三维循环对称结构的渐进拓扑优化设计

三维循环对称结构的渐进拓扑优化设计汤兴刚，张卫红，高彤，朱继宏西北工业大学中法并行工程联合实验室552信箱，西安 710072摘要：本文基于单元替换渐进结构优化方法（ERPM-ESO）对三维循环对称结构的拓扑优化设计进行了研究。

针对旋转对称结构的对称性，利用单胞阵列的建模方式保证整个结构有限元网格的对称性，采用体积加权灵敏度过滤方法消除非等体积单元棋盘格现象，研究了结构在集中和均布载荷下的拓扑优化问题，分析了不同单胞数目对优化结构的影响。

关键词：循环对称结构；拓扑优化；ERPM-ESO方法；灵敏度过滤1 引言自1964 年Dorn[1]等人提出基结构法，将数值方法引入拓扑优化领域以来，拓扑优化研究开始活跃，具有代表性的有Achtziger, Bendsoe, Chung, Lee 等[2-4]研究了离散结构的拓扑优化设计。

连续体结构拓扑优化由于其优化模型描述方法的困难以及数值优化算法的巨大计算量而发展缓慢。

1988年Bendsoe和Kikuchi[5]发表的基于均匀化理论的结构拓扑优化设计方法开创了连续体结构拓扑优化设计研究的新局面。

循环对称结构是航空、航天领域常见的一种结构形式，其几何特征是整个构件由若干个具有相同拓扑构型的子结构构成，是机械系统和武器装备中一类典型的结构形式，广泛应用于航空、航天、汽车等领域，如涡轮盘、齿轮、导弹弹体支撑结构等。

由于循环对称结构的结构、工作状态和承载形式的特殊性，导致循环对称结构的拓扑优化设计存在特有的难点和问题。

仅有Moses等人[6]针对二维循环对称结构的拓扑优化设计进行了相关研究，讨论了在集中切向载荷作用下，以刚度最大为目标的拓扑优化设计。

1993 年Xie 和Steven提出的渐进结构优化法[7]（ESO）是一种启发式优化算法，由于其程序实现简单并且优化结果不存在灰度区域，提出后很快用于针对结构刚度、振动、稳定性等性能的拓扑优化设计。

鉴于该方法在双向优化过程中生成单元的局限性，本文采用基于单元替换（Elementreplaceable method-ERPM ）的ESO 优化方法[8]，结合体积加权灵敏度过滤，对三维的循环对称结构的拓扑优化设计进行了研究，为工程应用提供参考。

2 三维循环对称结构静力学渐进拓扑优化2.1 静力学渐进拓扑优化的数学模型静力学拓扑优化通常是在给定的材料体分比约束条件下，寻找使得结构的总刚度最大即柔顺度最小的材料布局形式，设计变量是每个单元的存在状态。

基于ESO 方法的结构静力学拓扑优化数学模型可以表示为{}(){}{}{}[]{}121find :,,,0void 1,2,,1solid 11min :22..:n i T T n i i x x x x i n C P u u K u s t V V V *=⎧==⎨⎩===≤∑ （1）其中，i V 为每个单元实体材料的体积，*V 为给定的结构实体材料总体积上限; C 为结构的总体柔顺度，为结构刚度的逆度量。

在优化过程中，随着单元的不断删除，结构的柔顺度会逐渐的增大。

为了便于比较，本文中所有结果的柔顺度都采用相对柔顺度r C ，其定义为0/r i C C C = （2）其中，0C 为未从结构中删除任何单元时的结构柔顺度，i C 为第i 迭代结束以后结构的柔顺度。

针对优化过程中单元的去除与生长两种状态，目标函数即结构柔顺度对任意单元i 的存在状态设计变量的灵敏度如下，其中正号和负号分别对应单元的删除和生长。

{}[]{}12T i i i i S C u K u =∆=±（3） 其中，[]i K ，{}i u 分别为整体坐标系下单元i 的刚度矩阵和节点位移向量。

2.2 棋盘格控制棋盘格是连续体结构拓扑优化中常见的一种数值不稳定现象，各种基于有限元方法的结构拓扑优化设计都有可能产生棋盘格现象。

常用的棋盘格控制算法有周长约束、密度斜率法、灵敏度过滤方法。

本文采用灵敏度过滤方法进行棋盘格控制，该方法只需要在每次迭代过程中，对计算得到的单元灵敏度进行一次光滑处理，在算法上与优化算法是独立的，程序实现和维护都较简单，且具有网格独立性，大量的算例证明该方法是有效的。

