离散数学屈婉玲第十四章 PPT
高教离散数学修订版耿素云屈婉玲Part数理逻辑部分
目录
• 数理逻辑基本概念 • 谓词逻辑基础 • 形式系统基本概念 • 命题演算系统PCN • 谓词演算系统QCN • 数理逻辑在离散数学中应用
01 数理逻辑基本概念
命题与逻辑联结词
命题
01
一个可以判断真假的陈述句称为命题。
逻辑联结词
02
用来连接命题，形成复合命题的词语，如“且”、“或”、“
其他领域数理逻辑应用
计算机科学中的数理逻辑
数理逻辑在计算机科学中具有广泛的应用，如命题逻辑和谓词逻辑在程序设计和软件测试中的应用，以及数 理逻辑在人工智能和数据库等领域的应用。
物理学中的数理逻辑
数理逻辑在物理学中也有一定的应用，如量子力学中的逻辑结构和推理规则，以及数理逻辑在相对论和统计 力学等领域的应用。
推理规则
在谓词逻辑中，常用的推理规则 有假言推理、拒取式、析取三段 论、双条件推理等。这些规则可 以用于推导新的命题或证明某个 命题的正确性。
量词消去规则
在推理过程中，有时需要消去量 词，以便更方便地处理命题。全 称量词消去规则是将∀xP(x)转化 为P(a)，其中a是个体域中的任意 个体；存在量词消去规则是将 ∃xP(x)转化为P(c)，其中c是个体 域中满足P的某个个体。
PCN中重言式和矛盾式判定方法
01
重言式（Tautology）是指在所 有赋值下都为真的命题公式，如 P∨¬P。
02
矛盾式（Contradiction）是指 在所有赋值下都为假的命题公式， 如P∧¬P。
03
判定重言式和矛盾式的方法包 括真值表法、等价变换法和主 析取范式法等。
PCN中推理规则和证明方法
社会科学中的数理逻辑
最新离散数学屈婉玲第十四章ppt课件
则称yl (或 yr)是x的左逆元（或右逆元）. 关于◦运算，若y∈S 既是 x 的左逆元又是 x 的右逆元，则称 y为x的逆元. 如果 x 的逆元存在，就称 x 是可逆的.
可以证明： 对于给定二元运算，单位元或零元如果存在，则是唯一的. 对于可结合的二元运算，给定元素若存在逆元，则是唯一
定义14.5-6 设◦和∗为S上两个不同的二元运算, (1) 若对任意x,y,z∈S有 (x∗y)◦z=(x◦z)∗(y◦z)，
z◦(x∗y)=(z◦x)∗(z◦y), 则称◦运算对∗运算满足分配律. (2) 若和∗都可交换,且对任意x,y∈S有 x◦(x∗y)=x，x∗(x◦y)=x,
则称◦和∗运算满足吸收律.
例1 (1) 自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算，但 减法和除法不是． (2) 整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算， 而除法不是．求一个数的相反数是Z上的一元运算. (3) 非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，而 加法和减法不是．求倒数是R*上的一元运算.
3
实例
(6) SS为S上的所有函数的集合，则合成运算为SS上二元运算. 求反函数不一定是一元运算.
4
二元与一元运算的表示
1．算符 可以用◦, ∗, ·, , , 等符号表示二元或一元运算，称为算符. 对二元运算◦，如果 x 与 y 运算得到 z，记做 x◦y = z 对一元运算, x的运算结果记作x.
2．表示二元或一元运算的方法: 解析公式和运算表 公式表示 例 设R为实数集合，如下定义R上的二元运算∗：
13
消去律
定义14.10 设∘为S上的二元运算，如果对于任意的 x, y, zS 满足以下条件：
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案
离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案第一章部分课后习题参考答案16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1,求下列各命题公式的真值;1p∨q∧r⇔0∨0∧1 ⇔02pr∧﹁q∨s ⇔01∧1∨1 ⇔0∧1⇔0.3⌝p∧⌝q∧rp∧q∧﹁r ⇔1∧1∧1 0∧0∧0⇔04⌝r∧s→p∧⌝q ⇔0∧1→1∧0 ⇔0→0⇔117．判断下面一段论述是否为真：“π是无理数;并且,如果3是无理数,则2也是无理数;另外6能被2整除,6才能被4整除;”答：p: π是无理数 1q: 3是无理数0r: 2是无理数 1s:6能被2整除 1t: 6能被4整除0命题符号化为：p∧q→r∧t→s的真值为1,所以这一段的论述为真;19．用真值表判断下列公式的类型：4p→q →⌝q→⌝p5p∧r ↔⌝p∧⌝q6p→q ∧q→r →p→r答： 4p q p→q ⌝q ⌝p ⌝q→⌝p p→q→⌝q→⌝p0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 1 0 0 1 1所以公式类型为永真式5公式类型为可满足式方法如上例6公式类型为永真式方法如上例第二章部分课后习题参考答案3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出成真赋值.1 ⌝p∧q→q2p→p∨q∨p→r3p∨q→p∧r答：2p→p∨q∨p→r⇔⌝p∨p∨q∨⌝p∨r⇔⌝p∨p∨q∨r⇔1所以公式类型为永真式3P q r p∨q p∧r p∨q→p∧r0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：2p→q∧p→r⇔p→q∧r4p∧⌝q∨⌝p∧q⇔p∨q ∧⌝p∧q证明2p→q∧p→r⇔⌝p∨q∧⌝p∨r⇔⌝p∨q∧r⇔p→q∧r4p∧⌝q∨⌝p∧q⇔p∨⌝p∧q ∧⌝q∨⌝p∧q⇔p∨⌝p∧p∨q∧⌝q∨⌝p ∧⌝q∨q⇔1∧p∨q∧⌝p∧q∧1⇔p∨q∧⌝p∧q5.求下列公式的主析取范式与主合取范式,并求成真赋值1⌝p→q→⌝q∨p2⌝p→q∧q∧r3p∨q∧r→p∨q∨r解：1主析取范式⌝p→q→⌝q∨p⇔⌝p∨∨⌝∨p⇔⌝p∧⌝∨⌝∨p⇔⌝p∧⌝∨⌝∧p∨⌝q∧⌝p∨p∧q∨p∧⌝q⇔⌝p∧⌝q∨p∧⌝q∨p∧q⇔∑0,2,3主合取范式：⌝p→q→⌝q∨p⇔⌝p∨∨⌝∨p⇔⌝p∧⌝∨⌝∨p⇔⌝p∨⌝q∨p∧⌝∨⌝∨p⇔1∧p∨⌝q⇔p∨⌝q ⇔ M1⇔∏12 主合取范式为：⌝p→∧∧r⇔⌝⌝p∨∧∧r⇔p∧⌝∧∧r⇔0所以该式为矛盾式.主合取范式为∏0,1,2,3,4,5,6,7矛盾式的主析取范式为 03主合取范式为：p∨q∧r→p∨q∨r⇔⌝p∨q∧r→p∨q∨r⇔⌝p∧⌝q∨⌝r∨p∨q∨r⇔⌝p∨p∨q∨r∧⌝q∨⌝r∨p∨q∨r⇔1∧1⇔1所以该式为永真式.永真式的主合取范式为 1主析取范式为∑0,1,2,3,4,5,6,7第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：2前提：p→q,⌝q∧r,r结论：⌝p4前提：q→p,q↔s,s↔t,t∧r结论：p∧q证明：2①⌝q∧r 前提引入②⌝q∨⌝r ①置换③q→⌝r ②蕴含等值式④r 前提引入⑤⌝q ③④拒取式⑥p→q 前提引入⑦￢p3 ⑤⑥拒取式证明4：①t∧r 前提引入②t ①化简律③q↔s 前提引入④s↔t 前提引入⑤q↔t ③④等价三段论⑥q→t∧t→q ⑤置换⑦q→t ⑥化简⑧q ②⑥假言推理⑨q→p 前提引入⑩p ⑧⑨假言推理11p∧q ⑧⑩合取15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理：(1)前提：p→q→r,s→p,q结论：s→r证明①s 附加前提引入②s→p 前提引入③p ①②假言推理④p→q→r 前提引入⑤q→r ③④假言推理⑥q 前提引入⑦r ⑤⑥假言推理16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：1前提：p→⌝q,⌝r∨q,r∧⌝s结论：⌝p证明：①p 结论的否定引入②p→﹁q 前提引入③﹁q ①②假言推理④￢r∨q 前提引入⑤￢r ④化简律⑥r∧￢s 前提引入⑦r ⑥化简律⑧r∧﹁r ⑤⑦合取由于最后一步r∧﹁r 是矛盾式,所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为a,b条件时命题的真值:1 对于任意x,均有x2−2=x+√2x−√2.2 存在x,使得x+5=9.其中a个体域为自然数集合.b个体域为实数集合.解：Fx: x2−2=x+√2x−√2.Gx: x+5=9.1在两个个体域中都解释为)∀,在a中为假命题,在b中为真命题;(xxF2在两个个体域中都解释为)(x∃,在ab中均为真命题;xG4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化:1 没有不能表示成分数的有理数.2 在北京卖菜的人不全是外地人.解:1Fx: x能表示成分数Hx: x是有理数命题符号化为: ))x∧F⌝∃x⌝(x()(H2Fx: x是北京卖菜的人Hx: x是外地人命题符号化为: ))F⌝∀xx→(x(H)(5. 在一阶逻辑将下列命题符号化:1 火车都比轮船快.3 不存在比所有火车都快的汽车.解:1Fx: x是火车; Gx: x是轮船; Hx,y: x比y快命题符号化为: ))FyxGy∀∀∧x→))((,H)x((y(2 1Fx: x是火车; Gx: x是汽车; Hx,y: x比y快命题符号化为: )))xFxyG∧∀y→⌝∃H)(,(((y()x9.