上海市17学年高二数学下学期期中试卷(含解析)

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2017-2018学年上海市静安区等7区高二(下)期末数学试卷附解析7份

2017-2018学年上海市静安区等7区高二(下)期末数学试卷附解析7份

2017-2018学年上海市静安区高二(下)期末数学试卷一、选择题(本大题共3小题,共12.0分)1.抛物线x2=my上的点到定点(0,4)和定直线y=-4的距离相等,则m的值等于()A. B. C. 16 D.2.设有两条直线a,b和两个平面α、β,则下列命题中错误的是()A. 若,且,则或B. 若,且,,则C. 若,且,,则D. 若,且,则3.已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=±x(a>0,b>0),若双曲线上有一点M(x0,y0),使b|x0|<a|y0|,则该双曲线的焦点()A. 在x轴上B. 在y轴上C. 当时,在x轴上D. 当时,在y轴上二、填空题(本大题共10小题,共35.0分)4.若经过圆柱的轴的截面面积为2,则圆柱的侧面积为______.5.点M(2,3)到直线l:ax+(a-1)y+3=0的距离等于3,则a=______.6.复数z=的共轭复数=______.(其中i为虚数单位)7.一个高为的正三棱锥的底面正三角形的边长为3,则此正三棱锥的表面积为______.8.已知复数集中实系数一元二次方程x2-4x+a=0有虚根z,则|z|的取值范围是______.9.圆锥的母线l长为10cm,母线与旋转轴的夹角为30°,则该圆锥的体积为______cm3.10.某地球仪上北纬60°纬线长度为6πcm,则该地球仪的体积为______cm3.11.已知方程x2+x+p=0(p∈R)有两个根α、β,且|α-β|=,则p的值为______.12.椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,椭圆短轴的一个顶点B与两焦点F1、F2组成的三角形的周长为 4+2且∠F1BF2=,则椭圆的方程是______.13.已知双曲线Γ上的动点P到点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离分别为d1和d2,∠F1PF2=2θ,且d1•d2sin2,则双曲线Γ的方程为______.三、解答题(本大题共5小题,共51.0分)14.已知复数z=3+bi(b∈R),且(1+3i)•z为纯虚数,求||.(其中i为虚数单位)15.已知动圆M既与圆C1:x2+y2+4x=0外切,又与圆C2:x2+y2-4x-96=0内切,求动圆的圆心M的轨迹方程.16.如图,AB是平面α的斜线,B为斜足,AO平面α,O为垂足,BC是平面α上的一条直线,OC BC于点C,∠ABC=60°,∠OBC=45°.(1)求证:BC平面AOC;(2)求AB和平面α所成的角的大小.17.(文科)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,AA1=4,点M在线段CC1上.(1)求异面直线A1B与AC所成角的大小;(2)若直线AM与平面ABC所成角为,求多面体ABM-A1B1C1的体积.18.已知等轴双曲线C:x2-y2=a2(a>0)的右焦点为F,O为坐标原点.过F作一条渐近线的垂线FP且垂足为P,.(1)求等轴双曲线C的方程;(2)假设过点F且方向向量为,的直线l交双曲线C于A、B两点,求的值;(3)假设过点F的动直线l与双曲线C交于M、N两点,试问:在x轴上是否存在定点P,使得为常数.若存在,求出点P的坐标;若不存在,试说明理由.答案和解析1.【答案】C【解析】解:根据抛物线定义可知,定点(0,4)为抛物线的焦点,∴=4m=16故选:C.根据抛物线定义可知,定点(0,4)为抛物线的焦点,进而根据定点坐标求得m.本题考查了抛物线的定义,属基础题.2.【答案】D【解析】证明:A:若a∥α,且a∥b,则bα或b∥α,正确B:若a∥b,且aα,则bα,又bβ,则由线面垂直的性质可知α∥β,正确C:若α∥β,且aα,则aβ,又bβ,由线面垂直的性质定理可知a∥b,正确D:若a b,且a∥α,则bα也有可能b⊆α,错误故选:D.A:若a∥α,且a∥b,则bα或b∥α;B:由线面垂直的性质可判断;C:由线面垂直的性质定理可判断;D:bα也有可能b⊆α本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系,空间中直线与直线之间的位置关系,空间中直线与平面之间的位置关系,熟练掌握空间线面之间关系的判定方法及性质定理是解答此类问题的关键.3.【答案】B【解析】解:∵a|y0|>b|x0|≥0∴平方a2y02>b2x02∴->0∴焦点在y轴故选:B.利用题设不等式,令二者平方,整理求得->0,即可判断出焦点的位置.本题主要考查了双曲线的简单性质.考查了学生分析问题和解决问题的能力.4.【答案】2π【解析】解:设圆柱的底面半径为r,高为h,则圆柱的轴截面面积为2rh=2,∴rh=1.∴圆柱的侧面积S=2πrh=2π.故答案为:2π.根据轴截面积得出圆柱底面半径与高的关系,代入侧面积公式即可得出答案.本题考查了圆柱的结构特征,侧面积计算,属于基础题.5.【答案】或【解析】解:由题意可得:=3,化为:7a2+18a-9=0.解得a=或-3.故答案为:或-3.利用点到直线的距离公式即可得出.本题考查了点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.6.【答案】-1-i【解析】解:z====-1+i∴复数z=的共轭复数是-1-i故答案为:-1-i根据复数除法法则,分子分母同乘分母的共轭复数化简成基本形式,再根据共轭复数的定义求出所求即可.本题主要考查了复数代数形式的乘除运算,以及共轭复数的定义,同时考查了运算能力,属于基础题.7.【答案】【解析】解:一个高为的正三棱锥S-ABC中,AB=AC=BC=3,取BC中点D,连结AD,SD,过S作SE平面ABC,交AD 于E,则AE==,DE==,∴SA=SB=SC==,SD==1,∴此正三棱锥的表面积:S=3S△SBC+S△ABC==.故答案为:.取BC中点D,连结AD,SD,过S作SE平面ABC,交AD于E,则AE=,DE=,SA=SB=SC=,SD=1,此正三棱锥的表面积:S=3S△SBC+S△ABC,由此能求出结果.本题考查正三棱锥的表面积的求法,考查正三棱锥的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.8.【答案】(2,+∞)【解析】解:复数集中实系数一元二次方程x2-4x+a=0有虚根z,则△=16-4a<0,解得a>4.z=2i.则|z|==>2,可得|z|的取值范围是(2,+∞).故答案为:(2,+∞).复数集中实系数一元二次方程x2-4x+a=0有虚根z,可得△<0,解得a>4.利用求根公式可得z=2i.再利用模的计算公式即可得出.本题考查了不等式的解法、实系数一元二次方程与判别式的关系、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.9.【答案】【解析】解:如图所示,圆锥的母线l=10cm,母线与旋转轴的夹角为30°,∴圆锥的底面圆半径为r=lsin30°=10×=5cm;高为h=lcos30°=10×=5cm;∴该圆锥的体积为V=πr2h=•π•52•5=cm3.故答案为:.根据题意画出圆锥的轴截面图形,结合图形求出圆锥的底面圆半径和高,再计算圆锥的体积.本题考查了圆锥的体积计算问题,是基础题.10.【答案】288【解析】解:由题意:地球仪上北纬60°纬线的周长为6πcm,纬圆半径是:3cm,地球仪的半径是:6cm;地球仪的体积是:π×63=288cm3,故答案为:288π.地球仪上北纬60°纬线的周长为6πcm,可求纬圆半径,然后求出地球仪的半径,再求体积.本题考查球面距离,球的表面积,考查学生空间想象能力,是基础题.11.【答案】或【解析】解:当△≥0时,(α-β)2=(α+β)2-4αβ=1-4p=3,∴p=;当△<0时,|α-β|=||==∴p=1,故p的值为,1.只需注意分实根和虚根两种情况就可以了.此题考查了实系数二次方程根的判别,难度不大.12.【答案】或【解析】解:设长轴为2a,焦距为2c,则在△F2OB中,由∠F2BO=得:c=a,所以△F2OF1的周长为:2a+2c=4+2,∴a=2,c=,∴b2=1则椭圆的方程是或.故答案为:或.先结合椭圆图形,通过直角三角形△F2OB推出a,c的关系,利用周长得到第二个关系,求出a,c然后求出b,求出椭圆的方程.本题主要考查考察查了椭圆的标准方程的求法,关键是求出a,b的值,易错点是没有判断焦点位置.13.【答案】=1【解析】解:在△PF1F2中,|F1F2|=4=d12+d22-2d1d2cos2θ=(d1-d2)2+4d1d2sin2θ(d1-d2)2=4-4λ=(2a)2∴,,故双曲线方程为.故答案为:.在△PF1F2中,利用余弦定理得出(d1-d2)2=4-4λ=(2a)2,从而求得a2,b2,最后求出双曲线的方程即可.本小题主要考查余弦定理、双曲线方程等基础知识.属于中档题.14.【答案】解:复数z=3+bi(b∈R),且(1+3i)•z为纯虚数.即(1+3i)•(3+bi)=3-3b+(9+b)i为纯虚数,∴3-3b=0,9+b≠0,解得b=1.∴z=3+i.∴====2-i,∴||=|2-i|=.【解析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出.利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.15.【答案】解:化圆C1:x2+y2+4x=0为(x+2)2+y2=4,化圆C2:x2+y2-4x-96=0为(x-2)2+y2=100.设动圆圆心M(x,y),半径为r,则,则|MC1|+|MC2|=12>|C1C2|=4.∴M是以C1,C2为焦点,长轴长为12的椭圆.∴2a=12,a=6,则a2=36,b2=a2-c2=32.则动圆的圆心M的轨迹方程为.【解析】化已知两圆方程为标准方程,求出圆心坐标与半径,画出图形,利用椭圆定义求得动圆的圆心M的轨迹方程.本题考查轨迹方程的求法,考查圆与圆位置关系的应用,训练了利用定义法求椭圆方程,是中档题.16.【答案】证明:(1)∵AB是平面α的斜线,B为斜足,AO平面α,O为垂足,BC是平面α上的一条直线,∴AO BC,又OC BC,且AO∩OC=O,∴BC平面AOC.解:(2)设BC=1,∵OC BC于点C,∠ABC=60°,∠OBC=45°.BC平面AOC,∴OC=1,OB==,AB=2,∴AO==,∵AO平面α,∴∠ABO是AB和平面α所成的角,∵AO=BO,PO BO,∴∠ABO=45°,∴AB和平面α所成的角为45°.【解析】(1)推导出AO BC,OC BC,由此能证明BC平面AOC.(2)设BC=1,推导出OC=1,OB=,AB=2,从而AO==,由AO平面α,得∠ABO是AB和平面α所成的角,由此能求出AB和平面α所成的角.本题考查线面垂直的证明,考查线面角的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.17.【答案】解:(1)连接BC1则由于在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中AC∥A1C1故异面直线A1B与AC所成角即为直线A1B与A1C1所成的角∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,AA1=4∴BC1=,A1B=,∴cos∠BA1C1==∴异面直线A1B与AC所成角即为arccos(2)∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中MC面ABCD∴∠MBC=∵BC=2∴MC=2∵∴=×2×2×4-×=即多面体ABM-A1B1C1的体积为【解析】(1)利用异面直线所成角的定义再结合正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中的性质可得直线A1B与A1C1所成的角即为所求然后在三角形A1C1B利用余弦定理即可得解.(2)由于多面体ABM-A1B1C1的不规则性故可利用因此需利用直线AM与平面ABC所成角为来确定点M的位置后问题就解决了.本题主要考查了异面直线所成的角和几何体体积的求解.解题的关键是第一问要利用图形的性质将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角而第二问对于不规则图形体积的求解常采用规则图形的体积差来求解(比如本题中的多面体ABM-A1B1C1的体积转化为正三棱柱的体积减去三棱锥的体积)!18.【答案】解:(1)设右焦点坐标为F(c,0),(c>0),∵双曲线为等轴双曲线,∴渐近线必为y=±x由对称性可知,右焦点F到两条渐近线距离相等,且∠POF=.∴△OPF为等腰直角三角形,则由||=⇒||=c=2又∵等轴双曲线中,c2=2a2⇒a2=2∴等轴双曲线C的方程为x2-y2=2(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)为双曲线C与直线l的两个交点∵F(2,0),直线l的方向向量为=(1,2),∴直线l的方程为,即y=2(x-2)代入双曲线C的方程,可得,x2-4(x-2)2=2⇒3x2-16x+18=0∴x1+x2=,x1x2=6,而=x1x2+y1y2=x1x2+(x1-2)(x2-2)=5x1x2-8(x1+x2)+16=(3)假设存在定点P,使得为常数,其中,M(x1,y1),N(x2,y2)为双曲线C与直线l的两个交点的坐标,①当直线l与x轴不垂直是,设直线l的方程为y=k(x-2),代入双曲线C的方程,可得(1-k2)x2+4k2x-(4k2+2)=0由题意可知,k=±1,则有x1+x2=,x1x2=∴=(x1-m)(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2)=(4k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+4k2+m2=+4k2+m2=+m2=+m2+2(1-2m)要使是与k无关的常数,当且仅当m=1,此时,=-1②当直线l与x轴垂直时,可得点M(2,),N(2,-)若m=1,=-1亦为常数综上可知,在x轴上是否存在定点P(1,0),使得=-1为常数.【解析】(1)根据双曲线为等轴双曲线,可求出渐近线方程,再根据P点为过F作一条渐近线的垂线FP的垂足,以及,可求出双曲线中c的值,借助双曲线中a,b,c的关系,得到双曲线方程.(2)根据直线l的方向向量以及f点的坐标,可得直线l的方程,与双曲线方程联立,解出x1+x2,x1x2的值,代入中,即可求出的值.(3)先假设存在定点P,使得为常数,设出直线l的方程,与双曲线方程联立,解x1+x2,x1x2,用含k的式子表示,再代入中,若为常数,则结果与k无关,求此时m的值即可.本题考查了等轴双曲线的方程的求法,以及直线与双曲线位置关系的应用.2017-2018学年上海市宝山区高二(下)期末数学试卷一、选择题(本大题共4小题,共20.0分)19.下列四个命题中真命题是()A. 同垂直于一直线的两条直线互相平行B. 底面各边相等,侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C. 过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D. 过球面上任意两点的大圆有且只有一个20.设M=i2+i3+i4+…+i2018,N=i2•i3•i4…•i2018,i为虚数单位,则M与N的关系是()A. B. C. D.21.设、均是非零向量,且,若关于x的方程x2+||x+=0有实根,则与的夹角的取值范围为()A. B. C. D.22.定义:如果一个向量列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量,那么这个向量列叫做等差向量列,这个常向量叫做等差向量列的公差.已知向量列是以,为首项,公差,的等差向量列.若向量与非零向量,∈垂直,则=()A. B. C. D.二、填空题(本大题共12小题,共54.0分)23.在复数范围内,方程x2+x+1=0的根是______.24.若直线l经过点A(-1,1),且一个法向量为=(3,3),则直线方程是______.25.行列式的第2行第3列元素的代数余子式M23的值为______.26.在直角△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,D为斜边AB的中点,则=______.27.执行如图的程序框图,如果输入i=6,则输出的S值为______.28.数列{a n}中,为奇数为偶数,S2n=a1+a2+…+a2n,则=______.29.不论k为何实数,直线y=kx+1与曲线x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点,则实数a的取值范围是______.30.已知线段AB长为3,A、B两点到平面α的距离分别为1与2,则AB所在直线与平面α所成角的大小为______.31.若|z-2i|+|z-z0|=4表示的动点的轨迹是椭圆,则|z0|的取值范围是______.32.将半径为1和2的两个铅球,熔成一个大铅球,那么,这个大铅球的表面积是______.33.设,,,∈,,,,,∈,.已知矩阵,其中A∈S1,B∈S2.那么B=______.34.一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的函数解析式是y=(0≤y≤20),在杯内放一个玻璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃球的半径r的取值范围是______.