20三维总复习数学---第三节 圆的方程
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圆的方程与专题复习(直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题)知识梳理.doc
的方程与专题复习(直线与圆.圆与圆的位置关系.轨迹问题)知识梳理浙江省诸暨市学勉屮学(311811)郭天平圆的标准方程、一般方程与参数方程的推导与运用是这节内容的重点；涉及直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论及有关性质的研究是这节的难点。
一、有关圆的基础知识要点归纳1.圆的定义：平而内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆.定点即为圆心，定长为半径.2.圆的标准方程①圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得(x-r/)2+(y-/7)2 =r2(r>0), 其屮圆心坐标为(％),半径为r；当a = O,h = O时，即圆心在原点时圆的标准方程为x2 + y2 =厂2 ；②圆的标准方程的特点：是能够直接由方程看出圆心与半径，即突出了它的几何意义。
3.圆的一般方程①圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得，x2 + y2 + Dx + + F = 0(D2 + E2 - 4F >0)；②圆的一般方程的特点：(1) x2,y2项系数相等且不为()；(2)没有小这样的二次项③二元二次方程Ax2+Bxy + Cy2 +Dx + £y + F = 0表示圆的必要条件是4=C H 0 且B = Q；二元二次方程+ Bxy + Cy2 +Dx + Ey + F =0表示圆的充要条件是A = C^0且3 = 0 且D2 +E2-4AF>04.圆的参数方程圆的参数方程是由中间变量0将变量x, y联系起来的一个方程.[x = r cos e①鬪心在原点，半径为厂的圆的参数方程是：｛.八(0为参数);[y = rsin^/ 、\x = a + r cos 0②圆心在(a,b),半径为旷的圆的参数方程是：｛(〃为参数);[y = b + rsin05.圆方程之间的互化x2 +y2 +Dx + Ey + F =0(D2 +E2-4F>0)配方(E、2D2 + E2 -4F< D<=>X + —+x + —即圆心< 2丿L 2丿4 1 22厂=丄S +E： -4F o 利用(rcos0)2 +(rsin^)2 = r2得j“ °十'°°"矽为参数)2 \y = b + rsind6.确定圆方程的条件圆的标准方程、圆的一燉方程及参数方程都冇三个参数，因此要确定圆方程需要三个独立的条件，而确定圆的方程我们常用待定系数法，根据题目不同的已知条件，我们可适当地选择不同的圆方程形式，使问题简单化。
2024版新教材高考数学总复习：第三节圆的方程课件
定点
定长
定义
叫做圆
圆心：________
(a，b)
标准
2
2
2
(x－a) ＋(y－b) ＝r (r>0)
半径：________
方程
r
一般 2 2
x ＋y ＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
方程
D
E
(－ ，－ )
圆心：________
2
2
D2 +E2 −4F
半径：________
2
2.点与圆的位置关系
1．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在任一弦的中垂线上．
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线．
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋
(y－y1)(y－y2)＝0.
夯实双基
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
)
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝25
答案：A
B．(x－3)2＋(y－1)2＝25
C．(x－3)2＋(y＋1)2＝5
D．(x＋3)2＋(y＋1)2＝25
解析：设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
因为圆C经过点A(－1，－4)，B(6，3)，且圆心在直线x－y－4＝0上，
−1 − 2 + −4 − 2 = 2
轴上的圆的方程为(
)
A．(x＋1)2＋y2＝3
B．(x＋1)2＋y2＝5
C．(x＋2)2＋y2＝4
D．(x＋2)2＋y2＝8
答案：D
解析：设圆心为(a，0)，由题意得：
定长
定义
叫做圆
圆心：________
(a，b)
标准
2
2
2
(x－a) ＋(y－b) ＝r (r>0)
半径：________
方程
r
一般 2 2
x ＋y ＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
方程
D
E
(－ ，－ )
圆心：________
2
2
D2 +E2 −4F
半径：________
2
2.点与圆的位置关系
1．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在任一弦的中垂线上．
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心共线．
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋
(y－y1)(y－y2)＝0.
夯实双基
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
)
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝25
答案：A
B．(x－3)2＋(y－1)2＝25
C．(x－3)2＋(y＋1)2＝5
D．(x＋3)2＋(y＋1)2＝25
解析：设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
因为圆C经过点A(－1，－4)，B(6，3)，且圆心在直线x－y－4＝0上，
−1 − 2 + −4 − 2 = 2
轴上的圆的方程为(
)
A．(x＋1)2＋y2＝3
B．(x＋1)2＋y2＝5
C．(x＋2)2＋y2＝4
D．(x＋2)2＋y2＝8
答案：D
解析：设圆心为(a，0)，由题意得：
高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第三节圆的方程课件
|1-|
则 ≤3,解得
√2
1-3√2≤u≤1+3√2,所以 x-y 的最大值为 1+3√2.
