《高等数学》知识在物理学中的应用举例
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《高等数学》知识在物理学中的应用举例
一 导数与微分的应用
分析 利用导数与微分的概念与运算,可解决求变化率的问题。求物体的运动速度、加速度的问题是典型的求变化率问题。在求解这类问题时,应结合问题的物理意义,明确是在对哪个变量求变化率。在此基础上,灵活运用各类导数和微分公式解决具体问题。
例 1 如图,曲柄,r OA =以均匀角速度ω饶定点O 转动.此曲柄借连杆AB 使滑块B 沿直线Ox 运动.求连杆上C 点的轨道方程及速度.设,a CB AC ==
,ϕ=∠AOB .ψ=∠ABO y
解 1) 如图,点C 的坐标为: ψϕcos cos a r x +=, (1) .sin ψa y = (2) 由三角形的正弦定理,有 ,sin 2sin ϕ
ψa r = o x 故得
.2sin 2sin r
y
r a ==
ψϕ (3) 由(1)得
r
y
a x r a x 2
2cos cos --=
-=ψϕ (4) 由,1cos sin )4()3(2222=+=+ϕϕ得
,12422
222222=---++r
y
a x y a x r y 化简整理,得C 点的轨道方程为:
.)3()(422222222r a y x y a x -++=-
2) 要求C 点的速度,首先对(1),(2)分别求导,得 ,sin cos 2cos sin ψψϕωϕωr r x --=' ,2
cos ϕ
ωr y ='
其中.ϕω'=
又因为,sin 2sin ψϕa r = 对该式两边分别求导,得
.cos 2cos ψ
ϕ
ωψa r =
'
所以C 点的速度
2
2
y x V '+'=4
cos )sin cos 2cos sin (2222
ϕωψψϕωϕωr r r +
--= .)sin(cos sin 4cos cos 22ψϕψϕϕψ
ω
++=
r
例2 若一矿山升降机作加速度运动时,其加速度为),2sin
1(T
t
c a π-=式中c 及
T 为常数,已知升降机的初速度为零,试求运动开始t 秒后升降机的速度及其所走过的路程.
解: 由题设及加速度的微分形式dt
dv a =
,有 ,)2sin
1(dt T
t
c dv π-=
对等式两边同时积分
⎰
⎰-=v
t
dt T
t
c dv 0
,)2sin
1(π
得:
,2cos
2D T
t
T
c
ct v ++=ππ
其中D 为常数.
由初始条件:,0,0==t v 得,2c T
D π
-
=于是
)].12(cos
2[-+
=T
t
T t c v ππ
又因为,dt
ds v =
得 ,)]12(cos
2[dt T
t
T
t c ds -+
=ππ
对等式两边同时积分,可得:
)].2sin 2(221[2t T
t T
T t c s -+=πππ
例 3 宽度为d 的河流,其流速与到河岸的距离成正比。在河岸处,水流速度为零,在河流中心处,其值为.c 一小船以相对速度u 沿垂直于水流的方向行驶,求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地点。
解 以一岸边为x 轴,垂直岸的方向为y 轴,如图建立坐标系。 所以水流速度为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
≤≤-≤≤=.2),(,20,d y d y d k d y ky v
由河流中心处水流速度为c ,故)2(2d d k d k c -⨯=⨯=,所以d
c
k 2=
. 当20d y ≤
≤时,y d
c v 2=,即 ,2y d
c
dt dx =,ut y = (1) 得tdt d
cu
dx 2=
. 两边积分,有
⎰
⎰
=x
t
dt t d
cu
dx 0
0,2 2
t d
cu x =
, (2) 由(1)-(2),得
,2y ud c x =
2
0d
y ≤≤. (3) 同理,当
d y d ≤≤2时,)(2y d d
c
v -=,即 ),(2)(2ut d d c
y d d c dt dx -=-=
⎰⎰
-=dt ut d d
c
dx )(2, D y ud
c y u c x +-=
2
2, (4)
其中D 为一常数。由(3)知,当2d y =
时,u cd x 4=,代入(4),得u
cd D 2-=,于是,222u cd y ud c y u c x --=
d y d
≤≤2
. 所以船的轨迹为⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨
⎧
≤≤--=≤≤=.2
,22,2
0,22d y d u cd y ud c y u c x d y y ud c x
船在对岸的靠拢地点,即d y =时有.2u
cd
x =
例 4 将质量为m 的质点竖直抛上于有阻力的媒质中。设阻力与速度平方成正比,即.22gv mk R = 如上掷时的速度为0v ,试证此质点又落至投掷点时的速度为.12
201v
k v v +=
解:质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降两阶段。取向上的力为正,如图,两个过程的运动方程为: v R
上升:,22y g mk mg y m '--='' 。 。 下降:.22y g mk mg y m '+-=''- mg v
上升时 R 下降时 mg
对上升的阶段:
)1(22v k g dt
dv
+-=,即
),1(22v k g dy vdv dt dy dy dv +-== 于是gdy v k vdv -=+2
21. 两边积分⎰⎰-=+002201v h gdy v k vdv
,
得质点到达的高度
)1ln(212
022
v k g
k h +=
. (1) 对下降的阶段:),1(2
2v k g dy
vdv dt dy dy dv -==即得⎰⎰=-100221v h gdy v k vdv ,得
)1ln(21
2122
v k g
k h --
=. (2) 由(1)=(2) 得.120
201v
k v v +=