三、解答题(本大题共5小题,共76.0分)35.已知直线l1:x+y+1=0,l2:5x-y-1=0,l3:3x+2y+1=0,其中l1与l2的交点为P.(1)求点P到直线l3的距离;(2)求过点P且与直线l3的夹角为45°的直线方程.36.如图所示:在底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,SA面ABCD,E、F分别为SA、SC的中点.如果AB=BC=2,AD=1,SB与底面ABCD成60°角.(1)求异面直线EF与CD所成角的大小(用反三角形式表示);(2)求点D到平面SBC的距离.37.在中国绿化基金会的支持下,库布齐沙漠得到有效治理.2017年底沙漠的绿化率已达30%,从2018年开始,每年将出现这样的情况,上一年底沙漠面积的16%被栽上树改造为绿洲,而同时,上一年底绿洲面积的4%又被侵蚀,变为沙漠.(1)设库布齐沙漠面积为1,由绿洲面积和沙漠面积构成,2017年底绿洲面积为a1=,经过1年绿洲面积为a2,经过n年绿洲面积为a n+1,试用a n表示a n+1;(2)问至少需要经过多少年的努力才能使库布齐沙漠的绿洲面积超过60%(年数取整数).38.设数列{a n}的前n项和为S n,已知直角坐标平面上的点P n(n,)均在函数y=x的图象上.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若已知点M(1,0),A n=(2,a n)、B=(2-b n,1)为直角坐标平面上的点,且有∥,求数列{b n}的通项公式;(3)在(2)的条件下,若使≤0对于任意n∈N*恒成立,求实数t的取值范围.39.已知O是平面直角坐标系的原点,双曲线Γ:=1.(1)过双曲线Γ的右焦点F1作x轴的垂线,交Γ于A、B两点,求线段AB的长;(2)设M为Γ的右顶点,P为Γ右支上任意一点,已知点T的坐标为(t,0),当|PT|的最小值为|MT|时,求t的取值范围;(3)设直线y=x-2与Γ的右支交于A,B两点,若双曲线右支上存在点C使得,求实数m的值和点C的坐标.答案和解析1.【答案】C【解析】解:对于A,同垂直于一直线的两条直线不一定互相平行,故错;对于B,底面各边相等,侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱,不一定是正四棱柱,故错;对于C,两条异面直线的公垂线是唯一的,所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条,正确;对于D,过球面上任意两点的大圆有无数个,故错;故选:C.A,同垂直于一直线的两条直线的位置关系不定;B,底面各边相等,侧面都是矩形的四棱柱底面不一定是正方形;C,两条异面直线的公垂线是唯一的,所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条;D,过球面上任意两点的大圆有无数个;本题考查了命题真假的判定,属于基础题.2.【答案】D【解析】解:M=i2+i3+i4+…+i2018=;N=i2•i3•i4…•i2018=.∴M=N.故选:D.分别利用等差数列与等比数列的前n项和求解后比较.本题考查等差数列与等比数列的前n项和,考查虚数单位i的性质,是基础题.3.【答案】B【解析】解:∵关于x的方程x2+||x+•=0有实根,∴||2-4≥0,∴≤,∴cos<>=≤=,又0≤<>≤π,∴<>≤π.故选:B.令判别式△≥0可得≤,代入夹角公式得出cos<>的范围,从而得出向量夹角的范围.本题考查了平面向量的数量积运算,属于中档题.4.【答案】D【解析】解:,∵向量与非零向量垂直,∴nx n=-3x n+1,,∴==×=-.故选:D.由题设知nx n=-3x n+1,,==×,由此能求出其结果.本题考查数列的性质和应用,解题时要注意递推公式和累乘法的合理运用.5.【答案】【解析】解:∵x2+x+1=0∴=故答案为:结合一元二次方程的求根公式,结合i2=-1即可求解本题主要考查了一元二次实系数方程的根的求解,解题的关键是i2=-1的应用6.【答案】x+y=0【解析】解:设直线的方向向量∵直线l一个法向量为=(3,3)∴∴k=-1∵直线l经过点A(-1,1)∴直线l的方程为y-1=(-1)×(x+1)即x+y=0故答案为x+y=0设出直线的方向向量然后根据法向量为=(3,3)求出k再根据方向向量的定义得出k即为直线l的斜率然后可由点斜式写出直线方程.本题主要考查直线方向向量的概念.解题的关键是要根据直线方向向量的概念设出方向向量而k即为直线l的斜率然后根据法向量为=(3,3)求出斜率k.7.【答案】-11【解析】解:行列式的第2行第3列元素的代数余子式:M23=(-1)2+3D23=-=-(8+3)=-11.故答案为:-11.行列式的第2行第3列元素的代数余子式:M23=(-1)2+3D23=-.本题考查行列式的代数余子式的求法,考查代数余子式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.8.【答案】-1【解析】解::∵∠C=90°,∠A=30°,BC=1,∴AB=2.∵D为斜边AB的中点,∴CD=AB=1,∠CDA=180°-30°-30°=120°.∴=2×1×cos120°=-1,故答案为:-1.根据含有30°角的直角三角形的性质,得到AB与CD的长度,求出两个向量的夹角是120°,利用向量的数量积公式写出表示式,得到结果.本题考查平面向量的数量积的运算,考查含有30°角的直角三角形的性质,是一个基础题.9.【答案】21【解析】解:由程序框图知:程序第一次运行S=0+1=1,n=1+1=2;第二次运行S=1+2=3,n=2+1=3;第三次运行S=1+2+3=6,n=3+1=4;…直到n=7时,不满足条件n≤6,程序运行终止,输出S=1+2+3+…+6=21.故答案为:21.根据框图的流程,依次计算运行的结果,直到不满足条件n≤6,计算此时的S 值.本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是关键.10.【答案】【解析】解:∵∴当数列的项数为2n时,奇数项和偶数都是n项,∴奇数项和s1=a1+a3+a5+…+a2n-1===偶数项和s2=a2+a4+…+a2n=-2()=-2×=-(1-)∴s 2n=s1+s2=(1-),则s2n=故答案为:根据通项公式的特点,奇数项和偶数项构成等比数列,分别求出奇数项和与偶数项和,然后加在一起求s2n,再求极限.由通项公式的特点将该数列分成两个等比数列,然后分别求和,也成为分组求和法,即把非特殊数列的求和问题化为等差(等比)数列的求和问题.11.【答案】-1≤a≤3【解析】解:直线y=kx+1恒过(0,1)点的直线系,曲线x2+y2-2ax+a2-2a-4=0表示圆圆心(a,0),半径为:),直线与曲线x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点,必须定点在圆上或圆内,即:所以,-1≤a≤3故答案为:-1≤a≤3.直线y=kx+1与曲线x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点,说明直线系过的定点必在圆上或圆内.本题考查直线与圆的位置关系,点与圆的位置关系,两点间的距离公式,直线系等知识是中档题.12.【答案】arcsin或【解析】解:当A,B在平面α同侧时,点A到平面的距离AD=1,点B到平面的距离BC=2,过A作AE BC,交BC于E,则BE=1,AB=2,∴∠BAE是AB所在直线与平面α抽成角,sin∠BAE==,∴AB所在直线与平面α所成角的大小为arcsin.当A,B在平面α异侧时,点A到平面的距离AD=1,点B到平面的距离BC=2,连结CD,交AB于O,由题意得△ADO∽△BCO,∴OB=2AO,∴AB=2,∴AO=1,BO=2,∴D,O,C三点重合,∴AB平面α,∴AB所在直线与平面α所成角的大小为.故答案为:arcsin或.当A,B在平面α同侧时,点A到平面的距离AD=1,点B到平面的距离BC=2,过A作AE BC,交BC于E,则BE=1,AB=2,∠BAE是AB所在直线与平面α抽成角,由此能求出AB所在直线与平面α所成角的大小;当A,B在平面α异侧时,点A到平面的距离AD=1,点B到平面的距离BC=2,推导出AB平面α,由此能求出AB所在直线与平面α所成角的大小.本题考查线面角的大小的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算与求解能力,考查化归与转化思想,是中档题.13.【答案】[0.6)【解析】解:|z-2i|+|z-z0|=4表示的动点的轨迹是椭圆,由椭圆的定义可知,z0到(0,2)的距离小于4.z0的轨迹是以(0.2)为圆心4为半径的圆的内部部分,|z0|的取值范围是:[0,6).故答案为:[0,6).利用椭圆的定义,判断z0的轨迹方程,然后求解即可.本题考查复数的几何意义,轨迹方程的求法,考查分析问题解决问题的能力.14.【答案】12π【解析】解:设大铅球的半径为R,则(13+23)=,解得R=,∴这个大铅球的表面积S=4πR2==12π.故答案为:12π.设大铅球的半径为R,则(13+23)=,求出R=,由此能求出这个大铅球的表面积.本题考查球的表面积的求法,考查球的体积、表面积等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.15.【答案】〔〕【解析】解:∵A∈S1,B∈S2.∴设,∴A+B=已知矩阵,∴∴那么B=〔〕故答案为:〔〕.根据A∈S1,B∈S2.设,求出A+B,结合已知矩阵,列出关于a,b,c,d的方程组,求出a,b,c,d.即可得到B.本小题主要考查二阶矩阵、方程组的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查待定系数法思想.属于基础题.16.【答案】0<r≤1【解析】解:设小球圆心(0,y0)抛物线上点(x,y)点到圆心距离平方r2=x2+(y-y0)2=2y+(y-y0)2=Y2+2(1-y0)y+y02若r2最小值在(0,0)时取到,则小球触及杯底所以1-y0≥0所以0<y0≤1所以0<r≤1故答案为:0<r≤1.设小球圆心(0,y0)抛物线上点(x,y),求得点到圆心距离平方的表达式,进而根据若r2最小值在(0,0)时取到,则小球触及杯底需1-y0≥0进而求得r的范围.本题主要考查了抛物线的应用.考查了学生利用抛物线的基本知识解决实际问题的能力.17.【答案】解:(1)联立,解得x=0,y=-1.∴P(0,-1).∴点P到直线l3的距离==.(2)设要求的直线斜率为k,由题意可得:=±tan45°,解得k=5或-.∴过点P且与直线l3的夹角为45°的直线方程为:5x-y-1=0或x+5y+5=0.【解析】(1)联立,解得P坐标,利用点到直线的距离公式即可得出.(2)设要求的直线斜率为k,由题意可得:=±tan45°,解得k,利用点斜式即可得出.本题考查了直线交点、点到直线的距离公式、直线夹角,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.18.【答案】解:(1)连接AC,则∠ACD即为异面直线EF与CD所成角.计算得:AC=2,CD=,所以异面直线EF与CD成角.另解:以A为坐标原点,AD、BA、AS方向为正方向建立坐标系计算SA=2,,、,,计算得,所以异面直线EF与CD成角(2)由于SA平面ABCD,所以∠SBA即为斜线SB与底面ABCD所成角60°计算得:,,△ S△BCD=2由于△所以【解析】(1)法一:连接AC,则∠ACD即为异面直线EF与CD所成角,然后利用余弦定理求出此角的余弦值,最后用反三角表示即可.法二:以A为坐标原点,AD、BA、AS方向为正方向建立坐标系,求出异面直线EF与CD的方向向量,利用向量的夹角公式求出夹角即可;(2)由于SA平面ABCD,所以∠SBA即为斜线SB与底面ABCD所成角60°,然后根据等体积法建立等式关系,求出h即为点D到平面SBC的距离.本题主要考查了两异面直线所成角,以及利用等体积法求点到平面的距离,属于中档题.19.【答案】解:(1)设2017年年底沙漠面积为b1,经过n年治理后沙漠面积为b n+1,则a n+b n=1.依题意,a n+1由两部分组成,一部分是原有的绿洲面积减去沙漠化剩下的面积,a n-4%a n=96%a n,另一部分是新植树绿洲化的面积16%b n,于是a n+1=96%a n+16%b n=96%a n+16%(1-a n)=80%a n+16%=0.8a n+0.16;(2)由于a n+1=0.8a n+0.16,两边减去0.8得:a n+1-0.8=0.8(a n-0.8)又a1-0.8=-0.5,所以{a n-0.8}是以-0.5为首项,0.8为公比的等比数列.所以a n+1=0.8-0.5•0.8n,依题意,0.8-0.5•0.8n>0.6,∴(0.8)n<0.4,两边取对数得n>log0.80.4==,即n>4.故至少需要5年才能达到目标.【解析】(1)由题意,a n+1由两部分组成,一部分是原有的绿洲面积减去沙漠化剩下的面积,另一部分是新植树绿洲化的面积,由此可得数列递推式;(2)利用(1)的结论进而可求数列的通项,建立不等式,由此可得结论.本题考查利用数列知识解决实际问题,考查数列递推式,考查数列的通项,考查学生的计算能力,属于中档题.20.【答案】解:(1)点P n(n,)均在函数y=x的图象上.∴=n,可得S n=n2.∴n≥2时,a n=S n-S n-1=n2-(n-1)2=2n-1.n=1时,a1=S1=1.∴a n=2n-1.(2)=(1,a n),=(1-b n,1).∵∥,∴a n•(1-b n)-1=0,解得b n=1-=1-=.(3)≤0对于任意n∈N*恒成立,∴(-1)n-1•+≤0对于任意n∈N*恒成立,n=2k-1(k∈N*)时,+≤0对于任意n∈N*恒成立,∴t≥,∴t≥1.n=2k(k∈N*)时,-+≤0对于任意n∈N*恒成立,∴t≤2n-2,∴t≤2.综上可得实数t的取值范围是[1,2].【解析】(1)点P n(n,)均在函数y=x的图象上.=n,可得S n=n2.n≥2时,a n=S n-S n-1.n=1时,a1=S1.可得a n.(2)=(1,a n),=(1-b n,1).根据∥,可得a n•(1-b n)-1=0,进而得出.(3)≤0对于任意n∈N*恒成立,(-1)n-1•+≤0对于任意n∈N*恒成立,对n分类讨论利用数列的单调性即可得出.本题考查了数列递推关系、方程与不等式的解法、数列的单调性、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.21.【答案】解:(1)双曲线Γ:=1中a2=12,b2=3,则c2=a2+b2=12+3=15,∴c=,∴右焦点F1(,0),由x=代入=1,可得y=±,∴|AB|=;(2)由(1)可得M(2,0),T(t,0),设P(x0,y0),∴|PT|2=(x0-t)2+y02,|MT|2=(2-t)2,又-=1,可得x0≥2,y02=-3,∴|PT|2=(x0-t)2+y02=(x0-t)2+-3=x02-2x0t+t2-3=(x0-)2+t2-3,当≤2即t≤时,可得y=(x0-)2+t2-3在x0≥2递增,即有|PT|的最小值为|MT|=|t-2|,则t的范围是(-∞,];(3)设C(s,t),A(x1,y1),B(x2,y2),可得s2-4t2=12,s>0,由y=x-2代入双曲线的方程x2-4y2=12,可得x2-16x+84=0,即有x1+x2=16,y1+y2=(x1+x2)-4=16-4=12,由,可得ms=x1+x2,mt=y1+y2,可得ms=16,mt=12,解答s=,t=,即有-4•=12,解得m=4(-4舍去),s=4,t=3.即有m=4,C(4,3).【解析】(1)求得双曲线的a,b,c,可令x=c,求得A,B的坐标,即可得到所求长;(2)求出M的坐标,设P(x0,y0),由两点的距离公式和双曲线方程,结合二次函数的最值求法,即可得到所求t的范围;(3)设出C(s,t),A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线方程和双曲线方程,运用韦达定理,以及向量的坐标表示,求得s,t关于m的关系式,代入双曲线的方程,解得m,s,t,即可得到所求.本题考查双曲线的方程和性质,考查联立直线方程和双曲线方程,运用韦达定理和向量的坐标表示,考查二次函数的最值求法,以及化简整理的运算能力,属于综合题.2017-2018学年上海市奉贤区高二(下)期末数学试卷副标题一、选择题(本大题共4小题,共20.0分)40.若a<b<0,则下列结论中不恒成立的是()A. B. C. D.41.给定空间中的直线l及平面α,条件“直线l上有两个不同的点到平面α的距离相等”是“直线l与平面α平行”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件42.已知曲线C的参数方程为(θ∈[0,π]),且点P(x,y)在曲线C上,则的取值范围是()A. B. C. D.43.已知椭圆E:,对于任意实数k,下列直线被椭圆E所截弦长与l:y=kx+1被椭圆E所截得的弦长不可能相等的是()A. B. C. D.二、填空题(本大题共12小题,共60.0分)44.已知集合A={x||x|≤1},B={y|y≤a},且A∩B=∅,则实数a的取值范围是______.45.若圆柱的侧面展开图是一个正方形,则它的母线长和底面半径的比值是______.46.抛物线x2=y上一点M到焦点的距离为1,则点M的横坐标为______.47.若P=C,则x=______.48.已知变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最小值为______.49.已知方程x2-px+1=0(p∈R)的两根为x1、x2,若|x1-x2|=1,则实数p的值为______.50.若一个直六棱柱的三视图如图所示,则这个直六棱柱的体积为______.。