给定解释I如下:a 个体域D为实数集合R.b D中特定元素a ̅=0.c 特定函数f x,y=x−y,x,y D∈.d 特定谓词F̅x,y:x=y,G̅x,y:x<y,x,y D∈.说明下列公式在I下的含义,并指出各公式的真值:答:1 对于任意两个实数x,y,如果x<y, 那么x≠y. 真值1.2 对于任意两个实数x,y,如果x-y=0, 那么x<y. 真值0.10. 给定解释I如下：a 个体域D=NN为自然数集合.b D中特定元素a̅=2.c D上函数f(x,y)=x+y,g̅x,y=xy.d D上谓词F̅x,y:x=y.说明下列各式在I下的含义,并讨论其真值.(1)xFgx,a,x(2)xyFfx,a,y→Ffy,a,x答:1 对于任意自然数x, 都有2x=x, 真值0.2 对于任意两个自然数x,y,使得如果x+2=y, 那么y+2=x. 真值0.11. 判断下列各式的类型:1 F(x,y)→(G(x,y)→F(x,y)).3 xyF(x,y)→x yFx,y.解:1因为1→pq⇔qp为永真式；pp→⌝()(⇔)∨⌝∨所以F(x,y)→(G(x,y)→F(x,y)).为永真式；3取解释I个体域为全体实数Fx,y：x+y=5所以,前件为任意实数x存在实数y使x+y=5,前件真；后件为存在实数x对任意实数y都有x+y=5,后件假,此时为假命题再取解释I个体域为自然数N,Fx,y：:x+y=5所以,前件为任意自然数x存在自然数y使x+y=5,前件假;此时为假命题;此公式为非永真式的可满足式;13. 给定下列各公式一个成真的解释,一个成假的解释;1 x Fx∨G(x))2 xFx∧Gx∧Hx解:1个体域:本班同学Fx：x会吃饭, Gx：x会睡觉.成真解释Fx：x是泰安人,Gx：x是济南人.2成假解释2个体域:泰山学院的学生Fx ：x 出生在山东,Gx:x 出生在北京,Hx:x 出生在江苏,成假解释. Fx ：x 会吃饭,Gx ：x 会睡觉,Hx ：x 会呼吸. 成真解释.第五章部分课后习题参考答案5.给定解释Ｉ如下:a 个体域D={3,4};b )(x f f 为3)4(,4)3(==f f c 1)3,4()4,3(,0)4,4()3,3(),(====F F F F y x F 为. 试求下列公式在Ｉ下的真值. 1),(y x yF x ∃∀3)))(),((),((y f x f F y x F y x →∀∀ 解:1 ))4,()3,((),(x F x F x y x yF x ∨∀⇔∃∀2 )))(),((),((y f x f F y x F y x →∀∀ 12.求下列各式的前束范式;1),()(y x yG x xF ∀→∀5)),()((),(2121211x x G x x H x x F x ⌝∃→→∃ 本题课本上有错误 解:1 ),()(y x yG x xF ∀→∀),()(y t yG x xF ∀→∀⇔)),()((y t G x F y x →∀∃⇔ 5 )),()((),(2121211x x G x x H x x F x ⌝∃→→∃ 15.在自然数推理系统F 中,构造下面推理的证明:(1) 前提: ))())()((()(y R y G y F y x xF →∨∀→∃,)(x xF ∃结论: ∃xRx(2) 前提: ∀xFx →Ga ∧Rx, xFx结论:xFx ∧Rx 证明1①)(x xF ∃ 前提引入 ②Fc ①EI③))())()((()(y R y G y F y x xF →∨∀→∃ 前提引入 ④))())()(((y R y G y F y →∨∀ ①③假言推理 ⑤Fc ∨Gc →Rc ④UI⑥Fc ∨Gc ②附加 ⑦Rc ⑤⑥假言推理 ⑧∃xRx ⑦EG 2①∃xFx 前提引入 ②Fc ①EI③∀xFx →Ga ∧Rx 前提引入 ④Fc →Ga ∧Rc ③UI⑤Ga ∧Rc ②④假言推理 ⑥Rc ⑤化简 ⑦Fc ∧Rc ②⑥合取引入 ⑧∃xFx ∧Rx ⑦EG第六章部分课后习题参考答案5.确定下列命题是否为真： 1∅⊆∅ 真 2∅∈∅ 假 3}{∅⊆∅ 真 4}{∅∈∅ 真 5｛a,b ｝⊆｛a,b,c,｛a,b,c ｝｝ 真 6｛a,b ｝∈｛a,b,c,｛a,b ｝｝ 真 7｛a,b ｝⊆｛a,b,｛｛a,b ｝｝｝ 真 8｛a,b ｝∈｛a,b,｛｛a,b ｝｝｝ 假6．设a,b,c 各不相同,判断下述等式中哪个等式为真: 1｛｛a,b ｝,c,∅｝=｛｛a,b ｝,c ｝ 假2｛a ,b,a ｝=｛a,b ｝ 真 3｛｛a ｝,{b}｝=｛｛a,b ｝｝ 假 4｛∅,｛∅｝,a,b ｝=｛｛∅,｛∅｝｝,a,b ｝ 假 8．求下列集合的幂集：1｛a,b,c ｝ PA={ ∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}2｛1,｛2,3｝｝PA={ ∅, {1}, {{2,3}}, {1,{2,3}} }3｛∅｝PA={ ∅, ｛∅｝ }4｛∅,｛∅｝｝PA={ ∅, {1}, {{2,3}}, {1,{2,3}} }14．化简下列集合表达式：1A B B -A B2A B C-B C A解:1A B B -A B=A B B ～A B=A B ～A B B=∅ B=∅2A B C-B C A=A B C ～B C A=A ～B C B C ～B C A=A ～B C ∅ A=A ～B C A=A18．某班有25个学生,其中14人会打篮球,12人会打排球,6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球;已知6个会打网球的人都会打篮球或排球;求不会打球的人数;解: 阿A={会打篮球的人},B={会打排球的人},C={会打网球的人}|A|=14, |B|=12, |A B|=6,|A C|=5,| A B C|=2,|C|=6,C⊆A B如图所示;25-5+4+2+3-5-1=25-14-5-1=5不会打球的人共5人21.设集合A＝{{1,2},{2,3},{1,3},{∅}},计算下列表达式：1 A2 A3 A4 A解:1 A={1,2} {2,3} {1,3} {∅}={1,2,3,∅}2 A={1,2} {2,3} {1,3} {∅}=∅3 A=1 2 3 ∅=∅4 A=∅27、设A,B,C是任意集合,证明1A-B-C=A- B⋃C2A-B-C=A-C-B-C证明1 A-B-C=A ～B ～C= A ～B ～C= A ～B⋃C =A- B⋃C2 A-C-B-C=A ～C ～B ～C= A ～C ～B C=A ～C ～B A ～C C= A ～C ～B ∅= A ～B⋃C =A- B⋃C 由1得证;第七章部分课后习题参考答案7.列出集合A={2,3,4}上的恒等关系I A,全域关系E A,小于或等于关系L A,整除关系D A. 解：I={<2,2>,<3,3>,<4,4>}A={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<3,2>,<3,3>,<4,2>,<4,3>}EA={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>}LAD={<2,4>}A13.设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>}B={<1,3>,<2,4>,<4,2>}求A⋃B,A⋂B, domA, domB, domA⋃B, ranA, ranB, ranA⋂B , fldA-B.解：A⋃B={<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2>}A⋂B={<2,4>}domA={1,2,3}domB={1,2,4}domA∨B={1,2,3,4}ranA={2,3,4}ranB={2,3,4}ranA⋂B={4}A-B={<1,2>,<3,3>},fldA-B={1,2,3}14.设R={<0,1><0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>}求R R, R-1, R↑{0,1,}, R{1,2}解：R R={<0,2>,<0,3>,<1,3>}R -1,={<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>}R ↑{0,1}={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>}R{1,2}=ranR|{1,2}={2,3}16．设A={a,b,c,d},1R ,2R 为A 上的关系,其中1R ={},,,,,a a a b b d求23122112,,,R R R R R R ;解: R 1 R 2={<a,d>,<a,c>,<a,d>}R 2 R 1={<c,d>}R 12=R 1 R 1={<a,a>,<a,b>,<a,d>}R 22=R 2 R 2={<b,b>,<c,c>,<c,d>}R 23=R 2 R 22={<b,c>,<c,b>,<b,d>}36．设A={1,2,3,4},在A ⨯A 上定义二元关系R,∀<u,v>,<x,y>∈A ⨯A ,〈u,v> R <x,y>⇔u + y = x + v.