大学物理分子热学题解

6.8 （证明题，略） 6.9 （证明题，略） 6.10 （1）×；（2）×；（3）√；（4）√；（5）× 6.11 （问答题，略） 6.12 （问答题，略）
2
6.13 0.05eV；0.03eV；0.03eV；
6.14 （1）相同；（2）不同；（3）相同；（4）不同
6.15 1:1；5:3
6.16
速率小于 vo 的粒子数 N v<vo
= N − N v>vo
=
N 3
（亦可由曲线下面积直接判断）
∫ ∫ ∫ （3）平均速率 v =
∞
vf (v)dv =
0
v vo a vdv + 0 vo
2vo vadv = avo 2
vo
3
+ 3avo 2 2
=
11 6
avo
2
=
11 9 vo
∞
vf (v)dv
0
0 vo
2
方均速率
∫ ∫ v 2 = ∞ v 2 f (v)dv = v vo 2 ⋅ 1 dv = v02
0
0
v0
3
v0
v
3
方均根速率
v 2 = vo 3
6.22 （1）由速率分布曲线可知
f
(
v
)
=
a avo
v
0

0 ≤ x < vo
vo ≤ v < 2vo v > 2vo
∫ ∫ ∫ 由归一化条件
6.6 一个分子一次碰撞动量改变 ∆P1 = − 2mv
0
B T
给器壁冲量 I1 = −∆P = 2mv
器壁每秒钟受到的总冲量即平均冲力 F = NI1 = 2Nmv
压强 P = F = 2Nmv = 2 ×1023 × 32 ×1.66 ×10−27 × 500 = 1.88 ×104 Pa
S
S
2 ×10−4
∫ 6.23
∞
Nf (v)dv ；
∞
vNf (v)dv ；
vo
∞
； f (v)dv
∫ ∫ ∫ vo
vo
∞
f (v)dv
vo
∫vo
6.24（1）平均速率 v = ΣNiVi = 3.18m ⋅ s −1 ΣN i
（2）方均根速率 v 2 = ΣNiVi2 = 3.37m ⋅ s −1 ΣN i
（3）最概然速率显然为 vP = 4.00m ⋅ s −1
由物态方程 PV = νRT ，有 ∆( PV ) =νR∆T
即
ν∆T = ∆(PV )
R
P 2PO PO
0
V
VO
2VO
7
故
Cm
=
QR ∆(PV )
=
9PoVo 3PoVo
= 3R
7.11 因为在等压过程中，气体升温时不仅内能增加，还要对外作功。
7.12（1）1.04 ×103 J ；0；1.04 ×103 J
v
0
6.21（1）速率分布曲线如图
∫ ∫ （2）由归一化条件。
x
f (v)dv =
vo k dv = kvo = 1 ，得
K= N
0
0N
N
vo
故
1
f
(v)
=

vo
(0 < v < vo )
0
(v > vo )
（2）平均速率
∫ ∫ v =
∞
vf (v)dv =
vo v ⋅ 1 dv = vo
故
m2
= m1
T1 T2
⋅
P2 P1
= 0.1 × 320 × 5 = 6.67 × 10 −3 kg 300 8
漏掉气体的质量为 m1 − m2 = 3.33 ×10−3 kg
6.2 （1）由理想气体物态方程，对初态有 PoVo = RTo
①
（2）由过程方程 P = KV ，对初态有 Po = KVo
7.16 气体摩尔数 ν = 2 ，初态 Po = 1.013 ×105 Pa, To = 273K ，Vo = 44.8L = 44.8 ×10−2 m3
气体先进行等压膨胀，体积最多达到V1 = 2Vo ，须吸热
Q1
=
i+2 2
P∆V
=
7 2
PoVo
= 1.59 ×104 J
8
由 于 Q1 < Q = 2 ×104 J ， 即 气 体 能 膨 胀 到 V1 = 2Vo ， 此 时 气 体 压 强 P1 = Po ， 温 度
碰撞频率
z = v = 60s −1 λ
1
6.32 等体过程 λ ∝ T o ； z ∝ T 2
−1
等压过程 λ ∝ T ； z ∝ T 2
分析： λ = 1 = V ；等体则 λ 不变； 2πd 2n 2πd 2 N
λ = 1 = kT ，等压则 λ ∝ T 2πd 2n 2πd 2 P
又
z=
2πd 2vn =
− mgh
即 e kT = 0.75
5
6.31 由物态方程 分子密度
h = − kT ln 0.75 = − RT ln 0.75 = 2.3×103 m
mg