= 2 + 3cos,
(方法 2)由 x +y -4x-2y-4=0,得(x-2) +(y-1) =9,令
0≤θ<2π,
= 1 + 3sin,
2
2
所以 x-y=1+3cos θ-3sin
1+3√2.故选 C.
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一条.( × )
(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的圆.( × )
(3)方程 x +y +ax+2ay+2a +a-1=0 表示圆心为 - 2 ,- ,半径为
P的轨迹方程为(
)
A.x2+y2=32
B.x2+y2=16
C.(x-1)2+y2=16
D.x2+(y-1)2=16
(2)已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=9,过点A(2,3)作圆C的任意弦,则这些弦的中点P
的轨迹方程为
.
答案 (1)B (2)
3 2
2 5
+(y-2) =
2
4
解析 (1)设 P(x,y),则由题意可得 2 (-2)2 + 2 =
圆心: (a,b)
标准
确定圆的标准方程的三个要素:圆心
方程
半径: r
则 ≤3,解得
√2
1-3√2≤u≤1+3√2,所以 x-y 的最大值为 1+3√2.
= 2 + 3cos,
(方法 2)由 x +y -4x-2y-4=0,得(x-2) +(y-1) =9,令
0≤θ<2π,
= 1 + 3sin,
2
2
所以 x-y=1+3cos θ-3sin
1+3√2.故选 C.
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)已知圆的方程为x2+y2-2y=0,过点A(1,2)作该圆的切线只有一条.( × )
(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的圆.( × )
(3)方程 x +y +ax+2ay+2a +a-1=0 表示圆心为 - 2 ,- ,半径为
P的轨迹方程为(
)
A.x2+y2=32
B.x2+y2=16
C.(x-1)2+y2=16
D.x2+(y-1)2=16
(2)已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=9,过点A(2,3)作圆C的任意弦,则这些弦的中点P
的轨迹方程为
.
答案 (1)B (2)
3 2
2 5
+(y-2) =
2
4
解析 (1)设 P(x,y),则由题意可得 2 (-2)2 + 2 =
圆心: (a,b)
标准
确定圆的标准方程的三个要素:圆心
方程
半径: r
高考数学第一轮知识点总复习 第三节 圆的方程
①形如μ= y 形b 式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
xa
②形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
③形如 x a2 形y 式b的2 最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值
问题.
举一反三
3. 已知圆C：x 32 y ,点4A2 (-11,0),B(1,0),点P为圆上的动
故大约2小时后，气象台A所在地将遭受台风影响，大约持续6个半小 时………………………………………………………………12′ 学后反思 在解决有关的实际问题时，关键要明确题意，根据所给条件建 立直角坐标系，建立数学基本模型，将实际问题转化为数学问题解决.
举一反三
5. 有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之 一购得商品后运回的费用是：A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍.已知 A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：运费 和价格的总费用较低.求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时，点P所在 的曲线方程，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点.
解 以气象台为坐标原点，正东方向为x轴正方向，
正北方向为y轴正方向建立直角坐标系，
如图，则现在台风中心B的坐标为（-300，0）.
根据题意可知,t小时后B的坐标为
（-300+40tcos 45°,40tsin 45°）,
即（-300+202 t,20 2t）…………………………….3′ 因为以台风中心为圆心，以250千米为半径长的圆上和圆内的区域将遭受
(1)
xy的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设
=y k,即y=kx. x
当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时2k 0 3
xa
②形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
③形如 x a2 形y 式b的2 最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值
问题.
举一反三
3. 已知圆C：x 32 y ,点4A2 (-11,0),B(1,0),点P为圆上的动
故大约2小时后，气象台A所在地将遭受台风影响，大约持续6个半小 时………………………………………………………………12′ 学后反思 在解决有关的实际问题时，关键要明确题意，根据所给条件建 立直角坐标系，建立数学基本模型，将实际问题转化为数学问题解决.
举一反三
5. 有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之 一购得商品后运回的费用是：A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍.已知 A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：运费 和价格的总费用较低.求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时，点P所在 的曲线方程，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点.