(1)证明R 是A ⨯A 上的等价关系.2确定由R 引起的对A ⨯A 的划分.1证明：∵<u,v>R<x,y> ⇔u+y=x-y∴<u,v>R<x,y>⇔u-v=x-y∀<u,v>∈A ⨯A∵u-v=u-v∴<u,v>R<u,v>∴R 是自反的任意的<u,v>,<x,y>∈A ×A如果<u,v>R<x,y> ,那么u-v=x-y∴x-y=u-v ∴<x,y>R<u,v>∴R 是对称的任意的<u,v>,<x,y>,<a,b>∈A ×A若<u,v>R<x,y>,<x,y>R<a,b>则u-v=x-y,x-y=a-b∴u-v=a-b ∴<u,v>R<a,b>∴R是传递的∴R是A×A上的等价关系2 ∏={{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}, {<2,1>,<3,2>,<4,3>}, {<3,1>,<4,2>},{<4,1>}, {<1,2>,<2,3>,<3,4>}, {<1,3>,<2,4>}, {<1,4>} }41.设A={1,2,3,4},R为A⨯A上的二元关系, ∀〈a,b〉,〈c,d〉∈A⨯A ,〈a,b〉R〈c,d〉⇔a + b = c + d(1)证明R为等价关系.(2)求R导出的划分.1证明：∀<a,b〉∈A⨯Aa+b=a+b∴<a,b>R<a,b>∴R是自反的任意的<a,b>,<c,d>∈A×A设<a,b>R<c,d>,则a+b=c+d∴c+d=a+b ∴<c,d>R<a,b>∴R是对称的任意的<a,b>,<c,d>,<x,y>∈A×A若<a,b>R<c,d>,<c,d>R<x,y>则a+b=c+d,c+d=x+y∴a+b=x+y ∴<a,b>R<x,y>∴R是传递的∴R是 A×A上的等价关系2∏={{<1,1>}, {<1,2>,<2,1>}, {<1,3>,<2,2>,<3,1>}, {<1,4>,<4,1>,<2,3>,<3,2>}, {<2,4>,<4,2>,<3,3>}, {<3,4>,<4,3>}, {<4,4>}}43. 对于下列集合与整除关系画出哈斯图:1 {1,2,3,4,6,8,12,24}2 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}解:1 245.下图是两个偏序集<A,R >的哈斯图.分别写出集合A 和偏序关系R 的集合表达式.a b解: aA={a,b,c,d,e,f,g}R ={<a,b>,<a,c>,<a,d>,<a,e>,<a,f>,<a,g>,<b,d>,<b,e>,<c,f>,<c,g>}A I ⋃ b A={a,b,c,d,e,f,g} R ={<a,b>,<a,c>,<a,d>,<a,e>,<a,f>,<d,f>,<e,f>}A I ⋃46.分别画出下列各偏序集<A,R >的哈斯图,并找出A 的极大元`极小元`最大元和最小元.1A={a,b,c,d,e} R ={<a,d>,<a,c>,<a,b>,<a,e>,<b,e>,<c,e>,<d,e>}⋃I A . 2A={a,b,c,d,e}, R ={<c,d>}⋃IA.解:1 2项目 1 2极大元: e a,b,d,e极小元: a a,b,c,e最大元: e 无最小元: a 无第八章部分课后习题参考答案1．设f :N →N,且f x=12x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，若为奇数若为偶数， 求f 0, f {0}, f 1, f {1}, f {0,2,4,6,…},f {4,6,8}, f -1{3,5,7}.解：f 0=0, f {0}={0}, f 1=1, f {1}={1},f {0,2,4,6,…}=N,f {4,6,8}={2,3,4}, f -1 {3,5,7}={6,10,14}.4. 判断下列函数中哪些是满射的哪些是单射的哪些是双射的1 f:N →N, fx=x 2+2 不是满射,不是单射2 f:N →N,fx=xmod 3,x 除以3的余数 不是满射,不是单射3 f:N →N,fx=10x x ⎧⎨⎩，若为奇数，若为偶数不是满射,不是单射 4 f:N →{0,1},fx=01x x ⎧⎨⎩，若为奇数，若为偶数是满射,不是单射 5 f:N-{0}→R,fx=lgx 不是满射,是单射6 f:R →R,fx=x 2-2x-15 不是满射,不是单射5. 设X={a,b,c,d},Y={1,2,3},f={<a,1>,<b,2>,<c,3>,}判断以下命题的真假:1f 是从X 到Y 的二元关系,但不是从X 到Y 的函数; 对2f 是从X 到Y 的函数,但不是满射,也不是单射的; 错3f 是从X 到Y 的满射,但不是单射; 错4f 是从X 到Y 的双射. 错第十章部分课后习题参考答案4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭：（1） 整数集合Z 和普通的减法运算;封闭,不满足交换律和结合律,无零元和单位元（2） 非零整数集合Z ∗和普通的除法运算;不封闭（3） 全体n n ⨯实矩阵集合M n R 和矩阵加法及乘法运算,其中n ≥2;封闭 均满足交换律,结合律,乘法对加法满足分配律；加法单位元是零矩阵,无零元；乘法单位元是单位矩阵,零元是零矩阵；4全体n n ⨯实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算,其中n ≥2;不封闭5正实数集合R +和 ° 运算,其中 ° 运算定义为：a ，b ∈R +，a ° b = ab −a −b不封闭 因为 +∉-=--⨯=R 11111116n ∈Z +,nZ ={nz | z ∈ Z }.nZ 关于普通的加法和乘法运算;封闭,均满足交换律,结合律,乘法对加法满足分配律加法单位元是0,无零元；乘法无单位元1>n ,零元是0；1=n 单位元是17A = {},,,21n a a a n ≥2.° 运算定义如下：a ，b ∈ A ，a ° b = b封闭 不满足交换律,满足结合律,8S = {2x −1|x ∈Z +}关于普通的加法和乘法运算;封闭 均满足交换律,结合律,乘法对加法满足分配律9S = {0,1},S 是关于普通的加法和乘法运算;加法不封闭,乘法封闭；乘法满足交换律,结合律10S = {x | x =2n ,n ∈Z +} ,S 关于普通的加法和乘法运算;加法不封闭,乘法封闭,乘法满足交换律,结合律5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律,结合律,分配律;见上题7．设 为+Z 上的二元运算+∈∀Z y x ,,X Y = min x,y ,即x 和y 之中较小的数.(1)求4 6,7 3;4, 32 在+Z 上是否适合交换律,结合律,和幂等律满足交换律,结合律,和幂等律3求运算的单位元,零元及+Z 中所有可逆元素的逆元;单位元无,零元1, 所有元素无逆元8．Q Q S ⨯= Q 为有理数集,为S 上的二元运算,<a,b>,<x,y > ∈ S 有< a,b ><x,y> = <ax,ay + b>1运算在S 上是否可交换,可结合是否为幂等的不可交换：<x,y><a,b >= <xa,xb +y>≠< a,b ><x,y>可结合：<a,b ><x,y><c,d>=<ax,ay + b><c,d>=<axc,axd +ay+b ><a,b ><x,y><c,d>=<a, b><xc,xd+y>=<axc,axd +y+b ><a,b ><x,y><c,d>=<a,b ><x,y><c,d>不是幂等的2运算是否有单位元,零元 如果有请指出,并求S 中所有可逆元素的逆元;设<a,b>是单位元,<x,y > ∈ S ,<a,b ><x,y>= <x,y><a,b >=<x,y>则<ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<x,y>,解的<a,b>=<1,0>,即为单位;设<a,b>是零元,<x,y > ∈ S ,<a,b ><x,y>= <x,y><a,b >=<a,b>则<ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<a,b>,无解;即无零元;<x,y > ∈ S,设<a,b>是它的逆元<a,b ><x,y>= <x,y><a,b >=<1,0><ax,ay+b>=<xa,xb+y>=<1,0>a=1/x,b=-y/x所以当x ≠0时,x y x y x -=><-,1,1 10．令S={a,b},S 上有四个运算：,°，和□分别有表确定; a b c d1这4个运算中哪些运算满足交换律,结合律,幂等律a 交换律,结合律,幂等律都满足, 零元为a,没有单位元；b 满足交换律和结合律,不满足幂等律,单位元为a,没有零元c 满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律没有单位元, 没有零元d 不满足交换律,满足结合律和幂等律没有单位元, 没有零元(2)求每个运算的单位元,零元以及每一个可逆元素的逆元;见上16．设V=〈 N,+ , 〉,其中+ ,分别代表普通加法与乘法,对下面给定的每个集合确定它是否构成V 的子代数,为什么1S 1={2n | n ∈Z } 是2S 2={2n +1 | n ∈Z } 不是 加法不封闭3S 3 = {-1,0,1} 不是,加法不封闭第十一章部分课后习题参考答案8.设S={0,1,2,3},为模4乘法,即"∀x,y ∈S, xy=xymod 4 问〈S,〉是否构成群为什么解：1 ∀x,y ∈S, xy=xymod 4S ∈,是S 上的代数运算; 2 ∀x,y,z ∈S,设xy=4k+r 30≤≤rx y z =xymod 4z=r z=rzmod 4=4kz+rzmod 4=4k+rzmod 4 =xyzmod 4同理x y z =xyzmod 4所以,x y z = x y z,结合律成立; 3 ∀x ∈S, x 1=1x=x,,所以1是单位元;4,33,1111==-- 0和2没有逆元所以,〈S,〉不构成群9.