给定灵敏度过滤半径f r ，以单元i 的中心为圆心，半径为f r 的球作为单元i 的灵敏度过滤空间，所有中心位于该空间范围内的单元参与单元i 的灵敏度过滤。

灵敏度过滤区域内单元j 的体积加权灵敏度为：jj j FD i V S S V =，FD i j j V V =∑，,i j F d r ≤ （4）其中j S 和j V 分别为单元j 的原始灵敏度和单元体积，,i j d 为单元i 与单元j 中心之间的距离，FD i V 为敏度过滤区域内（,i j F d r ≤）单元总体积。

单元i 经过滤后的新灵敏度值为单元体积加权灵敏度分布函数S 与滤波函数H 的卷积，本文选择高斯函数作为滤波函数，过滤后单元i 的灵敏度为1j F i j j j j j FD FD j j i i V S S H H S H V S V V ⎛⎫=*== ⎪⎝⎭∑∑，22exp 2ij j d H σ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭（5） 对于循环对称结构，我们希望其结构构型在圆周方向上能够保持一定的周期性，即可以将整个结构看成是一个单胞沿着圆周方向阵列而成，结构中每个单胞内材料布局构型都要保持一致。

优化过程中，将单元灵敏度按照单元对应关系进行求和取平均值，将所得到的平均值作为所有单胞对应单元的灵敏度值，这样就能保证优化后得到的结构仍具有旋转对称特性。

假定结构沿周期方向被分成n 个单胞，每个单胞又被划分成具有m 个单元的有限元网格，则单胞单元灵敏度为：,1,111n F i k k C i n D i k k S n S S n ==⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩∑∑使用灵敏度过滤不使用灵敏度过滤，[]1,i m ∈ （6）其中，,F i k S 和,D i k S 分别表示单胞k 中单元i 的体积加权过滤灵敏度和灵敏度密度，n 为结构单胞数目。

每次迭代过程中，用C i S 来替代i S 来决定优化迭代过程中单元的删除或生长，不仅可以去除棋盘格现象，还可以保证优化得到的每个单胞的构型都一致，这就保证了整体结构的循环对称性和周期性。

3 三维循环对称结构建模本文所讨论的三维循环对称结构的基本结构形式为如图1所示的圆柱筒结构。

深灰色区域为非设计域，主要用于施加载荷和位移约束；浅灰色区域为设计域，优化的目的就是要在设计域中找出满足体积和位移约束的刚度最大的构型。

图1和图2分别给出了圆柱筒和圆锥筒的几何模型。

在对实际应用中的循环对称结构的工作工况进行了简化处理的基础上，主要研究循环对称圆柱筒结构在集中载荷和均布载荷两种载荷形式下的静力学拓扑优化设计，如图3和图4所示。

图1 圆柱筒 图2 圆锥筒 图3 集中载荷 图3 均布载荷 在对三维循环对称结构进行有限元建模时要考虑到结构形式和载荷的对称性和周期性，本文将整个设计域沿着周期性的方向划分成n 个大小相同的单胞。

在进行有限元建模时，为了保证每个单胞具有相同的有限元离散网格形式，首先对一个单胞进行建模，然后将其沿着圆周方向进行阵列得到整个结构的有限元模性。

4 数值算例利用给出的优化设计方法，对文中建立的循环对称结构模型进行拓扑优化设计。

给定设计域的实体材料体分比为30%，每个单胞被划分成60×40网格，所受支撑为下端四点全约束，图5和图6分别给出了圆柱筒在沿轴向集中载荷和均布载荷作用下的优化结果，图7和图8分别给出了圆锥筒在沿轴向集中载荷和均布载荷作用下的优化结果。

