16.3.2二次根式的混合运算_课件.ppt
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人教版八年级下册数学 16.3 二次根式的混合运算 (共14张PPT)
课教堂学小目结
标
今天我们学习了哪些知识？
说一说二次根式运算时应关注哪些方面？ 通常用到哪些知识？
布教置学作目业
标
教材P15页习题16.3第4题．
教学目 标
பைடு நூலகம்二次根式乘法法则
4 33 2
化成最简二次根式
新教课学讲目解
标
例1：计算：
(1)( 8 3) 6; (2)(4 2 -3 6) 2 2
(2) (4 2 3 6) 2 2
4 2 2 2 3 6 2 2 多项式除以单项式法则
23 3 2
二次根式除法法则
新教课学讲目解
标
例2：计算：
(1)( 2 3) ( 2 5);
巩教固学提目升
标
4. 计算：
(3)(2 6 5)2018 (2 6 5)2018 ( 2 1)2.
解：(3)(2 6 5)2018 (2 6 5)2018 ( 2 1)2
[(2 6 5)(2 6 5)]2018 [( 2)2 2 2 1] (24 25)2018 (2 2 3) 1 2 2 3 2 22
二次根式的加减主要归纳为两个步骤： 第一步，先将二次根式化成最简二次根式； 第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
新教课学讲目解
标
例1：计算：
(1)( 8 3) 6; (2)(4 2 -3 6) 2 2
解 : (1) ( 8 3) 6
8 6 3 6 分配律或单项式乘多项式
48 18
(2)( 5 3) ( 5 - 3).
解：(1)( 2 3) ( 2 5)
( 2)2 3 2 5 2 15 多项式乘多项式法则
2 2 2 15
合并同类二次根式
16.3.2二次根式的混合运算_课件.ppt
2.计算：
1
2 3 1
2
2 3 2 2 3
3 1
3 1
3 1
2 3 2 3 2 3 2 3
6 2 2
2 3 1
2
44 3 3
74 3
提高题
比较根式的大小.要求不用计算器计算。
6 14和 7 13
2
3 2
2
5 2 6 1 5 2 6 9
想一想：还有其他方法吗？
已知a 3 2 , b 3 2， 求a ab b 的值.
2 2
解二：a ab b
2 2
2 2
a 2ab b ab 2 (a b) ab
3 2 3 2 3 2 3 2
练习：计算
(1)3 2 3 2 2 3 3
解：原式 （3 2 2 2） （ 3 3 3）
2 2 3
强调： 先化简，
(2) 8 18 12
解：原式 4 2 9 2 4 3 2 2 3 2 2 3 5 2 2 3
再合并
例2计算： 1 (1)2 12 6 3 48 3 (2)( 12 20) ( 3 5) 2 x 1 (3) 9x 6 2x 3 4 x
2
1
25 30 3 18 43 30 3
2 1 如何计算 ? 2 1
从例4的第（1）小题的 结果受到启发，把分子 与分母都乘以 ( 2 1) 就可以使分母变成1
2 1 ( 2 1)( 2 1) 2 1 ( 2 1)( 2 1)
人教版八年级下册数学 16.3 《二次根式的混合运算》课件(共25张PPT)
ab a • b (a 0,b 0)
a a （a≥0,b＞0）
b
b
a a （a≥0，b＞0）
b
b
2
1、二次根式的乘、除运算
笔算：
(1)5 124 3 ( 2) 2 1
3 18
120
23
(3) 303 222 21 23 2
3
303 222 21
梳理
23
2
解:原式 3 2
3082 3
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
a a （a≥0,b＞0）
b
b
a a （a≥0，b＞0）
b
b
2
1、二次根式的乘、除运算
笔算：
(1)5 124 3 ( 2) 2 1
3 18
120
23
(3) 303 222 21 23 2
3
303 222 21
梳理
23
2
解:原式 3 2
3082 3
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
16.3 二次根式混合运算 公开课PPT教学课件
三更灯火五更鸡，正是男儿读书时； 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。
一：二次根式混合运算
例：计算：(每小题4分)
(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2
(2)( 10－3)2010·( 10＋3)2010
〉〉解题示范——规范步骤，该得的分一分不丢！
(1)解：原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1]
＝18－1－8＋4 2－1
[2分]
＝8＋4 2 (2)解：原式＝[( 10－3)( 10＋3)]2010
[4分]
＝[( 10)2－32]2010
[4分]
＝(10－9)2010＝1
9
知能迁移:
(1) 62－ 18－120； (2)(－3)2－ 4＋12－1.
(3)已知 10 的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值．
16.3 二次根式的混合运算
1
说一说
如果梯形的上、下底长分别为 2 2 cm，4 3 cm， 高为 6 cm ，那么它的面积是多少？
梯形面积 = 12(2 2 +4 3)× 6 =( 2 +2 3)× 6 = 2× 6 +2 3× 6 = 2×6 +2 3×6 = 2×2×3 +2 3×3×2 = 2 3 +2×3 2 = 2 3 +6 2(cm2).
