07第七章 假设检验

1.建立假设 H0：μ=μ0=5 H1：μ≠μ0= 5，
一、假设检验的概念
1. 假设是指对总体参数的数值所作的一种 陈述。总体参数包括总体均值、总体比例（成 数）、总体方差等。 原假设是指待检验的假设，研究者想收集 证据予以反对的假设，表示为H0 。通常有 , 或三种形式。【例7-1】中H0：μ=5。 备择假设是指与原假设对立的假设，研究 者想收集证据予以支持的假设，表示为H1 。 其通常对应原假设也有三种形式：,或三种 。【例7-1】中H1：μ≠5。
三、假设检验中的两类错误
• 一般来说，哪一类错误所带来的后果越 严重，危害越大，在假设检验中就应当把 哪一类错误作为首要的控制目标。在假设 检验中，人们往往认为犯第一类错误后果 更严重，而犯第二类错误后果的严重性会 低一些。因此在实际检验中，犯第一类错 误的概率总是优先加以控制。
第二节 一个总体参数的检验
第一节 假设检验的基本原理
一、假设检验的概念 二、假设检验的基本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ骤 三、假设检验中的两类错误
第一节 假设检验的基本原理
以下我们从一个实际问题的解决，了解假设检 验的基本原理。 【例7-1】某笔记本电脑的质量规定标准为平均 寿命μ 0=5年。为检验某厂的笔记本电脑寿命质量 ，从该厂生产出的笔记本电脑中随机抽出n=25台 ，测得平均寿命 4.5年，标准差s=0.4年，设该厂 生产的笔记本电脑寿命服从正态分布，在置信度 1-α =95%下，检验该厂生产的笔记本电脑是否符 合规定标准？
是小概率事件。 假设检验依据的是小概率原理，即小概率 事件在一次试验中是几乎不可能发生的，如果 小概率事件发生了，我们拒绝H0，即H1成立 ；否则，我们不能拒绝H0。将t称为检验统计 t t / 2 (n 1)称为拒绝域 量，α称为显著性水平，水平， ，整理得到【例7-1】解答步骤：
第一节 假设检验的基本原理
三、假设检验中的两类错误
•
第Ⅱ类错误是指原假设H0为假，却接受H0的 错误，也叫取伪错误或 错误。比如【例7-1】 中，若原假设该厂生产的笔记本电脑的平均使用 寿命符合规定标准是不成立的，则我们应该拒绝 原假设，但实际却接受了，这时就犯 错误。
三、假设检验中的两类错误
• 犯弃真错误的概率用 表示；当H0为真， 我们没有拒绝H0，则表明做出了正确的决策， 犯取伪错误的概率用 表示； 其概率为1- 。 当H0为伪，我们拒绝H0，则表明作出了正确的 决策，其概率为1- 。正确决策和犯错误的概 率可以归纳为如表7-1。
引言
将此一般化，在产品质量服从正态分布的总体 中，随机抽取少数产品(小样本)，用t分布(戈塞 特，1908)、区间估计(奈曼，1934)中区间事件 的余集是小概率事件和小概率原理，得出了检 验统计量t的数值及拒绝域，在样本有代表性时 ，用统计量t和拒绝域可得出检验的更好决策。
英国统计学家戈塞特
波兰统计学家奈曼
一、假设检验的概念
• 而那些“不明确的陈述”是指新的、可能的、猜 测的，处于备择假设的位置。例如某公司，以前 生产的产品的废品率不低于18%，是明确的陈述 18 % ；该公司对生产设备进行 ，因此， H 0： 改造后，生产的产品的废品率下降是不明确的陈 述，因此，H1：π＜18%。 • 假设检验是指利用样本统计量的取值，来检 验事先对总体参数或总体分布所作的假设是否成 立的一种统计推断方法。
引言
• 众所周知，菜的盐量有个合适的均值μ0，有 个咸或淡的范围，品尝几口菜(小样本)的盐量 得到其均值 (检验统计量)，用咸或淡的范围(拒 绝域)比较判断：如果品尝的盐量均值落入拒绝 域，则菜的盐量均值μ不合适，否则，不能否认 菜的盐量均值μ合适，这就是小样本检验，根本 不用尝很多口菜(大样本)才有结论。
一、假设检验的概念
• 若P＜α，则检验统计量落入拒绝域，拒绝H0； 否则，不能拒绝H0，称这种检验规则为P-值规 则，计算机软件中通常用P-值规则。【例7-1】 中可根据得到的t值在Excel2010中利用TDIST.2T 函数计算概率 ，所以t检验统计量落入拒绝域， 拒绝H0。
二、假设检验的基本步骤
，