Mg
P = nkT
n=
P kT
=
1.0 1.38
×10 ×10
−5 ×133 −23 × 300
= 3.2 ×1017 m−3
平均速率
v = 8RT = 468m ⋅ s −1 πM
2 吸热 Q = ∆E + A = 124.7 − 209 = −84.4J
平均摩尔热容
Cm
=
Q ν∆T
= −8.44K ⋅ mol −1
7.10 过程曲线如图
∆E
=
5 2
∆(PV )
=
15 2
PoVo
由过程曲线下面积得到
A
=
3 2
POVo
故
Q = ∆E + A = 9PoVo
平均摩尔热容
Cm
=Q ν∆T
1mol 氧气：平动动能
Et
=
3 RT 2
= 3.7 ×103 J
转动动能
Er
= 2 RT = 2.49 ×103 J 2
0.1kg 氧气： E = m ⋅ 5 RT = 3.12 ×105 J M2
6.17 空气内能 E = i PV = 5 ×1.01×105 ×10−3 = 2.53 ×102 J
6.25（1）一样大；氨分子；氢分子。
6.26（1）由物态方程 P = nkT
4
有
n=
P kT
= 1.01×105 1.38 ×10−23 × 300
= 2.44 ×1025 m−3
（2）气体质量密度等于分子质量μ与分子密度 n 之积
ρ
=
mn
=
M NA
n
=
0.032 6.02 ×1023
× 2.44 ×1025
（2）1.04 ×103 J ； 4.16 ×103 J ；1.45 ×103 J
7.14（1）对等体过程 Q = ν (T2 − T1 ) = 5R(T2 − T1 )
算得
T2
=
T1
+
Q 5R
=
283K
故
P2
= P1
T2 T1
= 1.04atm
（2）对等压过程 Q = νC p⋅m (T2 − T1 ) = 7R(T2 − T1 )
②
联立消去 V 得 T / P = C3
（2）由①②两式联立消去 P 得 TV = C4
故气体膨胀时温度降低。
6.4（1）由物态方程有 PAVA = νRTA 和 PDVD = νRTD
由 P-V 图可知： PAVA = PDVD
C V
即前两式左边相等，故 TD = TA = 300K
D
（2）V-T 图中过程曲线如图 6.5 （1）×；（2）√。
=
i kT 2
=
i k ⋅ PV 2 νR
，故 EK E Ko
= 2。
6
第七章 热力学基础习题解
7.1 （问答题，略）
7.2 一个平衡态；一个准静态过程
1
7.3
4
7.4 定向运动的机械能转化为热运动内能；高温物体热运动内能转化为低温物体热运动内能。
7.5
（1） E A
=
3 2 PoVo
;
EB
=
5 2
2πd 2 ⋅
8RT
⋅
N
等体则 z
1
∝T2
πM V
z=
2πd 2vn =
2πd 2 ⋅
8RT
⋅
P
−1
等压则 z ∝ T 2
πM kT
6.33（1）2；（2） 2 ；（3）2
分析（1） λ =
1
=
V
λ
，故
= 2；
2πd 2n 2πd 2 N
λo
（2） v =
8RT =
8PV
v
，故
=
2；
πM
πm
vo
（3） EK
= 1.3kgm−3
（3） v = 8RT = 446m ⋅ s −1 πM
（4） ε = 5 kT = 1.04 ×10−20 J 2
6.27 氦分子方均根速率
v12 =
3RT1 M1
①
氧分子最概然速率 v2P =
2RT2 M2
②
①②式相除得
v2P =
v12 ⋅
2T2 M1 = 200 3T1M 2
2 × 3T1 × 4 ×10−3 3 × T1 × 32 ×10−3
= 100m ⋅ s −1
6.28 600K
6.29（1）动量大小的平均值
∫ ∫ P =
∞
Pf (v)dv =
∞
mvf (v)dv = mv = m
8kT =
8mkT
o
0
πm
π
（2）平均平动功能
∫ ∫ Σ =
∞
Σf (v)dv =
第二篇 热学习题解
第六章 气体动理论习题解
6.1
（1）初态有
P1V
=
m1 M
RT1
①
故 V = m1 ⋅ RT1 = 0.1 × 8.31× 320 = 8.23 ×10−2 m3 M P1 0.032 10 ×1.01×105
（2）末态有
P2V
=
m2 M
RT2
②
①式和②式相除有 P1 = m1 ⋅ T1 P2 m2 T2
