人教培优二次函数辅导专题训练含答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点，OA ＝1，tan ∠BAO ＝3，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°，得到△DOC ，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A 、B 、C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ，设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ，连接PE ，交CD 于F ，求以C 、E 、F 为顶点三角形与△COD 相似时点P 的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3；（2）当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）． 【解析】 【分析】
（1）根据正切函数，可得OB ，根据旋转的性质，可得△DOC ≌△AOB ，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）分两种情况讨论：①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点；②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，得到△EFC ∽△EMP ，根据相似三角形的性质，可得PM 与ME 的关系，解方程，可得t 的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【详解】
（1）在Rt △AOB 中，OA ＝1，tan ∠BAO OB
OA
=
=3，∴OB ＝3OA ＝3． ∵△DOC 是由△AOB 绕点O 逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC ≌△AOB ，∴OC ＝OB ＝3，OD ＝OA ＝1，∴A ，B ，C 的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为
09303a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩
，解得：123a b c =-⎧⎪
=-⎨⎪=⎩，抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3；
（2）∵抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3，∴对称轴为l 2b
a
=-=-1，∴E 点坐标为（﹣1，0），如图，分两种情况讨论：
①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点，P
（﹣1，4）；
②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，∵∠CFE=∠PME=90°，
∠CEF=∠PEM ，∴△EFC ∽△EMP ，∴
1
3
EM EF OD MP CF CO ===，∴MP ＝3ME ． ∵点P 的横坐标为t ，∴P （t ，﹣t 2﹣2t +3）．
∵P 在第二象限，∴PM ＝﹣t 2﹣2t +3，ME ＝﹣1﹣t ，t ＜0，∴﹣t 2﹣2t +3＝3（﹣1﹣t ），解得：t 1＝﹣2，t 2＝3（与t ＜0矛盾，舍去）．
当t ＝﹣2时，y ＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴P （﹣2，3）．
综上所述：当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）． 【点睛】
本题是二次函数综合题．解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC ，OD 的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP ＝3ME ．
2．抛物线2y x bx c =-++（b ，c 为常数）与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，与y 轴交于点A ，点E 为抛物线顶点。

（Ⅰ）当121,3x x =-=时，求点A ，点E 的坐标；
（Ⅱ）若顶点E 在直线y x =上，当点A 位置最高时，求抛物线的解析式； （Ⅲ）若11,
0x b =->，当(1,0)P 满足PA PE +值最小时，求b 的值。

【答案】（Ⅰ）()0,3A ，(1,4)E ；（Ⅱ）2
1
4
y x x =-++；（Ⅲ）317b = 【解析】 【分析】
（Ⅰ）将（-1，0），（3，0）代入抛物线的解析式求得b 、c 的值，确定解析式，从而求出抛物线与y 轴交于点A 的坐标，运用配方求出顶点E 的坐标即可；
（Ⅱ）先运用配方求出顶点E 的坐标，再根据顶点E 在直线y x =上得出吧b 与c 的关系，利用二次函数的性质得出当b=1时，点A 位置最高，从而确定抛物线的解析式； （Ⅲ）根据抛物线经过（-1，0）得出c=b+1，再根据（Ⅱ）中顶点E 的坐标得出E 点关于x 轴的对称点E '的坐标，然后根据A 、P 两点坐标求出直线AP 的解析式，再根据点在直线AP 上，此时PA PE +值最小，从而求出b 的值. 【详解】
解：（Ⅰ）把点(-1,0)和(3,0)代入函数2y x bx c =-++，
有10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩。

解得2,3b c ==
2223(1)4y x x x ∴=-++=--+ (0,3),(1,4)A E ∴
（Ⅱ）由222424b c b y x bx c x +⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，得24,24b c b E ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
∵点E 在直线y x =上，2
424b c b +∴=
221111
(1)4244c b b b ∴=-+=--+
2110,(1)44A b ⎛
⎫∴--+ ⎪⎝
⎭
当1b =时，点A 是最高点此时，2
1
4
y x x =-++
（Ⅲ）：抛物线经过点(1,0)-，有10b c --+=
1c b ∴=+
24,,(0,)2
4b c b E A c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
2(2),,(0,1)2
4b b E A b ⎛⎫
+∴+ ⎪⎝⎭
∴E 关于x 轴的对称点E '
为2(2),24b b ⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
设过点A ，P 的直线为y kx t =+.把(0,1),(1,0)A b P +代入y kx t =+，得
(1)(1)y b x =-+-
把点2(2),2
4b b E '
⎛⎫
+- ⎪⎝⎭代入(1)(1)y b x =-+-.
