分形插值及其应用研究
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校 级 重 点 项 目（ ．２ ９ ０ ０ １ ） Ｎｏ２ ０ Ｋ３ １ ０ ０ 收 稿 日期 ： ０ ０ ７ ２ ２ １ —０ －１ 修 稿 日期 ：０ ０ ８ ２ ２ １ －０ －１ 。
作 者 简介 ： 光 智 （９ ４ ） 男 ， 士 ， 师 ， 事领 域 为焊 缝 检 测 以及 图像 处 理 等 方 面 的研 究 戴 １７ 一 ， 博 讲 从
图像 插 值 按 照 一 定 的 方 式 结 合 在 一 起 ，并 对 噪 声 干扰 严 重 的 ＭＡＧ 焊 视 觉 图像 进 行 试 验 ， 结 果表 明 ， 方 法 对 ＭＡＧ 焊 图像 有较 好 的 处理 效 果 ， 能 有 效地 提 高 图像 的 分辨 率 。 该 并
关 键 词 ：分 形 插 值 ：小 波 变 换 ：图像 插值
０ 引
言
１ Ｆ Ｍ 分 形 图像 插 值 Ｂ
分 形 布 朗 运 动 Ｆ Ｍ 分 形 插 值 实 质 上 是 递 归 中点 Ｂ
常 用 的图像插 值 方法 直接 处理 图像 的像 素 灰度 值， 包括最邻近插值 、 线性插 值 、 双 双三次插值等 ， 它们
只考 虑 了 图像 像 素邻 近 点 的 相 关 性 ．未 考 虑 全 局 的相 关 性 ．会 使 插 值 后 的 图像 常 出 现 方块 效 应 或 细 节 退 化
其 中 ， 服从 Ｎ Ｏ ） 布 Ｇ ｕｓ ｎ随机 变量 ，Ａ Ｉ Ｇ为 （， 分 Ｉ ａｓｉ ａ Ｉ ＸＩ Ｉ 是 样本 间距 。 是 分 形 布 朗运 动 的 Ｈ ｒ 参 量 。ｔ＝ ｌ ｕｓ ｔ ｒ Ｅ｛ ２ （ １一 （ ） ｝ ∈Ｒ ） 分 形 布 朗 运 动 第 一 阶 增 ＋ ） Ｉ （ 是 量 的 方 差 。通 常 ， 和 ｚ 从 给 定 的数 据 进 行 估 计 ， 可 插 值后 的 ２ Ｄ信 号 特 性 由 和 所 决 定
位移 （ ＭＤ） Ｒ 的过程 ， 这里介绍一种实现 图像插值 的 ２ Ｄ
随 机 中点 位 移 插 值 算 法 『 假 设 ｉ０ １ … ， ， ０ １ ３ 卅： ＝ ，， Ｍ ｊ ，， ＝
…
，
Ⅳ。 当 ｉ √均 为 偶 数 时 ， 为 给 定 的取 样 点 。 Ｂ （ ） ， 当 为 奇 数 时 ， ，均
好 效 果翻
图像 ．每一级 包括一个低频逼近 图像 和 ３个高频分量 图像 ， 图 １ 如 所示。
★基金 项 目： 东省 自然科 学基 金 （ ．７ ０ ４ ９ 、 江 大 学 Ｃ Ｄ＆Ｃ 国 家 重点 实验 室开 放 课 题 （ ． ０ ５ 、 圳 职 业 技 术 学 院 广 Ｎｏ０ ０ ６ ７ ） 浙 Ａ Ｇ ＮｏＡ１ １ ） 深
１
（ 边缘模糊 ） 例如最邻近插值会产生块状 和锯齿 ， 。 而双 线性插值 和双三次插 值则会使 图像 的边缘 变得模糊
因 此 ． 些 插 值 算 法 对 于 细 节 丰 富 的 图像 进 行 处 理 ． 这 存
在 一 定 缺 陷
Ｂ （ ＝ （ １ － ） （ ｌ － ） （＋ √ １＋ ｎｉ ， — ） １ 一｛ ｉ １＋ ， １ ＋ １ ＋ ） －ｊ ＋ ｊ ％
。 现 计 机 ２wenku.baidu.com． 代 算 ００ ９ ０
宜采用 内插 的方法 ．否则不仅会 不适 当地增加高频能
￣－ ｇｌ ｔ ｍｌ
量 ．还 会 因 内插 的低 通 特 性 将 大 大 降 低 高 频 子 带 中细 节 准 确 性 ， 至 丢 失 了 大 部 分 的 细 节 。基 于 以上 考 虑 ， 甚
Ⅲ２ ｉ∞２
２ 小 波分 形插 值
小 波 变 换 将 原 图像 逐 级 向下 拆 分 成 不 同 分 辨 率 的
