空间向量与立体几何单元测试

第3章 空间向量与立体几何单元测试
（总分150分，测试时间120分钟）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题： ①若不共面与则点m l m A A l m ,,,∉=⋂⊂αα；
②若m 、l 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ③若m l m l //,//,//,//则βαβα；
④若.//,//,//,,,βαββαα则点m l A m l m l =⋂⊂⊂
其中为假命题的是
（ ）
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
2．矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B —AC —D ，则四面体
ABCD 的外接球的体积为
（ ）
A ．
π12
125 B ．
π6
125 C ．
π9
125
D ．
π3
125
3．已知直线m 、n 与平面βα,，给出下列三个命题： ①若;//,//,//n m n m 则αα ②若;,,//m n n m ⊥⊥则αα ③若.,//,βαβα⊥⊥则m m
其中真命题的个数是
（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4．已知集合M={直线的倾斜角}，集合N={两条异面直线所成的角}，集合P={直线与平面所成的角}，则下面结论中正确的个数为 （ ）
①]2,
0(π
=⋂⋂P N M
②],0[π=⋃⋃P N M ③]2
,0[)(π
=⋃⋂P N M
④)2,0()(π
=⋂⋃P N M
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
5．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱BB 1，B 1C 1的中点，若∠CMN=90°，则异
面直线AD 1与DM 所成的角为 （ ） A ．30° B ．45°
C ．60°
D ．90°
6．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=4，CC 1=2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为
（ ）
A ．2
3 B ．2
5 C ．5
10 D ．10
10
7．已知2
(,2,0),(3,,)a x b x x ==-
，且a b 与的夹角为钝角，则x 的取值范围是 （ ）
A ．4x <
B ．40x -<<
C ．04x <<
D ．4x >
8．正方形ABCD ，沿对角线BD 折成直二面角后不会成立的结论是 （ ）
A ．AC ⊥BD
B ．△AD
C 为等边三角形 C ．AB 、C
D 所成角为60°
D ．AB 与平面BCD 所成角为60°
9．在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是 （ ）
A ．若l ⊂β且α⊥β,则l ⊥α.
B ．若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α.
C ．若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α.
D ．若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α.
10．．长方体1111ABC D A B C D -中，12,1,AA AB AD ===点E 、F 、G 分别是
1DD １
、ＡＢ、ＣＣ的中点，则异面直线１
ＡＤ与ＧＦ所成的角是 （ ）
A ．arccos
5
B ．
4
π
C ．arccos
5
D ．
2
π
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。

11．PA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°且PA ＝AC ＝BC ＝a 。

则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_________；
12．正三棱柱的底面边长为4，过BC 的一个平与底面成30°二面角，交侧棱A A '于D ，则AD 的长等于 ；
13．在三棱锥P —ABC 中，PA=PB=PC=BC ，且2
π
=∠BAC ，则PA 与底面ABC 所成
角为 ；
14．四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为正方形，侧棱与底面边长均为2a ，
且︒=∠=∠6011AB A AD A ，则侧棱AA 1和截面B 1D 1DB 的距离是 ；
15．过正三棱锥的侧棱与底面中心作截面，已知截面是等腰三角形，若侧面与底面所成的角
为θ，则cos θ的值是___________；
16．边长为a 的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，这个定值为_______；推广到空间，棱长为a 的正四面体内任一点到各面距离之和为_________．
三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． １７．（本小题满分14分）
已知1111ABC D A B C D -是平行六面体．
（I ）在图上标出式子11223
A A
B
C A B ++
（II ）设Ｍ是底面ＡＢＣＤ的中心，Ｎ是侧面对角线1BC 上的
34
分点，设M N AB AD αβ=+ 试求αβγ、、的值．
１８．（本小题满分12分）
已知直四棱柱1111D C B A ABCD -中，21=AA ，底面ABCD 是直角梯形，A 是直角，AB||CD ，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线1BC 与DC 所成角的大小．
19．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P-ABC 中，A B B C ⊥，
12
A B B C P A ==
， 点Ｏ，Ｄ分别是,AC PC 的中点，O P ⊥底
面ABC .
（Ｉ）求证O D //平面P A B ；
（II ）求直线O D 与平面PBC 所成角的大小。

