代数式求值方法

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运用已知条件，求代数式的值是数学学习的重要容之一。

它除了按常规代入求值法，还要根据题目的特点，灵活运用恰当的方法和技巧，才能达到预期的目的。

下面举数例介绍常用的几种方法和技巧。

一、常值代换求值法
常值代换法是指将待求的代数式中的常数用已知条件中的代数式来代换，然后通过计算或化简，求得代数式的值。

例1 已知ab=1，求221111b
a +++的值 [解] 把ab=1代入，得
2
21111b a +++ =22b
ab ab a ab ab +++ =b a a b a b +++ =1
[评注] 将待求的代数式中的常数1，用a ·b 代入是解决该问题的技巧。

而运用分式的基本性质及运用法则，对代入后所得的代数式进行化简是解决该问题的保证。

二、运用“非负数的性质”求值法
该法是指运用“若几个非负数的和为零，则每一个非负数应为零”来确定代数式中的字母的值，从而达到求代数式的值的一种方法。

例2 若实数a 、b 满足a 2b 2+a 2+b 2-4ab+1=0，求
b
a a
b +之值。

[解] ∵a 2b 2+a 2+b 2-4ab+1
=(a 2b 2-2ab+1)(a 2-2ab+b 2)
=(ab-1)2+(a-b)2
则有(ab-1)2+(a-b)2=0
∴⎩⎨⎧==-.
1,0ab b a
解得⎩⎨⎧==;1,1b a ⎩
⎨⎧-=-=.1,1b a 当a=1，b=1时，
b
a a
b +=1+1=2 当a=-1，b=-1时，b a a b +=1+1=2 [评注] 根据已知条件提供的有价信息，对其进行恰当的分组分解，达到变形为几个非负数的和为零，这一新的“式结构”是解决本题的有效策略，解决本题要注意分类讨论的方法的运用。

三、整体代入求值法
整体代入法是将已条件不作任何变换变形，把它作为一个整体，代入到经过变形的待求的代数式中去求值的一种方法。

例3 若x 2+x+1=0，试求x 4+2003x 2+2002x+2004的值。

[解] ∵x 4+2003x 2+2002x+2004
= x 4-x+2003x 2+2003x+2003+1
=x(x-1)(x 2+x+1)+2003(x 2+x+1)+1
又x 2+x+1=0
∴x 4+2003x 2+2002x+2004=1
[评注] ∵x 2+x+1=0 ∴x 不是实数，那么通过求出x 的值，再求代数式x 4+2003x 2+2002x+2004之值，显然枉然无望。

对求值
的代数式进行适当的变形，将已知条件整体代入到求值的代数式中去，是解决本题的方法又是解决本题的技巧。

四、因式分解求值法
因式分解法求代数式的值是指将已知条件和求值的代数式之一或全部进行因式分解，达到求出代数式的值的一种方法。

例4 已知|a|+|b|=|ab|+1，求a+b之值
[解] ∵|a|+|b|=|ab|+1
∴|a|·|b|-|a|-|b|+1=0
(|a|-1)(|b|-1)=0
|a|=1 |b|=1
∴a=±1或b=±1.
则当a=1，b=1时，a+b=2
当a=1，b=-1时，a+b=0
当a=-1，b=1时，a+b=0
当a=-1，b=-1时，a+b=-2
[评注] 运用该法一般有两种途径求值，一是将已知条件变形为一边为0，另一边能分解成几个因式的积的形式，运用“若A·B=0，则A=0或B=0”的思想来解决问题。

另一种途径是对待求的代数式进行因式分解，分解成含有已知条件的代数式，然后再将已知条件代入求值。

五、运用倒数求值法
倒数法是指将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而达到求出代数式的值的一种方法。

例5 已知2311222--=-x x ，求)1
()1111(2x x x x x +-÷+--的值。

[解] 由已知，得23122
2--=-x x 所以，231212--=-
x 则2322
--=-x )1
()1111(2x x x x x +-÷+-- =2321122322--=-=-•-x
x x x x [评注] 采用此法要注意先对已知部分和求值的代数式进行化简变形，后再作选择。

像本题先对待求的代数式进行化简得到结果为22x
-，根据这样一个“式结构”，再观察已知条件的“式结构”，显然想到，将已知条件采用倒数变形，用“化部分商”的方法，求出22x -
的值代入。

六、分解质因数求值法
此法是将有关信息进行分解重组，运用质因数的特有的性质，求出代数式中所含字母的值，从而达到求出代数式的值的一种方法。

例6 已知m 、n 为正整数，且12+22+92+92+m 2=n 2，求2m-n 的值。

[解] ∵n 2=m 2+167
∴(n-m)(n+m)=1×167
又m 、n 为正整数，167是质数
∴ ⎩
⎨⎧==⎩⎨⎧=+=-.83,84;167,1m n n m m n 即 当m=83，n=84时，2m-n=2×83-84=82
[评注] m 、n 为正整数，167是质数，是由“(n-m)(n+m)=1×167得到n-m=1且m+n=167”这一结论的重要保证，离开了这一条件，则m 、n 之值难以确定，那么代数式2m-n 的值就无法求出。

七、比值求值法
比值求值法是指已知条件中等式的个数少于所含字母的个数时，通过方程(组)将已知条件中所含字母的比值求出，从而求出代数式的值。

例7 设a+2b-5c=0，2a-3b+4c=0(c ≠0)，求2222
22456323c b a c b a +-++的值。

[解] 把已知等式看作关于a ，b 的方程组
c b c a c b a c b a 2,0432052==⎩
⎨⎧=+-=-+解得 ∵c ≠0 ∴a ：b ：c=1：2：1
设a=k, 则b=2k , c=k. ∴222222456323c
b a
c b a +-++=-57 [评注] 该法适合于求值的分式中的分子和分母的都含有相同的次数（齐次）的多项式。