1.建立假设 H0：μ=μ0=5 H1：μ≠μ0= 5， （小概率事件）， 2. 确定检验统计量，并计算检验统计量值 x 0t=-6.25 4.判断， 落入拒绝域，拒绝 H0，即此次 4 .5 5 t 6.25 s n 0.4 / 25 抽样认为该厂生产的笔记本电脑不符合 3.给定显著水平α=0.05，查表得拒绝域（小概 率事件） t t / 2 (n 1) 2.064 4.判断，t=-6.25落入拒绝域，拒绝H0，即此次 抽样认为该厂生产的笔记本电脑不符合规定标准 通过上面的例子，可引出假设检验的一些基本 概念和基本步骤。
一、假设检验的概念
• 根据不同的显著性水平值，可得到不同的统 计量临界值。这些临界值可通过查表得到。【例 7-1】=0.05，查表得拒绝域：t t / 2 2.064 • 4. 检验规则，第一种是根据拒绝域，将检验 统计量的值与水平的临界值进行比较，得出拒 绝或不拒绝原假设H0的结论，称为临界值规则， 【例7-1】解答用了临界值规则。第二种是将检 验统计量值对应的概率p与显著性水平（单侧 检验，即拒绝域在一侧的检验）或者 （双侧检 验，即拒绝域在两侧的检验）进行比较，
经济管理类“十三五”规划教材
统计学
-从典型案例到问题和思想
第七章 假设检验
§ 引言 § 第一节 假设检验的基本原理 § 第二节 一个总体参数的检验
引言
• • 【典型案例8】 t 检验，20世纪产品质 量改进的第一次大贡献
产品质量是企业老板的良心，更是千家万 户老百姓都关心的事。产品质量的检验经常是 破坏性的，如药品、灯管寿命、轿车行驶里程 的检验等。 20世纪前，产品质量检验是抽出大 量产品(大样本) 进行检验后得出结论，这浪费 了大量检验的人力、物力和财力，于是人们提 出：对被随机抽出的少数产品(小样本)，能否 得出检验结论呢？
一、假设检验的概念
• 原假设与备择假设相互排斥，肯定原假设， 意味着放弃备择假设；否定原假设，意味着接 受备择假设。 • 建立假设时，一般把明确的陈述作为原假 设，把不明确的陈述作为备择假设。 • 所谓“明确的陈述”是指原有的理论、原 有的看法、原有的状况，或者说是那些历史的 、经验的、在此之前被大多数人所认可的、所 接受的东西，在没有充分证据证明其错误时， 总是被假定是正确的，处于原假设被保护的位 置。
第一节 假设检验的基本原理
• 解： 这里“笔记本电脑的质量规定标准为平 均寿命5年”是一个原假设，记为H0：μ=μ0；如 果否定此假设，则为H1：μ≠μ0，称为备择假设。 问题成为检验H0，H1哪一个成立。 • 总体服从正态分布、方差未知，小样本情况。 • 如果H0：μ=μ0为真，由区间估计公式 s s (x t ,x t ) 对于给定的置信度1-α，有： n n
一 、总体均值的检验 二、总体成数（或总体比例）的检验 三、总体方差的检验
一 、总体均值的检验
(一) 小样本（n 30 ），总体服从正态分布 (二) 大样本（ n 30 ）
(一) 小样本（n 30 ），总体服从正态分布
1.总体标准差 未知时,用t检验 对于单侧检验，可分为左单侧检验（拒绝 域在左侧的检验）与右单侧检验（拒绝域在 右侧的检验），与双侧检验同理可得出检验 步骤： (1)建立假设 H0： ①μ=μ0 H1：μ≠μ0， • ②μ≤μ0 μ＞μ0， • ③μ≥μ0 μ＜μ0，
一、假设检验的概念
假设检验可分为参数检验和非参数检验。本章 主要介绍参数检验，通常包括总体平均数的检验 、总体比例（成数）的检验与总体方差的检验等 。【例7-1】中是对总体平均数的检验。 2. 检验统计量是指用于假设检验决策的统计 量。选择统计量的方法与参数估计相同，需考虑 的是总体是否服从正态分布，从总体中抽得是大 样本还是小样本，总体方差是已知还是未知。 【例7-1】是从正态总体中抽得小样本（n＜30） ，且总体方差σ未知，则选择t分布为检验统计量 ，
1.总体标准差σ 未知时,用t检验
(2)确定检验统计量，并计算检验统计量值 X 0
t S n
•根据前面两步可确定①是双侧检验，②是右单侧 检验，③是左单侧检验 (3)给定显著水平α，拒绝域（小概率事件）， •①︱t︱≥tα/2(n-1) （双侧检验） •②t≥tα (n-1) （右单侧检验） •③t≤-tα (n-1) （左单侧检验）
双侧检验的接受域和拒绝域