解 以气象台为坐标原点，正东方向为x轴正方向，
正北方向为y轴正方向建立直角坐标系，
如图，则现在台风中心B的坐标为（-300，0）.
根据题意可知,t小时后B的坐标为
（-300+40tcos 45°,40tsin 45°）,
即（-300+202 t,20 2t）…………………………….3′ 因为以台风中心为圆心，以250千米为半径长的圆上和圆内的区域将遭受
(1)
xy的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设
=y k,即y=kx. x
当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时2k 0 3
人教版高一数学下册《圆的方程》知识点复习
人教版高一数学下册《圆的方程》知识点复习人教版高一数学下册《圆的方程》知识点复习圆的方程定义：圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中，有三个参数a、b、r，即圆心坐标为(a，b)，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定，因此确定圆方程，须三个独立条件，其中圆心坐标是圆的定位条件，半径是圆的定形条件。
直线和圆的位置关系：1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点,即把圆的方程和直线的方程联立成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系.①Δ＞0,直线和圆相交.②Δ=0,直线和圆相切.③Δ＜0,直线和圆相离.方法二是几何的观点,即把圆心到直线的距离d和半径R 的大小加以比较.①d＜R,直线和圆相交.②d=R,直线和圆相切.③d＞R,直线和圆相离.2.直线和圆相切,这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3.直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.切线的性质⑴圆心到切线的距离等于圆的半径；⑵过切点的半径垂直于切线；⑶经过圆心,与切线垂直的直线必经过切点；⑷经过切点,与切线垂直的直线必经过圆心；当一条直线满足（1）过圆心；（2）过切点；（3）垂直于切线三个性质中的两个时,第三个性质也满足. 切线的判定定理经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线长定理从圆外一点作圆的两条切线,两切线长相等,圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角．圆锥曲线性质：一、圆锥曲线的定义1.椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆.2.双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线.即.3.圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线.当01时为双曲线.二、圆锥曲线的方程1.椭圆：+ =1（ab0）或 + =1（ab0）（其中,a2=b2+c2）2.双曲线：- =1（a0,b0）或 - =1（a0,b0）（其中,c2=a2+b2）3.抛物线：y2=±2px（p0）,x2=±2py（p0）三、圆锥曲线的性质1.椭圆：+ =1（ab0）（1）范围：|x|≤a,|y|≤b（2）顶点：(±a,0),(0,±b)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e= ∈(0,1)（5）准线：x=±2.双曲线：- =1（a0,b0）（1）范围：|x|≥a,y∈R（2）顶点：(±a,0)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(1,+∞)（5）准线：x=± （6）渐近线：y=± x3.抛物线：y2=2px(p0)（1）范围：x≥0,y∈R（2）顶点：（0,0）（3）焦点：（ ,0）（4）离心率：e=1（5）准线：x=-。
2020届高考数学(文)总复习课件： 圆的方程
取值范围是
()
A．(－1,1)
B．(－ 3， 3)
C．(－ 2， 2)
D．－
22，
2 2
解析：∵点(0,0)在(x－m)2＋(y＋m)2＝4的内部，
∴(0－m)2＋(0＋m)2＜4，解得－ 2＜m＜ 2.故选C.
答案：C
(三)填一填
返回
4．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，
圆心：(a，b)，半径： r ❶
一般 方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， (D2＋E2－4F＞0) ❷
圆心：－D2 ，－E2
，
半径：12 D2＋E2－4F
❶标准方程强调圆心坐标为(a，b)，半径为r. ❷(1)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点－D2 ，－E2 ； (2)当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形．
答案：x2＋y2－2x－4y－8＝0 或 x2＋y2－6x－8y＝0
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考点二 与圆有关的轨迹问题
返回
[典例] (1)点 P(4，－2)与圆 x2＋y2＝4 上任意一点连线的
中点的轨迹方程是 A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4
() B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
返回
2．已知圆心在直线 y＝－4x 上，且圆与直线 l：x＋y－1＝0 相 切于点 P(3，－2)，则该圆的方程是________________． 解析：过切点且与 x＋y－1＝0 垂直的直线方程为 x－y－5 ＝0，与 y＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)． 所以半径 r＝ 3－12＋－2＋42＝2 2， 故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8. 答案：(x－1)2＋(y＋4)2＝8
高考数学总复习课件第十单元 第三节 圆的方程
在着不变的关系，抓住该关系可以实现动点M、A的坐标间
(2)一般地，设点时，动点设为(x，y)，相关点设为(x0，
y0)，并将(x0，y0)用(x，y)表示出来，代入(x0，y0)满足
的关系式．
变式训练2
已知如图，圆O1和圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过 动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切 点)，使得|PM|＝|PN|，试建立适当的坐标系，并求动 点P的轨迹方程．
方法二：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
故所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.