统 插值方法 （ 例如样条插 值 、 双线 性插值 ） 引起 的平 滑 效应 ． 保持 了插值 图像 丰富的纹理 ． 是经过多次分形 但 插值后效果就不 明显 ．而小波分形插值却 可以得到较
（ １ ＋ ）＋ ／ ￣ ２２ｌ Ｉ ・ √ １ ｝ ｘ １ ２Ｈ ｌ 一 － ＡＸＩＨ・ Ｇ ・
（） １
分 形 理 论 是 一 门描 述 自然 界 中许 多不 规 则 事 物 及 现 象 的规 律 性 的 学 科 ．分 形 的 研 究 对 象 主 要 是 一 类 具 有“ 自相 似 性 ” “ 、 自仿 射 性 ” 的分 形 体 ． 而许 多 图像 具 有
－ ｒ
．
＋ 、 Ｔ ２ ／＝
ｉ ｌ Ｉ ｏ・ ＡＸＩ日・ Ｇ ・ ｒ
（） ２
系． 分形 的出现为人们认识事物的局部与整体的关系提
供 了一种 辨 证 的 思 维 方 式 ．而 小 波 是 揭 示 分 形 局 域 标 度 性 质 的 有力 工 具 。 图 像 处 理 中 ． 用 小 波 数 学 显 微 在 利 镜 的 特性 和分 形 的 自相 似 的 特 性 ．常 常 可 使 单 独 一 种 方 法 处 理 时 效 果 不 好 或 处 理 不 了 的 问 题 得 以 解 决 ｎ １ 。 例 如在 图像 插 值 中 ．分 形插 值 虽 然 能 有 效 地 克 服 了传
明 显 或者 不 明显 的分 形 特征 小 波与 分 形有 着 密切 的关
当ｉ ， 中有 且 只 有 一 个 为 奇 数 时 ，
１
Ｂ （ ）｝ ｛ （ｊ １＋ Ｈ 一 √ ＋ Ｈ ｊ １＋ Ｈ ＋ √ ｝ ｎ ， ＝ － ）Ｂ （ １ ）曰 （ ＋ ） （ １ ） ｉ ，
分 形插 值 及 其 应 用研 究 ★
戴光智 ， 孙宏伟 ， 杨 欧
（ 深圳 职业 技 术 学 院 电子 与 信 息 工 程 学 院 ， 圳 ５ ８５ ） 深 １０ ５
摘 要 ： 用 小 波与 分 形 的结 合 在 图像 处 理 中的 独特 优 势 ， 小 波 变换 、 波 图像 插 值 和 Ｆ Ｍ 分 形 利 把 小 Ｂ
作 者 简介 ： 光 智 （９ ４ ） 男 ， 士 ， 师 ， 事领 域 为焊 缝 检 测 以及 图像 处 理 等 方 面 的研 究 戴 １７ 一 ， 博 讲 从
图像 插 值 按 照 一 定 的 方 式 结 合 在 一 起 ，并 对 噪 声 干扰 严 重 的 ＭＡＧ 焊 视 觉 图像 进 行 试 验 ， 结 果表 明 ， 方 法 对 ＭＡＧ 焊 图像 有较 好 的 处理 效 果 ， 能 有 效地 提 高 图像 的 分辨 率 。 该 并
关 键 词 ：分 形 插 值 ：小 波 变 换 ：图像 插值
０ 引
言
１ Ｆ Ｍ 分 形 图像 插 值 Ｂ
分 形 布 朗 运 动 Ｆ Ｍ 分 形 插 值 实 质 上 是 递 归 中点 Ｂ
常 用 的图像插 值 方法 直接 处理 图像 的像 素 灰度 值， 包括最邻近插值 、 线性插 值 、 双 双三次插值等 ， 它们
只考 虑 了 图像 像 素邻 近 点 的 相 关 性 ．未 考 虑 全 局 的相 关 性 ．会 使 插 值 后 的 图像 常 出 现 方块 效 应 或 细 节 退 化
其 中 ， 服从 Ｎ Ｏ ） 布 Ｇ ｕｓ ｎ随机 变量 ，Ａ Ｉ Ｇ为 （， 分 Ｉ ａｓｉ ａ Ｉ ＸＩ Ｉ 是 样本 间距 。 是 分 形 布 朗运 动 的 Ｈ ｒ 参 量 。ｔ＝ ｌ ｕｓ ｔ ｒ Ｅ｛ ２ （ １一 （ ） ｝ ∈Ｒ ） 分 形 布 朗 运 动 第 一 阶 增 ＋ ） Ｉ （ 是 量 的 方 差 。通 常 ， 和 ｚ 从 给 定 的数 据 进 行 估 计 ， 可 插 值后 的 ２ Ｄ信 号 特 性 由 和 所 决 定
位移 （ ＭＤ） Ｒ 的过程 ， 这里介绍一种实现 图像插值 的 ２ Ｄ
随 机 中点 位 移 插 值 算 法 『 假 设 ｉ０ １ … ， ， ０ １ ３ 卅： ＝ ，， Ｍ ｊ ，， ＝