2
接受域 临 界 值 临 界 值
2
拒绝域
拒绝域
右单侧检验的接受域和拒绝域
接受域 临 界 值

拒绝域
左单侧检验的接受域和拒绝域

接受域 临 界 值
拒绝域
1.总体标准差σ 未知时,用t检验
(4)判断，如果t落入拒绝域，拒绝H0；如果t 不落入拒绝域，不能拒绝H0。或者根据t值可计 算出相应的概率P值，若双侧检验中 时，表 明P比小概率的标准还小，t落入拒绝域，拒绝H0 ；反之，则不能拒绝H0。若单侧检验中 时 ，表明P比小概率的标准还小，t落入拒绝域，拒 绝H0；反之，则不能拒绝H0。 一般来说，单侧检验临界值拒绝域不等式的 方向，与备择假设的不等式方向一致。
（一）建立假设——原假设和备择假设。 （二）确定适当的检验统计量，并计算其值。 （三）给定显著性水平，确定拒绝域。 （四）判断。
三、假设检验中的两类错误
• 对于原假设提出的命题，需要判断其是否成 立，主要依据样本提供的信息进行判断，也就是 由部分来推断总体。因而判断有可能正确，也有 可能错误，也就是说，我们会面临犯错误的可能 ，所犯的错误会有两种类型。 • 第Ⅰ类错误是指原假设H0为真，却拒绝H0的 错误，也叫弃真错误或 错误。比如【例7-1】 中，若原假设该厂生产的笔记本电脑的平均使用 寿命符合规定标准，则我们应该接受原假设，但 实际却拒绝了，这时就犯 错误。
一、假设检验的概念
称为 t检验。 • 3. 显著性水平，即指原假设为真时拒绝原假 设的概率，通常很小，而1-就很大。若总体没 有发生显著性变化，则样本统计量应该落在以总 体待估参数为中心的概率为1-的区域内。该区域 称为抽样分布的接受域；否则，总体就发生了显 著性变化，样本统计量应该落在概率 为1-的区域 外，该区域被称为抽样分布的拒绝域。因此，被 称为显著性水平。常用的值有0.01, 0.05, 0.10。而 接受域和拒绝域的分界点的数值就称为临界值。
2 2
P{ t t / 2 (n 1)} 1
t
x 0 s n
~ t (n 1)
对
t t / 2 (n 1)
取逆事件，有：
第一节 假设检验的基本原理
P{ t t / 2 (n 1)} 可查表得出，即 t t / 2 (n 1)
1.总体标准差σ 未知时,用t检验
【例7-2】我国运动员四步助跑的跳高成 绩服从正态分布。已知我国女子优秀跳高运 动员平均成绩不低于μ0=3.10米，某省抽取 n=9名女运动员，测得跳高平均成绩 x 3.04 米 ，标准差 s 0.36 米，问该省运动员的成绩是否 低于我国优秀运动员（ 0.05）？
引言
该方法称为t检验，其使产品质量检验由大样本 被小样本替代，为产品质量检验节省了人力、 物力和财力，极大地提高了产品质量检验的效 率，迄今是消费者、质量监督部门和企业质量 检验的有效方法，是20世纪质量改进的第一次 大贡献，是产品质量问题、假设检验相结合的 重大成果！ 假设检验将是本章学习的内容。
表 7-1 假设检验中各种可能结果的概率 项 目 没有拒绝 H0 1-（正确决策） β（取伪错误） 拒绝 H0 H0 为真 H0 为假

（弃真错误） 1-β（正确决策）
三、假设检验中的两类错误
对于这两类错误，人们总是希望、越小 越好。但当样本容量n一定时，不能同时做到 、都很小，若减少犯第一类错误的概率 ， 则犯第二类错误的概率 往往增大（见图7-1 ），即此时、反向变化。若要使犯两类错误 的概率都减小，只能增加样本容量。