设Z 为整数集合,在Z 上定义二元运算;如下：" ∀x,y ∈Z,xoy= x+y-2问Z 关于o 运算能否构成群为什么解：1 ∀x,y ∈Z, xoy= x+y-2Z ∈,o 是Z 上的代数运算;2 ∀x,y,z ∈Z,xoy oz =x+y-2oz=x+y-2+z-2=x+y+z-4同理xoyoz= xoyoz,结合律成立;3设e 是单位元,∀x ∈Z, xo e = e ox=x,即x+e -2= e +x-2=x, e=24 ∀x ∈Z , 设x 的逆元是y, xoy= yox=e , 即x+y-2=y+x-2=2,所以,x y x -==-41所以〈Z,o 〉构成群11.设G=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001,1001,1001,1001,证明G 关于矩阵乘法构成一个群． 解：1 ∀x,y ∈G, 易知xy ∈G,乘法是Z 上的代数运算;2 矩阵乘法满足结合律3设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001是单位元,4每个矩阵的逆元都是自己;所以G 关于矩阵乘法构成一个群．14.设G 为群,且存在a∈G,使得G={a k ∣k∈Z}证明：G 是交换群;证明:∀x,y ∈G,设l k a y a x ==,,则所以,G 是交换群17.设G 为群,证明e 为G 中唯一的幂等元;证明:设G e ∈0也是幂等元,则020e e =,即e e e 020=,由消去律知e e =018.设G 为群,a,b,c∈G,证明∣abc∣=∣bca∣=∣cab∣证明：先证设e bca e abc k k =⇔=)()(设,)(e abc k =则e abc abc abc abc =)())()(( ,即 e a bca bca bca bca a =-1)())()((左边同乘1-a ,右边同乘a 得反过来,设,)(e bac k =则.)(e abc k= 由元素阶的定义知,∣abc∣=∣bca∣,同理∣bca∣=∣cab∣19.证明：偶数阶群G 必含2阶元;证明：设群G 不含2阶元,G a ∈∀,当e a =时,a 是一阶元,当e a ≠时,a 至少是3阶元,因为群G 时有限阶的,所以a 是有限阶的,设a 是k 阶的,则1-a 也是k 阶的,所以高于3阶的元成对出现的,G 不含2阶元,G 含唯一的1阶元e ,这与群G 是偶数阶的矛盾;所以,偶数阶群G 必含2阶元20.设G 为非Abel 群,证明G 中存在非单位元a 和b,a≠b,且ab=ba.证明：先证明G 含至少含3阶元;若G 只含1阶元,则G={e},G 为Abel 群矛盾；若G 除了1阶元e 外,其余元a 均为2阶元,则e a =2,a a =-1ba ba b a ab ab ab b b a a G b a ======∈∀------111111)(,)(,,,,所以,与G 为Abel 群矛盾；所以,G 含至少含一个3阶元,设为a ,则≠a 2a ,且22aa a a =;令2a b =的证;21.设G 是M n R 上的加法群,n≥2,判断下述子集是否构成子群;1全体对称矩阵 是子群2全体对角矩阵 是子群3全体行列式大于等于0的矩阵. 不是子群4全体上下三角矩阵; 是子群22.设G 为群,a 是G 中给定元素,a 的正规化子Na 表示G 中与a 可交换的元素构成的集合,即Na={x ∣x ∈G ∧xa=ax}证明Na 构成G 的子群;证明：ea=ae,φ≠∈)(a N ea xy ya x ay x y xa y ax xy a )()()()()()(=====,所以)(a N xy ∈由xa ax =,得111111,------==eax ae x xax x axx x ,即11--=ax a x ,所以)(1a N x ∈- 所以Na 构成G 的子群31.设ϕ1是群G 1到G 2的同态,ϕ2是G 2到G 3的同态,证明ϕ1ϕ 2是G 1到G 3的同态;证明：有已知ϕ1是G 1到G 2的函数,ϕ2是G 2到G 3的函数,则ϕ1·ϕ2是G 1到G 3的函数;所以:ϕ1·ϕ2是G 1到G 3的同态;33.证明循环群一定是阿贝尔群,说明阿贝尔群是否一定为循环群,并证明你的结论; 证明：设G 是循环群,令G=<a>,G y x ∈∀,,令l k a y a x ==,,那么yx a a a a a a xy k l k l l k l k =====++,G 是阿贝尔群克莱因四元群,},,,{c b a e G =是交换群,但不是循环群,因为e 是一阶元,a,b,c 是二阶元;36.设τσ,是5元置换,且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3541254321σ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2154354321τ 1计算τσσσττσστ111,,,,---；2将τσσττσ11,,--表成不交的轮换之积;3将2中的置换表示成对换之积,并说明哪些为奇置换,哪些为偶置换; 解：1 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1235454321τσ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5213454321στ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-32154543211τ 2 )1425(=τσ )14253(1=-τ )25)(143(1=-τσσ3 )15)(12)(14(=τσ 奇置换,)13)(15)(12)(14(1=-τ 偶置换)25)(13)(14(1=-τσσ 奇置换第十四章部分课后习题参考答案5、设无向图G 有10条边,3度与4度顶点各2个,其余顶点的度数均小于3,问G 至少有多少个顶点在最少顶点的情况下,写出度数列、)()(G G δ、∆;解：由握手定理图G 的度数之和为：20102=⨯3度与4度顶点各2个,这4个顶点的度数之和为14度;其余顶点的度数共有6度;其余顶点的度数均小于3,欲使G 的顶点最少,其余顶点的度数应都取2, 所以,G 至少有7个顶点, 出度数列为3,3,4,4,2,2,2,2)(,4)(==∆G G δ.7、设有向图D 的度数列为2,3,2,3,出度列为1,2,1,1,求D 的入度列,并求)(),(D D δ∆, )(),(D D ++∆δ,)(),(D D --∆δ.解：D 的度数列为2,3,2,3,出度列为1,2,1,1,D 的入度列为1,1,1,2.2)(,3)(==∆D D δ,1)(,2)(==∆++D D δ,1)(,2)(==∆--D D δ8、设无向图中有6条边,3度与5度顶点各1个,其余顶点都是2度点,问该图有多少个顶点解：由握手定理图G 的度数之和为：1262=⨯设2度点x 个,则1221513=+⨯+⨯x ,2=x ,该图有4个顶点.14、下面给出的两个正整数数列中哪个是可图化的对可图化的数列,试给出3种非同构的无向图,其中至少有两个时简单图;1 2,2,3,3,4,4,52 2,2,2,2,3,3,4,4解：1 2+2+3+3+4+4+5=23 是奇数,不可图化；2 2＋2+2+2+3+3+4+4=16, 是偶数,可图化；18、设有3个4阶4条边的无向简单图G 1、G 2、G 3,证明它们至少有两个是同构的;证明：4阶4条边的无向简单图的顶点的最大度数为3,度数之和为8,因而度数列为2,2,2,2；3,2,2,1；3,3,1,1;但3,3,1,1对应的图不是简单图;所以从同构的观点看,4阶4条边的无向简单图只有两个：所以,G 1、G 2、G 3至少有两个是同构的;20、已知n 阶无向简单图G 有m 条边,试求G 的补图G 的边数m '; 解：m n n m --='2)1( 21、无向图G 如下图1求G 的全部点割集与边割集,指出其中的割点和桥；2 求G 的点连通度)(G k 与边连通度)(G λ;解：点割集: {a,b},d边割集{e2,e3},{e3,e4},{e1,e2},{e1,e4}{e1,e3},{e2,e4},{e5})(G k =)(G λ=123、求G 的点连通度)(G k 、边连通度)(G λ与最小度数)(G δ;解：2)(=G k 、3)(=G λ 、4)(=G δ28、设n 阶无向简单图为3-正则图,且边数m 与n 满足2n-3=m 问这样的无向图有几种非同构的情况解：⎩⎨⎧=-=mn m n 3223 得n=6,m=9.31、设图G 和它的部图G 的边数分别为m 和m ,试确定G 的阶数; 解：2)1(+=+n n m m 得2)(811m m n +++-= 45、有向图D 如图1求2v 到5v 长度为1,2,3,4的通路数；2求5v 到5v 长度为1,2,3,4的回路数；3求D 中长度为4的通路数；4求D 中长度小于或等于4的回路数；5写出D 的可达矩阵;解：有向图D 的邻接矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0101000101100000010110000A ,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00202200000101020000010102A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=40000020200020202020002023A 12v 到5v 长度为1,2,3,4的通路数为0,2,0,0；25v 到5v 长度为1,2,3,4的回路数为0,0,4,0；3D 中长度为4的通路数为32；4D 中长度小于或等于4的回路数10；4出D 的可达矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111111111111111111111111P 第十六章部分课后习题参考答案1、画出所有5阶和7阶非同构的无向树.2、一棵无向树T 有5片树叶,3个2度分支点,其余的分支点都是3度顶点,问T 有几个顶点 解：设3度分支点x 个,则)135(232315-++⨯=+⨯+⨯x x ,解得3=xT 有11个顶点3、无向树T 有8个树叶,2个3度分支点,其余的分支点都是4度顶点,问T 有几个4度分支点根据T 的度数列,请至少画出4棵非同构的无向树;解：设4度分支点x 个,则)128(243218-++⨯=+⨯+⨯x x ,解得2=x4、棵无向树T 有i n i=2,3,…,k 个i 度分支点,其余顶点都是树叶,问T 应该有几片树叶 解：设树叶x 片,则)1(21-+⨯=⨯+⨯x n x i n i i ,解得2)2(+-=i n i x评论：2,3,4题都是用了两个结论,一是握手定理,二是1-=n m5、nn≥3阶无向树T 的最大度(T)至少为几最多为几解：2,n-16、若nn ≥3阶无向树T 的最大度(T) =2,问T 中最长的路径长度为几解：n-17、证明：nn ≥2 阶无向树不是欧拉图.证明：无向树没有回路,因而不是欧拉图;8、证明：nn ≥2 阶无向树不是哈密顿图.证明：无向树没有回路,因而不是哈密顿图;9、证明：任何无向树T 都是二部图.证明：无向树没有回路,因而不存在技术长度的圈,是二部图;10、什么样的无向树T 既是欧拉图,又是哈密顿图解：一阶无向树14、设e 为无向连通图G 中的一条边, e 在G 的任何生成树中,问e 应有什么性质解：e 是桥15、设e为无向连通图G中的一条边, e不在G的任何生成树中, 问e应有什么性质解：e是环23、已知n阶m条的无向图G是kk≥2棵树组成的森林,证明：m = n-k.；证明：数学归纳法;k=1时, m = n-1,结论成立；时,结论成立,当k=t时,无向图G是t棵树组成的森林,任取两棵树,每棵树任取一个设k=t-1t-11顶点,这两个顶点连线;则所得新图有t-1棵树,所以m = n-k-1.所以原图中m = n-k得证;24、在图所示2图中,实边所示的生成子图T是该图的生成树.1指出T的弦,及每条弦对应的基本回路和对应T的基本回路系统.2 指出T的所有树枝, 及每条树枝对应的基本割集和对应T的基本割集系统.a b图解：aT的弦：c,d,g,hT的基本回路系统: S={{a,c,b},{a,b,f,d},{e,a,b,h},{e,a,b,f,g}}T的所有树枝: e,a,b,fT的基本割集系统: S={{e,g,h},{a,c,d,g,h},{b,c,d,g,h},{f,d,g}}b有关问题仿照给出25、求图所示带权图中的最小生成树.a b图解：注：答案不唯一;37、画一棵权为3,4,5,6,7,8,9的最优2叉树,并计算出它的权.38.下面给出的各符号串集合哪些是前缀码A1={0,10,110,1111} 是前缀码A2={1,01,001,000} 是前缀码A3={1,11,101,001,0011} 不是前缀码A4={b,c,aa,ac,aba,abb,abc} 是前缀码A5={ b,c,a,aa,ac,abc,abb,aba} 不是前缀码41.设7个字母在通信中出现的频率如下:a: 35% b: 20%c: 15% d: 10%e: 10% f: 5%g: 5%用Huffman算法求传输它们的前缀码.要求画出最优树,指出每个字母对应的编码.并指出传输10n n ≥2个按上述频率出现的字母,需要多少个二进制数字.解：a:01 b:10 c:000 d:110 e:001 f:1111 g:1110WT=54+54+103+103+153+202+352=255传输10n n≥2个按上述频率出现的字母,需要25510n-2个二进制数字.。
离散数学第五版耿素云屈婉玲张立昂编著
9.1二元运算及其性质
例6：设S={1,2},给出P(S)上的运算～和的运算表， 其中全集为S。
P(S)={,{1},{2},{1,2}}
ai
~ai
{1} {2} {1,2}
{1} {2} {1,2}
{1,2} {1} {2}
{1} {2} {1,2} {1} {1} {1,2} {2} {2} {2} {1,2} {1}
设V1=<S1,>,V2=<S2,*>是代数系统， 和*是二元运算。 如果存在映射：S1S2，若x，yS1都有
(xb)=(x)*(y)
则称是V1到V2的同态映射，简称同态。
35
9.2 代数系统
例14： (1)G1=<Z,+>，G2=<Zn,>,令
：ZZn，(x)=(x)modn
则是否为G1到G2的同态？
六、消去律（定义9.7）
设为S上的二元运算,如果对于任意的x,y,zS满足以下 条件：
(1)若xy=xz且x，则y=z。 (2)若yx=zx且x，则y=z。 那么称运算满足消去律，其中(1)称作左消去律，(2)称作 右消去律。
24
9.1二元运算及其性质
例10：设是字母的有穷集，称为字母表，中的有限 个字母组成的序列称为上的串，对任何串，串中字 母的个数叫做串的长度，记作||，长度是0的串叫空 串，记作，对任给的自然数k，令
f:ZZZ
1 )f(x ,y )x y
2 )f( x ,y ) x y
3 )f(x ,y )xy
4 )f( x ,y ) x y
4
9.1二元运算及其性质
例2： f:R*R*R*(其R 中 *是非零 ) 实数
《离散数学概述》PPT课件
同 子代数 种
的 积代数 同
类 商代数 型
的 新代数系统
22
半群与群
广群 二元运算的封闭性
结合律
半群
交换律
交换半群
单位元 交换律
独异点
每个元素可逆 交换律
群
交换独异点 实例
Abel群
生成元
Klein群 循环群
有限个元素
有限群
编辑ppt
实例
n元置换群
23
图论
图论是离散数学的重要组成部分，是近代应用数学的重要分支。
由于在计算机内,机器字长总是有限的, 它代表离散的数或其
它离散对象，因此随着计算机科学和技术的迅猛发展,离散数
学就显得重要。
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5
离散数学的内容
数理逻辑： “证明”在计算科学的某些领域至关重要，构 造一个证明和写一个程序的思维过程在本质上是一样的。
组合分析：解决问题的一个重要方面就是计数或枚举对象。
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20
代数系统
近世代数，……，是关于运算的学说，是关于运算规则 的学说，但它不把自己局限在研究数的运算性质上，而 是企图研究一般性元素的运算性质。
——Ｍ.Klein
数学之所以重要，其中心原因在于它所提供的数学系统 的丰富多彩；此外的原因是，数学给出了一个系统，以 便于使用这些模型对物理现实和技术领域提出问题，回 答问题，并且也就探索了模型的行为。
1736年是图论历史元年，因为在这一年瑞士数学家欧拉(Euler) 发表了图论的首篇论文——《哥尼斯堡七桥问题无解》，所以人
们普遍认为欧拉是图论的创始人。
1936年，匈牙利数学家寇尼格（Konig）出版了图论的第一部专 著《有限图与无限图理论》，这是图论发展史上的重要的里程碑 ，它标志着图论将进入突飞猛进发展的新阶段。
离散数学第14章课件PPT-高等教育出版社-屈婉玲-耿素云-张立昂主编(高等教学)
行业材料
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短程线与距离
(3) 短程线与距离 ① u与v之间的短程线：uv，u与v之间长度最短的通路 ② u与v之间的距离：d(u,v)——短程线的长度 ③ d(u,v)的性质： d(u,v)0, u≁v时d(u,v)= d(u,v)=d(v,u) d(u,v)+d(v,w)d(u,w)
易知，强连通单向连通弱连通
判别法 定理14.8 D强连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次 的回路 定理14.9 D单向连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一 次的通路
行业材料
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二部图
定义14.23 设 G=<V,E>为一个无向图，若能将 V分成 V1和V2 (V1V2=V，V1V2=)，使得 G 中的每条边的两个端点都是 一个属于V1，另一个属于V2，则称 G 为二部图 ( 或称二分 图、偶图等 )，称V1和V2为互补顶点子集，常将二部图G 记为<V1,V2,E>. 又若G是简单二部图，V1中每个顶点均与V2中所有的顶点相 邻，则称G为完全二部图，记为 Kr,s，其中r=|V1|，s=|V2|.
