解析几何第三章

M
M0 50
M1

x y z 1 例1 求直线 ： 绕直线 2 1 0 得的旋转曲面的方程
l : x y z 旋转所
( x x1 ) ( y y1 ) ( z z1 ) 0 2 2 2 2 2 2 x y z x y z 1 1 1 x y1 z1 1 1 1 0 2
5 x y z 1 ( x y z 1)2 9
2 2 2
单叶旋转双曲面
51
例2 设母线
F y, z 0 ， : x 0
⑴ 绕 z 轴旋转所得的旋转面方程；
f x 2 y 2 , z 0,


2 2 f ( y , x z )0 ⑵ 绕 y 轴旋转所得的旋转面方程
22
5. 投影曲线
空间曲线L在坐标平面的投影
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0.
投影柱面 消去z后 H（x，y）=0 投影曲线 H ( x , y ) 0

z 0.
23
空间曲线在xoy 面上的投影曲线
H ( x, y) 0 z 0
M
纬圆
经线和母线 一样吗？

S
经线
48
经线
纬圆（纬线）
49
二、旋转曲面的方程（直角坐标系）
F1 x , y , z 0 : ， F x , y, z 0 2
设旋转曲面的母线
旋转轴为直线
l:
x x 0 y y0 z z 0 X Y Z
旋转
.
b z
x
0
y2 x2 z 2 2 2 1 2 b c c
双叶旋转双曲面
55
例4.练习
（1）求以z轴为对称轴，半顶角为 0 的圆锥面方程 2 （2）求以z轴为对称轴，半径为r的圆柱面方程
56
3.4
二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面
如F ( x , y , z ) a11 x a22 y a33 z
y x 1
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) ，
半径为2 的圆
斜率为1的直线
以z 轴为中心轴的圆柱面
平行于 z 轴的平面
21
4.圆柱面
圆柱的几何特征 柱面的常规求法
y z 例2.求半径为1，对称轴为 x= 的圆柱面方程. 2 3
第三章 常见曲面
教学目的：掌握柱面，锥面，旋转曲面，二次曲面 直纹面
wenku.baidu.com（直角坐标系）
1
3.1
空间曲面与空间曲线的方程
2
一、曲面方程
1.一般方程
如果曲面S 与三元方程F ( x , y , z ) 0 有下述关系：
(1)曲面上的点的坐标 ( x, y, z )满足方程
( 2)满足方程的（ x, y, z )是曲面上的点
F ( x, y, z ) 0 G ( x , y , z ) 0
特点：
曲线C上的点的坐标都满足 方程组； 满足方程组的数组（x,y,z)都 是曲线上点的坐标.
z
S1
S2
o
x
C
y
5
2. 参数方程
x x( t ) y y( t ) z z(t )
tI
z
x a cos t y a sin t z vt
螺旋线
t
o
x A
M

M
y
如果从其他点出发呢？
10
课堂练习：
x a( u v ) 1.求曲面 y b( u v )的一般方程 z uv
x2 y2 2.求曲面 2 2 2 z的参数方程 a b
x2 y2 z2 2 2 2 1 a b c
用平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察截痕的形状及变化， 从而了解曲面的全貌．
58
x y z 2 2 a b
2 2
2
2
x y 2 2 z a b
1.椭球面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
z
截痕法
用z = h截曲面 用y = m截曲面
此时F ( x, y, z ) 0, 称为x, y, z的k次齐次方程.
例.F ( x , y, z ) ax by cz 0
2 a F ( x, y, z ) x 2 y 2 2 z 2 0 c 1 1 2z F ( x, y, z ) tan 0 x yz x y
15
2 2 2 x y z 1 例1 柱面的准线为方程 2 2 2 2x 2 y z 2 而母线的方向数是 1， 0， 1，求柱面的方程
x 2 y 2 z 2 2 xz 1 0
16
z
椭圆柱面
x y 2 1 2 a b
31
关于锥面的一个定理：
关于x,y,z的齐次方程总表示 顶点在原点的锥 面.
2 2 2 x y z 如： 2 2 0 2 a b c
所表示的曲面是一个锥面
32
3.3 旋转曲面(circumgyrate cover)
播放 33
生活中见过旋 转曲面吗？
46
47
Ⅰ 母线上点绕轴 l 旋转的轨迹是一个圆，称为旋转面的纬圆或纬线 Ⅱ 以旋转轴 l 为边界的半平面与旋转面的交线称为旋转面的经线 l
2 2 2
2a12 xy 2a13 xz 2a23 yz 2a14 x 2a24 y 2a34 z a44 0
先研究标准方程
57
五种标准方程
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
如何了解图形的结构？
1.图形的对称性； 2.分布范围； 3.截痕法
x2 y2 z2 2 2 2 1 a b c
x2 y2 3.求曲面 2 2 1的参数方程 a b
2 2 2 x 3 y 5 z 5 4. 2 是球面曲线吗？ 2 2 y 4z 3
11
3.2 柱面和锥面
12
一. 柱面
1.定义 平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成 的曲面称为柱面.
柱面的形成 过程:
A x0 , y0 ,z0
28
3.举例 (example)
2 x2 y 例1 .求顶点在原点，准线为 2 2 1 b a z c 的锥面方程.
2 2 2 x y a 例2 . 求顶点在原点，准线为 z c 的锥面方程.
2 a x2 y2 2 z2 0 c
2
2
o
y
17
x
3.特殊情形
a）母线平行于x轴，方程为F(y,z )=0 b）母线平行于y轴，方程为F(x,z )=0 c）母线平行于z轴，方程为 F(x，y)=0
18
双曲柱面
z
x z 2 2 1 a b
2
2
o
y
x 19
z y
抛物柱面
y 2 px
2
o
x
20
思考题解答
方程
x2
x2 y2 4
类似地，
yoz 面上的投影曲线,
R( y , z ) 0 x 0
xoz 面上的投影曲线,
T ( x , z ) 0 y 0
24
例3空间曲线在坐标面上的投影
求曲面z 2 - x 2 - y 2 及z x 2 y 2的交线L在xoy平面的投影。
z
L
1
x2 y2 1
c
o
b
y
用x = n截曲面
x
a
参数方程会求吗？
59
2.单叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 2 1 a b c
z
所用截平面 截痕 //xoy面 椭圆 //yoz面 双曲线 //zox面 双曲线
x
o a
y
60
z
3.双叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 2 1 a b c
0
x
y
所用截平面 截痕 //xoy面 椭圆 //yoz面 双曲线 //zox面 双曲线
·
3
2.参数方程
x f1 ( u, v ) y f 2 ( u, v ) ( u, v ) D z f ( u, v ) 3
( u, v ) D ( x, y, z ) 曲面S上的点
4
二、空间曲线方程
1.一般方程
空间曲线的参数方程? 空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
思考：空间曲线C与参数方程的关系?
6
例1.求以z轴为对称轴，以R为半径的圆柱面方程.
x 2 y 2 R2
z
思考：参数方程呢？
M