方法三：∵圆过A(5,2)，B(3,－2)两点， ∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上，线段AB的垂直平分线方
程为
设所求圆的圆心坐标为C(a，b)，则有
∴C(2,1)，
∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
与圆相关的轨迹问题 已知线段AB的端点B的坐标是 (4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上 运动，求线段AB的中点M的轨迹方 程．
分析
动点M的轨迹与点A的位置变化有关，因此可以
把点A的坐标用点M的坐标表示出来，再代入点A所满足的方
程求得点M的轨迹方程．
【解析】
由已知
以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，则O1(－2,0),O2(2,0)．
得|PM|2＝2|PN|2. 因为两圆半径均为1， 所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)．
设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，
的截距取得最大值和最小值，
(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识可知： 原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．而圆心 到原点的距离为2，圆的半径为.
第三节 圆的方程
又|QC|＝ （2＋2）2＋（7－3）2＝4 2.
∴|MQ|max＝4 2＋2 2＝6 2，
Hale Waihona Puke 2019/8|M/5 Q|min＝4 2－2 2＝2 2.
18
(2)可知mn－＋32表示直线 MQ 的斜率， 设直线 MQ 的方程为 y－3＝k(x＋2)， 即 kx－y＋2k＋3＝0，则mn－＋32＝k. 由直线 MQ 与圆 C 有交点，所以|2k－71＋＋2kk2＋3|≤2 2. 可得 2－ 3≤k≤2＋ 3， 所以mn－＋32的最大值为 2＋ 3，最小值为 2－ 3.
(1)求 M 的轨迹方程； (2)当|OP|＝|OM|时，求 l 的方程及△POM 的面积．
2019/8/5
15
解：(1)圆 C 的方程可化为 x2＋(y－4)2＝16， 所以圆心为 C(0，4)，半径为 4. 设 M(x，y)，则C→M＝(x，y－4)，M→P＝(2－x，2－y)． 由题设知C→M·M→P＝0， 故 x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0， 即(x－1)2＋(y－3)2＝2. 由于点 P 在圆 C 的内部， 所以 M 的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
2019/8/5
21
2019/8/5
22
2019/8/5
17
已知 M 为圆 C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0 上任意一点，
且点 Q(－2，3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)若 M(m，n)，求mn－＋32的最大值和最小值．
解：(1)由 C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圆心 C 的坐标为(2，7)，半径 r＝2 2.
所以过点 C(－2，2)且与 y 轴相切的圆的圆心的轨迹方程为(x＋ 2)2＋(y－2)2＝x2，整理得：y2＋4x－4y＋8＝0.
圆的方程复习
o
x
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
根据条件：列关于a，b，r （或D，E，F）的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
例5、如下图，已知线段AB的端点B的坐标是(4,3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4Leabharlann 运动，求线段AB的中点 M的轨迹方程.
y
M
B
A
的二元二次方程才表示圆的一般方程. 4.圆的一般方程的特点: (1)x2和y2的系数相同且不等于0. (2)没有xy这样的二次项。
因此只要求出了D,E,F就求出了圆的一般方程.
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
设方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 (或x2 y2 Dx Ey F 0)
4.1 圆的方程
1、圆的标准方程:
圆心为（a，b），半径为r的圆的方程：
(xa)2 ( yb)2 r2 (r＞0)．
2、圆的一般方程：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (其中D2＋E2－4F＞0).
圆心：
D 2
,
E 2
半径：r
D2 E2 4F 2
3.圆的标准方程与二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的关系: (1)A=C≠0, (2)B=0 , (3) D2+E2-4AF>0时,
圆的方程复习PPT教学课件
4.设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x－4y－10=0的 距离的最小值为_____
5.将圆x2+y2=1按向量a平移得到圆（x+1）2+（y－2）2=1，则a的坐标为________
1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于
x+y=0成轴对称图形，则
A.D+E=0B.
B.D+F=0
C.E+F=0
D. D+E+F=0
解析：曲线关于x+y=0成轴对称图形，即圆心在x+y=0上.