4
例 计算： 1- 5 . 1+ 5
解
11+
5 5
=
(1(1+
5)(15)(1-
5) 5)
=
1-2 5+( 5)2 12 -( 5)2
=
1-2 5+5 1-5
=
6-2 5 -4
一：二次根式混合运算
例：计算：(每小题4分)
(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2
(2)( 10－3)2010·( 10＋3)2010
〉〉解题示范——规范步骤，该得的分一分不丢！
(1)解：原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1]
＝18－1－8＋4 2－1
[2分]
＝8＋4 2 (2)解：原式＝[( 10－3)( 10＋3)]2010
[4分]
＝[( 10)2－32]2010
[4分]
＝(10－9)2010＝1
9
知能迁移:
(1) 62－ 18－120； (2)(－3)2－ 4＋12－1.
(3)已知 10 的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值．
16.3 二次根式的混合运算
1
说一说
如果梯形的上、下底长分别为 2 2 cm，4 3 cm， 高为 6 cm ，那么它的面积是多少？
梯形面积 = 12(2 2 +4 3)× 6 =( 2 +2 3)× 6 = 2× 6 +2 3× 6 = 2×6 +2 3×6 = 2×2×3 +2 3×3×2 = 2 3 +2×3 2 = 2 3 +6 2(cm2).
4
例 计算： 1- 5 . 1+ 5
解
11+
5 5
=
(1(1+
5)(15)(1-
5) 5)
=
1-2 5+( 5)2 12 -( 5)2
=
1-2 5+5 1-5
=
6-2 5 -4
人教版八年级下册数学：16.3 二次根式的混合运算 课件(共15张PPT)
的二次根式进行 合并
知识点一：应用类比有理数运算法则计算
复习提问(1)：有理数的运算法则有哪些？
先算乘方，再算乘除，后算加减， 有括号先算括号里面的。 在二次根式的混合运算中同样适用！ 说出下列算式的运算顺序：
+
知识点二：应用类比整式的运算法则计算
复习提问(2)：多项式乘单项式的运算法则是什么？ 多项式除以单项式呢？能用字母表示吗？
例4 计算： 在二次根式的混合运算中同样适用！
（11） 2 3 2 5
（2）(53) (53)
（3）( 5 2)2
练习2 计算
(1) ( 2 6 )( 6 2 )
(2) (2 5 2 )2
（3）(2 2)(32 2)
知识点三：拓展应用—利用“分母有理化” 进行计算
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的 积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式
(a+b)c=ac+bc (a+b)÷c=a÷c+b÷c
在二次根式的混合运算中同样适用！
例3 计算：
1 8 3 6 2 4 23 6 2 2
练习1 计算
（1） 53 2 （2） 8 04 05
（3）11 242 3 2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知识点二：应用类比整式的运算法则计算
复习提问(3)：如何进行多项式与多项式相乘的运算？ 乘法公式有哪些？能用字母表示这些结论吗？ (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd (a+b)(a-b)=a2 –b2 （a+b）2 =a2+2ab+b2
的代数式互为有理化因式。
例如：
3 2 的有理化因式是 3 的有理化因式是
知识点一：应用类比有理数运算法则计算
复习提问(1)：有理数的运算法则有哪些？
先算乘方，再算乘除，后算加减， 有括号先算括号里面的。 在二次根式的混合运算中同样适用！ 说出下列算式的运算顺序：
+
知识点二：应用类比整式的运算法则计算
复习提问(2)：多项式乘单项式的运算法则是什么？ 多项式除以单项式呢？能用字母表示吗？
例4 计算： 在二次根式的混合运算中同样适用！
（11） 2 3 2 5
（2）(53) (53)
（3）( 5 2)2
练习2 计算
(1) ( 2 6 )( 6 2 )
(2) (2 5 2 )2
（3）(2 2)(32 2)
知识点三：拓展应用—利用“分母有理化” 进行计算
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的 积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式
(a+b)c=ac+bc (a+b)÷c=a÷c+b÷c
在二次根式的混合运算中同样适用！
例3 计算：
1 8 3 6 2 4 23 6 2 2
练习1 计算
（1） 53 2 （2） 8 04 05
（3）11 242 3 2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
知识点二：应用类比整式的运算法则计算
复习提问(3)：如何进行多项式与多项式相乘的运算？ 乘法公式有哪些？能用字母表示这些结论吗？ (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd (a+b)(a-b)=a2 –b2 （a+b）2 =a2+2ab+b2