vV
vV1
vV2
由于2m, d(v) 均为偶数，所以 d(v) 为偶数，但因为V1中
vV2
vV1
顶点度数为奇数，所以|V1|必为偶数.
行业材料
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握手定理应用
例1 无向图G有16条边，3个4度顶点，4个3度顶点，其余 顶点度数均小于3，问G的阶数n为几？
解 本题的关键是应用握手定理. 设除3度与4度顶点外，还有x个顶点v1, v2, …, vx， 则
i 1
i 1
i 1
本定理的证明类似于定理14.1
离散数学屈婉玲耿素云张立昂主编课后复习资料高等教育出版社
第一章部分课后习题参考答案16设p 、q 的真值为0; r. s 的真值为1,求下列各命题公式的真值。
(1) pV (qAr) <=> 0V (0A1) o0(2) (p<-r) A (—'qVs) O (OTL) A (IV1) o0/\lo0.(3) ( A -•qAr) ^(p Aq A —^r) <=> ( 1 Al Al) — (0A0A0) <=>0 (4) ( ->r As) — (P /X F ) O (0A1) -* (1 AO) oO —Ool17. 判断下面一段论述是否为真：“兀是无理数。
并且，如果3是无理数，则、伍也 是无理数。
另外6能被2整除，6才能被4整除。
”答：P ：兀是无理数1 q ： 3是无理数0 r:、迈是无理数1 s ： 6能被2整除1 t: 6能被4整除0命题符号化为：pA(q-r)A(t-*s)的真值为1,所以这一段的论述为真。
19. 用真值表判断下列公式的类型: (4) (p — q) f (「qf 「p) (5) (pAr)㈠"(「p/\「q)(6) 公式类型为永真式(方法如上例)第二章部分课后习题参考答案(6) ((pf q)A (qf r)) f (pf r)答:(4)Pqpf q ~>q「p 「qf 「p 「P )0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 11 0 0 1 0 01 1 1 0 01(pf q) — (「qf1 1 1 1所以公式类型为永真式(5) 公式类型为可满足式(方法如上例)3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.(1)「(pAq~*q)(2)(pf (pVq)) V (p-*r)(3)(pVq) f (pAr)答：(2) (p~* (p Vq) ) V (p-*r)<=>(~i pV (pVq))V (-1pVr)0_,pVpVqV r<=>l 所以公式类型为永真式(3) P Q r pVq p Ar (pVq) f (p Ar)0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 10 1 0 1 0 00 1 1 1 0 01 0 0 1 0 01 0 1 1 1 11 1 0 1 0 01 1 1 1 1 1所以公式类型为可满足式4.用等值演算法证明下面等值式：(2)(pf q) A (p-*r) <=> (p~* (qAr))(4)(pA-'q) V (-^pAq) <=> (pVq) A(pAq)证明(2) (p-*q) A (p~*r)<=> (-'pVq) A (-'pVr)<=> -'pV (qAr))Opf (qAr)(4) (pA_,q)V ("'pAq) O(pV (_,pAq)) /\ (「qV (~>p/\q)<=> (pV -^p) A (pVq) A (-'qV -^P) /XGqVq)Ol/\ (pVq) A -1 (pAq) Al<=> (pVq) A (pAq)5.求下列公式的主析取范式及主合取范式，并求成真赋值(1)(「pf q) —(「qVp)(2)「(pf q) AqAr(3)(pV (qAr)) -* (pVqVr)解：(1)主析取范式(「pf q) C-1 v)O-!(v)v(-w)'V)O (—>A_1)V (-1A)V (~'A_1)V(A)V(A-1)O (-1A-1) V(A->)V(A)O w；() v rn2 v0刀(0, 2, 3)主合取范式：(_,p-*Q)-*(_, v)°-(v) v (-v)<^=*> ( ~i A -1 ) V ( -' V )O(-ipv (-> v ) ) A (~'q v (~1 v ))01 A (v ~n)O (\/ -i) O Mion⑴(2)主合取范式为：-1(P-* q) AA<=>_'(_1V)AAO (人一i) /\ 人<=>0所以该式为矛盾式.主合取范式为口(0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)矛盾式的主析取范式为0(3)主合取范式为:(pv ( A )) -* (v v) O-i (pv ( A )) -* (v v)<=>(_'PA (_1V _1))V ( V V )O(-ipv ( V V ) ) A ( (~' V -') ) 7 ( V V ))<=>1A 101所以该式为永真式. 永真式的主合取范式为1 主析取范式为E (0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统P 中构造下面推理的证明： (2)前提：,—I (A ) 结论：->p (4) 前提：TROA 结论：A前提引入 ① 置换② 蕴含等值式 前提引入 ③④拒取式 前提引入 ⑤⑥拒取式证明：(2) ①7八) (2) —1 7 -1 ③-> -1 ④r ⑤ -iq ⑥ T ⑦ —'p (3) 证明(4)：®A前提引入①化简律③O 前提引入 ④O 前提引入⑤O③④等价三段论⑥（T ） 人（T ） ⑤置换 ⑦（T ） ⑥化简⑧q ②⑥假言推理 ⑨T 前提引入 ⑩P⑧⑨假言推理(ID A⑧⑩合取15在自然推理系统P 中用附加前提法证明下面各推理: （1）前提：PT （T ）T 结论：T证明®s附加前提引入 ②T 前提引入 ®P①②假言推理④PT 1 （T ）前提引入 ⑤T ③④假言推理 ⑥q前提引入 ⑦r⑤⑥假言推理16在自然推理系统P 中用归谬法证明下面各推理:（1）前提： T —）—1 V —I 结论：-<P 证明：结论的否定引入前提引入 ©P②p-> —q ③ 一iq①②假言推理④「V 前提引入⑤「r ④化简律@r A ~'s 前提引入⑦r ⑥化简律®TA -ir ⑤⑦合取由于最后一步rA -r是矛盾式，所以推理正确.第四章部分课后习题参考答案3.在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化，并分别讨论个体域限制为(a), (b)条件时命题的真值：(1)对于任意x,均有以-2二(0(x-2).(2)存在x,使得5二9.其中(a)个体域为自然数集合.(b)个体域为实数集合.解：F(x):以-2二(护)6-卩).G(x): 5=9.(1)在两个个体域中都解释为V A F(A),在(a)中为假命题，在⑹中为真命题。
离散数学高等教育出版社配套PPT课件屈婉玲耿素云张立昂
子群判定定理2
定理10.6 （判定定理二） 设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当a,b∈H 有ab1∈H.