答案：A
2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，
且与点B（3，1）距离为2的直线共有
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
解析：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所
建德江之夜
月色在波光里摇曳 无风 是水送孤舟 渐入烟霭中的苍茫 杏花 烟雨 江南小洲 停泊如夜幕缓缓降临 又如月色寂寂盈满 终于在孤岛的唇边明了起来
更加明了的是一抹相互的陌生 客子异地 与谁共婵娟 树高野旷 哪里有这般低沉的痛苦 在乡愁的俯视之下 压近漂泊者的胸口
小舟不眠于满月的清辉 独倚舷侧 觅寻亲人的脸 明月可在水中接近 能否在水中望见家乡
解析：圆心（0，0）到直线3x－4y－10=0的距离d==2.
再由d－r=2－1=1，知最小距离为1.
答案：1
5. （2005年北京海淀区期末练习）将圆x2+y2=1按向量a平移得到圆
（x+1）2+（y－2）2=1，则a的坐标为____________.
圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系+课件-2025届高三数学一轮基础专项复习
代数法
联立直线与圆的方程，消元后得到关于 （或 ）的一元二次方程，利用 判断.
点与圆的位置关系法
若直线过定点且该定点在圆内，则可判断直线与圆相交.
注意 在直线与圆的位置关系的判断方法中,若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若直线或圆的方程中含有参数,且圆心到直线的距离不易表达,则用代数法.
5.[人A选必一P86例4变式,2022全国乙卷（理）]过四点，，， 中的三点的一个圆的方程为_ ____________________________________________________________________________________________.
或或或
【解析】 若圆过,,三点,设过这三点的圆的一般方程为 ,分别将三点的坐标代入,可得解得易得 ,所以过这三点的圆的方程为,即 .若圆过,,三点,通解 设过这三点的圆的一般方程为 ,分别将三点的坐标代入,可得解得易得 ,所以过这三点的圆的方程为,即 .
第八章平面解析几何
2025年高考数学专项复习
第三节 圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系
目录
圆的方程
壹
直线与圆的位置关系
贰
圆与圆的位置关系
叁
与圆有关的最值问题
肆
圆的方程
壹
教材知识萃取
1.圆的定义与方程
教材知识萃取
规律总结（1）若没有给出 ，则圆的半径为 .（2）在圆的一般方程中：当 时，方程 表示一个点 ;当 时，方程 没有意义，不表示任何图形.（3）以 ， 为直径端点的圆的方程为 .
注意 在求过一定点的圆的切线方程时，应先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外（此时一定要注意斜率不存在的情况），则切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．
联立直线与圆的方程，消元后得到关于 （或 ）的一元二次方程，利用 判断.
点与圆的位置关系法
若直线过定点且该定点在圆内，则可判断直线与圆相交.
注意 在直线与圆的位置关系的判断方法中,若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达,则用几何法;若直线或圆的方程中含有参数,且圆心到直线的距离不易表达,则用代数法.
5.[人A选必一P86例4变式,2022全国乙卷（理）]过四点，，， 中的三点的一个圆的方程为_ ____________________________________________________________________________________________.
或或或
【解析】 若圆过,,三点,设过这三点的圆的一般方程为 ,分别将三点的坐标代入,可得解得易得 ,所以过这三点的圆的方程为,即 .若圆过,,三点,通解 设过这三点的圆的一般方程为 ,分别将三点的坐标代入,可得解得易得 ,所以过这三点的圆的方程为,即 .
第八章平面解析几何
2025年高考数学专项复习
第三节 圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系
目录
圆的方程
壹
直线与圆的位置关系
贰
圆与圆的位置关系
叁
与圆有关的最值问题
肆
圆的方程
壹
教材知识萃取
1.圆的定义与方程
教材知识萃取
规律总结（1）若没有给出 ，则圆的半径为 .（2）在圆的一般方程中：当 时，方程 表示一个点 ;当 时，方程 没有意义，不表示任何图形.（3）以 ， 为直径端点的圆的方程为 .
注意 在求过一定点的圆的切线方程时，应先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外（此时一定要注意斜率不存在的情况），则切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．
高考数学总复习第七章解析几何第3讲圆的方程课件文
1．圆的定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆．确 定一个圆最基本的要素是圆心和半径．
2．圆的标准方程 (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)表示圆心为_(a_，__b_)_，半 径为r的圆的标准方程． (2)特别地，以原点为圆心，半径为r(r＞0)的圆的标准方程 为______x_2＋__y_2_＝__r_2____． 3．圆的一般方程 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0可变形为 x＋D2 2＋ y＋E2 2＝ D2a，a)，半径为R， 则R＝|PA|＝ －2a－22＋a－32. 又弦长2 2＝2 R2－d2，d＝|－2a－2a＋1|， ∴R2＝2＋3a－2 12，4(a＋1)2＋(a－3)2＝2＋3a－2 12. ∴a＝－7或a＝－3. 当a＝－7时，R＝ 244；当a＝－3时，R＝ 52. ∴所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋ 7)2＝244.