的代数式互为有理化因式。
例如：
3 2 的有理化因式是 3 的有理化因式是
人教版八年级下册16.3《二次根式的加减》课件(共33张PPT)
合作探究
问题2
形成知识
怎样计算
8 + 18
？
如果看不出 化，先看算式 3
3 2-
8 + 18 22
能否化简，我们不妨把问题简
能否化简．
2
2 =（ 3 - 1 ） 2 = 2
用分配 律合并
整式 加减
你能得到这样的两个二次根式加减的方法吗？ 将同类二次根式用分配律合并．
合作探究
算式
形成知识
8 + 1 8 与算式 3 22
合作探究 形成知识
例1
（ （ 1）
计算：
8+ 3）
8+ 48 +
6 ；
3） 18 = 4
（4 （ 2）
6 = 8
2 -3
6 +
6） 2
3 6
2 ．
解： （ 1） （
=
3+3
2；
思考：（1）中，每一步的依据是什么？ 第一步的依据是：分配律或多项式乘单项式； 第二步的依据是：二次根式乘法法则； 第三步的依据是：二次根式化简．
（ 48 +
2 0 ）（ 12 -
5 ）= 4
3+2
5-2
3+
5 =2
3 +3 5
化成最简 二次根式
合并被开方 数相同的二 次根式
自主学习 复习引入
思考：二次根式加减，分为几个步骤？
二次根式的加减主要归纳为两个步骤： 第一步，先将二次根式化成最简二次根式； 第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
的结果是
B．
20 3
330 2 3
30 3
3 C．
16.3 二次根式的加减(第1课时)(课件)八年级数学下册(人教版)
知识点一 同类二次根式
活动1 观察下列二次根式的被开数有什么共同特征：
（1） 2，3 2，-
2
5
1
2，
3
2 ···
2
（2） 3，17 3，- 5 3， ·
3··
13
每组的二次根式的被开方数相同
活动2 思考下列二次根式具有的被开数以上特征吗？你怎样发现的？：
9
（3） 2， 8， 18， 32， 0.5，2
2 10
8
2
3
5
3
2
ab
2
b
(1) 75 =____；(2) 8a b =_______；(3) =_____.
5
5
问题 现有一块长 7.5 dm、宽 5 dm 的木板，能否采用如图的方式，在这
块木板上截出两个分别是 8 dm2 和 18 dm2 的正方形木板？
5 dm
5 dm
8 18
8
18
2
2
2
5
2
1 4.
课堂总结
一般地，二次根式的
法
则
加减时，可以先将二次根
式化成最简二次根式，再
将被开方数相同的二次根
二次根
式加减
式进行合并.
注
运算原理
运算律仍然适用
运算顺序
与实数的运
算顺序一样
意
(乘法分配律逆用)
5 2
(有理数的加减)
归纳知识
2.二次根式的加减法法则
将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并.
简记：一化、二找、三合并
典例精析
【例3】计算:
(1) 80 45;
1
《二次根式的混合运算》二次根式PPT课件 (共25张PPT)
x y 与 x y 互为有理化因式.
想一想
a b 的有理化因式为 a b
;
; ;
a b 的有理化因式为
b
ab
a x b y 的有理化因式为 a x b y
a b 的有理化因式为
.
例题1 把下列各式分母有理化:
1
3 ; 3 1
1 ; 2 4 3 3 2
分子和分母 都乘以分母的有 理化因式.
2
2已知a 3 2
5, b 3 2 5, 求a b ab 的值
2 2
复习 计算
1 1 1 5 12 9 48; 3 2
2
3
2 m n;
ab a b b.
2
例题4 解下列方程和不等式:
1
2
3 2 6x 2 2;
5x 6 3 3 5x.
问题
怎样计算下式？观察所得的积是否 含有二次根式？
x y x y x y
含有二次根式
不含二次根式
两个含有二次根式的非零代数式相乘,如 果它们的积不含有二次根式,就说这两个含有 二次根式的非零代数式互为有理化因式.
x y 与 x y 互为有理化因式.
复习 计算
2 1 3 40 2 0.1; 5
人教版八年级下册数学 二次根式
二次根式的混合运算
二个含有二次根式的代数式相 乘，如果它们的积不含有二次根式， 我们就说这两个含有二次根式的代 数式互为有理化因式.
例如： x y 的有理化因式是 x y 的有理化因式是
x y
x y
a x b y 的有理化因式是 a x b y
指出下列各式的有理化因式
想一想
a b 的有理化因式为 a b
;
; ;
a b 的有理化因式为
b
ab
a x b y 的有理化因式为 a x b y
a b 的有理化因式为
.
例题1 把下列各式分母有理化:
1
3 ; 3 1
1 ; 2 4 3 3 2
分子和分母 都乘以分母的有 理化因式.
2
2已知a 3 2
5, b 3 2 5, 求a b ab 的值
2 2
复习 计算
1 1 1 5 12 9 48; 3 2
2
3
2 m n;
ab a b b.
2
例题4 解下列方程和不等式:
1
2
3 2 6x 2 2;
5x 6 3 3 5x.
问题
怎样计算下式？观察所得的积是否 含有二次根式？
x y x y x y
含有二次根式
不含二次根式
两个含有二次根式的非零代数式相乘,如 果它们的积不含有二次根式,就说这两个含有 二次根式的非零代数式互为有理化因式.
x y 与 x y 互为有理化因式.