证 必要性显然. 只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea1∈H，即a1∈H. 任取a,b∈H，知b1∈H. 再利用给定条件得a(b1) 1∈H，即 ab∈H. 综合上述，可知H是G的子群.
13
10.2 子群与群的陪集分解
定义10.5 设G是群，H是G的非空子集， (1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作
H≤G. (2) 若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作
H<G.
例如 nZ (n是自然数) 是整数加群<Z,+> 的子群. 当n≠1时, nZ是Z的真子群.
11
实例
例 5 设G是群，a,b∈G是有限阶元. 证明
(1) |b1ab| = |a|
(2) |ab| = |ba|
证 (1) 设 |a| = r，|b1ab| = t，则有
(b1ab)r (b1ab)(b1ab)...(b1ab)
r个
b1arb b1eb e
从而有t | r. 另一方面，由 a = (b1)1(b1ab)b1可知 r | t. 从而 有 |b1ab| = |a|.
实例： <Z,+>和<R,+>是无限群，<Zn,>是有限群，也是 n 阶群. Klein四元群是4阶群. <{0},+>是平凡群. 上述群都是交换群，n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法 构成的群是非交换群.
5
群中元素的幂
离散数学第三版[屈婉玲，耿素云，张立昂编著]2014年版
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离散数学第三版[屈婉玲，耿素云，张立昂编著]2014年版离散数学第三版作者：屈婉玲，耿素云，张立昂著出版时间：2014丛编项： 21世纪大学本科计算机专业系列教材内容简介《离散数学（第3版）/21世纪大学本科计算机专业系列教材》是参照ACM和IEEE最新推出的Computing CurricuLa，根据教育部高等学校计算机科学与技术教学指导委员会最新编制的“高等学校计算机科学与技术专业规范”中制定的关于离散数学的知识结构和体系撰写的.全书共14章，内容包含证明技巧、数理逻辑、集合与关系、函数、组合计数、图和树、初等数论、离散概率、代数系统等，《离散数学（第3版）/21世纪大学本科计算机专业系列教材》体系严谨，文字精练，内容翔实，例题丰富，注重与计算机科学技术的实际问题相结合，并选配了大量难度适当的习题，适合教学.另外，《离散数学（第3版）/21世纪大学本科计算机专业系列教材》有配套的习题解答与学习指导等教学辅导用书，以及用于课堂教学的PPT演示文稿和在线数字资源等，以满足教学需要。
本书适合作为高等学校计算机及相关专业本科生“离散数学”课程的教材，也可以作为对离散数学感兴趣的人员的入门参考书。
目录第1章数学语言与证明方法1.1 常用的数学符号1.1.1 集合符号1.1.2 运算符号1.1.3 逻辑符号1.2 集合及其运算1.2.1 集合及其表示法1.2.2 集合之间的包含与相等1.2.3 集合的幂集1.2.4 集合的运算1.2.5 基本集合恒等式及其应用1.3 证明方法概述1.3.1 直接证明法和归谬法1.3.2 分情况证明法和构造性证明法1.3.3 数学归纳法1.4 递归定义习题第2章命题逻辑2.1 命题逻辑基本概念2.1.1 命题与联结词2.1.2 命题公式及其分类2.2 命题逻辑等值演算2.2.1 等值式与等值演算2.2.2 联结词完备集2.3 范式2.3.1 析取范式与合取范式2.3.2 主析取范式与主合取范式2.4 推理2.4.1 推理的形式结构2.4.2 推理的证明.2.4.3 归结证明法2.4.4 对证明方法的补充说明习题第3章一阶逻辑3.1 一阶逻辑基本概念3.1.1 命题逻辑的局限性3.1.2 个体词、谓词与量词3.1.3 一阶逻辑命题符号化3.1.4 一阶逻辑公式与分类3.2 一阶逻辑等值演算3.2.1 一阶逻辑等值式与置换规则3.2.2 一阶逻辑前束范式习题第4章关系4.1 关系的定义及其表示4.1.1 有序对与笛卡儿积4.1.2 二元关系的定义4.1.3 二元关系的表示4.2 关系的运算4.2.1 关系的基本运算4.2.2 关系的幂运算4.3 关系的性质4.3.1 关系性质的定义和判别4.3.2 关系的闭包4.4 等价关系与偏序关系4.4.1 等价关系4.4.2 等价类和商集4.4.3 集合的划分4.4.4 偏序关系4.4.5 偏序集与哈斯图习题第5章函数5.1 函数的定义及其性质5.1.1 函数的定义……第6章图第7章树及其应用第8章组合计数基础第9章容斥原理第10章递推方程与生成函数第11章初等数论第12章离散概率第13章初等数论和离散概率的应用第14章代数系统参考文献。
2019离散数学-耿素云PPT(第5版)1.1-2.ppt
p q
p q p q
q p q p p q q p q p
18
注意： pq 与 qp 等值（真值相同）
联结词与复合命题(续)
5. 等价式与等价联结词“” 定义 设p，q为二命题，复合命题 “p当且仅当q”称 作p与q的等价式，记作pq. 称作等价联结词. 并规定pq为真当且仅当p与q同时为真或同时为 假. 说明: (1) pq 的逻辑关系:p与q互为充分必要条件
解令 (1) (2) (3) p：王晓用功，q：王晓聪明，则 p∧ q p∧ q p∧ q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 . 说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是 一个简单命题.
15
联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q 为二命题，复合命题 “如果 p, 则 q”
称作 p 与 q 的蕴涵式，记作 pq ，并称 p 是蕴涵式
的前件， q 为蕴涵式的后件 . 称作蕴涵联结词，
并规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
16
联结词与复合命题(续)
6
命题与真值
命题: 判断结果惟一的陈述句 命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题 注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题 陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是 命题
7
例 下列句子中那些是命题？
(1)
2 是无理数.
真命题 假命题 真值不确定 疑问句 感叹句
离散数学 屈婉玲第2版ppt(1)
(6) a能被4整除，仅当a能被2整除。
rs 真值:1
(7) 除非a能被2整除，a才能被4整除。 rs 真值:1 (8) 除非a能被2整除，否则a不能被4整除。 rs 真值:1
(9) 只有a能被2整除，a才能被4整除。 rs 真值:1
(10) 只有a能被4整除，a才能被2整除。 sr 与a有关
假命题 真命题 不是命题 不是命题 不是命题 不是命题 命题，但真值现在不知道
假命题 真命题 不是命题
School of Software
6
1.1 命题与联结词
软件学院
二. 命题分类
简单命题: 由简单句构成, 不能再分解成更简单的命题。 复合命题: 由简单命题和联结词构成。
三. 简单命题符号化
用小写英文字母 p, q, r, …, pi, qi, ri (i1)表示简单命题
School of Software
9
1.1 命题与联结词
软件学院
4. 蕴涵联结词
注意:
(1) pq 的逻辑关系: p为q的充分条件；q为p的必要条件。 (2) pq 的多种表达方式:
充分式: 只要 p 就 q 如果 p 就 q p为q的充分条件, pq 因为 p 所以 q
必要式: 只有 q 才 p
仅当 q 才 除非 q 才
p q为 p 的必要条件, pq p
除非 q 否则非 p
(3) 常出现的错误: 不分充分与必要条件
Northeast Petroleum University
School of Software 10
1.1 命题与联结词
软件学院
例5 设 p：天冷，q：小王穿羽绒服，将下列命题符号化
(1) 如果3+3＝6，则雪是白的。 (2) 如果3+3≠6，则雪是白的。 (3) 如果3+3＝6，则雪不是白的。 (4) 如果3+3≠6，则雪不是白的。
屈婉玲离散数学(课堂PPT)
主要内容 推理的形式结构 推理的正确与错误 推理的形式结构 判断推理正确的方法 推理定律 自然推理系统P 形式系统的定义与分类 自然推理系统P 在P中构造证明:直接证明法、附加前提证明法、归谬法
1
3.1 推理的形式结构
所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程。
5
推理定律——重言蕴涵式
1. A (AB)
附加律
2. (AB) A
化简律
3. (AB)A B
假言推理
4. (AB)B A
拒取式
5. (AB)B A
析取三段论
6. (AB)(BC) (AC)
假言三段论
7. (AB)(BC) (AC)
等价三段论
8. (AB)(CD)(AC) (BD)
构造性二难
(3) 证明
① rs
前提引入
② s
前提引入
③ r
①②拒取式
④ (pq)r 前提引入
⑤ (pq)
③④拒取式
⑥ pq
⑤置换
12
附加前提证明法
附加前提证明法 适用于结论为蕴涵式
欲证
前提：A1, A2, …, Ak 结论：CB
等价地证明
前提：A1, A2, …, Ak, C 结论：B
理由：
(A1A2…Ak)(CB)
前提：A1, A2, … , Ak 结论：B 做法 在前提中加入B，推出矛盾. 理由
A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB) (A1A2…AkB)0 A1A2…AkB0
16
归谬法实例
例4 前提：(pq)r, rs, s, p
结论：q
证明 用归缪法
①q
离散数学PPT【共34张PPT】
18.4 点着色
定义17.9 (1) 图G的一种点着色——给图G的每个顶点涂上一种颜色，
使相邻顶点具有不同颜色 (2) 对G进行k着色（G是k-可着色的）——能用k种颜色给G
的顶点着色 (3) G的色数(G)=k——G是k-可着色的，但不是(k1)-可着色
的.