从优化结果中可以看出，循环对称结构所受的载荷形式对其优化结果的影响很大。

集中载荷作用下时，圆柱筒和圆锥筒的单胞的优化构型都是呈V字形的交叉斜杆，而在均布载荷作用下，优化得到的构型有更多的斜杆。

图5 圆柱筒在轴向集中载荷作用下图6 圆柱筒在轴向均布载荷作用图7 圆锥筒在轴向集中载荷作用下图8 圆锥筒在轴向均布载荷作用下为了研究单胞的数目不同是否会对结构的优化构型产生影响，分别将圆柱筒结构分成4、8、12、16、24个单胞进行优化计算，图9给出了单胞数不同时结构相对柔顺度的变化情况以及结构的构型的变化。

可以看出单胞数目不同对优化结果影响明显，随着单胞数目的增加，在相同材料体分比时结构的相对柔顺度逐渐增加，结构构型也发生变化。

图9 沿周向单胞数不同对优化结果的影响5 结束语本文研究了三维筒形循环对称结构的拓扑优化设计，根据结构的特殊性，针对性地给出了循环对称结构的建模方式和棋盘格控制方法。

在此基础上，研究了结构在集中和均布载荷作用下的拓扑优化问题，并分析了单胞数目不同对优化结果的影响。

结果表明了本文方法的有效性，对航空航天领域此类结构的设计具有一定的参考价值。

致谢本文得到863项目(2006AA04Z122)、973计划(2006CB601205)、国家自然基金项目(, )、博士点基金(006)、航空科学基金(04B53080, 2006ZA53006)、陕西省科技计划项目 (2006K05-G25)、111项目（B07050）与西北工业大学本科毕业设计重点扶持项目资助。

参考文献[1].Dorn W, Gomory R, Greenberg H Automatic design of optimal structures. J.design Mechaniuque,1964, 3(1): 25-52[2].Achtiziger W Optimization with variable sets of constraints and an application to truss design,Computational Optimization and Application. 2000,15(1):69-96[3].Achtiziger W, Bendsoe M.P Optimal topology design of discrete structures resisting degradationeffects, Structural Optimization.1999,17(1):74-78[4].Chung J,Lee K Optimal design of rib structures using the topology optimization technique, Proc.Instn.Mech. Engrs.1997,211:425-437[5]., N.Kikuchi Generating Optimal Topologies in Structural Design Using a Homogenization Method,Comput.Methods Appl. Mech.Engrg. 71(1988): 197-224[6].Xie Y.M., Steven G.P Evolutionary structural optimization. Berlin, Heidelberg, New York: Springer,1997.[7]. E Moses, Fuchs M B, Ryvkin.M Topological design of modular structures under arbitrary loading.Structural and Multidisciplinary Optimization, 2003, 24: 407-417[8].J.H. Zhu, W.H. Zhang, K.P. Qiu Bi-directional Evolutionary Topology Optimization Using ElementReplaceable Method. Computational Mechanics (DOI 10.1007/s00466-006-0087-0) Evolutionary topology optimization of 3-DCyclic Symmetric StructuresT ANG X ING G ANG,ZHANG W EIHONG,GAO T ONG,Z HU J IHONGSino-French Laboratory of Concurrent Engineering, Northwestern Polytechnical University, 552#, Xi’an,710072, ChinaAbstract: Based on the ERPM-ESO method, topology optimization of 3-D cyclic symmetric structures is studied. The representative cell is defined to generate the cyclic symmetry model of the whole structure with an array operation along the circumferential direction. The finite element analysis is performed for the whole structure while the design variables are defined over one single cell. An element-volume weighted filtering technique is introduced to remove the checkerboard pattern during the optimization process. Topology optimizations of 3-D cyclic symmetric structures under both concentrated load and uniform load are studied as test examples. Results show that the method proposed in this paper is efficient and that the number of the cells influences strongly the structure compliance and the final material layout of the optimized structure.Keywords：Cyclic symmetry structure；Topology optimization；ERPM method; Sensitivity Filter。