代数式求值方法

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运用已知条件，求代数式的值是数学学习的重要容之一。它除了按常规代入求值法，还要根据题目的特点，灵活运用恰当的方法和技巧，才能达到预期的目的。下面举数例介绍常用的几种方法和技巧。

一、常值代换求值法

常值代换法是指将待求的代数式中的常数用已知条件中的代数式来代换，然后通过计算或化简，求得代数式的值。

例1 已知ab=1，求221111b

a +++的值 [解] 把ab=1代入，得

2

21111b a +++ =22b

ab ab a ab ab +++ =b a a b a b +++ =1

[评注] 将待求的代数式中的常数1，用a ·b 代入是解决该问题的技巧。而运用分式的基本性质及运用法则，对代入后所得的代数式进行化简是解决该问题的保证。

二、运用“非负数的性质”求值法

该法是指运用“若几个非负数的和为零，则每一个非负数应为零”来确定代数式中的字母的值，从而达到求代数式的值的一种方法。

例2 若实数a 、b 满足a 2b 2+a 2+b 2-4ab+1=0，求

b

a a

b +之值。

[解] ∵a 2b 2+a 2+b 2-4ab+1

=(a 2b 2-2ab+1)(a 2-2ab+b 2)

=(ab-1)2+(a-b)2

则有(ab-1)2+(a-b)2=0

∴⎩⎨⎧==-.

1,0ab b a

解得⎩⎨⎧==;1,1b a ⎩

⎨⎧-=-=.1,1b a 当a=1，b=1时，

b

a a

b +=1+1=2 当a=-1，b=-1时，b a a b +=1+1=2 [评注] 根据已知条件提供的有价信息，对其进行恰当的分组分解，达到变形为几个非负数的和为零，这一新的“式结构”是解决本题的有效策略，解决本题要注意分类讨论的方法的运用。

三、整体代入求值法

整体代入法是将已条件不作任何变换变形，把它作为一个整体，代入到经过变形的待求的代数式中去求值的一种方法。

例3 若x 2+x+1=0，试求x 4+2003x 2+2002x+2004的值。

[解] ∵x 4+2003x 2+2002x+2004

= x 4-x+2003x 2+2003x+2003+1

=x(x-1)(x 2+x+1)+2003(x 2+x+1)+1

又x 2+x+1=0

∴x 4+2003x 2+2002x+2004=1

[评注] ∵x 2+x+1=0 ∴x 不是实数，那么通过求出x 的值，再求代数式x 4+2003x 2+2002x+2004之值，显然枉然无望。对求值

的代数式进行适当的变形，将已知条件整体代入到求值的代数式中去，是解决本题的方法又是解决本题的技巧。

四、因式分解求值法

因式分解法求代数式的值是指将已知条件和求值的代数式之一或全部进行因式分解，达到求出代数式的值的一种方法。

例4 已知|a|+|b|=|ab|+1，求a+b之值

[解] ∵|a|+|b|=|ab|+1

∴|a|·|b|-|a|-|b|+1=0

(|a|-1)(|b|-1)=0

|a|=1 |b|=1

∴a=±1或b=±1.

则当a=1，b=1时，a+b=2

当a=1，b=-1时，a+b=0

当a=-1，b=1时，a+b=0

当a=-1，b=-1时，a+b=-2

[评注] 运用该法一般有两种途径求值，一是将已知条件变形为一边为0，另一边能分解成几个因式的积的形式，运用“若A·B=0，则A=0或B=0”的思想来解决问题。另一种途径是对待求的代数式进行因式分解，分解成含有已知条件的代数式，然后再将已知条件代入求值。

五、运用倒数求值法

倒数法是指将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而达到求出代数式的值的一种方法。

例5 已知2311222--=-x x ，求)1

()1111(2x x x x x +-÷+--的值。

[解] 由已知，得23122

2--=-x x 所以，231212--=-

x 则2322

--=-x )1

()1111(2x x x x x +-÷+-- =2321122322--=-=-•-x

x x x x [评注] 采用此法要注意先对已知部分和求值的代数式进行化简变形，后再作选择。像本题先对待求的代数式进行化简得到结果为22x

-，根据这样一个“式结构”，再观察已知条件的“式结构”，显然想到，将已知条件采用倒数变形，用“化部分商”的方法，求出22x -

的值代入。 六、分解质因数求值法

此法是将有关信息进行分解重组，运用质因数的特有的性质，求出代数式中所含字母的值，从而达到求出代数式的值的一种方法。

例6 已知m 、n 为正整数，且12+22+92+92+m 2=n 2，求2m-n 的值。

[解] ∵n 2=m 2+167

∴(n-m)(n+m)=1×167

又m 、n 为正整数，167是质数

∴ ⎩

⎨⎧==⎩⎨⎧=+=-.83,84;167,1m n n m m n 即 当m=83，n=84时，2m-n=2×83-84=82

[评注] m 、n 为正整数，167是质数，是由“(n-m)(n+m)=1×167得到n-m=1且m+n=167”这一结论的重要保证，离开了这一条件，则m 、n 之值难以确定，那么代数式2m-n 的值就无法求出。

七、比值求值法

比值求值法是指已知条件中等式的个数少于所含字母的个数时，通过方程(组)将已知条件中所含字母的比值求出，从而求出代数式的值。

例7 设a+2b-5c=0，2a-3b+4c=0(c ≠0)，求2222

22456323c b a c b a +-++的值。

[解] 把已知等式看作关于a ，b 的方程组

c b c a c b a c b a 2,0432052==⎩

⎨⎧=+-=-+解得 ∵c ≠0 ∴a ：b ：c=1：2：1

设a=k, 则b=2k , c=k. ∴222222456323c

b a

c b a +-++=-57 [评注] 该法适合于求值的分式中的分子和分母的都含有相同的次数（齐次）的多项式。否则即是将求值的代数式中的字母的比值求出来，也不能达到求出代数式的值的目的。

八、用字母表示数求值法