o
x
y
7
z
M

v
x
x R cos u y R sin u z v
y
0 u 2 v
o u
( R, u, v )为点M的柱面坐标
x 2 y 2 tan2 z 2 0
圆锥面
半顶角
29
4.圆锥面
圆锥的几何特征 锥面的常规求法
例3.求以原点为顶点，对称轴为 x=y z 半顶角为 的圆锥面方程. 6

30
5.齐次方程
若F ( tx , ty , tz ) t k F ( x , y , z ), t为任意实数, 则称F ( x , y , z ) 为k次齐次函数： .
26
二、锥 面 (prick face)
1. 定义：由通过一
定点且与定曲线相 交的一族 直线形成 的曲面.
顶点
准线
母线
如何说明一个曲面是锥面？ 锥面由一族相交直线生成！ 27
2.求锥面方程：
F1 ( x , y , z ) 0 准线方程 F2 ( x , y , z ) 0
顶点
x y 2 pz
2 2
53
z
y2 z2 2 1 绕z轴 2 将双曲线 : c b x 0 旋转
o
.
b
y
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 b b c
单叶旋转双曲面
x
54
y
y2 z2 2 2 1 : 将双曲线 b c 绕 y轴 x 0
o
x
z =0
2
y
25
练习：
2 2 z x y 1.求曲线 在坐标平面上的投影. 2 2 z 2 x y
2.已知母线平行于z轴的柱面的准线 x 2 +2 xy y 2 3 z 2 2 xz 5 yz 7 0 z 3 求柱面方程及在坐标平面的投影.
准线唯一吗？
母线
如何说明一个曲面是柱面？ 柱面由一族平行直线生成！
准线
13
柱面举例
z
z
y 2x
2
平面
o
y
o
y
x
抛物柱面
x
y x
14
2.求柱面方程
F1 ( x , y , z ) 0 准线方程 F2 ( x , y , z ) 0 母线方向 V ( X ,Y , Z )
N
8
例2.求以原点为球心，以R为半径的球面的参数方程.
x R cos cos y R cos sin 0 2 z R sin 2 2
( R, , )为点M的球面坐标
纬度 经度
经线
纬线
9
例3. 例 4 如果空间一点M 在圆柱面 x 2 y 2 a 2 上以角 速度 绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z 、v 都是常数），那么点 轴的正方向上升（其中 M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
分析： M x, y, z 旋转面
平面 M M1形成的纬圆上 ＝ 球
l
X x x1 Y y y1 Z z z1 0 纬圆： 2 2 2 2 2 2 x x y y z z x x y y z z 0 0 0 1 0 1 0 1 0 F1 x1 , y1 , z1 0 母线： F2 x1 , y1 , z1 0
z
M
M1
o
y
x
52
例3 下列曲面是旋转曲面吗？
x y z 2 2 1 2 b b c
y2 x2 z2 2 2 1 2 b c c
2
2
2
y2 z2 2 1 绕z轴旋转 2 将双曲线 : c b x 0 y2 z2 1 将双曲线 : b2 c 2 绕y轴旋转 x 0