20．（本小题满分15分）已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°＜α＜90°），点1B 在底面上的射影D 落在BC 上．
（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ；
（Ⅱ）当α为何值时，AB 1⊥BC 1，且使D 恰为BC 中点？ （Ⅲ）若α = arccos 1
3 ，且AC=BC=AA 1时,求二面角C 1—AB —C
的大小．
B
C P
D
A
o
C 1
A
B
C
D
A 1
B 1
21．（本小题满分15分）在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中
（Ⅰ）P 、Q 分别是B 1D 1、A 1B 上的点且11113B P B D = ，113
B Q Q A =
（如图1）.
求证PQ//平面AA 1D 1D ；
（Ⅱ）M 、N 分别是A 1B 1、BB 1的中点（如图2）求直线AM 与CN 所成的角；
（Ⅲ）E 、F 分别是AB 、BC 的中点（如图3），试问在棱DD 1上能否找到一点H ，使BH ⊥ 平面B 1EF ？若能，试确定点H 的位置，若不能，请说明理由.
第3章 空间向量与立体几何单元测试
１．Ｃ．２．B
．
１２．２．１３．3π．１４．a ．
１５．13
或6
．１６．
3
a ．
１７．（１）略，（２）113,,2
4
4
αβγ==
=
．
１８．以D 为坐标原点，分别以AD 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立直 角坐标系.
则C 1（0，1，2），B （2，4，0） ),2,3,2(1--=∴BC CD BC CD 与设1),0,1,0(-=所成的角为θ，
则11cos 17||||
BC CD BC CD θ⋅==
∴异面直线BC 1与DC 所成角的大小为
：
arccos
17
θ=
１９． O P ⊥平面ABC ,,,OA OC AB BC ==
,,.OA OB OA OP OB OP ∴⊥⊥⊥
以O 为原点，射线O P 为非负z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -(如图)，
设,AB a =
则,0,0)2
A a
,(0,,0)2
B a
,(,0,0)2
C a -.
设O P h =, 则(0,0,)P h
(I) D 为P C 的中点， ∴O D →
＝1(,0,
)4
2
a h -
，又(
,0,)2
PA a h →
=-,
∴O D →
＝-
12
P A →∴O D →//PA →
∴O D //平面P A B .
(II)
2P A a =,
∴h =
,
∴O D →
=(,0,
)4
4
a a -
,
可求得平面PBC
的法向量(n →
=-,
∴cos ,30
||||
O D n
O D n O D n →
→
→
→
→
→
<>=
=
设O D 与平面PBC 所成的角为θ,
则sin |cos ,|30
O D n θ→→
=<>=
∴O D 与平面PBC
所成的角为arcsin
30。

．
２０．B 1D ⊥平面ABC ， AC ⊂平面ABC ，
∴ B 1D ⊥AC , 又AC ⊥BC ,
BC ∩B 1D =D ．
∴ AC ⊥平面BB 1C 1C ．
要使AB 1⊥BC 1，D 是BC 的中点，即11BC AB ⋅=0，|BB 1→ |=|B 1C →
|，
∴11()0AC CB BC +=
， ||||11C B BC ⋅=0，∴||||1BC BB =．
∴1BB BC B C ==
，故△BB 1C 为正三角形，∠B 1BC=60°；
∵ B 1D ⊥平面ABC ，且D 落在BC 上，
∴ ∠B 1BC 即为侧棱与底面所成的角．
故当α=60°时，AB 1⊥BC 1，且D 为BC 中点．
（Ⅲ）以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，经过C 点且垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则A （a ，0，0），B （0，a ，0），C （0，－
3
4a ，
3
22a ），
平面ABC 的法向量n 1=（0，0，1），设平面ABC 1的法向量n 2=（x ，y ，z ）． 由⋅AB n 2=0，及⋅1BC n 2=0，得
⎩
⎪⎨⎪⎧－x ＋y=0，－43 y ＋2 2
3 z =0 . ∴n 2=（22，22
，1）． cos<n 1, n 2>＝
112 +1
2
+1 =
2
2
， 故n 1 , n 2所成的角为45°，即所求的二面角为45°．
２１．（１）以D 为原点，如图建立空间直角坐标系，则下列各点的坐标为：
D 1（0，0，1） B 1（1，1，1） A 1（1，0，1） B （1，1，0） 由已知P )3
1,32,
1()
1,3
2,
32(Q 在A 1D 1，AA 1上取点P 1，Q 1 ：A 1P 1：A 1D 1=1：3 AQ 1：AA 1=1：3则 P 1（
)1,0,3
2 Q 1（1，0，
3
1） )3
2
,0,31()
3
2,0,3
1(11-=∴-
=∴Q P PQ
1
1Q P PQ =∴ ∴PQ//平面AA 1D 1D
（２）以D 为原点如图建立空间直角坐标系，下列各点坐标为A （1，0，0） M （1，
)1,2
1 N （1，1，
2
1） C （0，1，0） )
2
1,
0,1()
1,2
1,
0(==∴
CN AM
5
22
52521
)
2
1(011)21(02
1102
110cos 22
2222=
⋅=
++⋅++⨯
+⨯+
⨯=
>=
⋅<∴CN AM
∴AM 与CN 所成角为5
2arccos
．
（３）以D 为原点如图建立空间直角坐标系，设H 坐标为（0，0，t ），B 1（1，1，1） B （1，1，0） F （2
1，1，0） BH ⊥EF 恒成立（如方法一）
若BH ⊥平面B 1EF ，BH ⊥B 1F 即01=⋅F B BH 又)
1,0,2
1()
,1,1(1--
=-=F B t BH
2
10
210
)1()1(0)1(2
1=
∴=-=⋅-+-⨯+-⨯-
∴t t t 即
故存在点H 是DD 1之中点．。