材料力学练习册答案

第二章 轴向拉伸和压缩2.1 求图示杆11-、22-、及33-截面上的轴力。

解：11-截面，取右段如)(a 由0=∑x F ，得 01=N F22-截面，取右段如)(b由0=∑x F ，得 P F N -=233-截面，取右段如)(c由0=∑x F ，得 03=N F2.2 图示杆件截面为正方形，边长cm a 20=，杆长m l 4=，kN P 10=，比重3/2m kN =γ。

在考虑杆本身自重时，11-和22-截面上的轴力。

解：11-截面，取右段如)(a 由0=∑xF，得kN la F N 08.04/21==γ22-截面，取右段如)(b由0=∑xF，得kN P la F N 24.104/322=+=γ2.3 横截面为210cm 的钢杆如图所示，已知kN P 20=，kN Q 20=。

试作轴力图并求杆的总伸长及杆下端横截面上的正应力。

GPa E 200=钢。

解：轴力图如图。

杆的总伸长：m EA l F l N59102001.0102001.02000022-⨯-=⨯⨯⨯-⨯==∆ 杆下端横截面上的正应力：MPa A F N 20100020000-=-==σ 2.4 两种材料组成的圆杆如图所示，已知直径mm d 40=，杆的总伸长cm l 21026.1-⨯=∆。

试求荷载P 及在P 作用下杆内的最大正应力。

（GPa E 80=铜，GPa E 200=钢）。

解：由∑=∆EAl F l N ，得)104010806.0410********.04(1026.16296294---⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=⨯ππP4/4/4/4/)(a )(b )(c 2N1N )(a kNkN 图NF cm cmcm解得： kN P 7.16= 杆内的最大正应力：MPa A F N 3.13401670042=⨯⨯==πσ 2.5 在作轴向压缩试验时，在试件的某处分别安装两个杆件变形仪，其放大倍数各为1200=A k ，1000=B k ，标距长为cm s 20=，受压后变形仪的读数增量为mm n A 36-=∆，mm n B 10=∆，试求此材料的横向变形系数ν（即泊松比）。

解：纵向应变： 0015.012002036-=⨯-=∆=A A A sk n ε 横向应变： 0005.010002010=⨯=∆=B B B sk n ε泊松比为： 31=-=A B εεν2.6 图示结构中AB 梁的变形和重量可忽略不计，杆1为钢质圆杆，直径mm d 201=，GPa E 2001=，杆2为铜质圆杆，直径mm d 252=，GPa E 1002=，试问：⑴荷载P 加在何处，才能使加力后刚梁AB 仍保持水平？ ⑵若此时kN P 30=，则两杆内正应力各为多少？ 解： 2/1Px F N =。

2/)2(2x P F N -=⑴要使刚梁AB 持水平，则杆1和杆2的伸长量相等，有222510041)2(2020045.1⨯⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯⨯ππx P Px 解得：m x 9209.0=⑵ MPa d Px A F N 442029209.03000042/4/22111=⨯⨯⨯⨯===ππσMPa d x P A F N 332520791.13000042/)2(4/22222=⨯⨯⨯⨯=-==ππσ 2.7 横截面为圆形的钢杆受轴向拉力kN P 100=，若杆的相对伸长不能超过20001，应力不得超过MPa 120，试求圆杆的直径。

GPa E 200=钢 解：由强度条件][σ≤AP得 mm P d 6.32101201000004][46=⨯⨯⨯=≥πσπ由刚度条件EAP ll =∆得mm E l Pld 7.35102002000100000449=⨯⨯⨯⨯=∆≥ππ. 则圆杆的直径mm d 36=。

2.8 由两种材料组成的变截面杆如图所示。

AB 、BC 的横截面面积分别为220cm A AB =和210cm A BC =。

若P Q 2=，钢的许用应力MPa 160][1=σ，铜的许用应力MPa 120][2=σ，试求其许用荷载][P 。

解：由钢的强度条件][σ≤AP 得kN A P 1201201000][111=⨯=≤σ 由铜的强度条件][2σ≤AP 得kN A P 1602/16020002/][222=⨯=≤σ 故许用荷载kN P 120][=2.9 结构如图所示，水平梁CD 的刚度很大，可忽略其变形，AB 为一钢杆（GPa E 200=钢），直径cm d 3=，m a 1=，试问：⑴若在AB 杆上装有杠杆变形仪，加力后其读数增量为14.3格（每格代表mm 10001），杠杆仪标距cm s 2=，试问P 为多少？⑵若AB 杆材料的许用应力MPa 160][=σ，试求结构的许用荷载P 及此时D 点的位移。