人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)2

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人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.已知扇形的周长是5cm ,面积是322cm ,则扇形的中心角的弧度数是( ) A .3B .43C .433或 D .2【来源】江西省九江第一中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学(文)试题 【答案】C2.已知扇形的周长为8cm ,圆心角为2,则扇形的面积为( ) A .1B .2C .4D .5【来源】四川省双流中学2017-2018学年高一1月月考数学试题 【答案】C3.《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动,刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”,掷铁饼者的手臂长约为4π米,肩宽约为8π米,“弓”所在圆的半径约为1.25米,你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为( )1.732≈≈)A .1.012米B .1.768米C .2.043米D .2.945米【来源】安徽省五校(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中)2019-2020学年高三联考数学(理)试题 【答案】B4.已知扇形的周长为4,圆心角所对的弧长为2,则这个扇形的面积是( ) A .2B .1C .sin 2D .sin1【来源】福建省泉州市南安侨光中学2019-2020学年高一上学期第二次阶段考试数学试题 【答案】B5.已知α是第三象限角,且cos cos22αα=-,则2α是( ) A .第一象限角B .第二象限角C .第三象限角D .第四象限角【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.2任意角的三角函数练习题 【答案】B6.如图,2弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所对应的扇形面积是( )A .1sin1B .21sin 1C .21cos 1D .tan1【来源】广西河池市高级中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题 【答案】B7.半径为10cm ,面积为2100cm 的扇形中,弧所对的圆心角为( ) A .2 radB .2︒C .2π radD .10 rad【来源】第一章滚动习题(一) 【答案】A8.若一扇形的圆心角为72︒,半径为20cm ,则扇形的面积为( ). A .240πcmB .280πcmC .240cmD .280cm【来源】陕西省西安市长安区第一中学2016-2017学年高一下学期第一次月考数学试题 【答案】D9.如图,把八个等圆按相邻两两外切摆放,其圆心连线构成一个正八边形,设正八边形内侧八个扇形(无阴影部分)面积之和为1S ,正八边形外侧八个扇形(阴影部分)面积之和为2S ,则12S S =( )A .34B .35C .23D .1【来源】广西省南宁市马山县金伦中学、武鸣县华侨中学等四校2017-2018学年高一10月月考数学试题. 【答案】B10.在-360°到0°内与角1250°终边相同的角是( ) . A .170° B .190° C .-190°D .-170°【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题(一)(带解析) 【答案】C11.下列各角中,终边相同的角是 ( ) A .23π和240o B .5π-和314oC .79π-和299π D .3和3o【来源】新疆伊西哈拉镇中学2018-2019学年高一上学期第二次月考数学试题 【答案】C12.已知2弧度的圆心角所对的弧长为2,则这个圆心角所对的弦长是( ) A .sin 2B .2sin 2C .sin1D .2sin1【来源】广东省东莞市2018-2019学年高一第二学期期末教学质量检查数学试题 【答案】D13,弧长是半径的3π倍,则扇形的面积等于( ) A .223cm πB .26cm πC .243cm πD .23cm π【来源】河北省隆华存瑞中学(存瑞部)2018-2019学年高一上学期第二次数学试题 【答案】D14.如图所示,用两种方案将一块顶角为120︒,腰长为2的等腰三角形钢板OAB 裁剪成扇形,设方案一、二扇形的面积分别为12S , S ,周长分别为12,l l ,则( )A .12S S =,12l l >B .12S S =,12l l <C .12S S >,12l l =D .12S S <,12l l =【来源】浙江省省丽水市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A15.已知sin sin αβ>,那么下列命题成立的是( ) A .若,αβ是第一象限角,则cos cos αβ> B .若,αβ是第二象限角,则tan tan αβ> C .若,αβ是第三象限角,则cos cos αβ> D .若,αβ是第四象限角,则tan tan αβ>【来源】正定中学2010高三下学期第一次考试(数学文) 【答案】D16.半径为1cm ,中心角为150°的角所对的弧长为( )cm . A .23B .23π C .56D .56π 【来源】宁夏石嘴山市第三中学2018-2019学年高一5月月考数学试题 【答案】D 17.设5sin 7a π=,2cos 7b π=,2tan 7c π=,则( ) A .a b c <<B .a c b <<C .b c a <<D .b a c <<【来源】2008年高考天津卷文科数学试题 【答案】D18.扇形的中心角为120o )A .πB .45πC D 2【来源】辽宁省大连市第八中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A19.若扇形的周长为8,圆心角为2rad ,则该扇形的面积为( ) A .2B .4C .8D .16【来源】河南省洛阳市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷 【答案】B20.-300° 化为弧度是( ) A .-43πB .-53πC .-54πD .-76π【来源】2014-2015学年山东省宁阳四中高一下学期期中学分认定考试数学试卷(带解析) 【答案】B21.一个扇形的面积为3π,弧长为2π,则这个扇形的圆心角为( ) A .3π B .4π C .6π D .23π 【来源】湖北省荆门市2017-2018学年高一(上)期末数学试题 【答案】D22.《九章算术》是中国古代第一部数学专著,成于公元一世纪左右,系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形)的面积所用的经验公式:弧田面积=12(弦×矢+矢×矢),公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π,弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为( )平方米.(其中3π≈,1.73≈)A .15B .16C .17D .18【来源】湖北省2018届高三5月冲刺数学(理)试题 【答案】B23.下列各式不正确的是( ) A .-210°=76π-B .405°=49πC .335°=2312πD .705°=4712π【来源】河南信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中2018-2019学年高一下学期期中联考数学(文)试题 【答案】C24.下列函数中,最小正周期为π2的是( )A .y =sin (2x −π3)B .y =tan (2x −π3)C .y =cos (2x +π6) D .y =tan (4x +π6)【来源】20102011年山西省汾阳中学高一3月月考数学试卷 【答案】B25.已知扇形的周长为12cm ,圆心角为4rad ,则此扇形的弧长为 ( ) A .4cmB .6cmC .8cmD .10cm【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一(重点班)下学期第一次月考数学(理)试卷 【答案】C二、填空题26.已知扇形的圆心角18πα=,扇形的面积为π,则该扇形的弧长的值是______.【来源】上海市黄浦区2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】3π 27.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的底面半径为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】128.一个扇形的弧长与面积的数值都是5,则这个扇形中心角的弧度数为__________. 【来源】河南省灵宝市实验高中2017-2018学年高一下学期第一次月考考数学试题 【答案】5229.已知圆锥的侧面展开图是一个扇形,若此扇形的圆心角为65π、面积为15π,则该圆锥的体积为________.【来源】上海市杨浦区2019-2020学年高三上学期期中质量调研数学试题 【答案】12π30.圆O 的半径为1,P 为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正方形(实线所示 ,正方形的顶点A 和点P 重合)沿着圆周顺时针滚动,经过若干次滚动,点A 第一次回到点P 的位置,则点A 走过的路径的长度为 .【来源】2015届山东省日照市高三3月模拟考试理科数学试卷(带解析)31.已知扇形的圆心角为1弧度,扇形半径为2,则此扇形的面积为______. 【来源】上海市复兴高级中学2018-2019学年高一下学期3月份质量检测数学试题 【答案】232.一个球夹在120°的二面角内,且与二面角的两个面都相切,两切点在球面上的最短距离为π,则这个球的半径为_______ .【来源】上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期中数学试题 【答案】333.用半径为,面积为cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器(衔接部分忽略不计), 则该容器盛满水时的体积是 .【来源】2012届江苏省泗阳中学高三上学期第一次调研考试数学试卷(实验班) 【答案】31000cm 3π34.《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作,其中(方田)章给出的计算弧田面积的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2),弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦的长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,现有弧长为43π米,半径等于2米的弧田,则弧所对的弦AB 的长是_____米,按照上述经验公式计算得到的弧田面积是___________平方米.【来源】山东省济南市2018-2019学年高一下学期期末学习质量评估数学试题【答案】1235.设扇形的半径长为2cm ,面积为24cm ,则扇形的圆心角的弧度数是 【来源】2013-2014学年山东济南商河弘德中学高一下学期第二次月考数学试卷(带解析) 【答案】236.已知一个圆锥的展开图如图所示,其中扇形的圆心角为120o ,弧长为2π,底面圆的半径为1,则该圆锥的体积为__________.【来源】2018年春高考数学(文)二轮专题复习训练:专题三 立体几何【答案】337.现用一半径为10cm ,面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器(假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计,且无损耗),则该容器的容积为__________3cm . 【来源】江苏省苏州市2018届高三调研测试(三)数学试题 【答案】128π38.已知扇形的周长为6,圆心角为1,则扇形的半径为___;扇形的面积为____. 【来源】浙江省宁波市镇海区镇海中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题 【答案】2 2 39.给出下列命题:①第二象限角大于第一象限角;②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;③不论用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所在半径的大小无关; ④若sin sin αβ=,则α与β的终边相同;⑤若cos 0θ<,则θ是第二或第三象限的角. 其中正确的命题是______.(填序号)【来源】江苏省南通市启东中学2018-2019学年高二5月月考数学(文)试题 【答案】③40.设扇形的周长为4cm ,面积为21cm ,则扇形的圆心角的弧度数是________. 【来源】广东省中山市第一中学2016-2017学年高一下学期第一次段考(3月)数学(理)试题 【答案】2三、解答题41.已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3,求其圆心角的大小.(2)求该扇形的面积取得最大时,圆心角的大小和弦长AB .【来源】2015-2016学年四川省雅安市天全中学高一11月月考数学试卷(带解析) 【答案】(1)或;(2);.42.已知一扇形的中心角是120︒,所在圆的半径是10cm ,求: (1)扇形的弧长; (2)该弧所在的弓形的面积【来源】福建省福州市平潭县新世纪学校2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】(1)203π;(2)1003π-43.某公司拟设计一个扇环形状的花坛(如图所示),该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD 的两条线段围成.设圆弧AB 、CD 所在圆的半径分别为()f x 、R 米,圆心角为θ(弧度).(1)若3πθ=,13r =,26=r ,求花坛的面积;(2)设计时需要考虑花坛边缘(实线部分)的装饰问题,已知直线部分的装饰费用为60元/米,弧线部分的装饰费用为90元/米,预算费用总计1200元,问线段AD 的长度为多少时,花坛的面积最大?【来源】江苏省泰州市泰州中学2019~2020学年高一上学期期中数学试题 【答案】(1)292m π(2)当线段AD 的长为5米时,花坛的面积最大44.已知一个扇形的周长为30厘米,求扇形面积S 的最大值,并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题 【答案】()2rad α= 152r =45.如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图,已知图中ABCD 为等腰梯形(AB ∥DC ),支点A 与B 相距8m ,罐底最低点到地面CD 距离为1m ,设油罐横截面圆心为O ,半径为5m ,56D ∠=︒,求:U 型槽的横截面(阴影部分)的面积.(参考数据:sin530.8︒≈,tan56 1.5︒≈,3π≈,结果保留整数)【来源】上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题 【答案】202m46.明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步恰竿齐,五尺板高离地…”某教师根据这首词的思想设计如下图形,已知CE l ⊥,DF l ⊥,CB CD =,AD BC ⊥,5DF =,2BE =,AD =则在扇形BCD 中随机取一点求此点取自阴影部分的概率.【来源】山西省阳泉市2018-2019学年高一第一学期期末考试试题数学试题【答案】1)4(P A π=-47.某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌,铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由试卷第11页,总11页 扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的).已知10, (0<<10)OA=OB =x x ,线段BA 、CD与弧BC 、弧AD 的长度之和为30米,圆心角为θ弧度.(1)求θ关于x 的函数解析式;(2)记铭牌的截面面积为y ,试问x 取何值时,y 的值最大?并求出最大值.【来源】上海市黄浦区2018届高三4月模拟(二模)数学试题【答案】(1)210(010)10x x x θ+=<<+;(2)当52x =米时铭牌的面积最大,且最大面积为2254平方米. 48.已知一扇形的圆心角为()0αα>,所在圆的半径为R .(1)若90,10R cm α==o ,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;(2)若扇形的周长是一定值()0C C >,当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?【来源】2019高考备考一轮复习精品资料 专题十五 任意角和弧度制及任意角的三角函数 教学案【答案】(1)2550π-;(2)见解析49.已知在半径为10的圆O 中,弦AB 的长为10.(1)求弦AB 所对的圆心角α(0<α<π)的大小;(2)求圆心角α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【来源】(人教A 版必修四)1.1.2弧度制(第一课时)同步练习02【答案】(1)π3(2)10π3;50(π3−√32) 50.已知在半径为6的圆O 中,弦AB 的长为6,(1)求弦AB 所对圆心角α的大小;(2)求α所在的扇形的弧长l 以及扇形的面积S.【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一(重点班)下学期第一次月考数学(文)试卷【答案】(1)3π ;(2)2l π= ,6S π=。

上海市向明中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题

上海市向明中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题

故答案为: y¢ = 2e2x+1 .
答案第11 页,共22 页
5.
p 2
+
kp
,
k
Î
Z
【分析】令 cos x = 0 ,根据余弦函数的性质,即可求得答案
【详解】令
cos
x
=
0
,解得
x
=
p 2
+
kp
,
k
Î
Z
.
故答案为:
p 2
+
kp
,
k
Î
Z
6. x2
-
y2 3
=1
【分析】设双曲线的方程为 mx2 + ny2 = 1, mn < 0 ,根据题意列式求解 m, n 即可.
y2
= 1 上,且其中恰有两
个顶点为 G 的顶点.这样的等腰三角形的个数为( )
A.8
B.12
C.16
D.20
三、解答题 17.若圆 C 经过点 A(2, -3) 和 B(-2, -5) ,且圆心 C 在直线 x - 2 y - 3 = 0 上,求圆 C 的方
试卷第21 页,共33 页
程. 18.设抛物线 C : y2 = 4x 的焦点为 F,过 F 作直线 l 与 C 交于 A、B 两点.
8m2 +10n2 + 40
=
1 9
éë8m2
+
2
´
4m2 - 20
+
40ùû
=
16 9
m2
³
80 9

所以 PM + PN ³
80 9
=
45 3
,即

上海市南汇中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题

上海市南汇中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题

(4) - f (2) 4-2
=
42
- 22 2
=
6.
故答案为:6.
6. arctan1 【分析】两直线的夹角的可由两直线的倾斜角表示,根据倾斜角和斜率的关系,用两角差 的正切公式可得.
【详解】
如图,设 3x - y +1 = 0 的倾斜角为a ,则 tana =3 ,

x
-
2y
+
3
=
0
的倾斜角为
b
上海市南汇中学 2022-2023 学年高二下学期期中数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、填空题
1.直线 x - 3y +1 = 0 的倾斜角为_________.
2.抛物线 y2 = -x 的准线方程为______.
( ) 8.设
P
是椭圆
C
:
x a
2 2
+
y2 6
=焦点, PF 的最小值为
2 ,则椭圆 C 的长轴长为______. 9.已知 F1 , F2 为双曲线 C : x2 - y2 = 1 的左、右焦点,点 P 在双曲线 C 上, PF1 = 2 PF2 ,
则 cos ÐF1PF2 = ______. 10.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点, AB = 10 ,P 为 C 的准线上一点,则VABP 的面积为______. 11.在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l : y = kx + 8 上存在点 P,过点 P 作圆
=
22 + 42 - 2 2´ 2´ 4

上海市青浦一中高二数学下学期期中试题(含解析)

上海市青浦一中高二数学下学期期中试题(含解析)