复习 计算
2 1 3 40 2 0.1; 5
人教版八年级下册数学 二次根式
二次根式的混合运算
二个含有二次根式的代数式相 乘，如果它们的积不含有二次根式， 我们就说这两个含有二次根式的代 数式互为有理化因式.
例如： x y 的有理化因式是 x y 的有理化因式是
x y
x y
a x b y 的有理化因式是 a x b y
指出下列各式的有理化因式
新人教版初二下册数学 16.3二次根式的加减 教学课件PPT
2
解：(1)原式 =[（2 2 3）（2 2+3）]2018
=（ 1）2018
(2)原式 （[ 2 -
3）（2
3）]2017 （2
3）2
2
3 2
12017 （7+4 3） 3
巩固练习
3. 计算：
（1）（2 2 -1）2 （2）（ 2 - 3）（ 5 7）（ 2 3）
6.如果最简二次根式 3a与 8 可以17合并2a，那么要使式子
有意义，求4ax的2取x 值范围.
xa
解：由题意得3a-8=17-2a,
∴a=5，
∴ 4a 2x 20 2x ,
xa
x5
∴20-2x≥0，x-5＞0，
∴5＜x≤10.
课堂检测
能力提升题
已知a,b,c满足 a
a
a
aa
a
a
a
由上图，易得2a+3a=5a.
a
aa 你发现 了什么？
当a= 2 时，分别代入左右得 2 2 3 2=5 2 ;
当a= 3 时，分别代入左右得 2 3 3 3=5 3 ;......
探究新知
前面依次往下推导，由特殊到一般易知二次根式的被 开方数相同可以合并.继续观察下面的过程：
16.3二次根式的加减
二次根式的加减运算
导入新知
有八只小白兔，每只身上都标有一个最简二次根式，你能 根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不同的栅栏里吗？
2
23
25
3 2
3 2 2 7 5
47
探究新知
知识点 1 二次根式可以合并的条件 在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则.观察下图并思考.
解：(1)原式 =[（2 2 3）（2 2+3）]2018
=（ 1）2018
(2)原式 （[ 2 -
3）（2
3）]2017 （2
3）2
2
3 2
12017 （7+4 3） 3
巩固练习
3. 计算：
（1）（2 2 -1）2 （2）（ 2 - 3）（ 5 7）（ 2 3）
6.如果最简二次根式 3a与 8 可以17合并2a，那么要使式子
有意义，求4ax的2取x 值范围.
xa
解：由题意得3a-8=17-2a,
∴a=5，
∴ 4a 2x 20 2x ,
xa
x5
∴20-2x≥0，x-5＞0，
∴5＜x≤10.
课堂检测
能力提升题
已知a,b,c满足 a
a
a
aa
a
a
a
由上图，易得2a+3a=5a.
a
aa 你发现 了什么？
当a= 2 时，分别代入左右得 2 2 3 2=5 2 ;
当a= 3 时，分别代入左右得 2 3 3 3=5 3 ;......
探究新知
前面依次往下推导，由特殊到一般易知二次根式的被 开方数相同可以合并.继续观察下面的过程：
16.3二次根式的加减
二次根式的加减运算
导入新知
有八只小白兔，每只身上都标有一个最简二次根式，你能 根据被开方数的特征将这些小白兔分到四个不同的栅栏里吗？
2
23
25
3 2
3 2 2 7 5
47
探究新知
知识点 1 二次根式可以合并的条件 在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则.观察下图并思考.
人教版八年级数学下册课件：16.3.2-二次根式的混合运算(共20张PPT)
P14T1 （3）( 5 3)( 5 2)
新知1 二次根式的四则混合运算
问题1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些? 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2; (a-b)2=a2-2ab+b2. 问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗?
解：(1)原式 8 6 3 6 48 18 4 33 2
(2)原式 4 2 2 2 3 6 2 2 2 3 3 2
P14T1 （1） 2( 3 5) （2）( 80 40) 5
P14例（4 1） ( 2 3)( 2 5)
解：(1)原式 2 2 5 2 3 2 15 13 2 2
解：(3)原式 ( 3 )2 2 3 2 22 34 34 4 37
P14T 2 (4)(2 5 2 )2
【例1】计算：
举一反三 1. 计算：
解：原式 3 5 20 3 52 5 5
解：原式 2 (4 3 2 12 3) 2( 2 8 3) 28 6
新知2 代数式的化简与求值
思考 若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同 学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？
新知1 二次根式的四则混合运算
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样， 体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.
P14例1 计算（：1）（ 8+ 3） 6 ；（2）（4 2 3 6 ） 2 2；
§16.3 二次根式的乘除
§16 二次根式
复习 引入
问题1 单项式与多项式、多项式与多项式 的乘法法则法则分别是什么?
m(a+b+c)=ma+mb+mc； (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb
新知1 二次根式的四则混合运算
问题1 整式乘法运算中的乘法公式有哪些? 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2;
完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2; (a-b)2=a2-2ab+b2. 问题2 整式的乘法公式对于二次根式的运算也适用吗?