解：⑴AB 杆的内力为：P F N 2=AB 杆的应变为：41015.72010003.14-⨯=⨯=ε则 kN EA P 5.501015.724302002/42=⨯⨯⨯⨯⨯==-πε⑵ kN A P 55.5616024302/][2=⨯⨯⨯=≤πσAB 杆的应变为： 4108-⨯==EσεAB 杆的变形为： m l l 4108-⨯==∆εD 点的位移为： m l l D 3106.122-⨯==∆=∆ε第三章 扭转3.1 图示圆轴的直径mm d 100=，cm l 50=，m kN M ⋅=71，m kN M ⋅=52，GPa G 82=， ⑴试作轴的扭矩图； ⑵求轴的最大切应力；⑶求C 截面对A 截面的相对扭转角AC ϕ。

解：⑴扭矩图如图。

⑵轴的最大切应力 MPa W T nBC 5.25105000163max =⨯⨯==πτ ⑶C 截面对A 截面的相对扭转角AC ϕrad GI l T GI l T pBC pAB AC 341086.1108200032501000)52(-⨯-=⨯⨯⨯⨯⨯-=+=πϕ3.2 已知变截面圆轴上的m kN M ⋅=181，m kN M ⋅=122。

试求轴的最大切应力和最大相对扭转角。

GPa G 80=解：MPa W T nBC BC 9.488512000163=⨯⨯==πτ MPa W T n AB AB 2.3625.730000163=⨯⨯==πτ MPa BC 9.488max ==ττ m rad GI T p BC BC /244.0580012000324=⨯⨯⨯=='πϕ m rad GI T p AB AB /121.05.780030000324=⨯⨯⨯=='πϕ m rad BC /244.0max='='ϕϕ 3.3 图示钢圆轴（GPa G 80=）所受扭矩分别为m kN M ⋅=801，m kN M ⋅=1202，及m kN M ⋅=403。

已知：cm L 301= ，cm L 702=，材料的许用切应力MPa 50][=τ，许用单位长度扭转角m /25.0][ο='ϕ。

求轴的直径。

解：按强度条件][max max ττ≤=nW T 计算mm T d 20110508000016][16363=⨯⨯⨯=≥πτπ 按强度条件][max max ϕϕ'≤='pGI T 计算mm G T d 8.21925.010801808000032][324924max =⨯⨯⨯⨯⨯='≥πϕπ 故，轴的直径取mm d 220≥mkN ⋅2mkN ⋅30mkN ⋅403.4 实心轴和空心轴通过牙嵌离合器连在一起，已知轴的转速min /100r n =，传递功率kW P 35.7=，MPa 20][=τ。

试选择实心轴的直径1d 和内外径比值为21的空心轴的外径2D 。

解：求扭矩：m N n P T ⋅=⨯==925.70110035.795509550mm T d 3.561020925.70116][163631=⨯⨯⨯=≥πτπ mm T D 6.5715102016925.70116)1]([163634=⨯⨯⨯⨯⨯=-≥πατπ 故，实心轴的直径mm d 3.561≥，空心轴的外径mm D 6.57≥，内径mm d 8.28≥3.5 今欲以一内外径比值为6.0的空心轴来代替一直径为cm 40的实心轴，在两轴的许用切应力相等和材料相同的条件下，试确定空心轴的外径，并比较两轴的重量。

解：要使两轴的工作应力相等，有实空W W =，即3436.01实空）（d d =- cm d d 9.416.01134=-=实空两轴的重量比7024.0406.019.416.01222222=-=-==）（）（实空实空实空d d A A G G 3.6 图示传动轴的转速为min /200r ，从主动轮2上传来的功率是kW 8.58，由从动轮1、3、4和5分别输出kW 4.18、kW 11、kW 05.22和kW 35.7。

已知材料的许用切应力MPa 20][=τ，单位长度扭转角m /5.0][ο=θ，切变模量GPa G 82=。

试按强度和刚度条件选择轴的直径。

解：求扭矩：m N n P T ⋅=⨯==89.105220005.22955095504m N n P T ⋅=⨯==6.8782004.189********， m N n P T ⋅=⨯==7.28072008.58955095502m N n P T ⋅=⨯==25.52520011955095503， m N n P T ⋅=⨯==96.35020035.7955095505 最大扭矩m N T ⋅=1.1929max 按强度条件][maxmax ττ≤=nW T 计算： mm T d 9.7810201.192916][16363=⨯⨯⨯=≥πτπ按刚度条件][max ϕ'≤pGI T 计算： mm G T d 4.725.010821801.192932][324924max =⨯⨯⨯⨯⨯='≥πϕπ故，轴的直径取mm d 9.78≥3.7 图示某钢板轧机传动简图，传动轴直径mm d 320=，今用试验方法测得ο45方向的MPa 89max =σ，问传动轴承受的转矩M 是多少？解：由τσ=max ，则m kN dW M n ⋅=⨯⨯===6.5721689321633πτπτ3.8 空心轴外径mm D 120=，内径mm d 60=，受外力偶矩如图。

m kN M M ⋅==521，m kN M ⋅=163，m kN M ⋅=64。

已知材料的GPa G 80=，许用切应力MPa 40][=τ，许用单位长度扭转角m /2.0][ο=θ。

试校核此轴。