得
2(2)(1)142b b b +⎛⎫
=-+- ⎪⎝⎭
，即2680b b --=
解得，3b =
0,3b b >∴=.
3b ∴=+【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式、最短距离，数形结合思想及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题．
3．如图所示，已知平面直角坐标系xOy ，抛物线过点A(4,0)、B(1,3)
(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
(2)记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P(m,n)在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于y 轴的对称点为F ，若四边形OAPF 的面积为20，求m 、n 的值.
【答案】(1)y=-22
4(2)4y x x x =-+=--+，对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）
(2)m 、n 的值分别为 5，-5 【解析】
（1） 将点A(4,0)、B(1,3) 的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得： 4b+c-16=0，b+c-1="3" ， 解得：b="4" ， c=0．
所以抛物线的表达式为：2
4y x x =-+． y=-224(2)4y x x x =-+=--+，
所以 抛物线的对称轴为：x=2，顶点坐标为：（2，4）． （2） 由题可知，E 、F 点坐标分别为（4-m ，n ），（m-4，n ）． 三角形POF 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|， 三角形AOP 的面积为：1/2×4×|n|= 2|n|，
四边形OAPF 的面积= 三角形POF 的面积+三角形AOP 的面积=20， 所以 4|n|=20， n=-5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以n<0） 又n=-2m +4m ，
所以2m -4m-5=0，m=5．（因为点P(m,n)在第四象限，所以m>0) 故所求m 、n 的值分别为 5，-5．
4．如图，已知二次函数的图象过点O （0，0）．A （8，4），与x 轴交于另一点B ，且对称轴是直线x ＝3．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若M 是OB 上的一点，作MN ∥AB 交OA 于N ，当△ANM 面积最大时，求M 的坐标；
（3）P 是x 轴上的点，过P 作PQ ⊥x 轴与抛物线交于Q ．过A 作AC ⊥x 轴于C ，当以O ，P ，Q 为顶点的三角形与以O ，A ，C 为顶点的三角形相似时，求P 点的坐标．
【答案】（1）213
42
y x x =
-；（2）当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）． 【解析】 【分析】
（1）先利用抛物线的对称性确定B （6，0），然后设交点式求抛物线解析式；
（2）设M （t ，0），先其求出直线OA 的解析式为1
2
y x =直线AB 的解析式为y=2x-12，
直线MN 的解析式为y=2x-2t ，再通过解方程组12
22y x y x t
⎧=⎪
⎨⎪=-⎩得N （42t,t 33），接着利用三角形面积公式，利用S △AMN =S △AOM -S △NOM 得到AMN 112
S 4t t t 223
∆=⋅⋅-⋅⋅然后根据二次函数的性质解决问题； （3）设Q 213m,
m m 42⎛
⎫- ⎪⎝⎭，根据相似三角形的判定方法，当PQ PO OC AC
=时，△PQO ∽△COA ，则
213m m 2|m |42-=；当PQ PO
AC OC
=时，△PQO ∽△CAO ，则2131
m m m 422
-=，然后分别解关于m 的绝对值方程可得到对应的P 点坐标． 【详解】
解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x ＝3， ∴B 点坐标为（6，0），
设抛物线解析式为y ＝ax （x ﹣6）， 把A （8，4）代入得a•8•2＝4，解得a ＝1
4
， ∴抛物线解析式为y ＝14x （x ﹣6），即y ＝14x 2﹣32
x ； （2）设M （t ，0），
易得直线OA 的解析式为y ＝
12
x ， 设直线AB 的解析式为y ＝kx+b ，
把B （6，0），A （8，4）代入得6084k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得k 2
b 12=⎧⎨=-⎩
，
∴直线AB 的解析式为y ＝2x ﹣12， ∵MN ∥AB ，
∴设直线MN 的解析式为y ＝2x+n ， 把M （t ，0）代入得2t+n ＝0，解得n ＝﹣2t ， ∴直线MN 的解析式为y ＝2x ﹣2t ，
解方程组12
22y x y x t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得43
23x t y t ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，则42N t,t 33⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴S △AMN ＝S △AOM ﹣S △NOM
112
4t t t 223
=
⋅⋅-⋅⋅ 21
t 2t 3
=-+
21
(t 3)33
=--+，
当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）； （3）设213m,
m m 42⎛⎫- ⎪⎝⎭
， ∵∠OPQ ＝∠ACO ， ∴当
PQ PO OC AC =时，△PQO ∽△COA ，即PQ PO 84
=， ∴PQ ＝2PO ，即213
m m 2|m |42
-=， 解方程213
m m 2m 42-=得m 1＝0（舍去），m 2＝14，此时P 点坐标为（14，0）； 解方程213
m m 2m 42
-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝﹣2，此时P 点坐标为（﹣2，0）； ∴当
PQ PO AC OC =时，△PQO ∽△CAO ，即PQ PO 48=， ∴PQ ＝
1
2
PO ，即2131m m m 422-=，
解方程2131
m m m 422
=
-=得m 1＝0（舍去），m 2＝8，此时P 点坐标为（8，0）；
解方程2131
m m m 422
=
-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝4，此时P 点坐标为（4，0）； 综上所述，P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）． 【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
5．已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使PA +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．
【答案】（1）2
23y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；
（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 【解析】 【分析】
()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐
标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；
()3设点M 的坐标为()1,m ，则22CM (10)(m 3)=