解：(1)原式 8 6 3 6 48 18 4 33 2
(2)原式 4 2 2 2 3 6 2 2 2 3 3 2
P14T1 （1） 2( 3 5) （2）( 80 40) 5
P14例（4 1） ( 2 3)( 2 5)
解：(1)原式 2 2 5 2 3 2 15 13 2 2
解：(3)原式 ( 3 )2 2 3 2 22 34 34 4 37
P14T 2 (4)(2 5 2 )2
【例1】计算：
举一反三 1. 计算：
解：原式 3 5 20 3 52 5 5
解：原式 2 (4 3 2 12 3) 2( 2 8 3) 28 6
新知2 代数式的化简与求值
思考 若把字母a,b,c,m都用二次根式代替(每个同 学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？
新知1 二次根式的四则混合运算
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样， 体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.
P14例1 计算（：1）（ 8+ 3） 6 ；（2）（4 2 3 6 ） 2 2；
§16.3 二次根式的乘除
§16 二次根式
复习 引入
问题1 单项式与多项式、多项式与多项式 的乘法法则法则分别是什么?
m(a+b+c)=ma+mb+mc； (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb
《二次根式的混合运算》二次根式PPT课件2 (共22张PPT)
【针对训练】
【答案】
探究点二 多项式乘法法则积公式在 二次根式混合运算中的应用
活动二：阅读教材第16页例5，相互交 流思考下列问题 ：
（1）第（1）小题的第一步的计算依据是什么？ （2）第（2）小题的第一步的计算依据是什么？
【小组讨论2】
(1)二次根式的运算中还能使用 多项式的乘法法则和公式吗 ？
活动一：阅读教材第16页例4，相互交流思 考下列问题 ：
（1）第（1）小题第一步的依据是什么？ 第二步的根据是什么？第三步为什么没有合并 ？ （2）第（2）小题第一步根据整式除法中 的什么法则？第二部应用的整式除法中的什么 运算法则？
【小组讨论1】
(1)二次根式的混合运算与 整式的混合运算有什么相 似之处 ？
二次根式的混合运算
●激情导入
这节课我们就来学习二次根式的混合运算.
●理清学习目标
• 1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含 有二次根式的多项式乘法公式的应用． • 2、复习整式运算知识并将该知识运用于含 有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．
●自主预习练习
●聚焦主题合作探究
探究点一 运算律在二次根式混合运算 中的应用
•
1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职 责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志》刘备语 译：对任何一件事，不要因为它是很小的、不显眼的坏事就去做；相反，对于一些微小的。却有益于别人的好事，不要因为它意义不大就不去做它。 3．见善如不及，见不善如探汤。 ——《论语》 译：见到好的人，生怕来不及向他学习，见到好的事，生怕迟了就做不了。看到了恶人、坏事，就像是接触到热得发烫的水一样，要立刻离开，避得远远的。 4．躬自厚而薄责于人，则远怨矣。 ——《论语》 译：干活抢重的，有过失主动承担主要责任是“躬自厚”，对别人多谅解多宽容，是“薄责于人”，这样的话，就不会互相怨恨。 5．君子成人之美，不成人之恶。小人反是。 ——《论语》 译：君子总是从善良的或有利于他人的愿望出发，全心全意促使别人实现良好的意愿和正当的要求，不会用冷酷的眼光看世界。或是唯恐天下不乱，不会在别人有失败、 错误或痛苦时推波助澜。小人却相反，总是“成人之恶，不成人之美”。 6．见贤思齐焉，见不贤而内自省也。 ——《论语》 译：见到有人在某一方面有超过自己的长处和优点，就虚心请教，认真学习，想办法赶上他，和他达到同一水平；见有人存在某种缺点或不足，就要冷静反省，看自己 是不是也有他那样的缺点或不足。 7．己所不欲，勿施于人。 ——《论语》 译：自己不想要的（痛苦、灾难、祸事……），就不要把它强加到别人身上去。 8．当仁，不让于师。 ——《论语》 译：遇到应该做的好事，不能犹豫不决，即使老师在一旁，也应该抢着去做。后发展为成语“当仁不让”。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。 18．君子坦荡荡，小人长戚戚。 ——《论语》 译：君子心胸开朗，思想上坦率洁净，外貌动作也显得十分舒畅安定。小人心里欲念太多，心理负担很重，就常忧虑、担心，外貌、动作也显得忐忑不安，常是坐不定， 站不稳的样子。ຫໍສະໝຸດ 【针对训练】【答案】
《二次根式的混合运算》二次根式PPT课件2 (共22张PPT)
二次根式的混合运算
●激情导入
这节课我们就来学习二次根式的混合运算.