1．圆心为(0,4)，且过点(3,0)的圆的方程为( A )
A．x2＋(y－4)2＝25
B．x2＋(y＋4)2＝25
C．(x－4)2＋y2＝25
D．(x＋4)2＋y2＝25
2．圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标是( D )
A．(2,3) C．(－2，－3)
B．(－2,3) D．(2，－3)
3．若直线 y＝x＋b 平分圆 x2＋y2－8x＋2y＋8＝0 的周长，
则 b＝( D )
A．3
B．5
C．－3
D．－5
4．以点(2，－1)为圆心，且与直线 x＋y＝6 相切的圆的方 程是_(_x_－__2_)_2＋__(_y_＋__1_)_2＝__2_25__．
考点 1 求圆的方程 例 1：(1)求经过点 A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线 2x－y－3＝ 0 上的圆的方程．
高三数学一轮总复习 第九章 平面解析几何 第三节 圆的方程课件 理
与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考 查数形结合与转化思想．
常见的命题角度有： (1)斜率型最值问题； (2)截距型最值问题； (3)距离型最值问题； (4)建立目标函数求最值问题．
[题点全练] 角度一：斜率型最值问题 1．(2016·苏州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1
角度二：截距型最值问题
2．在[角度一]条件下求 y－x 的最大值和最小值．
解：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上
的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆
相切时，纵截距b取得最大值或最小值，
此时 |2－0＋b|＝ 2
3 ，解得b＝－2± 6 .所
以y－x的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
考点一 圆的方程 基础送分型考点——自主练透 [题组练透]
1．(易错题)(2015·镇江调研)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点， 且与y轴相切，则圆C的方程为________． 解析：由题意知圆C的半径为2，且圆心坐标可设为 (2，b)，因此有 2－12＋b－02 ＝2，解得b＝± 3 ， 从而圆C的方程为(x－2)2＋(y± 3)2＝4. 答案：(x－2)2＋(y± 3)2＝4
解析：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则
1＋D＋F＝0， 3＋ 3E＋F＝0， 7＋2D＋ 3E＋F＝0，
D＝－2，
解得E＝－4 3 3， F＝1.
∴△ABC外接圆的圆心为
1，23
3
，故△ABC外接圆的
圆心到原点的距离为
答案：
21 3
12＋232 种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径， 进而写出方程． (2)待定系数法： ①若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准 方程，依据已知条件列出关于 a，b，r 的方程组，从而求出 a， b，r 的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般 方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求出 D，E，F 的值．
常见的命题角度有： (1)斜率型最值问题； (2)截距型最值问题； (3)距离型最值问题； (4)建立目标函数求最值问题．
[题点全练] 角度一：斜率型最值问题 1．(2016·苏州模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1
角度二：截距型最值问题
2．在[角度一]条件下求 y－x 的最大值和最小值．
解：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上
的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆
相切时，纵截距b取得最大值或最小值，
此时 |2－0＋b|＝ 2
3 ，解得b＝－2± 6 .所
以y－x的最大值为－2＋ 6，最小值为－2－ 6.
考点一 圆的方程 基础送分型考点——自主练透 [题组练透]
1．(易错题)(2015·镇江调研)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点， 且与y轴相切，则圆C的方程为________． 解析：由题意知圆C的半径为2，且圆心坐标可设为 (2，b)，因此有 2－12＋b－02 ＝2，解得b＝± 3 ， 从而圆C的方程为(x－2)2＋(y± 3)2＝4. 答案：(x－2)2＋(y± 3)2＝4
解析：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则
1＋D＋F＝0， 3＋ 3E＋F＝0， 7＋2D＋ 3E＋F＝0，
D＝－2，
解得E＝－4 3 3， F＝1.