-+-，
()22AC [01](30)10=--+-=()22AM [11](m 0)=--+-AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标． 【详解】
解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2
y x bx c =-++中，
得：{
10
3b c c --+==，解得：{
2
3b c ==，
∴抛物线的解析式为223y x x =-++．
()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．
当0y =时，有2230x x -++=， 解得：11x =-，23x =，
∴点B 的坐标为()3,0．
抛物线的解析式为2
2
23(1)4y x x x =-++=--+，
∴抛物线的对称轴为直线1x =．
设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠， 将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中， 得：{
30
3k d d +==，解得：{
1
3k d =-=，
∴直线BC 的解析式为3y x =-+．
当1x =时，32y x =-+=，
∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．
()3设点M 的坐标为()1,m ，
则22(10)(3)CM m =-+-，()22[01](30)10AC =--+-=()22[11](0)AM m =--+-
分三种情况考虑：
①当90AMC ∠=时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，
解得：11m =，22m =，
∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；
②当90ACM ∠=时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，
解得：83
m =
，
∴点M 的坐标为81,3⎛⎫
⎪⎝⎭
；
③当90CAM ∠=时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，
解得：23
m =-
， ∴点M 的坐标为21,.3⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
综上所述：当MAC 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫
⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，列出关于m 的方程．
6．综合与探究
如图，抛物线2
6y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物
线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC ． (1)求抛物线的函数表达式； (2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的
3
4
时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)233
642
y x x =-++；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(14,0),(14,0)M M M M -. 【解析】 【分析】
(1)利用待定系数法进行求解即可；
(2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ，先求出S △OAC =6，再根据
S △BCD =
34S △AOC ，得到S △BCD =92
，然后求出BC 的解析式为3
62y x =-+，则可得点G 的坐
标为3(,6)2m m -+，由此可得2
334
DG m m =-+，再根据
S △BCD =S △CDG +S △BDG =1
2
DG BO ⋅⋅，可得关于m 的方程，解方程即可求得答案；
(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图，以BD 为边时，有3种情况，由点D 的坐标可得点N 点纵坐标为±154，然后分点N 的纵坐标为154
和点N 的纵坐标为15
4
-
两种情况分别求解；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM 1=N 1D=4，继而求得OM 1= 8，由此即可求得答案. 【详解】
(1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2,0)，B(4,0)，
∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩
， 解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
∴抛物线的函数表达式为233
642
y x x =-
++； (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ， ∵点A 的坐标为(-2,0)，∴OA=2，
由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0,6)，∴OC=6，
∴S △OAC =1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=， ∵S △
BCD =34
S △AOC ， ∴S △BCD =39642
⨯=， 设直线BC 的函数表达式为y kx n =+，
由B ，C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩，解得326
k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的函数表达式为362y x =-
+， ∴点G 的坐标为3(,6)2m m -
+， ∴2233336(6)34224
DG m m m m m =-++--+=-+， ∵点B 的坐标为(4,0)，∴OB=4，
∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =
1111()2222DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅， ∴S △BCD =22133346242m m m m -
+⨯=-+（）， ∴239622
m m -+=， 解得11m =(舍)，23m =，
∴m 的值为3；
(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图， 以BD 为边时，有3种情况，
∵D 点坐标为15(3,)4
，∴点N 点纵坐标为±154， 当点N 的纵坐标为
154时，如点N 2，
此时233156424x x -++=，解得：121,3x x =-=(舍)， ∴215(1,
)4N -，∴2(0,0)M ； 当点N 的纵坐标为154-
时，如点N 3，N 4， 此时233156424
x x -++=-，解得：12114,114x x =-=+ ∴315(114,)4N +-
，415(114,)4N --， ∴3(14,0)M ，4(14,0)M -；
以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，
∵115(1,
)4
N -，D(3，154)， ∴N 1D=4，
∴BM 1=N 1D=4，
∴OM 1=OB+BM 1=8，
∴M 1(8，0)， 综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(140)(140)M M M M -，，，，，，，.