●理清学习目标
• 1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含 有二次根式的多项式乘法公式的应用． • 2、复习整式运算知识并将该知识运用于含 有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．
●自主预习练习
●聚焦主题合作探究
探究点一 运算律在二次根式混合运算 中的应用
【针对训练】
【答案】
探究点二 多项式乘法法则积公式在 二次根式混合运算中的应用
活动二：阅读教材第16页例5，相互交 流思考下列问题 ：
（1）第（1）小题的第一步的计算依据是什么？ （2）第（2）小题的第一步的计算依据是什么？
【小组讨论2】
(1)二次根式的运算中还能使用 多项式的乘法法则和公式吗 ？
活动一：阅读教材第16页例4，相互交流思 考下列问题 ：
（1）第（1）小题第一步的依据是什么？ 第二步的根据是什么？第三步为什么没有合并 ？ （2）第（2）小题第一步根据整式除法中 的什么法则？第二部应用的整式除法中的什么 运算法则？
【小组讨论1】
(1)二次根式的混合运算与 整式的混合运算有什么相 似结梳理整合提高
1.本课掌握一种数学思想：类比（二次 根式的混合运算可以类比整式的混合运算） ； 2.进行二次根式的混合运算时，先算乘 除，后算加减，若有括号应先算括号里面．
●当堂检测反馈矫正
【答案】
●课后作业测评：
• 上交作业：教科书第18页第4题 ．
• 课后作业：“学生用书”的“课后评价 案”部分．
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
●激情导入
这节课我们就来学习二次根式的混合运算.
●理清学习目标
• 1、含有二次根式的式子进行乘除运算和含 有二次根式的多项式乘法公式的应用． • 2、复习整式运算知识并将该知识运用于含 有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．
●自主预习练习
●聚焦主题合作探究
探究点一 运算律在二次根式混合运算 中的应用
【针对训练】
【答案】
探究点二 多项式乘法法则积公式在 二次根式混合运算中的应用
活动二：阅读教材第16页例5，相互交 流思考下列问题 ：
（1）第（1）小题的第一步的计算依据是什么？ （2）第（2）小题的第一步的计算依据是什么？
【小组讨论2】
(1)二次根式的运算中还能使用 多项式的乘法法则和公式吗 ？
活动一：阅读教材第16页例4，相互交流思 考下列问题 ：
（1）第（1）小题第一步的依据是什么？ 第二步的根据是什么？第三步为什么没有合并 ？ （2）第（2）小题第一步根据整式除法中 的什么法则？第二部应用的整式除法中的什么 运算法则？
【小组讨论1】
(1)二次根式的混合运算与 整式的混合运算有什么相 似结梳理整合提高
1.本课掌握一种数学思想：类比（二次 根式的混合运算可以类比整式的混合运算） ； 2.进行二次根式的混合运算时，先算乘 除，后算加减，若有括号应先算括号里面．
●当堂检测反馈矫正
【答案】
●课后作业测评：
• 上交作业：教科书第18页第4题 ．
• 课后作业：“学生用书”的“课后评价 案”部分．
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
《二次根式的混合运算》二次根式PPT课件
例2、计算
(1)(3 2 4 5)2
(2)(2 3 5)(2 3 5)
(3)(2 3 5)2 (2 3 5)2 (4)(3 10 )2005 (3 10 )2005
例题4 解下列方程和不等式:
1 3 2 6x 2 2;
2 5x 6 3 3 5x.
二次根式的混合运算
的
值.
4.已知a 1 , b 1 ，求a 2 b2的值.
32
32
问题
怎样计算下式？观察所得的积是否含 有二次根式？
x y x y x y
含有二次根式
不含二次根式
两个含有二次根式的非零代数式相乘,如果 它们的积不含有二次根式,就说这两个含有二 次根式的非零代数式互为有理化因式.
x y 与 x 互y为有理化因式.
求 x2 6x值.2 x3
先将 x分母有
理化.
例题4 解不等式: 2x 3 3x.
复习
1.已知x 1 ,求 x2 6x 2 的值；
32 2
x3
2.已知x
1 ，求 2 1
x x2
1 x
x2
x 2x
1
1 x
的值；
3.已知a
1 ，求1- 2a a2
52
a 1
a
2
a
2a 2 a
1
练习
x 2 xy y
x y
x y x y
例题3 如图,在面积为 的2a正方形
中,截AB得C直D角三角形 的面积为AB,E求
的长.
3a BE
3
解 因为正方形 ABCD A
D
面积为 2a,
所以 AB 2a.
1 • BE • 2a 3a
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又 ∵ 6 14
2
0
7 13
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7 13
0
6 14
已知a 3 2 , b 3 2， 求a ab b 的值.
2 2
解：原式
3 2 3 2 3 2 5 2 6 3 2 5 2 6
复习：1、计算
(1)3 2 3 2 2 3 3
解：原式 （3 2 2 2） （ 3 3 3）
2 2 3
强调： 先化简，
(2) 8 18 12
解：原式 4 2 9 2 4 3 2 2 3 2 2 3 5 2 2 3
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小结
1．同类二次根式是相对于一组二次根式而言的．判 断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要把这几 个二次根式化为最简二次根式，然后再看它们的被开 方数，如果被开方数相同，那么原来的几个二次根式 就是同类二次根式． 2．同类二次根式不一定是最简二次根式．如: 2 8 50 等.