上海市青浦一中2018-2019学年高二数学下学期期中试题(含解析) 一:选择题。

1.直线与平面所成角的范围______. 【答案】0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】 由直线与平面所成角的定义可得.【详解】解:根据直线与平面所成角的定义可得 直线与平面所成角的范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查直线和平面所成的角基本概念.2.已知(1,4,2),(2,1,3)a b =-=-r r ,则a b +=r r ____.【解析】【分析】 利用空间向量的坐标运算法则求出a b +r r ,由此能求出结果. 【详解】解:∵(1,4,2),(2,1,3)a b =-=-r r∴()=1,3,5a b +--r r ∴a b +==r r 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算法则以及利用坐标求模,熟练掌握向量的坐标运算法则是解决此题的关键.3.已知直线l 的一个方向向量(4,3,1)d =u r ,平面α的一个法向量(,3,5)n m =-r ,且//l α,则m =____【答案】1-【解析】【分析】由题意可得,根据线面平行可得d n ⊥u r r ,则=0d n u r rg ,进而得到4950m +-=,解得即可. 【详解】解:由题意可得d n ⊥u r r ,则4950m +-=解得1m =-【点睛】本题主要考查了直线与平面的位置关系,根据线面平行、线面垂直的性质得到平面的法向量与平行于平面的直线垂直,考查了空间向量垂直的坐标表示.4.在正方体1111ABCD A B C D -中,异面直线1A B 与AD 所成的角大小为___. 【答案】2π 【解析】【分析】由题意可得,AD ⊥平面11ABB A ,从而得到1AD A B ⊥,即可得到答案.【详解】解:在正方体1111ABCD A B C D -中,∵AD ⊥平面11ABB A ,1A B ⊂平面11ABB A∴1AD A B ⊥∴异面直线1A B 与AD 所成的角的大小为2π 故答案为:2π. 【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角,线面垂直的性质定理.5.已知圆锥的母线长为10,母线与轴的夹角为30o ,则该圆锥的侧面积为_.【答案】50π【解析】【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径,代入侧面积公式计算即可得出结论.【详解】解:设底面的半径为r ,则sin 3010=5r =⨯o∴该圆锥的侧面积510=50S ππ=⨯⨯故答案为:50π【点睛】本题考查了圆锥的性质和侧面积公式,解决本题的关键是根据勾股定理求得圆锥底面半径.6.二面角l αβ--为60o ,异面直线a 、b 分别垂直于α、β,则a 与b 所成角的大小是____【答案】60o【解析】【分析】根据二面角的定义,及线面垂直的性质,我们可得若两条直线a 、b 分别垂直于α、β两个平面,则两条直线的夹角和二面角相等或互补,由于已知的二面角l αβ--为60o ,故异面直线所成角与二面角相等,即可得到答案.【详解】解:根据二面角的定义和线面垂直的性质设异面直线a 、b 的夹角为θ∵二面角l αβ--为60o ,异面直线a 、b 分别垂直于α、β则两条直线的夹角和二面角相等或互补,∴60οθ=故答案为:60o【点睛】本题主要考查二面角的定义、异面直线所成的角和线面垂直的性质.7.下列四个结论中假命题的序号是_____.①垂直于同一直线的两条直线互相平行;②平行于同一直线的两直线平行;③若直线a ,b ,c 满足//a b ,b c ⊥,则a c ⊥;④若直线a ,b 是异面直线,则与a ,b 都相交的两条直线是异面直线.【答案】①④【解析】【分析】根据空间中线面的位置关系的判定和性质或举反例即可判断.【详解】解:对于①,若l α⊥,则α内任意两条直线都与l 垂直,显然命题①是假命题; 对于②,由平行公理可知命题②是真命题;对于③,将直线a 平移到b 的位置,由于b c ⊥,故而a c ⊥,故命题③是真命题; 对于④,在直线a 上取P 点,在直线b 上取点A ,B ,则PA ,PB 都与a ,b 相交,显然PA ,PB 相交,故命题④是假命题.故答案为:①④【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系和性质,熟练掌握直线与平面之间的位置关系是解决此题的关键.8.互不重合的三个平面可以把空间分成_____个部分【答案】4、6、7、8【解析】分析】将互不重合的三个平面的位置关系分为:三个平面互相平行;三个平面有两个平行,第三个平面与其它两个平面相交;三个平面交于一线;三个平面两两相交且三条交线平行;三个平面两两相交且三条交线交于一点;五种情况分类讨论,即可得到答案.【详解】解:若三个平面互相平行,则可将空间分为4部分;若三个平面有两个平行,第三个平面与其它两个平面相交,则可将空间分为6部分; 若三个平面交于一线,则可将空间分为6部分;若三个平面两两相交且三条交线平行(联想三棱柱三个侧面的关系),则可将空间分为7部分; 若三个平面两两相交且三条交线交于一点(联想墙角三个墙面的关系),则可将空间分为8部分;故互不重合的三个平面可以把空间分成4、6、7、8个部分.【点睛】本题以平面分空间的分类讨论为载体,考查了空间中平面与平面之间的位置关系,考查了学生的空间想象能力.9.已知四面体ABCD 中,2AB CD ==,E ,F 分别为BC ,AD 的中点,且异面直线AB 与CD 所成的角为3π,则EF =____.【答案】1【解析】【分析】取BD 中点O ,连结EO 、FO ,推导出EO =FO =1,πEOF 3∠=,或2πEOF 3∠=,由此能求出EF .【详解】取BD 中点O ,连结EO 、FO ,∵四面体ABCD 中,AB =CD =2,E 、F 分别为BC 、AD 的中点,且异面直线AB 与CD 所成的角为π3, ∴EO∥CD,且EO 1CD 12==,FO∥AB,且FO 1AB 2==1, ∴∠EOF 是异面直线AB 与CD 所成的角或其补角, ∴πEOF 3∠=,或2πEOF 3∠=, 当∠EOF π3=时,△EOF 是等边三角形,∴EF=1.当2πEOF 3∠=时,EF ==故答案为:1.【点睛】本题考查异面直线所成角的应用,注意做平行线找到角是关键,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养,是易错题10.设地球半径为R,若A、B两地均位于北纬45o,且两地所在纬度圈上的弧长为24R,则A、B之间的球面距离是_____(结果用含有R的代数式表示)【答案】3Rπ【解析】【分析】由题意可得:北纬45o圈的半径是22R,并且得到AB R=,所以A、B两地所在的球心角为60︒,即可得出答案.【详解】解:由题意可得:北纬45o2∵在北纬45o圈上有A、B两地,它们在纬度圈上的弧长等于24R∴过A、B两点的小圆的圆心角为90o,即AB R=∴A、B两地所在的球心角为60︒∴A、B两地间的球面距离为3Rπ故答案为:3R π. 【点睛】本题考查球面距离及相关计算,解决此类问题的关键是熟练掌握球面距离以及解三角形的有关知识,考查学生的计算能力与想象能力.11.已知三棱锥P -ABC ,若PA ,PB ,PC 两两互相垂直,且12PA PB PC ===,,D 为面ABC 上的动点,则PD 的最小值为___. 【答案】23【解析】【分析】根据题意利用等体积法计算P 点到平面ABC 的距离,即为PD 的最小值.【详解】解:∵PA ,PB ,PC 两两互相垂直,且1PA PB ==,=2PC∴AB AC BC ===∴C 点到AB 的距离为2∴ABC ∆的面积为1322设点P 到平面ABC 的距离为h ,则11131123232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯ ∴23h = 即PD 的最小值为23故答案为:23【点睛】本题考查了点、线、面间的距离计算,考查了等体积法.12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为_______。

上海市华东师范大学第二附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题

上海市华东师范大学第二附属中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题

上海市华东师范大学第二附属中学2022-2023学年高二下学
期期中数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
垂足分别为M 和N ,求证:线段MN 的长为定值.
21.已知函数()ln 3f x x x =--.
(1)求曲线()y f x =在1x =处的切线方程;
(2)函数()f x 在区间()(),1N k k k +Î上有零点,求k 的值;
(3)记函数()()23g x x bx f x =---,设1
x 、()212x x x <是函数()g x 的两个极值点,若2b ³,且()()12g x g x m -³恒成立,求实数m 的最大值.
【点睛】方法点睛:导函数中常用的两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性,常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.。

上海市七宝中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案和详细解析)

上海市七宝中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案和详细解析)
【详解】设渐近线 y
所以 tan
b
,结合离心率公式即可得解.
a
b
x 的倾斜角为 ,则 2 60 ,即 30 ,
a
b
3
b2 2 3
,离心率 e 1 2
.

a
3
a
3
2 3

, .
故答案为:
3

9.直线 l 的方程为 2 x 2 1 y 3 0 R ,当原点 O 到直线 l 的距离最大时,
第 2页 共 16页
8.已知 O a 0, b 0 的右支上存在两点 A , B ,使得
a2 b2
AOB 60 ,则 C 的离心率的取值范围是.
2 3

,
【答案】
3

【分析】由题意得出 30 ,其中 tan
3
由直线的夹角公式可得 tan
2
1
3
π
π
1 ,又 [0, ] ,所以 .
1
4
2
1 ( 2) ( )
3
π
故答案为: .
4
2.平行直线 l1 : 3 x 4 y 1 0 与 l2 : 6 x 8 y 1 0 之间的距离是.
【答案】
1
的值为.
【答案】
1
3
【分析】整理直线方程,建立方程组,求其定点的坐标,结合直线垂直的斜率公式,可得答
案.
【详解】由 2 x 2 1 y 3 0 ,整理可得 x 2 y 1 2 x y 3 0 ,
x 2 y 1 0

上海市晋元高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题

上海市晋元高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题

上海市晋元高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________二、单选题13.将5封信投入3个邮筒,不同的投法共有( )A .35种B .53种C .35A 种D .35C 种14.已知方程2220x y x my m +-++=表示圆,则实数m 的取值范围是( )A .()2,+∞B .(),2-∞C .[)2,+∞D .()(),22,-∞+∞ 15.设,,,R a b c d ∈,若函数32y ax bx cx d =+++的部分图像如图所示,则下列结论正确的是( )A .0,0b c >>B .0,0b c ><C .0,0b c <>D .0,0b c <<:(1)建立如图2所示的平面直角坐标系,求出点E 的轨迹(2)过点2F 的直线1l 与Γ交于,A B 两点.记直线,MA MB 的斜率为值;(3)过点M 作直线2l 垂直于直线12F F ,在2l 上任取一点N参考答案:所以12F A F B =,所以12F A BF =,即1λ=,由240y x x =-≥可得224y x x =-所以,曲线24y x x =-表示圆(x -直线l 是过点()4,3P 且斜率为k 的直线,当直线3因为圆锥的高PO所以12 MN PO=又因为底面圆半径所以1 ON OB=19.(1)(22110100300x y x -=≥(2)19OQ =,点Q 在东偏北【分析】(1)由已知结合双曲线的定义,即可得出)2040PA PB AB -=<=,联立双曲线1E和2E的方程22 225 25 xy⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩得1204755593,4747Q⎛⎫⎪⎪⎝⎭,则OQ设QABθ∠=,55593设()1:1l y k x =-,联立直线与椭圆方程(222x y y k x ⎧+⎪⎨⎪=⎩可得()22221242kxk x k +-+-(3)由已知2l 的方程为2x =(i )当直线1l 斜率存在时,有112NA y t k x -=-,222NB y tk x -=-,(121222NA NB kx y t y t k k x x --+=+=--。

高二数学下学期期中试题 文含解析 试题

高二数学下学期期中试题 文含解析 试题

2021-2021学年度高二第二学期期中考试创作人:历恰面日期:2020年1月1日数学〔文科〕试题试卷满分是:150分考试时间是是:120分钟第I卷〔选择题,一共60分〕一.选择题:本大题一一共12题,每一小题5分,一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面,只有一项是哪一项符合题目要求的。

,那么A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析:由题意得,,应选C.【考点】集合的交集运算【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么〔即元素的意义〕,是数集还是点集,如集合,,三者是不同的.2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性,特别是互异性,在判断集合中元素的个数时,以及在含参的集合运算中,常因忽略互异性而出错.3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观.对离散的数集间的运算或者抽象集合间的运算,可借助Venn图;对连续的数集间的运算,常利用数轴;对点集间的运算,那么通过坐标平面内的图形求解,这在本质上是数形结合思想的表达和运用.4.空集是不含任何元素的集合,在未明确说明一个集合非空的情况下,要考虑集合为空集的可能.另外,不可忽略空集是任何集合的子集.,,那么“〞是“〞的〔〕A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】不能推出,反过来,假设那么成立,故为必要不充分条件.的实部与虚部相等,其中为实数,那么〔〕A. −3B. −2C. 2D. 3【答案】A【解析】试题分析:,由,得,解得,选A. 【考点】复数的概念及复数的乘法运算【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考察频率较高的内容有:复数相等、复数的几何意义、一共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.4.小赵、小钱、小孙、小李四位同学被问到谁去过时,小赵说:我没去过;小钱说:小李去过;小孙说;小钱去过;小李说:我没去过.假定四人中只有一人说的是假话,由此可判断一定去过的是〔〕A. 小钱B. 小李C. 小孙D. 小赵【答案】A【解析】由题意的,假如小赵去过长城,那么小赵说谎,小钱说谎,不满足题意;假如小钱去过长城,那么小赵说真话,小钱说谎,小孙、小李说真话,满足题意,应选A.5.命题“〞的否认是〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】试题分析:全称命题的否认是存在性命题,所以,命题“〞的否认是,选C.考点:全称命题与存在性命题.6.以下函数中,定义域是且为增函数的是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】分别画出四个函数的图象,如图:应选B.,,那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得,,所以,应选B.8.执行如右图所示的流程图,那么输出的S的值是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意的,根据给定的程序框图可知,该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量的值,其中,应选B.9.a,b,c都是正数,那么三数a+,b+,c+ ( )A. 都大于2B. 都小于2C. 至少有一个不大于2D. 至少有一个不小于2【答案】D【解析】由题意得,当且仅当时,等号成立,所以致少有一个不小于,应选D.10.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):①“假设a,b∈R,那么a-b=0⇒a=b〞类比推出“假设a,b∈C,那么a-b=0⇒a=b〞;②“假设a,b,c,d∈R,那么复数a+b i=c+d i⇒a=c,b=d〞类比推出“假设a,b,c,d∈Q,那么a+b=c+d⇒a=c,b=d〞;③“假设a,b∈R,那么a-b>0⇒a>b〞类比推出“假设a,b∈C,那么a-b>0⇒a>b〞.其中类比得到的结论正确的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】试题分析:显然①正确;②错,举例:;假设a,b∈C,且a-b>0,说明a和b都是实数,那么a>b,③正确。

2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题02(新高考地区专用,直线与圆 椭圆)含解析

2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题02(新高考地区专用,直线与圆 椭圆)含解析

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围:空间向量与立体几何+直线和圆的方程+椭圆。

5.难度系数:0.62。

第一部分(选择题共58分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知{},,a b c 为空间的一个基底,则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是()A .a b + ,c b + ,a c- B .2a b + ,b ,a c- C .2a b +,2c b + ,a b c++r r r D .a b + ,a b c ++r r r ,cA .π2B .π3C .π4D .π6【答案】B3.设定点()10,2F -,()20,2F ,动点P 满足条件()120PF PF m m m+=+>,则点P 的轨迹是()A .椭圆B .线段C .射线D .椭圆或线段4.如图所示,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 为BC 的中点,113CF CC =,则异面直线EF 与11B D 所成角的余弦值为()A .23B C .26D .21故选:C .5.已知直线l :3mx y ++和直线:,则“1m =-”是“l ∥A .必要不充分条件B .充分不必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B【详解】当//l n 时,(m m6.已知椭圆22:1(0)M a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点P 在M 上,Q 为2PF 的中点,且121,FQ PF FQ b ⊥=,则M 的离心率为()A .3B .13C .12D 根据题意可知112PF F F ==又Q 为2PF 的中点,可得PQ12均过定点,且圆12均与轴、轴相切,则圆12的半径之积为()A .ab B .2abC .22a b+D .222a b +为线段AF 的中点,过点N 的平面α与棱,,AB AC AD 分别交于,,O P Q ,设四面体AOPQ 的体积为V ',则V V'的最小值为()A .14B .18C .116D .127【答案】C【详解】连接AM ,由题意知:()1122AN AF AD DF ==+ ()111362AD AB AC =+⨯+=令AOx AB APy AC ⎧=⎪⎪⎪=⎨,则AO AB x AP AC y ⎧=⎪⎪⎪=⎨选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中,正确的是()A .两条不重合直线1l ,2l 的方向向量分别是()2,3,1a =-,()2,3,1b =-- ,则12l l //B .两个不同的平面α,β的法向量分别是()2,2,1u =-,()3,4,2v =- ,则αβ⊥C .直线l 的方向向量()112a ,,=- ,平面α的法向量是()6,4,1u =-,则l α⊥D .直线l 的方向向量()0,3,0a = ,平面α的法向量是()0,5,0u =-,则//l α10.已知直线,圆00为圆C 上任意一点,则下列说法正确的是()A .2200x y +的最大值为5B .00y x 的最大值为5C .直线l 与圆C 相切时,k =D .圆心C 到直线l 的距离最大为411.已知直线:(0)l y kx k =≠交椭圆221x y a b+=于A ,B 两点,1F ,2F为椭圆的左、右焦点,M ,N 为椭圆的左、右顶点,在椭圆上与2F 关于直线l 的对称点为Q ,则()A .若1k =,则椭圆的离心率为B .若13MA MB k k =-,则椭圆的离心率为3C .1//l FQ D .若直线BQ 平行于x 轴,则k =对于A ,若1k =,则(0,)Q c 所以2222c cc e a b cc ===+对于B ,设0,0,则(B三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知点P 在圆22(5)(5)16x y -+-=上,点()()4,0,0,2A B ,当PBA ∠最小时,PB =.13.下列关于直线方程的说法正确的是.①直线sin 20x y θ-+=的倾斜角可以是2;②直线l 过点()2,3-,并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为10x y +-=;③过点()00,P x y 的直线0Ax By C ++=的直线方程还可以写成()()000A x x B y y -+-=;④经过()11,A x y ,()22,B x y 两点的直线方程可以表示为111212y y x x y y x x --=--.1111的棱长为3,P 是侧面11(包括边界)上一动点,E 是棱CD 上一点,若APB DPE ∠=∠,且APB △的面积是DPE 面积的9倍,则三棱锥P ABE -体积的最大值是..77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知直线l 的方程为:()()211740m x m y m +++--=.(1)求证:不论m 为何值,直线必过定点M ;(2)过点M 引直线1l 交坐标轴正半轴于A B 、两点,当AOB 面积最小时,求AOB 的周长.()1740++--=m y m 可得:(m ,所以直线l 过定点()3,1M ......................51111平面11(1)求证:平面11AB C ⊥平面1A BC ;(2)设点P 为1AC 的中点,求平面ABP 与平面BCP 夹角的余弦值.【详解】(1)证明1AA ⊥ 平面,ABC BC ⊂平面ABC ,1AA BC ∴⊥.又1,AB BC AA AB A ⊥⋂= ,且1,AA AB ⊂平面11ABB A ,BC ∴⊥平面11ABB A .1AB ⊂ 平面111,ABB A BC AB ∴⊥.又111,AB A C A C BC C ⊥⋂= ,且1,AC BC ⊂平面1A BC ,1AB ∴⊥平面1A BC .1AB ⊂ 平面11AB C ,∴平面11AB C ⊥平面1A BC ......................6分(2)由(1)知11AB A B ⊥,所以四边形11ABB A 为正方形,即12AA AB ==,且有22AC =.以点A 为原点,以1,AC AA 所在直线分别为,y z 轴,以过A 点和AC 垂直的直线为x 轴,建立空间直角坐标系A xyz -,如图所示,则()()()()()110,0,2,0,22,0,2,2,0,2,2,2,0,2,1A C B B P ,所以()()()2,0,1,0,2,1,2,2,0BP AP CB =-==-,设平面ABP 的一个法向量 =s s ,则0,0,BP n AP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即20,20,x z y z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩取()1,1,2n =- ,同理可得平面BCP 的一个法向量()2,2,2m = ,所以()()2,2,21,1,2221cos ,2224112222m n m n m n ⋅-⋅====++⨯++⨯ ,所以平面ABP 与平面BCP 夹角的余弦值为12......................15分17.(15分)已知椭圆C :()222210+=>>x y a b a b的焦距为22,离心率为22.(1)求C 的标准方程;(2)若5,02A⎛⎫- ⎪⎝⎭,直线l:()302x ty t=+>交椭圆C于E,F两点,且AEF△的面积为2,求t的值.联立则12232ty yt+=-+,12y y=-设直线l与x轴的交点为D⎛⎝如图,在四棱锥P ABCD-中,平面PAD⊥平面ABCD,PA PD⊥,AB AD⊥,PA PD=,1AB=,2AD=,AC CD==.(1)求证:PD⊥平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.(3)在棱PA上是否存在点M,使得//BM平面PCD?若存在,求出AM AP的值;若不存在,请说明理由.【详解】(1)∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD⋂平面ABCD AD=,且AB AD⊥,AB⊂平面ABCD,∴AB⊥平面PAD,∵PD⊂平面PAD,∴AB PD⊥,又PD PA⊥,且PA AB A=,,PA AB⊂平面PAB,∴PD⊥平面PAB;.......................5分(2)取AD中点为O,连接,CO PO,19.(17分)已知圆O的方程为2,1-的圆O的切线方程;(1)求过点()(2)已知两个定点(),2A a ,(),1B m ,其中R a ∈,0m >.P 为圆O 上任意一点,PA n PB =(n 为常数),①求常数n 的值;②过点(),E a t 作直线l 与圆22:C x y m +=交于M 、N 两点,若M 点恰好是线段NE 的中点,求实数t 的取值范围.。