∴△ABC外接圆的圆心为
1，23
3
，故△ABC外接圆的
圆心到原点的距离为
答案：
21 3
12＋232 种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径， 进而写出方程． (2)待定系数法： ①若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准 方程，依据已知条件列出关于 a，b，r 的方程组，从而求出 a， b，r 的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般 方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求出 D，E，F 的值．
高三一轮总复习高效讲义第8章第3节 圆的方程(一)课件
所以 x0＝2x－3，y0＝2y． 由(1)知，点 C 的轨迹方程为(x0－1)2＋y20 ＝4(y≠0)， 将 x0＝2x－3，y0＝2y 代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4， 即(x－2)2＋y2＝1． 因此动点 M 的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
[思维升华] 求与圆有关的轨迹问题的三种方法 (1)直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标 表示等式，直接求解轨迹方程． (2)定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写 出圆的方程． (3)代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时， 常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程．
解：(1)法一 设 C(x，y)．因为 A，B，C 三点不共线， 所以 y≠0． 因为 AC⊥BC，且 BC，AC 斜率均存在， 所以 kAC·kBC＝－1． 所以x＋y 1 ·x－y 3 ＝－1， 化简得 x2＋y2－2x－3＝0． 因此，直角顶点 C 的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
5．[易错题](2021·江西景德镇期末)过点 P－1，1 作圆 x2＋y2－ax－2y＋a2－2＝0 的切线有两条，则 a 的取值范围是________．
解析：∵x2＋y2－ax－2y＋a2－2＝0 表示一个圆， ∴(－a)2＋(－2)2－4(a2－2)>0，∴－2<a<2， 又由过点 P－1，1 作圆 x2＋y2－ax－2y＋a2－2＝0 的切线有两条，得 P 在圆外， 所以(－1)2＋12－a×(－1)－2×1＋a2－2>0，解得 a<－2 或 a>1． 综上所述，1<a<2．所以 a 的取值范围是1，2 ． 答案：(1，2)
2020版数学新攻略总复习课标通用课件：第九章 第三节 圆的方程
第十三页，编辑于星期日：一点 二十一分。
6.点(2a,a-1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,则a的取值范围是 答案 -1 <a<1
5
解析 由题意知(2a)2+(a-2)2<5解得-1 <a<1.
5
教材研读 栏目索引
.
第十四页，编辑于星期日：一点 二十一分。
考点突破
求圆的方程
命题方向一 已知不共线的三点,求圆的方程
答案 C
考点突破 栏目索引
解析 根据题意,设圆E的圆心坐标为(a,0)(a>0),半径为r,
(a 2)2 r2,
则有a2 (0 1)2 r2,
a2 (0 1)2 r2,
解得a= 3 ,r2= 25 ,
4 16
则圆E的标准方程为
x
3 4
2
+y2=
25 16
.故选C.
第十六页，编辑于星期日：一点 二十一分。
教材研读
4.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是 ( B)
1 A. <m<1
4
C.m< 1
4
B.m< 或1 m>1
4
D.m>1
答案 B 由D2+E2-4F=16m2+4-20m>0,解得m>1或m<1 .故选B.
4
栏目索引
第十二页，编辑于星期日：一点 二十一分。
教材研读 栏目索引
栏目索引
第三节 圆的方程述
第一页，编辑于星期日：一点 二十一分。
1.圆的定义
教 2.确定一个圆最基本的要素 材 3.圆的标准方程
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为圆心且与直线 x－by＋2b＋1＝0 相切的所有圆中，半径
最大的圆的标准方程为
()
A．x2＋(y－1)2＝4
B．x2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝8
D．x2＋(y－1)2＝16
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解析：法一：由题意可得圆心(0,1)到直线x－
by＋2b＋1＝0的距离d＝
|1＋b| 1＋b2
＝
1＋b2 1＋b2
P为直线y＝x－1上任意一点，则|PA|2＋|PB|2的最小值为
________．
解析：圆C：x2＋y2－2y＝0，转化为x2＋(y－1)2＝1，则圆
心(0,1)到直线y＝x－1的距离d＝
|－1－1| 2
＝
2 ，由于AB为
圆的直径，则点A到直线的最小距离为 2 －1，此时点B到
直线的距离为 2 ＋1，|PA|2＋|PB|2＝( 2 －1)2＋( 2 ＋1)2＝
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课 堂 考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
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考点一 圆的方程 基础送分型考点——自主练透
[题组练透]
1．(2018·西安二模)已知⊙C：x2＋y2－4x－6y－3＝0，点
M(－2,0)是⊙C外一点，则过点M的圆的切线的方程是
A．x＋2＝0或7x－24y＋14＝0
()
B．y＋2＝0或7x＋24y＋14＝0
C．充要条件
Hale Waihona Puke D．既不充分也不必要条件解析：因为方程是圆，所以可转化为(x＋a)2＋y2＝a2－1，
即a2－1＞0，解得a＞1或a＜－1.所以当“a＞1”时，
有a2－1＞0，得曲线方程是圆的方程；当曲线方程是圆的
方程时，有a＞1或a＜－1，不一定得到a＞1.所以是充分不
必要条件．
答案：A
返回
3．(2018·大连模拟)已知AB为圆C：x2＋y2－2y＝0的直径，点
答案：B
返回
2．(2018·浙江五校联考)若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5
的内部，则实数a的取值范围是
()
A．(－1,1)
B．(0,1)
C．－1，15
D．－15，1
解析：因为点在圆内，所以(2a)2＋(a＋1－1)2＜5，解得
－1＜a＜1.故实数a的取值范围是(－1,1)． 答案：A
6，即|PA|2＋|PB|2的最小值为6.