3.几个二次根式相加减先把各个二次根式化成最简二 次根式,再把同类二次根式分别合并.
( 2) 2 2 2 1 ( 2) 2 1
2 2 2 1 3 2 2
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1 5 计算： 1 5
1 5 (1 5)(1 5) 解： 1 5 (1 5)(1 5)
1 2 5 ( 5) 2 12 ( 5) 2
再合并
例2计算： 1 (1)2 12 6 3 48 3 (2)( 12 20) ( 3 5) 2 x 1 (3) 9x 6 2x 3 4 x
1 2 x 3 3 1 3 2 5 x33 5 2 . 12 20 4 32 3 2 3 12 1 . 2 12 6 48 314 x3 x x 2 3. 9 x 6 3 2 x 52 3 4 x
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§16.3.2二次根式的混 合运算
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3 ) 2; (2) (2 3 2)(1 2) 计算： (1) ( 6 8
3 解： (1) ( 6 ) 2 8
6 2 6 2 3 2 8
2 2 2 3 6 2 2
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3 2 3 2
做一做
如果梯形的上、下底边长分别为 2 2cm, 4 3cm 高为 6cm 那么它的面积是多少？ 小玲是这样计算的： 梯形的面积是：
1 （2 2 4 3） 6 2
（ 2 2 3） 6 2 6 2 3 6 2 6 2 3 6 2 2 3 2 3 3 2 2 3 23 2
1 2 5 5 1 5
62 5 4
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3 1 5 2 2
2.计算：
1
2 3 1
2
2 3 2 2 3
3 1
3 1
3 1
2 3 2 3 2 3 2 3
2
3） ( 5 33 )2 5
2
5 3
2
2
（3）（ 3 2 5）
3 2 3 2 5 2 5 解：原式 观察题目的特点 9 12 5 20 是否能应用 12 5 29 乘法公式
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1.计算：
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(1). 27 3 6 2 (2). 8 3 6
解：原式 3 3 3 12
解：原式
3 3 6 3
3 3
8 6 3 6 48 18 3 3 3 2
(3).(4 2 3 6 ) 2 2
解：原式 4
2
3 2
2
5 2 6 1 5 2 6 9
想一想：还有其他方法吗？
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已知a 3 2 , b 3 2， 求a ab b 的值.
2 2
解二：a ab b
2 2
2 2
a 2ab b ab 2 (a b) ab
2
1
25 30 3 18 43 30 3
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2 1 如何计算 ? 2 1
2 1 ( 2 1)( 2 1) 2 1 ( 2 1)( 2 1)
从例4的第（1）小题的 结果受到启发，把分子 与分母都乘以 ( 2 1) 就可以使分母变成1
3 2 3 2 3 2 3 2
2
2
2 2
1 8 1 9
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1 2 1.若x ,则 x 2x 1 ( 2 1 A. 2 C.2 2
2 2
D
)
B. 2 2 D.2
2. 已知：x y 19, xy 3, x 求 y y 的值。 5 3 x 3
2 36 （ 2 cm2 )
二次根式的混合运算是根据实数的运算律
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2
计算
解：原式 解：原式 （ 1 ）（ 2 3 ） ( 2 5 ) 2 2 2 3 2 5 2 15
2 155 (2 2)2 （ 13 2 2
1
3 5 15 4 5
2
1 2 3 3 3
5 34 3 3
3 3 6 3 6 5 3 3
3
2 3 2 3
2
4
2
5 3 2
2
2
3
2
5 2 5 3 2 3 2
解：
3 3 5
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计 算 解：原式
1 1 32 3 48 10 0.08 3 2
4 2 3 2 32 2
4 2 3 2 32 2 6 2 3 3
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6 2 2
2 3 1
2
44 3 3
74 3
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提高题
比较根式的大小.要求不用计算器计算。
6 14和 7 13
解 :∵ √ 84 √ 84 +14=20+2 （ 6 14 ） 6+2
2
（ 7 13 ） 20+2 91
2 2 3
2 1 2
22 2 3 2 3 2 2
2 2 二次根式 的和相乘与多项式的乘法相类似．我 们可以利用多项式的乘法公式，进行 某些二次根式的和相乘
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3 2 8 3 3 2 2 4
2 3
3 2
1 (2 ) 3 2 3 3 2
计算
1、注意运算顺序 2、运用运算律
(1). 27 3 6 2 (2). 8 3 6 (3).(4 2 3 6 ) 2 2
整式运算的运算律在 二次根式的运算中仍然适应.
2
0
7 13
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7 13
0
6 14
已知a 3 2 , b 3 2， 求a ab b 的值.