2023-2024学年上海市长宁区高二下册期中数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年上海市长宁区高二下册期中数学模拟试题(含解析)

2023-2024学年上海市长宁区高二下册期中数学模拟试题一、填空题1.己知直线l 在x 轴上的截距是3,在y 轴上的截距是2-,则l 的方程是______.【正确答案】2360x y --=【分析】由题意利用截距式求直线的方程,再化为一般式.【详解】因为直线l 在x 轴上的截距是3,在y 轴上的截距是2-,则直线l 的方程是132x y +=-,即2360x y --=,故2360x y --=.2.若动点1122(,),(,)A x y B x y 分别在直线1:70l x y +-=和2:50l x y +-=上移动,则AB 中点到原点距离的最小值为________.【正确答案】【分析】分别求得,原点O 到直线1l 和2l 的距离12,d d ,结合12l l //,即可求得AB 的中点到原点的距离的最小值.【详解】由题意,直线1:70l x y +-=和2:50l x y +-=,可得12l l //,又由原点O 到直线l 1的距离12d ==,原点O 到直线l 2的距离12d ==,所以AB 的中点到原点的距离的最小值为72522222-+=.故3.点M 与两个定点()0,0O ,()2,0P 的距离的比为3:1,则点M 的轨迹方程为______.【正确答案】2299()416x y -+=【分析】设出动点(,)M x y3=,再化简即可得到结果.【详解】设点(,)M x y3=,两边平方化简得2222990x y x +-+=,即2299()416x y -+=,所以点M 的轨迹方程为2299()416x y -+=.故答案为.2299()416x y -+=4.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少一张,如果分给同一人的两张参观券连号,那么不同的分法种数是________.【正确答案】96【详解】试题分析:5张参观券全部分给4人,分给同一人的2张参观券连号,方法数为:1和2,2和3,3和4,4和5,四种连号,其它号码各为一组,分给4人,共有4×44A =96种排列、组合及简单计数问题5.将3个红球,4个篮球,2个黄球排成一排(相同颜色的球是一样的),有______种排法.【正确答案】1260【分析】利用排列知识即可求出结果.【详解】因为相同颜色的球是一样的,所以将3个红球,4个篮球,2个黄球排成一排,共有99342342A 1260A A A =种.故1260.6.点()1,2A ,点()2,4B --,点P 在坐标轴上,且APB ∠为直角,这样的点P 有______个.【正确答案】4【分析】分情况讨论,设出轴上P 点坐标,利用向量的数量积为0建立方程,由判别式确定解得个数即可.【详解】若P 在x 轴上,可设(,0)P x ,则(1,2),(2,4)AP x BP x →→=--=+,由APB ∠为直角可得(1)(2)80AP BP x x →→⋅=-+-=,即2100x x +-=,214(10)0∆=-⨯->,故有两解;当P 在y 轴上,可设(0,)P y ,则(1,2),(2,4)AP y BP y →→=--=+,由APB ∠为直角可得2(2)(4)0AP BP y y →→⋅=-+-+=,即22100y y +-=,224(10)0∆=-⨯->,故两解.综上,四个解且无重合点,可知符合条件的点有4个,故47.二项式321nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项,则正整数n 的最小值为______.【正确答案】5【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令x 的指数为 0方程有解,即可求出正整数n 的最小值.【详解】由题意,在321nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中,展开式中含有非零常数项,展开式的通项为()335121C C rn rrn n rr nr T xxx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭,∵展开式中含有非零常数项,∴当350n r -=时,解得:53r n =∴当3r =时,n 最小,为5故5.8.已知点()2,0A -,动点B 的纵坐标小于等于零,且点B 的坐标满足方程221x y +=,则直线AB 的斜率的取值范围是______.【正确答案】⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】利用条件,将问题转化成求直线AB 与圆相切时的斜率,再根据图形即可得出结果.【详解】由题知,动点B 的纵坐标小于等于零,且点B 的坐标满足方程221x y +=,所以点B 的轨迹方程为221(0)x y y +=≤,当直线AB 与圆相切时,设直线AB 方程为(2)y k x =+,即20kx y k -+=,1=,解得3k =±,因为B的纵坐标小于等于零,所以3k =-,由图易知,直线AB的斜率的取值范围k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,故⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分赴世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有_________种(用数字作答).【正确答案】1080【分析】该问题属于平均分组(堆)再分配的问题,先将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,再将其分配到四个不同场馆即得.【详解】将6位志愿者分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人有2216422222C C C45A A =种方法,进而将其分配到四个不同场馆,有44A 24=种情况,由分步计数原理可得,不同的分配方案有45×24=1080种.故1080.易错题,在分组过程中,要注意分组重复的情况,理解2216422222C C CA A 中分母的意义.10.在某种没有平局的比赛中,选手每赢一局可以得到1点积分,每输一局会失去1点积分,若选手连赢了3局或更多的比赛,则从连赢的第三局开始,每赢一局会得到2点积分,现在设某选手的胜率为60%,则他第6局的获得的分数的数学期望是______.【正确答案】0.38144【分析】根据题意结合独立事件概率公式、数学期望的公式进行求解即可..【详解】前6局中,连赢六局的概率为()660%,前6局中,连赢五局且第6局也赢的概率为()()560%160%⨯-,前6局中,连赢四局且第6局也赢的概率为()()560%160%⨯-,前6局中,连赢三局且第6局也赢的概率为()()()()44260%160%60%160%⨯-+⨯-,所以第6局的获得2分的概率为:()660%()()5260%160%+⨯⨯-()()()()44260%160%60%160%+⨯-+⨯-0.18144=,第6局的获得1-分的概率为160%0.4-=,第6局的获得1分的概率为10.181440.40.41856--=,所以第6局的获得的分数的数学期望是20.1814410.41856(1)0.40.38144⨯+⨯+-⨯=,故0.3814411.如图,在55⨯的方格表中按照下面的条件填入6个圆圈,满足各行.各列至少有一个圆圈;同一格不能填2个圆圈.则不同的符合条件的填入方法有______种.【正确答案】4200【分析】6个圆圈填入5行、5列的表格中,按照题目要求,易知必有某行2个,其他行1个;某列2个,其他列1个,据此分两类讨论,分别求出安排种数,再由分类加法计数原理得解.【详解】6个圆圈填入5行、5列的表格中,按照题目要求,易知必有某行2个,其他行1个;某列2个,其他列1个.①如果该行和该列的交界处有圆圈,则去掉这个圆圈恰好每行每列1个,有5!=120种,新增的这个交界处圆圈有20种填法,共计:120×20=2400种;②如果该行和该列的交界处没有圆圈,选定该行该列的方式有1155C C =25种,在该行该列分别填入2个圆圈的方法有2244C C =36种,最后再把剩下2个圆圈填入方格,有2种填法,共计:25362=1800⨯⨯种;综上,不同的符合条件的填入方法有4200种.故4200种12.已知,,,,,A B C D E F 六个字母以随机顺序排成一行,若小明每次操作可以互换2个字母的位置,则小明必须进行5次操作才能将六个字母排成ABCDEF 的顺序的排列情况有______种.【正确答案】120【分析】利用条件,先假设有一个字母已排在正确位置上,经过分析判断得出不符合题意,从而得出每个字母均不在正确的位置上,再利用分步计数原理即可求出结果.【详解】因为小明必须经过5次操作才能将六个字母排成ABCDEF 的顺序,这里研究排序混乱到什么程度才需要“必须经过5次操作”排成ABCDEF 的顺序,这里不妨记A ,B ,C ,D ,E ,F 六个字母对应的位次分别为1,2,3,4,5,6,首先,考虑一种情况:假设字母“A ”已经排在自己的位置,即排在1号位,其他字母均不在自己位置,易知把其他五个字母调换到自己的位置至少需要经过4次操作,即第一次让“B ”归位,第二次让“C ”归位,第三次让“D ”归位,第四次将“E ”与“F ”同时归位,这样仅需进行4次操作,不满足题意;所以,要满足“必须进行5次操作”的情况,则每个字母均不在自己位置的情况,这样1号位有5种选择,放在1号位的那个字母对应的位次就有4种选择,以此类推,总的排序方法有5120=!种.故120.解决本题的关键在于,先通过假设字母“A ”已经排在自己的位置,即排在1号位,再分析出不符合条件,从而得到怎样的排序才符合条件,将问题转成利用分步计数原理来解决.二、单选题13.已知一个圆的方程满足:圆心在点()3,4-,且过点原点,则它的方程为()A .()()22345x y -+-=B .()()223425x y +++=C .()()22345x y ++-=D .()()223425x y ++-=【正确答案】D【分析】利用条件求出半径,再根据圆的标准方程求解.【详解】设圆的半径为r ,因为圆心是()3,4C -,且过点(0,0),所以5r =,所以半圆的方程为()223(4)25x y ++-=,故选:D.14.掷两颗均匀的大小不同的骰子,记“两颗骰子的点数和为10”为事件A ,“小骰子出现的点数大于大骰子出现的点数”为事件B ,则()P B A 为()A .12B .16C .115D .13【正确答案】D【分析】根据题意,利用古典概型公式分别计算事件A 发生的概率与事件AB 发生的概率,再利用条件概率计算公式即可算出P (B |A )的值.【详解】根据题意,记小骰子的点数为x ,大骰子的点数为y ,事件A 包含的基本事件有“4,6x y ==”,“5x y ==”,“6,4x y ==”共3个,∴事件A 发生的概率31()6612P A ==⨯,而事件A B 包含的基本事件有“6,4x y ==”一个,可得事件AB 发生的概率1()36P AB =,()1(|)()3P AB P B A P A ∴==.故选:D15.过点()3,0P 作一条直线l ,它夹在两条直线1l :220x y --=和2l :30x y ++=之间的线段恰被点P 平分,则直线l 的方程为()A .8240x y +-=B .8240x y --=C .8240x y ++=D .8240x y ++=【正确答案】B【分析】当斜率不存在时,不符合题意,当斜率存在时,设所求直线方程为()3y k x =-,进而得出交点,根据点P 为两交点的中点建立等式,求出k 的值,从而即可解决问题.【详解】如果直线斜率不存在时,直线方程为:3x =,不符合题意;所以直线斜率存在设为k ,则直线l 方程为()3y k x =-,联立直线1l 得:()323242202k x y k x k k x y y k -⎧=⎪⎧=-⎪-⇒⎨⎨--=⎩⎪=⎪-⎩,联立直线2l 得:,()33316301k x y k x k kx y y k -⎧=⎪⎧=-⎪+⇒⎨⎨-++=⎩⎪=⎪+⎩,所以直线l 与直线1l ,直线2l 的交点为:324336,,,2211k k k k k k k k ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭,又直线l 夹在两条直线1l 和2l 之间的线段恰被点P 平分,所以3233466,02121k k k kk k k k ---+=+=-+-+,解得:8k =,所以直线l 的方程为:8240x y --=,故选:B.16.两个黑帮帮主甲和乙决定以如下方式决斗:甲带了一名手下A ,而乙带了两名手下B 和C ,规定任意一名手下向敌方成员开枪时,会随机命中敌方的一个尚未倒下的人,且命中每个人的概率相等,并且,三名手下被命中一次之后就会倒下,而甲被命中三次后倒下,乙被命中两次后倒下,只要甲或者乙任意一人倒下,决斗立刻结束,未倒下的一人胜出.决斗开始时,A 先向敌方成员开枪,之后若B 未倒下,则B 向敌方成员开枪,之后按C ,A ,B ,C ,A ,B ,……的顺序依次进行,则甲最终获胜的概率是()A .518B .736C .14D .19【正确答案】A【分析】分析按被击中顺序来表示的甲获胜的事件,分别求出概率,利用互斥事件概率加法公式求和得解.【详解】对于甲来说,一旦唯一一名手下A 被击毙,则甲方必败,同理,若乙方B 、C 两名手下被击毙,则乙方必败(题目定义开枪顺序是三名手下轮流开枪,甲与乙不参与开枪),按照被击中的顺序表示事件,易知甲获胜的方式有如下几种:乙甲甲乙,B 甲C ,C 甲B ,B 甲乙甲,C 甲乙甲,事件概率分别记为(1,2,3,4,5)i P i =,则111111322336P =⨯⨯=,2111132212P =⨯⨯=,3111132212P =⨯⨯=,411111322224P =⨯⨯=,511111322224P =⨯⨯⨯=,所以甲最终获胜的概率是11152236122418P =+⨯+⨯=,故选:A三、解答题17.已知随机变量(),X B n p ,若()2E x =,()43D x =,求p 的值.【正确答案】13【分析】根据二项分布的期望、方差公式计算可得.【详解】因为随机变量(),XB n p ,所以()2E x np ==,()()413D x np p =-=,两式相除可得213p -=,解得13p =.18.求抛物线C :2y x =上的点到直线l :112y x =-的最小距离.【正确答案】8【分析】设出抛物线上的点坐标,利用点到直线的距离公式求解作答.【详解】设抛物线2y x =上的点200(,)P x x ,则点P 到直线112y x =-,即220x y --=的距离2201152()48x d -+=当且仅当014x =时取等号,所以所求最短距离为8.19.某校举行了一次数学竞赛,为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为n )进行统计,按照[)50,60,[)60,70,[)70,80,[)80,90,[]90,100的分组作出如图所示的频率分布直方图,已知得分在[)50,60,[]90,100的频数分别为16,4.(1)求样本容量n 和频率分布直方图中的a ,b 的值;(2)分以下称为“不优秀”,其中男.女姓中成绩优秀的分别有24人和30人,请完成列联表,并判断是否有90%的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”?男生女生总计优秀不优秀总计()20P K k ≥0.100.050.0100.0050.0010k 2.706 3.8416.6357.87910.828附:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++,n a b c d =+++.【正确答案】(1)1000.0040.030,,n b a ===(2)联表见解析,没有【分析】(1)根据频率分布直方图,计算样本容量n 及,a b 的大小即可;(2)由题意列出联表,计算2K 与临界值比较得出结论.【详解】(1)由题意可知,样本容量161000.01610n ==⨯,40.00410010b ==⨯,0.1000.0040.0100.0160.0400.030.a =----=(2)100位学生中男女生各有50名,成绩优秀共有54名,所以学生的成绩优秀与性别列联表如下表;男生女生总计优秀243054不优秀262046总计5050100()22100242030261001.4492.705050465469K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ ,∴没有90%的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”.20.为评估设备M 生产某种零件的性能,从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:直径mm 5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算,样本的平均值65μ=,标准差 2.2σ=,以频率值作为概率的估计值,用样本估计总体.(1)将直径小于等于2μσ-或直径大于2μσ+的零件认为是次品,从设备M 的生产流水线上随意抽取3个零件,计算其中次品个数Y 的数学期望()E Y ;(2)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为X ,并根据以下不等式进行评判(P 表示相应事件的概率):①()0.6827P X μσμσ-<≤+≥;②(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≥;③(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≥.评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙;若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁,试判断设备M 的性能等级并说明理由.【正确答案】(1)9()50E Y =;(2)设备M 的性能为丙级别.理由见解析【分析】(1)对于次品个数Y 的数学期望()E Y 的求法可采取古典概率的算法,先求出次品率,用符合条件的次品数/样本总数,次品可通过寻找直径小于等于2μσ-或直径大于2μσ+的零件个数求得,再根据该分布符合3~3,50Y B ⎛⎫⎪⎝⎭,进行期望的求值(2)根据(2)提供的评判标准,再结合样本数据算出在每个对应事件下的概率,通过比较发现80()0.800.6826100P X μσμσ-<≤+==>,94(22)0.940.9544100P X μσμσ-<≤+=<,98(33)0.980.9974100P X μσμσ-<≤+==<,三个条件中只有一个符合,等级为丙【详解】解:(1)由图表知道:直径小于或等于2μσ-的零件有2件,大于2μσ+的零件有4件,共计6件,从设备M 的生产流水线上任取一件,取到次品的概率为6310050=,依题意3~3,50Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,故39()35050E Y =⨯=;(2)由题意知,62.8μσ-=,67.2μσ+=,260.6μσ-=,269.4μσ+=,358.4μσ-=,371.6μσ+=,所以由图表知道:80()0.800.6826100P X μσμσ-<≤+==>,94(22)0.940.9544100P X μσμσ-<≤+=<,98(33)0.980.9974100P X μσμσ-<≤+==<,所以该设备M 的性能为丙级别.对于正态分布题型的数据分析,需要结合μσ,的含义来进行理解,根据题设中如()0.6827P X μσμσ-<≤+≥;②(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≥;③(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≥来寻找对应条件下的样品数,计算出概率值,再根据题设进行求解,此类题型对数据分析能力要求较高,在统计数据时必须够保证数据的准确性,特别是统计个数和计算μσ-,μσ+等数据时21.(1)已知k 、n 为正整数,k n ≤,求证:11C C k k n n k n --=:(2)已知k 、n 为正整数,求证:1121C C C C C n n n n n n n n k n k n +++++++++⋅⋅⋅+=;(3)m 、n 为正整数,2n ≥,求证:()()1111111C 1111C C C C 121n n n n n n mn n n n m n n n n n m n m n ----+-++-+++⋅⋅⋅+<++++-.【正确答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】(1)根据组合数的公式及阶乘的定义化简变形即可得证;(2)由组合数的性质11C C C m m mn n n -++=可证明;(3)利用(1)和(2)的结论,及()2212121C 1C C n n k n n n k n k n k n n k n k-+---+-+-+--=<++可证明.【详解】(1)()()()()()111!!C C !!1![11]!kk n n n n n k kn k n k k n k --⋅-===----- ,11C C k k n n k n --=∴.(2)由11C C C m m mn n n -++=知,12C C C C n n nn n n n n k++++++⋅⋅⋅+1112C C C C n n n n n n n n k+++++=++++ 122C C C n n n n n n k++++=+++ 133C C C n n n n n n k++++=+++ ⋯⋯11C n n k +++=.(3)由(1)可知,2n ≥时,()()()()()1111C C C 111n n n n m n m n m m n n n m n m n n n --+-++-+==+-+--,而()2212121C 1C C n n k n n n k n k n k n n k n k-+---+-+-+--=<++,故11111111111C C C C 12n n n n n n n n m n n n n n n n n m -----++-----+++++++ ,2222212C C C C n n n n n n n n m ------+-<++++ 11n n m C -+-=,故()()1111111C 1111C C C C 121n n n n n n mn n n n m n n n n n m n m n ----+-++-+++⋅⋅⋅+<++++-,其中2n ≥.。