∞ 1 mv2 f (v)dv = 1 mv 2 = 1 m 3kT = 3 kT
0
02
2
2m 2
− mgh
6.30 气体分子在重力场中按高度的分布为 n = noe kT ，
− mgh
压强按高度变化的规律为 P = nkT = no kTe kT
地面压强为
Po = no dT
故 按题意
− mgh
P = Poe kT P = 0.75Po
T1
=
To
V1 Vo
= 2To
= 546K
。
气体随后进行等体过程吸热 Q2 = Q − Q1 = 4.1×103 J
由于
Q2
=
i V∆P 2
=
5 2 V1 (P2
−
P1 )
P2
=
P1
+
2Q2 5V1
= Po
+ 2Q2 5 ⋅ 2Vo
= 1.2 ×105 Pa
此时气体体积V2 = V1 = 2Vo = 8.96 ×10−2 m3
PoV
（2） 8PoVo 13R
7.6 （1）√；（2）×；（3）×；（4）× 7.7 （1）√；（2）×；（3）×
7.8 按热力学第一定律 Q = ∆E + A
对第一个过程 5 = ∆E1 + 2 ∆E1 = 3J
对第二个过程 Q2 = ∆E2 − 2 = −3 − 2 = −5J 7.9 内能增量 ∆E = ν ⋅ 3 R∆T = 124.7J
②
①②式联立消去Vo 得 K
=
Po 2 RTo
（3）由 PV = RT 和 P = KV 联立消去 P 得 T = KV 2 R
对初态有： To
=
KVo 2 R
③
对末态有：T = KV 2
④
R
③④式相除得
T
=
(V Vo
) 2 To
= 4To
1
6.3 （1）由物态方程
PV T
= C1
①
过程方程 PV = C2
2
2
6.18
5 2
RT
；
3 2
RT2
；
5 2
RT1
+
3 2
RT2
；
(5T1
+
3T2
)
/
8
6.19 按能量守恒 1 mv2 = m ⋅ 5 R∆T ，故 ∆T = Mv2 = 0.032 ×1002 = 7.70K
2
M2
5R
5 × 8.31
6.20（1）速率在 v 附近 dv 区间的分子数在总数中的比例或一个分子在 dv 区间的概率；
算得
T2
=
T1
+
Q 7R
=
280K
故
V2
=
V1
⋅
T2 T1
= 46L
（3）对等温过程
Q
=
nRT1
ln
V2 V1
按题意
Q = 400J , T1 = 273K , V1 = 44.8L
代入算得
V2 = V1e0.08 = 48.9L
故
P2
=
P1
⋅
V1 V2
= 0.96atm
7.15 7000J
分析：等压过程 A = P∆V ， Q = i + 2 P∆V ，即有 A：Q=2：I+2=2：7 2
6.7 容器中分子数
N
=
NA
⋅
22.4
1 × 10 −3
一个分子每秒钟碰撞次数
ห้องสมุดไป่ตู้
fi
=
| vx | 2x
N 个分子每秒钟碰撞次数
f
= Σfi
=
Σ | vx 2x
|
=
N | vx 2x
|=
Nv 4x
=
N 4x
8RT πM
=
6.02 ×1023 22.4 ×10−3
×
1× 4×1
8 × 8.31× 273 = 2.86 ×1027 × 5−1 3.14 × 0.032
∞
f (v)dv =
vo 1 vdv +
2vo adv = 3vo a = 1
(亦可由曲线下面积直接判断）
0
0 vo
vo
2
故
a= 2
3vo
∫ ∫ （2）速率大于 vo 的粒子数
N v>vo
=
∞
Nf (v)dv = N
2vo f (v)dv
vo
vo
2v a
2
∫ = N
vo
vo
vdv = N avo
=
N 3
（2）速率在 v1 − v2 区间的分子数在总数中的比例或一个分子在 v1 − v2 区间的概率；
（3）速率在 v1 − v2 区间的分子数；
（4）单位体积内，速率在 v1 − v2 区间的分子数；
（5）分子的平均速率； （6）分子的平均平动功能；
f(v)
k N
（7）分子速率的倒数的平均值 (1) 。
温度 T2
= T1
P2 P1
= 649K
7.17 按热力学第一定律 Q = ∆E + A
对 acb 过程
320 = ∆E1 + 126 ∆E1 = 194J
（1）对 adb 过程
Q2 = ∆E2 + 42 = 194 + 42 = 236J
（2）对 ba 过程