2 2
解：原式
3 2 3 2 3 2 5 2 6 3 2 5 2 6
复习：1、计算
(1)3 2 3 2 2 3 3
解：原式 （3 2 2 2） （ 3 3 3）
2 2 3
强调： 先化简，
(2) 8 18 12
解：原式 4 2 9 2 4 3 2 2 3 2 2 3 5 2 2 3
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小结
1．同类二次根式是相对于一组二次根式而言的．判 断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要把这几 个二次根式化为最简二次根式，然后再看它们的被开 方数，如果被开方数相同，那么原来的几个二次根式 就是同类二次根式． 2．同类二次根式不一定是最简二次根式．如: 2 8 50 等.
3.几个二次根式相加减先把各个二次根式化成最简二 次根式,再把同类二次根式分别合并.
( 2) 2 2 2 1 ( 2) 2 1
2 2 2 1 3 2 2
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1 5 计算： 1 5
1 5 (1 5)(1 5) 解： 1 5 (1 5)(1 5)
1 2 5 ( 5) 2 12 ( 5) 2
再合并
例2计算： 1 (1)2 12 6 3 48 3 (2)( 12 20) ( 3 5) 2 x 1 (3) 9x 6 2x 3 4 x
1 2 x 3 3 1 3 2 5 x33 5 2 . 12 20 4 32 3 2 3 12 1 . 2 12 6 48 314 x3 x x 2 3. 9 x 6 3 2 x 52 3 4 x
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§16.3.2二次根式的混 合运算
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3 ) 2; (2) (2 3 2)(1 2) 计算： (1) ( 6 8
3 解： (1) ( 6 ) 2 8
6 2 6 2 3 2 8
2 2 2 3 6 2 2
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3 2 3 2
做一做
如果梯形的上、下底边长分别为 2 2cm, 4 3cm 高为 6cm 那么它的面积是多少？ 小玲是这样计算的： 梯形的面积是：
1 （2 2 4 3） 6 2
（ 2 2 3） 6 2 6 2 3 6 2 6 2 3 6 2 2 3 2 3 3 2 2 3 23 2
1 2 5 5 1 5
62 5 4
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3 1 5 2 2
2.计算：
1
2 3 1
2
2 3 2 2 3
3 1
3 1
3 1
2 3 2 3 2 3 2 3
2
3） ( 5 33 )2 5
2
5 3
2
2
（3）（ 3 2 5）
3 2 3 2 5 2 5 解：原式 观察题目的特点 9 12 5 20 是否能应用 12 5 29 乘法公式
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1.计算：
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(1). 27 3 6 2 (2). 8 3 6
解：原式 3 3 3 12
解：原式
3 3 6 3
3 3
8 6 3 6 48 18 3 3 3 2
(3).(4 2 3 6 ) 2 2
解：原式 4
2
3 2
2
5 2 6 1 5 2 6 9
想一想：还有其他方法吗？
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已知a 3 2 , b 3 2， 求a ab b 的值.
2 2
解二：a ab b
2 2
2 2
a 2ab b ab 2 (a b) ab
2
1
25 30 3 18 43 30 3
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2 1 如何计算 ? 2 1
2 1 ( 2 1)( 2 1) 2 1 ( 2 1)( 2 1)
从例4的第（1）小题的 结果受到启发，把分子 与分母都乘以 ( 2 1) 就可以使分母变成1
3 2 3 2 3 2 3 2
2
2
2 2
1 8 1 9
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1 2 1.若x ,则 x 2x 1 ( 2 1 A. 2 C.2 2
2 2
D
)
B. 2 2 D.2
2. 已知：x y 19, xy 3, x 求 y y 的值。 5 3 x 3
2 36 （ 2 cm2 )
二次根式的混合运算是根据实数的运算律
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2
计算
解：原式 解：原式 （ 1 ）（ 2 3 ） ( 2 5 ) 2 2 2 3 2 5 2 15
2 155 (2 2)2 （ 13 2 2
1
3 5 15 4 5
2
1 2 3 3 3
5 34 3 3
3 3 6 3 6 5 3 3
3
2 3 2 3
2
4
2
5 3 2
2
2
3
2
5 2 5 3 2 3 2
解：
3 3 5
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计 算 解：原式
1 1 32 3 48 10 0.08 3 2
4 2 3 2 32 2
4 2 3 2 32 2 6 2 3 3
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6 2 2
2 3 1
2
44 3 3
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比较根式的大小.要求不用计算器计算。
6 14和 7 13
解 :∵ √ 84 √ 84 +14=20+2 （ 6 14 ） 6+2
2
（ 7 13 ） 20+2 91
2 2 3
2 1 2
22 2 3 2 3 2 2
2 2 二次根式 的和相乘与多项式的乘法相类似．我 们可以利用多项式的乘法公式，进行 某些二次根式的和相乘
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3 2 8 3 3 2 2 4
2 3
3 2
1 (2 ) 3 2 3 3 2
计算
1、注意运算顺序 2、运用运算律
(1). 27 3 6 2 (2). 8 3 6 (3).(4 2 3 6 ) 2 2
整式运算的运算律在 二次根式的运算中仍然适应.