上海市上海师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

上海市上海师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

上师大附中高二期中数学试卷2024.11一.填空题(第1-6题每题4分,第7-12题每题5分,满分54分)1.直线过点,法向量为,则的一般式方程为______.2.顶点在坐标原点,焦点在轴,且经过的抛物线的标准方程为______.3.已知直线:,:,若,则实数______.4.已知直线的倾斜角,则直线的斜率的取值范围为______.5.经过点且与圆相切的直线方程为______.6.南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示,忽略杯盏的厚度,这只杯盏的轴截面如图2所示,其中光滑的曲线是抛物线的一部分,已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm ,则抛物线的焦点到准线的距离为______cm.图1图27.已知椭圆的焦点为、,椭圆上的动点的坐标为,且为钝角,则的取值范围为______.8.已知圆:,圆:,圆与圆、圆外切,则圆心的轨迹方程为______.9.过椭圆:右焦点的直线:交于、两点,为AB 的中点,且OP 的斜率为,则椭圆的标准方程为______.10.已知,分别为椭圆:的左、右焦点,过的直线与交于,两点,若,则椭圆的离心率为______.11.已知是抛物线:的焦点,双曲线:(,)的渐近线与抛物线交于抛物线、两点(异于原点),若,则双曲线的离心率为______.l (1,2)(1,2)n = l x (2,4)M --1l 10x ay +-=2l 10ax y +-=12//l l a =l 2,43ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭(5,4)-2225x y +=221167x y +=1F 2F P (),P P x y 12F PF ∠P x A 22(2)9x y ++=B 22(2)1x y -+=C A B C C 22221(0)x y a b a b+=>>F l 20x y --=C A B P 12-C 1F 2F C 22221(0)x y a b a b+=>>1F C P Q 121::6:3:2PF PF FQ =C F C 22(0)y px p =>E 22221x y a b -=0a >0b >C A B 120AFB ︒∠=12.已知双曲线左右焦点分别为、,点为右支上一动点,圆与的延长线、的延长线和线段都相切,则的取值所组成的集合为______.二.选择题(本大题共4题,满分20分)13.方程表示椭圆的充要条件是( )A. B. C. D.或14.已知椭圆的左、右焦点分别为、,点在椭圆上,则的周长为( )A.4 B.6 C.8 D.1015.所表示的曲线为( )A.抛物线 B.椭圆 C.双曲线 D.直线16.从某个角度观察篮球(如图1)可以得到一个对称的平面图形(如图2),篮球的外轮廊为圆,将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线,若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长8等分,且,则该双曲线的离心率为( )图1图2三.解答题(本大题共有5题,满分76分)17.已知三边所在直线方程为AB :,BC :,CA :.(1)求AC 边上的高所在的直线方程;(2)求直线AB 与直线CA 的夹角.18.已知椭圆:的左、右焦点分别为、,离心率为,点在椭圆上,,,过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于、两点,为线段PQ 的中点.(1)求椭圆的方程;22114425x y -=1F 2F P M 1F P 12F F 2F P 22PM PF PF ⋅ 2214x y m+=0m >0m <4m >04m <<4m >22143x y +=1F 2F P 12PF F △3+-O O AB BC ==CD ABC △34120x y ++=43160x y -+=220x y +-=C 22221(0)x y a b a b +=>>1F 2F 12A C 12AF =1260F AF ︒∠=2F l C P Q N C(2)已知点,且,求线段MN 所在的直线方程.19.如图,某市在城市东西方向主干道边有两个景点,,它们距离城市中心的距离均为,是正北方向主干道边上的一个景点,且距离城市中心的距离为3km ,为改善市民出行,准备规划道路建设,规划中的道路如图所示,道路MN 段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多4km ,其中道路起点到东西方向主干道的距离为6km ,线路NP 段上的任意一点到的距离都相等,以为原点、线段AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xOy .(1)求道路的曲线方程;(2)现要在上建一站点,使得到景点的距离最近,问如何设置站点的位置?(即确定点的坐标)20.已知圆:和圆:.(1)若圆与圆相交,求的取值范围;(2)若直线:与圆交于,两点,且,求实数的值;(3)若,设为平面上的点,且满足:存在过点的无穷多对互相垂直的直线和,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,求所有满足条件的点的坐标.21.已知双曲线:(,)的渐近线方程为,、分别为双曲线的顶点,且.(1)求双曲线的方程;(2)直线与双曲线交于、两点,且,求的值;(3)设动点,其中,直线AM 、BM 与双曲线分别交于、两点,求证:直线CD 过定点.10,8M ⎛⎫ ⎪⎝⎭MN PQ ⊥A B O C O M N P --A B M O O x M N P --M N P --Q Q C Q Q 1C 226260x y x y ++-+=2C 222810410(0)x y x y r r +--+-=>1C 2C r l 1y kx =+1C P Q 4OP OQ ⋅= k 2r =P P 1l 2l 1C 2C 1l 1C 2l 2C P E 22221x y a b-=0a >0b >20x y ±=A B E 4AB =E 1y kx =-E P Q POQ S =△2k (1,)M m m ∈R E C D参考答案一.填空题1. 2. 3. 4.5.或6.7.8.9.12.二.选择题13.D14.B 15.A 16.B 三.解答题17.(1);(2)18.(1);(2)或19.(1)(,),;(2),20.(1;(23)或21.(1);(2)或;(3)250x y +-=28y x =-1-(,(1,)-∞+∞ 5x =9402050x y --=278⎛ ⎝221(1)3y x x -=>22184x y +={}1240x y -+=1arctan 222143x y +=16810x y +-=162430x y +-=22144x y -=2x ≤≤06y ≤≤224(0)x y y +=≤53,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭min CQ =22r -<<+51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭313,22⎛⎫- ⎪⎝⎭2214x y -=116514(4,0)。

2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题(A卷)Word版含答案

2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题(A卷)Word版含答案

试卷类型 A2016-2017学年高二下学期期中考试数学(理)试题一.选择题(5分×12=60分)在每小题给出的四个选项只有一个正确。

1.下列求导运算正确的是( ) A. 233'1x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ B. ()21log 'ln2x x = C. ()33'3log x x e = D. ()2cos '2sin x x x x =-2.曲线34y x x =-在点(-1,-3)处的切线方程是( ) A.74y x =+ B.72y x =+ C.2y x =- D.4y x =- 3.由“若b a>,则c b c a +>+”推理到“若b a >,则bc ac >”是( )A.归纳推理B.类比推理C.演绎推理D.不是推理4.已知三棱锥O ABC -,点,M N 分别为,AB OC 的中点,且,,OA a OB b OC c === ,用a , b , c表示MN ,则MN等于( )A. ()12b c a +-B.()12a b c +- C. ()12a b c -+ D. ()12c a b -- 5.若'0()3f x =-,则000()(3)limh f x h f x h h→+--=( ) A .-3 B . -6 C .-9 D .-126.若2(sin cos )2x a x dx π-=⎰,则实数a 等于( )A .1-B .1C .7.如图,函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是8y x =-+,则()()55f f '+=( )A .12B .1C .2D .0 8.函数32()23f x x x a =-+的极大值为6,那么a 的值是( ) A .5 B .0 C .6 D .19.函数f (x )在x=x 0处导数存在,若p :f′(x 0)=0:q :x=x 0是f (x )的极值点,则( ) A .p 是q 的充分必要条件B .p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件C .p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件D .p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件 10.若2()2'(1)f x xf x =+,则'(0)f 等于 ( ) A. -2 B. -4 C. 2 D. 0 11.由曲线x y =,直线2-=x y 及y 轴所围成的封闭图形的面积为( )A .316 B .310C .4D .6 12.函数()f x 在实数集R 上连续可导,且()()20f x f x '->在R 上恒成立,则以下不等式一定成立的是( ) A. ()()221f f e >B. ()()221f f e <C. ()()321f e f -> D. ()()321f e f -<二.填空题。

上海市青浦高级中学2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学试卷(解析版)

上海市青浦高级中学2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学试卷(解析版)