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，
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图像 ．每一级 包括一个低频逼近 图像 和 ３个高频分量 图像 ， 图 １ 如 所示。
★基金 项 目： 东省 自然科 学基 金 （ ．７ ０ ４ ９ 、 江 大 学 Ｃ Ｄ＆Ｃ 国 家 重点 实验 室开 放 课 题 （ ． ０ ５ 、 圳 职 业 技 术 学 院 广 Ｎｏ０ ０ ６ ７ ） 浙 Ａ Ｇ ＮｏＡ１ １ ） 深
１
（ 边缘模糊 ） 例如最邻近插值会产生块状 和锯齿 ， 。 而双 线性插值 和双三次插 值则会使 图像 的边缘 变得模糊
因 此 ． 些 插 值 算 法 对 于 细 节 丰 富 的 图像 进 行 处 理 ． 这 存
在 一 定 缺 陷
Ｂ （ ＝ （ １ － ） （ ｌ － ） （＋ √ １＋ ｎｉ ， — ） １ 一｛ ｉ １＋ ， １ ＋ １ ＋ ） －ｊ ＋ ｊ ％
。 现 计 机 ２wenku.baidu.com． 代 算 ００ ９ ０
宜采用 内插 的方法 ．否则不仅会 不适 当地增加高频能
￣－ ｇｌ ｔ ｍｌ
量 ．还 会 因 内插 的低 通 特 性 将 大 大 降 低 高 频 子 带 中细 节 准 确 性 ， 至 丢 失 了 大 部 分 的 细 节 。基 于 以上 考 虑 ， 甚
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２ 小 波分 形插 值
小 波 变 换 将 原 图像 逐 级 向下 拆 分 成 不 同 分 辨 率 的
统 插值方法 （ 例如样条插 值 、 双线 性插值 ） 引起 的平 滑 效应 ． 保持 了插值 图像 丰富的纹理 ． 是经过多次分形 但 插值后效果就不 明显 ．而小波分形插值却 可以得到较
（ １ ＋ ）＋ ／ ￣ ２２ｌ Ｉ ・ √ １ ｝ ｘ １ ２Ｈ ｌ 一 － ＡＸＩＨ・ Ｇ ・
（） １
分 形 理 论 是 一 门描 述 自然 界 中许 多不 规 则 事 物 及 现 象 的规 律 性 的 学 科 ．分 形 的 研 究 对 象 主 要 是 一 类 具 有“ 自相 似 性 ” “ 、 自仿 射 性 ” 的分 形 体 ． 而许 多 图像 具 有
－ ｒ
．
＋ 、 Ｔ ２ ／＝
ｉ ｌ Ｉ ｏ・ ＡＸＩ日・ Ｇ ・ ｒ
（） ２
系． 分形 的出现为人们认识事物的局部与整体的关系提
供 了一种 辨 证 的 思 维 方 式 ．而 小 波 是 揭 示 分 形 局 域 标 度 性 质 的 有力 工 具 。 图 像 处 理 中 ． 用 小 波 数 学 显 微 在 利 镜 的 特性 和分 形 的 自相 似 的 特 性 ．常 常 可 使 单 独 一 种 方 法 处 理 时 效 果 不 好 或 处 理 不 了 的 问 题 得 以 解 决 ｎ １ 。 例 如在 图像 插 值 中 ．分 形插 值 虽 然 能 有 效 地 克 服 了传
明 显 或者 不 明显 的分 形 特征 小 波与 分 形有 着 密切 的关
当ｉ ， 中有 且 只 有 一 个 为 奇 数 时 ，
１
Ｂ （ ）｝ ｛ （ｊ １＋ Ｈ 一 √ ＋ Ｈ ｊ １＋ Ｈ ＋ √ ｝ ｎ ， ＝ － ）Ｂ （ １ ）曰 （ ＋ ） （ １ ） ｉ ，
分 形插 值 及 其 应 用研 究 ★
戴光智 ， 孙宏伟 ， 杨 欧
（ 深圳 职业 技 术 学 院 电子 与 信 息 工 程 学 院 ， 圳 ５ ８５ ） 深 １０ ５
摘 要 ： 用 小 波与 分 形 的结 合 在 图像 处 理 中的 独特 优 势 ， 小 波 变换 、 波 图像 插 值 和 Ｆ Ｍ 分 形 利 把 小 Ｂ