16
关于顶点着色的几个简单结果
定理17.19 (G)=1当且仅当G为零图 定理17.20 (Kn)=n 定理17.21 若G为奇圈或奇阶轮图，则(G)=3，若G为偶阶轮 图，则(G)=4. 定理17.22 若G的边集非空，则(G)=2当且仅当G为二部图.
路径 (7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成的G中圈
上图中，只有第一个图存在完美匹配
8
可增广路径及交错圈
(1)
(2)
(3)
设红色边在匹配M中，绿色边不在M中，则图(1)中的两条路 径均为可增广的交错路径；(2)中的全不是可增广的交错路 径；(3)中是一个交错圈. 不难看出，可增广交错路径中，不在M中的边比在M中的边 多一条. 交错圈一定为偶圈.
立集 (3) 最大点独立集——元素最多的点独立集 (4) 点独立数——最大点独立集中的元素个数，记为0
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2, 3.
(3)
2
极大独立集与极小支配集
定理18.1 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大点独立集都是 极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大点独立集，证明它也是支配集.
定理17.28 偶圈边色数为2，奇圈边色数为3. 定理17.29 (Wn) = n1, n4. 定理17.30 二部图的边色数等于最大度. 定理17.31 n为奇数（n1）时，(Kn)=n；
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特异元素：单位元、零元
定义14.7-9 设◦为S上的二元运算, (1) 如果存在el (或er)S，使得对任意 x∈S 都有
el◦x = x (或 x◦er = x)， 则称el (或er)是S中关于◦运算的左(或右)单位元. 若e∈S关于◦运算既是左单位元又是右单位元，则称e为S上 关于◦运算的单位元. 单位元也叫做幺元.
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问和交
实例
Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实 矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|2
实例
Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实 矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，|A|2
定义14.5-6 设◦和∗为S上两个不同的二元运算, (1) 若对任意x,y,z∈S有 (x∗y)◦z=(x◦z)∗(y◦z)，
z◦(x∗y)=(z◦x)∗(z◦y), 则称◦运算对∗运算满足分配律. (2) 若和∗都可交换,且对任意x,y∈S有 x◦(x∗y)=x，x∗(x◦y)=x,
则称◦和∗运算满足吸收律.
(2) 如果存在 l (或 r)∈S，使得对任意 x∈S 都有 l ◦x = l (或 x◦ r = r)，
则称 l (或 r)是S 中关于◦运算的左(或右)零元. 若 ∈S 关于◦运算既是左零元又是右零元，则称为S上关
于运算◦的零元.
可逆元素和逆元
(3) 设◦为S上的二元运算, 令e为S中关于运算的单位元.
的逆元
实例
消去律
定义14.10 设∘为S上的二元运算，如果对于任意的 x, y, zS 满足以下条件：
(1) 若x∘y=x∘z且x，则y=z； (2) 若y∘x=z∘x且x，则y=z； 称◦运算满足消去律，其中(1)为左消去律，(2)为右消去律．
注意被消去的 x 不能是运算的零元 ．
整数集合上的加法和乘法满足消去律． P(S)上的并和交一般不满足消去律. 对称差运算满足消去
..
……
..
……
..
……
aann aannaa11 aannaa22 …… aannaann
二元运算的运算表
aai i aa11 aa11 aa22 aa22 .. .. .. .. .. .. aann aann
一元运算的运算表
运算表的实例
例2 设 S=P({a,b})，S上的和 ∼运算的运算表如下
{a} {a}{b} {b{}a,b{}a,b} x x ∼x ∼x {a} {a}{b} {b}{a,b{}a,b} {a,b{}a,b} {a} {a} {a} {a} {a.b{}a.b{}b} {b} {a} {a} {a} {a} {b} {b} {b} {b{}a,b{}a,b} {a} {a} {b} {b} {b} {b} {a,b{}a,b}{a,b{}a,{bb}} {b}{a} {a} {a,b{}a,b}
二元运算的性质
定义14.2-4 设◦为S上的二元运算, (1) 若对任意x,y∈S 有 x◦y=y◦x, 则称运算在S上满足交换律. (2) 若对任意x,y,z∈S有 (x◦y)◦z=x◦(y◦z), 则称运算在S上满足结
合律. (3) 若对任意x∈S 有 x◦x=x, 则称运算在S上满足幂等律.
x, y∈R, x ∗ y = x. 那么 3∗4 = 3， 0.5∗(3) = 0.5
运算表
运算表：表示有穷集上的一元和二元运算
aa11 aa22 …… aann
aa11 aa11aa11 aa11aa22 …… aa11aann
aa22 aa22aa11 aa22aa22 …… aa22aann
例1 (1) 自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算，但 减法和除法不是． (2) 整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算， 而除法不是．求一个数的相反数是Z上的一元运算. (3) 非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，而 加法和减法不是．求倒数是R*上的一元运算.
实例
(4) 设Mn(R)表示所有n 阶(n≥实矩阵的集合，即
Mn(R)aaan 12111
a12 a22
an2
a1n a2n
ann
aijR, i,j1,2,..n.,
矩阵加法、乘法是Mn(R)上的二元运算. 转置是一元运算.
(5) S为任意集合，则∪、∩、－、 为P(S)上二元运算. 运算 为一元运算.
(6) SS为S上的所有函数的集合，则合成运算为SS上二元运算. 求反函数不一定是一元运算.
对于x∈S，如果存在yl (或yr)∈S使得 yl◦x=e（或x◦yr=e）
则称yl (或 yr)是x的左逆元（或右逆元）. 关于◦运算，若y∈S 既是 x 的左逆元又是 x 的右逆元，则称 y为x的逆元. 如果 x 的逆元存在，就称 x 是可逆的.
可以证明： 对于给定二元运算，单位元或零元如果存在，则是唯一的. 对于可结合的二元运算，给定元素若存在逆元，则是唯一
律, A,B,CP(S)，都有 AB=ACB=C BA=CAB=C
代数系统
定义14.11 非空集合S和S上k个一元或二元运算f1,f2,…, fk组 成的系统称为代数系统, 简称代数，记做<S, f1, f2, …, fk>. 实例： (1) <N,＋>,<Z,＋,·>,<R,＋,·>是代数系统，+和·分别表示普通
二元与一元运算的表示
1．算符 可以用◦, ∗, ·, , , 等符号表示二元或一元运算，称为算符. 对二元运算◦，如果 x 与 y 运算得到 z，记做 x◦y = z 对一元运算, x的运算结果记作x.
2．表示二元或一元运算的方法: 解析公式和运算表 公式表示 例 设R为实数集合，如下定义R上的二元运算∗：
离散数学屈婉玲第十四章
第十四章 代数系统简介
主要内容 二元运算及其性质 一元和二元运算定义及其实例 二元运算的性质 代数系统 代数系统定义及其实例 子代数 积代数 代数系统的同态与同构
14.1 代数系统的基本概念
定义14.1 设S为集合，函数f：SSS 称为S上的二元运算， 简称为二元运算．函数 f:S→S 称为S上的一元运算，简 称一元运算. S 中任何元素都可以进行运算，且运算的结果惟一． S 中任何元素的运算结果都属于 S，即 S 对该运算封闭．