上海市青浦高级中学2023学年第二学期期中质量检测高二数学试卷考试时间120分钟 满分150分一、填空题(本大题共12题,满分54分;第1-6题每题4分;第7-12题每题5分)1. 与的等差中项是________.【答案】-5【解析】【分析】根据等差中项的定义计算即可.【详解】设等差中项为,则,故答案为:-52. 乘积的展开式中共有______项.【答案】24【解析】【分析】根据分步乘法计数原理可得答案.【详解】由中取一项共3种不同取法,从中取一项有2种不同取法,从中取一项共4种不同取法,由分步乘法计数原理知,该展开式共3×2×4=24(项)故答案为:24.3. 已知事件A 与事件B 互斥,如果,,那么_____________.【答案】0.2##【解析】【分析】根据互斥事件与对立事件的概率公式计算.【详解】由题意.故答案为:0.2.4. 某高中的三个年级共有学生2000人,其中高一600人,高二680人,高三720人,该校现在要了解学生对校本课程的看法,准备从全校学生中抽取50人进行访谈,若采取分层抽样,且按年级来分层,则高一年级应抽取的人数是______.【答案】152-8-x ()2285x x =-+-⇒=-()()()123121234a a a b b c c c c ++++++123,,a a a 12,b b 1234,,,c c c c ()0.3P A =()0.5P B =()P A B = 15()1()1[()()]1(0.30.5)0.2P A B P A B P A P B =-=-+=-+=【解析】【分析】根据分层抽样原则直接计算即可【详解】由题意,从全校2000人中抽取50人访谈,按照年级分层,则高一年级应该抽人.故答案为:155. 2位教师和3名学生站成一排,要求2位教师相邻,则不同排法的种数为______.【答案】48【解析】【分析】利用捆绑法,结合全排列即可求解.【详解】先将2位教师捆绑在一起,再与3名学生进行全排列,所以排法有:种.故答案为:486. 有一列正方体,棱长组成以1为首项,为公比的等比数列,体积分别记为,则_________.【答案】【解析】【详解】易知V 1,V 2,…,V n ,…是以1为首项,3为公比的等比数列,所以7. 已知函数,则函数的单调递增区间为__________.【答案】【解析】【分析】求出函数的导数,解不等式,即可求得答案.【详解】由函数可得,令,即函数的单调递增区间为,故答案为:50600152000⨯=2424A A 48=1212,,,n V V V ()12lim n n V V V →∞+++= 871128lim()1718n n V V V V →∞+++==- ()ln x f x x=()f x (0,e)()0f x ¢>()ln ,(0)x f x x x =>()21ln x f x x -'=()21ln 0,0,0e x f x x x -'>∴>∴<<()f x (0,e)(0,e)8. 设一组样本数据,,,的方差为,则数据,,,的方差为___________.【答案】【解析】【分析】根据方差的性质,若,,,的方差为,则,,的方差为,计算即得答案.【详解】根据题意,一组样本数据,,,的方差,则数据,,,的方差为;故答案:.9. _____________.【答案】##【解析】【分析】利用导数的定义及求导公式可得答案.【详解】设函数,则;.故答案为:.10. 已知在等比数列中,、分别是函数的两个驻点,则_____________.【解析】【分析】根据题意利用导数及韦达定理可得,的关系,后利用等比数列的性质可得答案.【详解】由题意可得:,则、是函数零点,则,且为等比数列,设公比为,为的1x 2x L n x 0.01110x 210x L 10n x 11x 2x L n x 2s 1ax 2ax L n ax 22a s 1x 2x L n x 20.01s =110x 210x L 10n x 22101s ⨯=1()0ln 42ln 2lim h h h→+-=140.25()ln f x x =1()f x x'=()()00ln 42ln 2ln 4ln 41lim lim (4)4h h h h f h h →→+-+-'===14{}n a 3a 7a 32661y x x x =-+-5a =3a 7a 23126y x x '=-+3a 7a 23126y x x '=-+37374020a a a a +=>⎧⎨=>⎩{}n a 0q ≠可得,解得注意到,可得.11. 若函数的图像上点与点、点与点分别关于原点对称,除此之外,不存在函数图像上的其它两点关于原点对称,则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】【分析】由题意将问题转化为在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点,即转化为方程在上有两根,孤立参数为在上有两根,求导确定函数的单调性与取值情况,作出大致图象,即可求得实数的取值范围.【详解】若有两组点关于原点对称,则在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点.由时,;得其关于原点对称后的解析式为.问题转化为与在上有两个交点,即方程有两根,化简得,即与在上有两个交点.对于,求导,令,解得:,即:当时,单调递增;令,解得:.即:当时,单调递减,∴为其极大值点,,时,;画出其大致图像:372537002a a a a a >⎧⎪>⎨⎪==⎩5a =2530a a q =>5a =32,0e ,0x x x y ax x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩A B C D a 1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x (),0∞-()0,∞+32ex x ax =-()0,∞+e x x a -=()0,∞+e x x y =a ()f x ()f x (),0∞-()0,∞+0x <()2f x ax =2y ax =-3ex y x =2y ax =-()0,∞+32e x x ax =-e xx a -=y a =-e x x y =()0,∞+e x x y =1'e x x y -=1'0ex x y -=>1x <()0,1x ∈ex x y =1'0ex x y -=<1x >()1,x ∈+∞ex x y =1x =max 1e y =x →+∞0y →欲使与在时有两个交点,则,即.12. 已知数列满足:对于任意有,且,.若,数列的前项和为,则_________.【答案】【解析】【分析】对求导,可证得是以为首项,1为公差的等差数列,可求出,再由并项求和法求出.【详解】因,则,由,,,所以是以为首项,1为公差的等差数列,所以,,,则,所以,所以.故答案:二、选择题(本大题共4题,满分18分;第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)13. 在下列统计指标中,用来描述一组数据离散程度的量是( )为为y a =-e x x y =0x >10,e a ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭1,0e a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭{}n a *Nn ∈π0,2n a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1π4a =()1nf a +=()tan f x x =()11tan tan n n n n b a a +-=-{}n b n n T 120T =10()f x {}2tan n a 21tan 1a=tan=n a 120T()tan f x x =()()222coscos sin sin sin 11tan cos cos cos x x x x x f x x x x x '⋅-⋅-⎛⎫====+ ⎪⎝⎭'1π4a =()1n f a +=1tan +=n a 221tan tan 1n n a a +-={}2tan n a 21tan 1a =2tan =n a n π0,2n a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭tan 0n a ∴>tan =n a ()()111tan tan nn n n n b a a +-===--120123119120T b b b b b =+++++ )1=-++-++ 111110==-=10A. 平均数B. 众数C. 百分位数D. 标准差【答案】D【解析】【分析】根据中位数,平均数、百分位数和标准差的定义即可判断.【详解】平均数、众数都是描述一组数据的集中趋势的量,所以说平均数、众数都是描述一组数据的集中趋势的统计量,故A 、B 不正确;百分位数是指将一组数据从小到大排列,并计算相应的累计百分位,则某一个百分位所对应的数据的值称为这一百分位数的百分位数.所以百分位数不能用来描述一组数据离散程度的量,故C 不正确;标准差反映了数据分散程度的大小,所以说标准差都是描述一组数据的离散程度的统计量,故D 正确.故选:D .14. 某社区通过公益讲座宣传交通法规.为了解讲座效果,随机抽取10位居民,分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷,满分为100分.他们得分的茎叶图如图所示(“叶”是个位数字),则下列选项叙述错误的是( )A. 讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分B. 讲座前的答卷得分分布较讲座后分散C. 讲座后答卷得分的第80百分位数为95D. 讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差【答案】C【解析】【分析】根据茎叶图即可判断AB ;再根据百分位数的计算公式即可判断C ;根据极差的定义即可判断D.【详解】有茎叶图可知讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分,故A 正确;讲座前的答卷得分主要分布在之间,而讲座后主要分布在之间,则讲座前的答卷得分分布较讲座后分散,故B 正确;讲座后答卷得分依次为,因为,所以第80百分位数是第8个数与第个数的平均数,为,故C 错误;5075 8085 80,85,85,85,90,90,95,95,100,10080%108⨯=91952讲座前答卷得分的极差为,讲座后得分的极差为,所以讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差,故D 正确.故选:C .15. 函数的定义域为开区间,导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内极值点(包括极大值点和极小值点)有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】根据函数图象,结合极值点定义即可判断在开区间内极值点个数.【详解】根据极值点定义,在极值点处导函数为0,且在极值点左右两侧单调性性不同,结合函数图象可知,导函数在内与轴有4个交点,但在两侧均为单调递增函数,因而不极值点,所以在开区间内极值点有3个,故选:C【点睛】本题考查了导函数图象性质的应用,极值点的意义,属于基础题.16. 已知数列,设(n 为正整数).若满足性质Ω:存在常数c ,使得对于任意两两不等的正整数i 、j 、k ,都有,则称数列为“梦想数列”.有以下三个命题:①若数列是“梦想数列”,则常数;②存在公比不为1的等比数列是“梦想数列”;③“梦想数列”一定是等差数列.以上3个命题中真命题的个数是( )个A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】是905040-=1008020-=()f x (),a b ()'f x (),a b ()f x (),a b ()f x (),a b ()'f x (),a b x 0x =0x =()f x (),a b {}n a 12n n a a a m n+++= {}n a ()()()k i j i j m j k m k i m c -+-+-={}n a {}n a 0c =【分析】分析条件,可得,可判断①;先验证,,时,、、成等差数列,再令,,,得数列的前项和的表达式,从而求得数列的通项公式,可判断②③.【详解】对于①,,所以,,故①正确;对于②③,令,,,所以,,即:、、成等差数列,令,,,,化简为:,两式相减得:所以,,当时也成立.综上可得,“梦想数列”必是等差数列,故③正确,故②不正确.故选:B .三、解答题(本大题共5题,满分78分)17. A 校为了了解学生对食堂的满意程度,随机调查了50名就餐学生,根据这50名学生对食堂满意度的评分,绘制出如图所示的频率分布直方图,其中样本数据分组为,,…,.()()()k i j i j m j k m k i m c -+-+-=0c =1i =2j =3k =1a 2a 3a 1i =2j =()3k n n =≥{}n a n n S {}n a ()()()k i j i j m j k m k i m c-+-+-=()()()k j i j i m i k m k j m c -+-+-=0c =1i =2j =3k =()()()1231121223310312a a a a a a +++-+-+-=1322a a a +=1a 2a 3a 1i =2j =()3k n n =≥()()()21122102n S S n a n n -+-+-=()()2122310n S n n a n n a +---=()()21122210n S n n a n n a ++---+=11121122220n n a na a na a a nd+++--=⇒=+()()114n a a n d n =+-≥1,2,3n ={}n a [)40,50[)50,60[]90,100(1)求频率分布直方图中a 的值;(2)若A 校共有3000名学生,试估计全体学生中对食堂满意度不低于80分的人数.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1,可求出a 的值;(2)先计算出样本中对食堂满意度不低于80分的频率,用样本估计总体,即可求解.【小问1详解】由题意可知:,解得;【小问2详解】样本中对食堂满意度不低于80分的频率为,用样本估计总体,所以估计全体学生中对食堂满意度不低于80分的人数为人.18. 记为数列的前项和,已知,(为正整数).(1)求数列的通项公式;(2)设,若,求正整数的值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)计算,确定数列从第2项开始构成以为首项,2为公比的等比数列,得到通项公式.(2)验证时不成立,当时,确定,代入计算得到,解得答案.【小问1详解】由,,得,且当时,,即. 故数列从第2项开始构成以为首项,2为公比的等比数列,,0.006a =1200100.0040.0220.0280.0220.0181()a ⨯+++++=0.006a =(0.0220.018)100.4+⨯=30000.41200⨯=n S {}n a n 12a =1n n a S +=n {}n a 2log n n b a =129145m m m m b b b b +++++++= m 12,1 2,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩11m =22a ={}n a 22a =1m =2m ≥1n b n =-()527145m +=12a =1n n a S +=2112a S a ===2n ≥11n n n n n a S S a a -+=-=-()122n na n a +=≥{}n a 22a =12n n a -=故数列的通项公式为,【小问2详解】当时,,又.当时,,不满足条件;当时,由,解得.19. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率;(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,求至少有一个一等品的概率.【答案】(1),,;(2)【解析】【分析】(1)设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件,则再利用独立事件的概率计算公式,解方程组即可得到答案.(2)记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件,利用对立事件,即计算即可.【详解】(1)设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件,由题设条件有即{}n a 12,1 2,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩2n ≥122log log 21n n n b a n -===-1212log log 21b a ===1m =()12310112946b b b b ++++=++++= 2m ≥()()()()129118527145m m m m b b b b m m m m m +++++++=-++++++=+= 11m =1411229131423561(),41(),122(),9P A B P B C P A C ⎧⋅=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪⎪⋅=⎪⎩()1()P D P D =-1(,41(),122(),9P A B P B C P A C ⎧⋅=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪⎪⋅=⎪⎩1()[1()],41()[1()],122()().9P A P B P B P C P A P C ⎧⋅-=⎪⎪⎪⋅-=⎨⎪⎪⋅=⎪⎩解得,,.即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是,,;(2)记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件,则.故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少有一个一等品的概率为.【点晴】本题主要考查独立事件的概率计算问题,涉及到对立事件的概率计算,考查学生的数学运算能力,是一道容易题.20. 已知数列是公差为2的等差数列,其前8项的和为64.数列是公比大于0的等比数列,,.(1)求数列和的通项公式;(2)记,求数列的前项和;(3)记,求数列的前项和.【答案】(1),(2)(3)【解析】【分析】(1)设等差数列的首项为,利用等差数列的前项和公式求出,进而求出等差数列的通项公式;设等比数列的公比为,利用通项公式和已知条件求出,进而求出等比数列的通项公式;(2)先求出,再利用分组求和法和等差数列的求和公式进行求解;(3)先得到,再利用裂项抵消法进行求和.【小问1详解】1()3P A =1()4P B =2()3P C =131423()1()1[1()][1()][1()]P D P D P A P B P C =-=----231513436=-⨯⨯=56{}n a {}n b 13b =3218b b -={}n a {}n b 2*(1),N n n n c a n =-∈{}n c 2n 2n S *211,N n n n n na d n a ab ++-=∈{}n d n n T 21n a n =-3n n b =228n S n =1122(21)3n n T n =-+⋅1a n 1a q q 212168n n c c n -+=-1111[2(21)3(21)3n n nd n n -=--⋅+⋅因为是公差为2的等差数列,且,所以,解得,所以;设等比数列的公比为(),因为,,所以,即,解得(舍去)或,所以.【小问2详解】由(1)得,则,则【小问3详解】由(1)得,则{}n a 864S =18782642a ⨯+⨯=1=1a 12(1)21n a n n =+-=-{}nb q 0q >13b =3218b b -=23318q q -=260q q --=2q =-3q =1333n n n b -=⨯=22(1)(1)(21)n n n nc a n =-=-⋅-21222212(1)[2(21)1](1)(41)n n n n c c n n --+=-⋅--+-⋅-2222(1)(43)(1)(41)n n n n =--⋅-+-⋅-22(41)(43)168n n n =---=-21234212()()()n n n S c c c c c c -=++++⋅⋅⋅++8[135(21)]n =+++⋅⋅⋅+-2[1(21)]882n n n +-=⨯=2112(2)2(21)(21)3n n nn n n a n d a a b n n ++-+-==-+⋅()()()()122111212132213213n n n n n n n n -⎡⎤+==-⎢⎥-+⋅-⋅+⋅⎢⎥⎣⎦123n nd d d d T +++⋅⋅⋅+=0112231111111111[((()(2133333535373(21)3(21)3n n n n -=-+-+-+⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⋅+⋅,【点睛】方法点睛:本题中考察了数列求和的两种采用方法,第二问考察了并项求和法,第三问考察了裂项抵消法,技巧性较强.21. 若函数在处取得极值,且(常数),则称是函数的“相关点”.(1)若函数存在“相关点”,求的值;(2)若函数(常数)存在“1相关点”,求的值:(3)设函数的表达式为(常数且),若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”,过点存在3条直线与曲线相切,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)函数在 上单调递减,在上单调递增,可得为函数的极值点,进而结合题意即可求解;(2)由题意可得,即得,设,结合导数可得函数在上单调递增,且,进而求解;(3)由,可得,设,为函数的“2相关点”,则,,进而可得,,,故0111()213(21)3n n =-⨯+⋅1122(21)3nn =-+⋅()y f x =0x x =()00f x x λ=R λ∈0x ()y f x =λ222=++y x x λλ22ln y kx x =-k ∈R k ()y f x =()32f x ax bx cx =++a b c ∈R 、、0a ≠()y f x =()1,2P ()y f x =a 1λ=-1k =(),1-∞-222=++y x x (),1-∞-()1,-+∞1-222=++y x x 202000102ln kx kx x x ⎧-=⎨-=⎩002ln 10x x +-=()()2ln 10x x x x ϕ=+->()2ln 1x x x ϕ=+-()0,∞+()10ϕ=()322f x ax bx cx x =++=220ax bx c ++-=1x 2x ()f x ()21212Δ4202b a c b x x a c x x a ⎧⎪=-->⎪⎪+=-⎨⎪-⎪=⎪⎩21212Δ4120233b ac b x x a c x x a ⎧⎪=->⎪⎪+=-⎨⎪⎪=⎪⎩0b =3c =0a <,再结合导数的几何意义求解即可.【小问1详解】函数的对称轴为,且函数在 上单调递减,在上单调递增,所以为函数的极值点,因为函数存在“相关点”,由题意可得,,解得.【小问2详解】由,则 ,由题意可得,,即,即,设,则,所以函数在上单调递增,且,所以方程存在唯一实数根1,即,即,此时,则,令,即;令,即,即函数在上单调递减,在上单调递增,所以函数的极值点为1,所以1是函数的“1相关点”,所以.【小问3详解】由,得,即,()33f x ax x =+222=++y x x =1x -222=++y x x (),1-∞-()1,-+∞1-222=++y x x 222=++y x x λ()()21212λ-+⨯-+=-1λ=-()22ln 0y kx x x =->()22122kx y kx x x -'=-=202000102ln kx kx x x ⎧-=⎨-=⎩0012ln x x -=002ln 10x x +-=()()2ln 10x x x x ϕ=+->()210x xϕ'=+>()2ln 1x x x ϕ=+-()0,∞+()10ϕ=002ln 10x x +-=01x =1k =()22ln 0y x x x =->22222x y x x x -'=-=0'>y 1x >0'<y 01x <<22ln y x x =-()0,1()1,+∞22ln y x x =-22ln y kx x =-1k =()322f x ax bx cx x =++=()3220ax bx c x ++-=220ax bx c ++-=设,为函数的“2相关点”,则,另一方面,,所以,所以且,解得,,,故,则,因为过点存在3条直线与曲线相切,设其中一个切点为,则,整理得,设,且函数有三个不同的零点,则,令,则;令,则或.所以函数在和上单调递减,在上单调递增,所以,即,即实数的取值范围为.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的:遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.1x 2x ()f x ()21212Δ4202b a c b x x a c x x a ⎧⎪=-->⎪⎪+=-⎨⎪-⎪=⎪⎩()232f x ax bx c '=++21212Δ4120233b ac b x x a c x x a ⎧⎪=->⎪⎪+=-⎨⎪⎪=⎪⎩23b b a a -=-23c c a a-=0b =3c =0a <()33f x ax x =+()233f x ax '=+()1,2P ()y f x =()3,3m am m +()3213233a m am m m f m '+-=+=-322310am am --=()()322310p x ax ax a =--<()p x ()()26661p x ax ax ax x '=-=-()0p x '>01x <<()0p x '<0x <1x >()p x (),0∞-()1,+∞()0,1()()01012310p p a a ⎧=-<⎪⎨=-->⎪⎩1a <-a (),1-∞-。

上海市莘庄中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含简单答案)

上海市莘庄中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含简单答案)

上海市莘庄中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(时间:120分钟 满分150分)一、填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)1. 已知曲线在点处瞬时变化率为,则点的坐标为__________.2. 在5名男生和4名女生中选出3人,至少有一名男生的概率为______.3. 已知直线一个方向向量为,平面的一个法向量为,若,则实数__________.4. 已知双曲线的渐近线方程为______.5. 在的二项展开式中,常数项的值为______.6. 已知事件A 与事件B 相互独立,如果,,则______.7. 已知(n 是正整数),,则______.8. 有名同学报名参加暑期区科技馆志愿者活动,共服务两天,每天需要两人参加活动,则恰有人连续参加两天志愿者活动的概率为________.9. 已知函数,若直线与的图像有三个不同的交点,则m 的取值范围是______.10. 某车队有7辆车,现要调出4辆按一定顺序出去执行任务.要求甲、乙两车必须参加,且甲车要先于乙车开出有_______种不同的调度方法(填数字).11. 已知抛物线的焦点为F ,第一象限的A 、B 两点在抛物线上,且满足,,若线段AB 中点的纵坐标为6,则抛物线的方程为______.12. 若函数图象上点A 与点B 、点C 与点D 分别关于原点对称,除此之外,不存在函数图象上的其它两点关于原点对称,则实数a 的取值范围是______.的的的2()21f x x =+()00,M x y 8-M l ()1,2,1d =- α()5,,3n x = //l αx =()2222:10,0x y C a b a b -=>>C 6()0.2P A =()0.7P B =()P A B ⋂=23C C n n =()()()()201222111n n n x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-012n a a a a +++⋅⋅⋅+=51()331f x x x =--y m =()y f x =()220y px p =>4BF AF -=AB =322,0e ,0xx x y ax x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩二、选择题(本大题共4题,第13、14题各4分,第15、16题各5分,共18分)13. 在空间直角坐标系中,点关于平面对称点的坐标是( )A. B. C. D. 14. 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球,那么互斥而不对立的事件是( )A. 恰好有一个白球与都是红球B. 至多有一个白球与都是红球C. 至多有一个白球与都是白球D. 至多有一个白球与至多一个红球15. 若的展开式中存在常数项,则下列选项中的取值不可能是( )A B. C. D. 16. 在正三棱柱中,,点P 满足,其中,,则( )A. 当时,的周长为定值B. 当时,三棱锥的体积不是定值C. 当时,有且仅有一个点P ,使得D. 当时,有且仅有一个点P ,使得平面三、解答题(本大题共5题,共14+14+14+18+18=78分)17. 已知函数和处取得极值.(1)求的值:(2)求在区间上的最大值.18. 如图,在正四棱柱中,.点分别在棱.在()6,6,6A -xOz ()6,6,6-()6,6,6()6,6,6-()6,6,6--()221210,n n x x n n x x ⎛⎫⎛⎫-++≤≤∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N n 3456111ABC A B C -11AB AA ==1BP BC BB λμ=+ []0,1λ∈[]0,1μ∈1λ=1AB P △1μ=1P A BC -12λ=1A P BP ⊥12μ=1A B ⊥1AB P ()323f x ax bx x =+-=1x -3x =,a b ()y f x =[]4,4-1111ABCD A B C D -12,4AB AA ==2222,,,A B C D,上,.(1)证明:;(2)点在棱上,当二面角为时,求.19. 一个盒子中装有4张卡片,卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片.(1)若一次抽取3张卡片,事件A 表示“3张卡片上数字之和大于7”,求;(2)若第一次抽取1张卡片,放回后再抽取1张卡片,事件B 表示“两次抽取的卡片上数字之和大于6”,求;(3)若一次抽取2张卡片,事件C 表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”,事件D 表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”,验证C 、D 是独立的.20. 已知椭圆的左、右焦点分别为.(1)以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点,求椭圆的离心率;(2)已知,设点是椭圆上一点,且位于轴的上方,若是等腰三角形,求点的坐标;(3)已知,过点且倾斜角为的直线与椭圆在轴上方的交点记作,若动直线也过点且与椭圆交于两点(均不同于),是否存在定直线,使得动直线与的交点满足直线的斜率总是成等差数列?若存在,求常数的值;若不存在,请说明理由.21. 已知函数.(1)当,求函数的图象在点处的切线方程;111,,AA BB CC 1DD 22221,2,3AA BB DD CC ====2222B C A D ∥P 1BB 222P A C D --150︒2B P ()P A ()P B 2222Γ:1(0)x y a b a b+=>>12F F 、2F 1F B Γ5,4a b ==P Γx 12PF F △P 2,a b ==2F π2Γx A l 2F ΓM N 、A 00:l x x =l 0l C AM AC AN 、、0x ()ln e xf x x x a x=-+-1a =()y f x =()()1,1f(2)若恒成立,求a 的取值范围;(3)证明:若有两个零点,则.上海市莘庄中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷 简要答案一、填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)【1题答案】【答案】【2题答案】【答案】【3题答案】【答案】【4题答案】【答案】【5题答案】【答案】【6题答案】【答案】0.56##【7题答案】【答案】32【8题答案】【答案】【9题答案】【答案】【10题答案】【答案】()0f x ≥()f x 12,x x 121x x <(2,9)-20211-y =160-142535()3,1-120【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】二、选择题(本大题共4题,第13、14题各4分,第15、16题各5分,共18分)【13题答案】【答案】B【14题答案】【答案】A【15题答案】【答案】C【16题答案】【答案】D三、解答题(本大题共5题,共14+14+14+18+18=78分)【17题答案】【答案】(1), (2)【18题答案】【答案】(1)证明略; (2)1【19题答案】【答案】(1)(2) (3)验证过程略【20题答案】【答案】(1)(2)答案略(3)存在,,理由略【21题答案】212y x=2(,0)e-13a =1b =-53123161204x =【答案】(1)(2)(3)证明过程略ey= (,e1] -∞+。