答案：6
返回
4．(2018·湖北八校联考)已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)， 且被x轴分成两段弧，弧长之比为1：2，则圆C的标准方程 为________．
＝ 1＋1＋2bb2 ≤ 1＋12＋|bb| 2 ≤ 2 ，当且仅 当b＝1时取等号，所以半径最大的圆的半径r＝ 2 ，此时圆的 标准方程为x2＋(y－1)2＝2.故选B. 法二：易知直线x－by＋2b＋1＝0过定点P(－1,2)，如图，当 圆M与直线x－by＋2b＋1＝0相切于点P时，圆的半径最大， 为 2，此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2，故选B.
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心：(a，b)，半径： r 方程
一般 方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 ， 圆心：－D2 ，－E2 ，
(D2＋E2－4F＞0)
半径：1 2
D2＋E2－4F
返回
2．点与圆的位置关系 点 M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的位置关系：
C．x＋2＝0或7x＋24y＋14＝0
D．y＋2＝0或7x－24y＋14＝0
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解析：⊙C：x2＋y2－4x－6y－3＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝16， 故圆心是(2,3)，半径是4，点M(－2,0)是⊙C外一点，显然直线 x＋2＝0是过点M的圆的一条切线，设另一条切线和圆相切于 P(a，b)，则直线MP的斜率是a＋b 2，直线MP的方程是bx－(a＋
第三 节
圆的方程
课前·双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
课堂·考点突破
自主研、合作探、多面观、全扫命题题点
课后·三维演练
基础练、题型练、能力练、全练力保全能
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课 前 双基落实
想一想、辨一辨、试一试、全面打牢基础
返回
必过 教材 关
返回
1．圆的定义及方程 定义 平面内与 定点 的距离等于 定长 的点的集合(轨迹) 标准
(1)若 M(x0，y0)在圆外，则 (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 . (2)若 M(x0，y0)在圆上，则 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 . (3)若 M(x0，y0)在圆内，则 (x0－a)2＋(y0－b)2＜r2 .
返回
[小题体验]
1．(2019·金华五校联考)在平面直角坐标系 xOy 中，以点(0,1)
由此解
得a＝1，b＝2，即圆心C的坐标为(1,2)，因此圆C的方程是
(x－1)2＋(y－2)2＝1，即x2＋y2－2x－4y＋4＝0.
答案：(1,2) x2＋y2－2x－4y＋4＝0
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必过易错关
对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视 D2＋E2－4F＞0这一成立条件．
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[小题纠偏] (2016·浙江高考)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________． 解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a ＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2 ＋y2＋x＋2y＋52＝0，配方得x＋122＋(y＋1)2＝－54＜0，不表 示圆；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得 (x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5. 答案：(－2，－4) 5
23－－ab·a＋b 2＝－1， 2)y＋2b＝0，故 |2b－b32＋a＋a＋2＋222b|＝4，
解得
a＝2225， b＝－2215.
故切线方程是7x＋24y＋14＝0，故选C. 答案：C
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2．(2018·永康模拟)设a∈R，则“a＞1”是“方程x2＋2ax＋
y2＋1＝0的曲线是圆”的
()
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
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3．(2018·湖州调研)若圆C与圆x2＋y2＋2x＝0关于直线x＋y－1 ＝0对称，则圆心C的坐标为________；圆C的一般方程是 ________． 解析：已知圆x2＋y2＋2x＝0的圆心坐标是(－1,0)、半径是
1，设圆C的圆心(a，b)，则有aa＋ －b2 11＝ ＋b21－，1＝0，