【点睛】
本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
7．如图：在平面直角坐标系中，直线l ：y=
13x ﹣43与x 轴交于点A ，经过点A 的抛物线y=ax 2﹣3x+c 的对称轴是x=32
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，点P 是直线m 上任意一点，PB ⊥x 轴于点B ，PC ⊥y 轴于点C ，若点E 在线段OB 上，点F 在线段OC 的延长线上，连接PE ，PF ，且PE=3PF ．求证：PE ⊥PF ；
（3）若（2）中的点P 坐标为（6，2），点E 是x 轴上的点，点F 是y 轴上的点，当PE ⊥PF 时，抛物线上是否存在点Q ，使四边形PEQF 是矩形？如果存在，请求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；（2）证明见解析；（3）点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
【解析】
【分析】
（1）先求得点A 的坐标，然后依据抛物线过点A ，对称轴是x=
32列出关于a 、c 的方程组求解即可；
（2）设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ，然后再证明∠FPC=∠EPB ，最后通过等量代换进行证明即可；
（3）设E （a ，0），然后用含a 的式子表示BE 的长，从而可得到CF 的长，于是可得到点F 的坐标，然后依据中点坐标公式可得到22x x x x Q P F E ++=，22
y y y y Q P F E ++=，从而可求得点Q 的坐标（用含a 的式子表示），最后，将点Q 的坐标代入抛物线的解析式求得a 的值即可．
【详解】
（1）当y=0时，14033x -=，解得x=4，即A （4，0），抛物线过点A ，对称轴是x=32，得161203322a c a -+=⎧⎪-⎨-=⎪⎩
， 解得14
a c =⎧⎨=-⎩，抛物线的解析式为y=x 2﹣3x ﹣4；
（2）∵平移直线l 经过原点O ，得到直线m ，
∴直线m 的解析式为y=13x ． ∵点P 是直线1上任意一点， ∴设P （3a ，a ），则PC=3a ，PB=a ．
又∵PE=3PF ， ∴PC PB PF PE
=． ∴∠FPC=∠EPB ． ∵∠CPE+∠EPB=90°，
∴∠FPC+∠CPE=90°，
∴FP ⊥PE ．
（3）如图所示，点E 在点B 的左侧时，设E （a ，0），则BE=6﹣a ．
∵CF=3BE=18﹣3a ，
∴OF=20﹣3a ．
∴F （0，20﹣3a ）．
∵PEQF 为矩形，
∴
22x x x x Q P F E ++=，22
y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，
∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．
∴Q （﹣2，6）．
如下图所示：当点E 在点B 的右侧时，设E （a ，0），则BE=a ﹣6．
∵CF=3BE=3a ﹣18，
∴OF=3a ﹣20．
∴F （0，20﹣3a ）．
∵PEQF 为矩形， ∴22x x x x Q P F E ++=，22
y y y y Q P F E ++=， ∴Q x +6=0+a ，Q y +2=20﹣3a+0，
∴Q x =a ﹣6，Q y =18﹣3a ． 将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a ﹣6）2﹣3（a ﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．
∴Q （2，﹣6）．
综上所述，点Q 的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、待定系数法求二次函数的解析式、中点坐标公式，用含a 的式子表示点Q 的坐标是解题的关键．
8．在平面直角坐标系xOy 中（如图）．已知抛物线y=﹣
12x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0）和点B （0，52
），顶点为C ，点D 在其对称轴上且位于点C 下方，将线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段CD 的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C 移到原点O 的位置，这时点P 落在点E 的位置，如果点M 在y 轴上，且以O 、D 、E 、M 为顶点的四边形面积为8，求点M 的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣
12x 2+2x+52；（2）线段CD 的长为2；（3）M 点的坐标为（0，
72）或（0，﹣72
）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用配方法得到y=﹣
12（x ﹣2）2+92
，则根据二次函数的性质得到C 点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t ，则D （2，92﹣t ），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t ，则P （2+t ，
92﹣t ），然后把P （2+t ，92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+52
得到关于t 的方程，从而解方程可得到CD 的长； （3）P 点坐标为（4，92），D 点坐标为（2，52
），利用抛物线的平移规律确定E 点坐标为（2，﹣2），设M （0，m ），当m ＞0时，利用梯形面积公式得到
12•（m+52+2）•2=8当m ＜0时，利用梯形面积公式得到
12•（﹣m+52+2）•2=8，然后分别解方程求出m 即可得到对应的M 点坐标．
【详解】（1）把A （﹣1，0）和点B （0，52）代入y=﹣12
x 2+bx+c 得 10252b c c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得252b c =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴抛物线解析式为y=﹣
12x 2+2x+52
； （2）∵y=﹣12（x ﹣2）2+92， ∴C （2，
92
），抛物线的对称轴为直线x=2， 如图，设CD=t ，则D （2，92﹣t ）， ∵线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处，