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2016-2017学年上海市高二(下)期中数学试卷一、填空题1.抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为.2.方向向量为,且过点A(3,4)的直线的一般式方程为.3.若复数z满足,则= .4.直线x+y﹣2=0和ax﹣y+1=0的夹角为,则a的值为.5.已知点(﹣4,0)是椭圆kx2+3ky2=1的一个焦点,则k= .6.如果实数x,y满足线性约束条件,则z=x﹣y+1的最小值等于.7.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为.8.参数方程(t为参数),化为一般方程为.9.以椭圆3x2+13y2=39的焦点为顶点,以为渐近线的双曲线方程为.10.M是抛物线y=4x2+1上的一个动点,且点M是线段OP的中点(O为原点),P的轨迹方程为.11.某地球仪上北纬60°纬线长度为6πcm,则该地球仪的体积为cm3.12.若圆(x﹣a)2+(y﹣a)2=1(a>0)上总存在两个点到原点的距离为1,则a的取值范围是.二、选择题13.命题p:a≥1;命题q:关于x的实系数方程x2﹣2x+a=0有虚数解,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件14.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为S1、S2,则S1:S2=()A.1:1 B.2:1 C.3:2 D.4:115.如图,在下列四个几何体中,它们的三视图(主视图、左视图、俯视图)中有且仅有两个相同,而另一个不同的几何体是()A.(2)(3)(4) B.(1)(2)(3) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(4)16.如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C:x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点,则实数λ的取值范围是()A.{2}∪(4,+∞)B.(2,+∞)C.{2,4} D.(4,+∞)三、简答题17.直角坐标系中,已知动点P(x,y)到定点F(0,2)的距离与它到y=﹣1距离之差为1,(1)求点P的轨迹C(2)点A(3,1),P在曲线C上,求|PA|+|PF|的最小值,并求此时点P的坐标.18.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=3,过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后,得到如下所示的几何体ABCD﹣A1C1D1.(1)若A1C1的中点为O1,求异面直线BO1与A1D1所成角的大小(结果用反三角函数值表示);(2)求点D到平面A1BC1的距离d.19.复数z满足z+(1﹣2i)z+(1+2i)=3,求|z|的最大值.20.已知直线l:kx﹣y+1+2k=0,k∈R(1)直线过定点P,求点P坐标;(2)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设三角形OAB的面积为4,求出直线l方程.21.椭圆C:过点M(2,0),且右焦点为F(1,0),过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点.设点P(4,3),记PA、PB的斜率分别为k1和k2.(1)求椭圆C的方程;(2)如果直线l的斜率等于﹣1,求出k1•k2的值;(3)探讨k1+k2是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,求出k1+k2的取值范围.2016-2017学年上海市师大二附中高二(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1.抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为 2 .【考点】K8:抛物线的简单性质.【分析】直接利用抛物线的性质求解即可.【解答】解:抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为:p=2.故答案为:2.2.方向向量为,且过点A(3,4)的直线的一般式方程为2x﹣y﹣2=0 .【考点】IG:直线的一般式方程.【分析】根据点向式方程计算即可【解答】解:方向向量为,且过点A(3,4)的方程为=,即2x﹣y﹣2=0,故答案为:2x﹣y﹣2=0.3.若复数z满足,则= .【考点】A5:复数代数形式的乘除运算;A8:复数求模.【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的计算公式求值.【解答】解:∵==,∴.故答案为:.4.直线x+y﹣2=0和ax﹣y+1=0的夹角为,则a的值为2±.【考点】IV:两直线的夹角与到角问题.【分析】先求出两条直线的斜率,再利用两条直线的夹角公式求得a的值.【解答】解:直线x+y﹣2=0的斜率为﹣1,和ax﹣y+1=0的斜率为a,直线x+y﹣2=0和ax﹣y+1=0的夹角为,∴tan==||,求得a==2﹣,或a==2+,故答案为:2±.5.已知点(﹣4,0)是椭圆kx2+3ky2=1的一个焦点,则k= .【考点】K4:椭圆的简单性质.【分析】利用椭圆的焦点坐标,列出方程求解即可.【解答】解:点(﹣4,0)是椭圆kx2+3ky2=1的一个焦点,可得:,解得k=.故答案为:.6.如果实数x,y满足线性约束条件,则z=x﹣y+1的最小值等于﹣2 .【考点】7C:简单线性规划.【分析】作出可行域,变形目标函数,平移直线y=﹣x可得当直线经过点A(﹣2,1)时,z 取最小值,代值计算可得.【解答】解:作出线性约束条件,所对应的可行域(如图),变形目标函数可得y=x+1+z,平移直线y=x可知,当直线经过点A(﹣2,1)时,截距取最小值,z取最小值,代值计算可得z的最小值为z=﹣2﹣1+1=﹣2故答案为:﹣2.7.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,则侧棱与底面所成的角为45°.【考点】MI:直线与平面所成的角;L3:棱锥的结构特征.【分析】先做出要求的线面角,把它放到一个直角三角形中,利用直角三角形中的边角关系求出此角.【解答】解:如图,四棱锥P﹣ABCD中,过P作PO⊥平面ABCD于O,连接AO,则AO是AP在底面ABCD上的射影.∴∠PAO即为所求线面角,∵AO=,PA=1,∴cos∠PAO==.∴∠PAO=45°,即所求线面角为45°.故答案为45°.8.参数方程(t为参数),化为一般方程为x+y﹣2=0 .【考点】QH:参数方程化成普通方程.【分析】参数方程消去参数t,能求出其一般方程.【解答】解:∵参数方程(t为参数),∴消去参数t,得:x=1+(1﹣y),整理,得一般方程为:x+y﹣2=0.故答案为:x+y﹣2=0.9.以椭圆3x2+13y2=39的焦点为顶点,以为渐近线的双曲线方程为.【考点】KI:圆锥曲线的综合.【分析】求出椭圆的焦点坐标,得到双曲线的顶点坐标,结合双曲线的渐近线方程,求解即可.【解答】解:以椭圆3x2+13y2=39的焦点为(±,0),则双曲线的顶点(±,0),可得a=,以为渐近线的双曲线,可得b=,所求的双曲线方程为:.故答案为:.10.M是抛物线y=4x2+1上的一个动点,且点M是线段OP的中点(O为原点),P的轨迹方程为y=2x2+2 .【考点】KK:圆锥曲线的轨迹问题.【分析】设出P的坐标,求出M的坐标,动点M在抛物线y=4x2+1上运动,点M满足抛物线方程,代入求解,即可得到P的轨迹方程.【解答】解:设P的坐标(x,y),由题意点M为线段OP的中点,可知M(,),动点M在抛物线y=4x2+1上运动,所以=4+1,所以y=2x2+2动点P的轨迹方程为:y=2x2+2.故答案为:y=2x2+2.11.某地球仪上北纬60°纬线长度为6πcm,则该地球仪的体积为288 cm3.【考点】LG:球的体积和表面积.【分析】地球仪上北纬60°纬线的周长为6πcm,可求纬圆半径,然后求出地球仪的半径,再求体积.【解答】解:由题意:地球仪上北纬60°纬线的周长为6πcm,纬圆半径是:3cm,地球仪的半径是:6cm;地球仪的体积是:π×63=288cm3,故答案为:288π.12.若圆(x﹣a)2+(y﹣a)2=1(a>0)上总存在两个点到原点的距离为1,则a的取值范围是(0,).【考点】JA:圆与圆的位置关系及其判定.【分析】转化题目,为两个圆的位置关系,通过圆心距与半径和与差的关系列出不等式求解即可.【解答】解:圆(x﹣a)2+(y﹣a)2=1(a>0)上总存在两个点到原点的距离为1,转化为:以原点为圆心1为半径的圆与已知圆相交,可得1﹣1<<1+1,可得0<2,即a∈(0,).故答案为:(0,)二、选择题13.命题p:a≥1;命题q:关于x的实系数方程x2﹣2x+a=0有虚数解,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据复数的有关性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断.【解答】解:若关于x的实系数方程x2﹣2x+a=0有虚数解,则判别式△<0,即8﹣4a<0,解得a>2,∴p是q的必要不充分条件,故选:B14.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为S1、S2,则S1:S2=()A.1:1 B.2:1 C.3:2 D.4:1【考点】LG:球的体积和表面积.【分析】根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,设为球的半径为1,结合圆柱的表面积的公式以及球的表面积即可得到答案.【解答】解:由题意可得:圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,设球的半径为1,所以等边圆柱的表面积为:S1=6π,球的表面积为:S2=4π.所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S1:S2=3:2.故选C.15.如图,在下列四个几何体中,它们的三视图(主视图、左视图、俯视图)中有且仅有两个相同,而另一个不同的几何体是()A.(2)(3)(4) B.(1)(2)(3) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(4)【考点】L7:简单空间图形的三视图.【分析】主视图、左视图、俯视图中有且仅有两个相同,需要看出四个图形的三视图,圆柱的侧视图与主视图一样,圆锥的侧视图与主视图一样,四棱柱侧视图与主视图一样,得到结果.【解答】解:要找三视图中有且仅有两个相同,而另一个不同的几何体,需要看出所给的四个几何体的三视图,正方体的三视图都是正方形,都相同,不合题意,圆柱的侧视图与主视图一样,符合题意,圆锥的侧视图与主视图一样,符合题意,四棱柱侧视图与主视图一样,符合题意,故符合题意的有(2)(3)(4)三个,故选A.16.如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C:x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点,则实数λ的取值范围是()A.{2}∪(4,+∞)B.(2,+∞)C.{2,4} D.(4,+∞)【考点】J8:直线与圆相交的性质.【分析】根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C:x2+y2=λ的图象,抓住两个关键点,当圆O 与两射线相切时,两函数图象恰好有两个不同的公共点,过O作OC⊥AB,由三角形AOB为等腰直角三角形,利用三线合一得到OC为斜边AB的一半,利用勾股定理求出斜边,即可求出OC的长,平方即可确定出此时λ的值;当圆O半径为2时,两函数图象有3个公共点,半径大于2时,恰好有2个公共点,即半径大于2时,满足题意,求出此时λ的范围,即可确定出所有满足题意λ的范围.【解答】解:根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C:x2+y2=λ的图象,如图所示,当AB与圆O相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点,过O作OC⊥AB,∵OA=OB=2,∠AOB=90°,∴根据勾股定理得:AB=2,∴OC=AB=,此时λ=OC2=2;当圆O半径大于2,即λ>4时,两函数图象恰好有两个不同的公共点,综上,实数λ的取值范围是{2}∪(4,+∞).故选A三、简答题17.直角坐标系中,已知动点P(x,y)到定点F(0,2)的距离与它到y=﹣1距离之差为1,(1)求点P的轨迹C(2)点A(3,1),P在曲线C上,求|PA|+|PF|的最小值,并求此时点P的坐标.【考点】IW:与直线有关的动点轨迹方程.【分析】(1)设P(x,y),由两点间距离公式和点到直线的距离公式列出方程,由此能求出曲线C的方程;(2)要使|PA|+|PF|的值最小,则三点P,A,F三点共线,此时点P为直线AF与抛物线的交点即可【解答】解:(1)(1)设P(x,y),∵动点P(x,y)到定点F(0,2)的距离与它到y=﹣1距离之差为1,∴,整理得x2=8y∴点P的轨迹C是以原点为顶点,对称轴为y轴的抛物线.(2)如图,要使|PA|+|PF|的值最小,则三点P,A,F三点共线,此时点P为直线AF与抛物线的交点.直线AF方程:x+3y﹣6=0由得P(,)|PA|+|PF|的最小值为.18.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=3,过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后,得到如下所示的几何体ABCD﹣A1C1D1.(1)若A1C1的中点为O1,求异面直线BO1与A1D1所成角的大小(结果用反三角函数值表示);(2)求点D到平面A1BC1的距离d.【考点】MK:点、线、面间的距离计算;LM:异面直线及其所成的角.【分析】(1)建立空间直角坐标系.求出相关点的坐标,求出.利用空间向量的连结求解异面直线BO1与A1D1所成的角.(2)求出平面ABD的法向量.通过空间向量的距离公式求解即可.【解答】(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分,第2小题满分.(理科)解:(1)按如图所示建立空间直角坐标系.由题知,可得点D(0,0,0)、B(2,2,0)、D1(0,0,3)、A1(2,0,3)、C1(0,2,3).由O1是A1C1中点,可得O1(1,1,3).于是,.设异面直线BO1与A1D1所成的角为θ,则.因此,异面直线BO1与A1D1所成的角为.(2)设是平面ABD的法向量.∴又,∴取z=2,可得即平面BA1C1的一个法向量是.∴=.19.复数z满足z+(1﹣2i)z+(1+2i)=3,求|z|的最大值.【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.【分析】设z=a+bi(a,b∈R),则,代入z+(1﹣2i)z+(1+2i)=3,得(a+1)2+(b+2)2=8.则z在复平面内所对应点的轨迹为以(﹣1,﹣2)为圆心,以为半径的圆.数形结合求|z|的最大值.【解答】解:设z=a+bi(a,b∈R),则,代入z+(1﹣2i)z+(1+2i)=3,得(a2+b2+2a+4b)+(b﹣2a﹣b+2a)i=3,即a2+b2+2a+4b=3,化为(a+1)2+(b+2)2=8.∴z在复平面内所对应点的轨迹为以(﹣1,﹣2)为圆心,以为半径的圆.∴|z|=,则|z|的最大值为.20.已知直线l:kx﹣y+1+2k=0,k∈R(1)直线过定点P,求点P坐标;(2)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设三角形OAB的面积为4,求出直线l方程.【考点】IO:过两条直线交点的直线系方程.【分析】(1)由kx﹣y+1+2k=0,可得k(x+2)+(1﹣y)=0可得直线l:kx﹣y+1+2k=0必过直线x+2=0,1﹣y=0的交点(﹣2,1)(2)令y=0,得A(﹣);令x=0,得B(0,1+2k)三角形OAB的面积为s===4,解得k【解答】解:(1)由kx﹣y+1+2k=0,可得k(x+2)+(1﹣y)=0∴直线l:kx﹣y+1+2k=0必过直线x+2=0,1﹣y=0的交点(﹣2,1)∴P(﹣2,1).(2)∵直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,∴k>0令y=0,得A(﹣);令x=0,得B(0,1+2k)三角形OAB的面积为s===4解得k=∴直线l方程为:x﹣2y+4=021.椭圆C:过点M(2,0),且右焦点为F(1,0),过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点.设点P(4,3),记PA、PB的斜率分别为k1和k2.(1)求椭圆C的方程;(2)如果直线l的斜率等于﹣1,求出k1•k2的值;(3)探讨k1+k2是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,求出k1+k2的取值范围.【考点】KL:直线与椭圆的位置关系.【分析】(1)利用已知条件求出b,即可求解椭圆方程.(2)直线l:y=﹣x+1,设AB坐标,联立利用韦达定理以及斜率公式求解即可.(3)当直线AB的斜率不存在时,不妨设A,B,求出斜率,即可;当直线AB的斜率存在时,设其为k,求直线AB:y=k(x﹣1),联立直线与椭圆的方程组,利用韦达定理以及斜率公式化简求解即可.【解答】解:(1)∵a=2,又c=1,∴,∴椭圆方程为…(2)直线l:y=﹣x+1,设A(x1,y1)B(x2,y2),由消y得7x2﹣8x﹣8=0,有,.……(3)当直线AB的斜率不存在时,不妨设A(1,),B(1,﹣),则,,故k1+k2=2.…当直线AB的斜率存在时,设其为k,则直线AB:y=k(x﹣1),设A(x1,y1)B(x2,y2),由消y得(4k2+3)x2﹣8k2x+(4k2﹣12)=0,有,.…=…。

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