否则即是将求值的代数式中的字母的比值求出来，也不能达到求出代数式的值的目的。

八、用字母表示数求值法
字母表示 数求代数式就是将已知条件或求值的代数式中某些较复杂的部分用字母来表示，再通过计算或化简，从而求出代数式的值。

例8 设a=)2003
131211)(200413121( ++++++ -)2004131211( +++)2004
13121(+++ 求2004a-1之值
[解] 设A=2003
13121+++ 则a=A A A A •++-++)2004
11()1)(20041( =A(1+A)+A A A A 2004
1)1()1(20041-+-+ =A A 2004
12004120041-+ =2004
1 ∴2004a-1=2004×2004
1-1=0 [评注] 我们用字母A 来代替已知条件中的2003
13121+++ 这种思想称之为“用字母表示数”的思想，它是一种重要的数学思想方法，是我们学习好数学的灵魂。

对于遇到既复杂又重复出现的较大块模(指数或式)，可考虑使用该种方法来解决问题。

九、“△”求值法
“△”法是指将已知条件中的某一参数作为变量，其余参数作为常量，构出一个一元二次方程，由二次方程必有实根得出△≥0，从而求出代数式的值。

例9 设a 、b 、c 、d 都是不为零的实数，且满足
(a 2+b 2)d 2+b 2+c 2=2(a+c)bd ，求b 2-ac 的值。

[解] 将已知等式整理成关于d 的二次方程
(a 2+b 2)d 2-2b(a+c)d+(b 2+c 2)=0
△=4b 2(a+c)2-4(a 2+b 2) (b 2+c 2)
=-4(b 2-ac)2
∵d 是实数，∴△≥0
即-4(b 2-ac)2≥0 则b 2-ac=0
[评析] 解决该题的绝妙之处是通过构造出现-4(b 2-ac)2≥0这样一个数学式子，运用该法一定要出现“若一个非正数大于0，则这个非正数必为零”这样一个结论，否则，不能运用该法确定有关参数的数值。

十、运用韦达定理逆定理求值法
运用韦达定理求代数式的值是将已知条件中式结构转化为两数之和，两数积的形式，根据它构造出一元二次方程，求出代数式的值。

例10 已知a 、b 、c 为实数且a+b=5 c 2=ab+b-9，求a+b+c 之值。

[解] ∵a+b=5 c 2=ab+b-9
∴⎩⎨⎧+=+=++9
)1(6)1(2c a b a b 则b ，a+1为t 2-6t+c 2+9=0两根
∵a ，b 为实数 ∴b ，a+1为实数，
则t 2-6t+c 2+9=0有实根
∴△=36-4(c 2+9)= -4c 2≥0
c=0
则a+b+c=5+0=5
[评注] 运用该法一定要注意将已知条件转化成两数之积及二数之和这一形式，从而达到构造一元二次方程的目的。

思考:若a 2-7a-5=0，b 2-7b-5=0，求
b a a b +之值,思考如何构造。

十一、配偶求值法
配偶法是指将一个不是轮换对称式的式子通过配对变形，将之变换成轮换对称式，从而达到求值的目的的一种方法。

例11 已知x 2-x-1=0的两根为a 、b ，求a
b 之值。

[解] 根据题意有⎩⎨⎧-==+.
1,1ab b a
∴32)(222-=-+=+=+ab
ab b a ab b a b a a b 设y=a
b ，则有y+31-=y ， 即y 2+3y+1=0，
∴y=2
53±- [评注] 本题若将x 的值通过解一元二次方程求出来，再求2
1x x 的值，实在较复杂麻烦。

但要求的代数式是关于两根的非轮换对称式的值，因为根据根与系数的关系，只能求出关于两根的轮换对称式的值,因此,想到必须将两根的“非轮换对称式”通过配偶成“轮换对称式”来解决问题。

显然采用这种方法有相当大
的技巧性,我们在解题过程中要注意体会积累,化为数学素养。

十二、数形结合求值法
数形结合求值是指根据题目中的数或形的意义，利用“式结构”和“形结构”的特征及相互转化，达到求值的一种方法。

例12 如图，数轴上表示1、2的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，设点C 所表示的数为x ，求x+
x 2的值。

[解] 根据题意，得AB=2-1，AC=AB
∴AC=2-1 则x=1-(2-1)=2-2
故x+x 2=2-2+42
22=- [评注] 运用数形结合的思想求代数式的值，关键的是要根据“图形”或“代数式”所提供的信息，揭示“数”与“形”之间的规律，架设“数”与“形”之间的桥梁，谋求“数”与“形”的辩证统一。

十三、赋值求值法
赋值求值法是指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，从而，求出所提供的代数式的值的一种方法。

例
13 自取一组a 、b 的值，求代数式222))((2)(b a b a ab b a b a b
a b a +-÷+---+的值。

C A B
-1 0 x 1 2
[解] ∵2
22))((2)(
b a b a ab b a b a b a b a +-÷+---+ =ab
b a b a b a b a ab 2))(())((22
+-⨯+- =a+b
∴当a=2，b=1时
原代数式的值=1+2=3
[评注] 解此类问题的方法通常是先化简所求值的代数式，然后给化简后的代数式中字母赋值，求出代数式的值，所要注意的是字母的取值，一定要使原代数式有意义，例如本例中要注意a 、b 的取值满足a ≠b 且a ≠-b 的条件，还要注意字母所取的值便于计算。