专题06 空间中的平行与垂直(解析版)

专题06 空间中的平行与垂直

【要点提炼】

1.直线、平面平行的判定及其性质

(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.

(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.

(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.

(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.

2.直线、平面垂直的判定及其性质

(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.

(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.

(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.

(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.

考点

考向一空间点、线、面位置关系

【典例1】(1)(2020·河南百校大联考)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，若正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，则下列结论正确的是()

A.m＝n

B.m＝n＋2

C.m＜n

D.m＋n＜8

(2)(2019·北京卷)已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：

①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________.

解析(1)直线CE⊂平面ABPQ，从而CE∥平面A1B1P1Q1，

易知CE与正方体的其余四个面所在平面均相交，

则m＝4.

取CD的中点G，连接FG，EG.

易证CD⊥平面EGF，

又AB⊥平面BPP1B1，AB⊥平面AQQ1A1且AB∥CD，

从而平面EGF∥平面BPP1B1∥平面AQQ1A1，

∴EF∥平面BPP1B1，EF∥平面AQQ1A1，

则EF与正方体其余四个面所在平面均相交，n＝4，

故m＝n＝4.

(2)已知l，m是平面α外的两条不同直线，由①l⊥m与②m∥α，不能推出③l⊥α，因为l可能与α平行，或l与α相交但不垂直；

由①l⊥m与③l⊥α能推出②m∥α；

由②m∥α与③l⊥α可以推出①l⊥m.

故正确的命题是②③⇒①或①③⇒②.

答案(1)A(2)若m∥α，l⊥α，则l⊥m(或若l⊥m，l⊥α，则m∥α，答案不唯一)

探究提高 1.判断空间位置关系命题的真假

(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断.

(2)借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定.

2.两点注意：(1)平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中；(2)当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断. 【拓展练习1】(1)(2020·衡水中学调研)已知M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，则下列是假命题的是()

A.过点M有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交

B.过点M有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直

C.过点M有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交

D.过点M有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行

(2)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，△P AB与△PBC是正三角形，平面P AB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是()

A.BP⊥AC

B.PD⊥平面ABCD

C.AC⊥PD

D.平面BDP⊥平面ABCD

解析(1)在AB上取一点P，则平面PMC1与AB，B1C1都相交，这样的平面有无数个，因此C是假命题.

(2)取BP的中点O，连接OA，OC，如图所示.则BP⊥OA，BP⊥OC，因为OA∩OC ＝O，所以BP⊥平面OAC，又AC⊂平面OAC，所以BP⊥AC，故选项A一定成立.由AC⊥BP，AC⊥BD，BP∩BD＝B，∴AC⊥平面BDP，又PD⊂平面BDP，AC⊂平面ABCD.所以AC⊥PD，平面PBD⊥平面ABCD，故C，D一定正确.从条件不一定推出PD⊥平面ABCD，选B.

答案(1)C(2)B

考向二空间平行、垂直关系的证明

【典例2】(2019·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点.

(1)求证：BD⊥平面P AC；

(2)若∠ABC＝60°，求证：平面P AB⊥平面P AE；

(3)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面P AE？说明理由.

(1)证明因为P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以P A⊥BD.

因为底面ABCD为菱形，

所以BD⊥AC.

又P A∩AC＝A，

所以BD⊥平面P AC.

(2)证明因为P A⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，

所以P A⊥AE.

因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD.又因为AB∥CD，所以AB⊥AE.

又AB∩P A＝A，所以AE⊥平面P AB.

因为AE⊂平面P AE，所以平面P AB⊥平面P AE.

(3)解棱PB上存在点F，使得CF∥平面P AE.理由如下：取PB的中点F，P A的中点G，连接CF，FG，EG，

则FG∥AB，且FG＝1

2AB.

因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，

所以CE∥AB，且CE＝1

2AB.

所以FG∥CE，且FG＝CE.

所以四边形CEGF为平行四边形.所以CF∥EG.

因为CF⊄平面P AE，EG⊂平面P AE，

所以CF∥平面P AE.

探究提高 1.利用综合法证明平行与垂直，关键是根据平行与垂直的判定定理及性质定理来确定有关的线与面，如果所给的图形中不存在这样的线与面，要充分利用几何性质和条件连接或添加相关的线与面.

2.垂直、平行关系的证明，主要是运用转化与化归思想，完成线与线、线与面、面与面垂直与平行的转化.在论证过程中，不要忽视定理成立的条件，推理要严