∴∠PDC=90°，DP=DC=t ，
∴P （2+t ，92
﹣t ），
把P（2+t，9
2
﹣t）代入y=﹣
1
2
x2+2x+
5
2
得﹣
1
2
（2+t）2+2（2+t）+
5
2
=
9
2
﹣t，
整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2，∴线段CD的长为2；
（3）P点坐标为（4，9
2
），D点坐标为（2，
5
2
），
∵抛物线平移，使其顶点C（2，9
2
）移到原点O的位置，
∴抛物线向左平移2个单位，向下平移9
2
个单位，
而P点（4，9
2
）向左平移2个单位，向下平移
9
2
个单位得到点E，
∴E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），
当m＞0时，1
2
•（m+
5
2
+2）•2=8，解得m=
7
2
，此时M点坐标为（0，
7
2
）；
当m＜0时，1
2
•（﹣m+
5
2
+2）•2=8，解得m=﹣
7
2
，此时M点坐标为（0，﹣
7
2
）；
综上所述，M点的坐标为（0，7
2
）或（0，﹣
7
2
）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.
9．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．
（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；
（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15．
【解析】
【分析】
（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；
（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．
【详解】
（1）由题意得，
3 2
2
a b
b
a
+-
⎧
⎪
⎨
-⎪
⎩
＝
＝
，
解得
1
4
a
b-
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x，
令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，
结合图象知，A的坐标为（4，0），
根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；
（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，
设P（x，x2-4x）,
∵PA⊥BA
∴∠PAF+∠BAE=90°,
∵∠PAF+∠FPA=90°,
∴∠FPA=∠BAE
又∠PFA=∠AEB=90°
∴△PFA ∽△AEB, ∴PF AF AE BE =，即244213
x x x --=-， 解得，x= −1，x=4（舍去）
∴x 2-4x=-5
∴点P 的坐标为（-1，-5），
又∵B 点坐标为（1，-3），易得到BP 直线为y=-4x+1
所以BP 与x 轴交点为（
14，0） ∴S △PAB=
115531524
⨯⨯+= 【点睛】
本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．
10．空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，已知木栏总长为100米．
（1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1，求所利用旧墙AD 的长；
（2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD 的面积最大，并求面积的最大值．
【答案】（1）利用旧墙AD 的长为10米．（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）按题意设出AD ，表示AB 构成方程；
（2）根据旧墙长度a 和AD 长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论s 与菜园边长之间的数量关系．
【详解】
（1）设AD=x 米，则AB=
1002x 米 依题意得，(100)2
x x -＝450
解得x 1=10，x 2=90
∵a=20，且x≤a
∴x=90舍去
∴利用旧墙AD 的长为10米．
（2）设AD=x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米
①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意
得： S=2(100)1(50)125022
x x x ---+＝，0＜x ＜a ∵0＜a ＜50
∴x ＜a ＜50时，S 随x 的增大而增大 当x=a 时，S 最大=50a-12a 2
②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得
S=22(1002)[(25)](25)244x a x a a x ＝+---+++，a≤x ＜50+2a 当a ＜25+
4a ＜50时，即0＜a ＜1003时， 则x=25+4a 时，S 最大=（25+4a ）2=2
1000020016
a a ++， 当25+4a ≤a ，即1003
≤a ＜50时，S 随x 的增大而减小 ∴x=a 时，S 最大=
(1002)2a a a +-=21502a a -， 综合①②，当0＜a ＜1003时，21000020016a a ++-（21502a a -）=2
(3100)16
a -＞0 2
1000020016
a a ++＞21502a a -，此时，按图2方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为2
1000020016
a a ++平方米 当1003≤a ＜50时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等．
∴当0＜a ＜1003
时，围成长和宽均为（25+4a ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为2
1000020016
a a ++平方米； 当
1003
≤a ＜50时，围成长为a 米，宽为（50-2a ）米的矩形菜园面积最大，最大面积为（21502
a a -）平方米． 【点睛】 本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意分类讨论变量大小关系．。