问题就等价于求解两个三角形方程组.(1)写出这两个方程组; (2)利用矩阵的LU 分解法求解方程组12312312

32314252183520x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩, 要求使用Doolittle 分解形式.

19.已知线性方程组12312312

31027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩，写出求解这个方程组的雅可比迭代

公式与高斯-塞德尔迭代公式.

20. 已知一元方程33 1.20x x --=

(1) 证明(0,2)是方程的有根区间；

(2) 给出在有根区间收敛的简单迭代法公式；

(3) 给出在有根区间的Newton 迭代法公式.

21. 设初值问题32(0)1

y x y y '=+⎧⎨=⎩，(01)x <<

(1) 写出用Euler 方法、步长h = 0.1解上述问题数值解的公式；

(2) 写出用梯形法、步长h = 0.2解上述问题数值解的公式, 并求解12,y y , 保留三位小数.