浙江省温岭中学2020届高三3月模拟测试数学试卷(附答案解析)
2020年台州市温岭中学高考数学模拟试卷(二)(3月份)(含答案解析)
2020年台州市温岭中学高考数学模拟试卷(二)(3月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知全集U = {1,2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A = {2,4，6，7}，B = {3,5，6，7，8}，则(∁U A)∩(∁U B)=( )A. {1,9}B. {2,3，4，5，6，7，8}C. {1,2，3，4，5，8，9}D. {1,6，7，9} 2. 已知i 是虚数单位，若z 1−i =i ，则|z|=( )A. √2B. 2C. √3D. 33. 公差不为0的等差数列｛a n ｝中，a 2、a 3、a 6依次成等比数列，则公比等于( )A. 12B. 13C. 2D. 34. “x <2”是“ln(x −1)<0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A. m//α，n//α，则m//nB. m//n ，m//α，则n//αC. m ⊥α，m ⊥β，则α//βD. α⊥γ，β⊥γ，则α//β6. 已知a ，b 均为正实数，且2a +3b =4，则3a +2b 的最小值为( )A. 3B. 6C. 9D. 127. 在平行四边形ABCD 中，∠DAB =120°，|AB|=2，|AD|=1，若E 为线段AB 中点，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 12B. 1C. 32D. 28. 某单位安排甲、乙、丙三入从周一至周六值班，每入值班两天，已知甲不值周一，乙不值周六，那么可以排出不同的值班表共( )A. 42种B. 60种C. 84种D. 90种 9. 已知双曲线C ：x 216−y 2b 2=1(b >0)，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，过F 2的直线l 交C 的左、右支分别于A ，B ，且|AF 1|=|BF 1|，则|AB|=( )A. 4B. 8C. 16D. 3210.已知函数，则下列结论中正确的是()A. 函数f(x)的定义域是B. 函数y=f(x−1)是偶函数C. 函数f(x)在区间上是减函数D. 函数f(x)的图象关于直线x=1轴对称二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.若实数x，y满足约束条件{x+y−1≥0x−3y+3≥0x≤3，则z=2x−y的最大值为______．12.已知在(1−2x)n的展开式中，各项的二项式系数之和是64，则(1+2x)n(1−2x2)的展开式中，x4项的系数是__________．13.已知袋子中有大小相同的红球1个，黑球2个，从中任取2个．设ξ表示取到红球的个数，则Eξ=______，Dξ=______．14.某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为______．15.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，若a=7，A=60°，△ABC的面积为10√3，则△ABC的周长为______ ．16.已知圆C：(x−3)2+(y−4)2=1和两点A(0,m)，B(0,−m)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m取值范围是______ ．17.一个边长为的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，要使方盒的容积最大，x的值应为__________．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数f(x)=2√3sinx⋅cosx+sin2x−cos2x(1)求函数的最小正周期及对称中心；(2)若x∈[0,π]，求函数f(x)最小值以及取最小值时x的值；(3)若f(α2)=12，α∈(0,π)，求cosα．19.如图①，在五边形ABCDE中，ED=EA，AB//CD，CD=2AB，∠EDC=150°，将△EAD沿AD折起到△PAD的位置，得到如图②所示的四棱锥P−ABCD，M为线段PC的中点，且BM⊥平面PCD．(1)求证：BM//平面PAD．(2)若直线PC与AB所成角的正切值为12，求直线BM与平面PDB所成角的正弦值．20.已知数列{a n}的前n项和为S n，并且满足a1=2，na n+1=S n+n(n+1)(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令T n=S n2n，当n≥3时，求证：T n>T n+1．21.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F，抛物线上一点P点横坐标为2，|PF|=3．(1)求抛物线的方程；(2)过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．22.已知函数f(x)=lnx−ax+1．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若a∈(0,1)，求证：f(x)<e x−ax−a(e为自然对数的底数)．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查集合运算，属基础题．根据补集，交集定义运算即可．解：因为全集U={1,2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={2,4，6，7}，B={3,5，6，7，8}，所以∁U A={1,3,5,8,9}，∁U B={1,2,4,9}，所以(∁U A)∩(∁U B)={1,9}，故选A．2.答案：A解析：本题考查复数的运算法则、模的计算公式，考查计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解：∵z1−i=i，z=i(1−i)=i+1，则|z|=√12+12=√2．故选A．3.答案：D解析：本题考查等差数列和等比数列的性质和通项公式，属基础题．解：设等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，由题意可得(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d)，解得a1=−12d，故a 2=a 1+d=12d，a 3=a 1+2d=32d，故公比为a3a2=32d12d=3．故选D．4.答案：B解析：解：由ln(x−1)<0，得：0<x−1<1，解得：1<x<2，故x<2是1<x<2的必要不充分条件，故选：B．根据对数函数的性质结合集合的包含关系判断即可．本题考查了乘法不要条件，考查对数函数的性质，是一道基础题．5.答案：C解析：本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，是基础题．对每个选项，利用线面平行的关系判断线线平行，线面平行，面面平行的判定方法，可得结论．解：对于A，平行于同一平面的两条直线可能相交，平行或异面，故A不正确；对于B，m//n，m//α，则n//α或n⊂α，故B不正确；对于C，利用垂直于同一直线的两个平面平行，可知C正确；对于D，因为垂直于同一平面的两个平面的位置关系是相交或平行，故D不正确．故选C．6.答案：B解析：本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三相等，考查运算能力，属于基础题．解：∵2a+3b=4，∴由基本不等式可得3a +2b=14(3a+2b)(2a+3b)=14(12+9ba+4ab)≥14(12+2√9ba×4ab)=6，当且仅当9ba =4ab，且2a+3b=4，即a=1,b=23时，等号成立，故3a +2b 的最小值为6，故选B ． 7.答案：C解析：本题考查平面向量的坐标运算及数量积运算，画出图形，建立坐标，求出相关点的坐标，通过向量的数量积求解即可． 解： 在平行四边形ABCD 中，∠DAB =120°，|AB|=2，|AD|=1，E 为线段AB 中点， 建立如图所示的坐标系，则B(1,√3)，A(0,0)，D(−1,0)，则E(12,√32)，可得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,√32)， 则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3×√32=32． 故选C ．8.答案：A解析：解：根据题意分两种情况讨论：①、当甲排在星期六，有C 41C 42=24种排法； ②、当甲不排在星期六，有C 42C 32=18种排法； ∴值班方案种数为24+18=42种；故选：A ．根据题意，分为两类情况讨论：甲排在星期六，有C 41C 42种排法，甲不排在星期六，则甲从星期二到星期五之间选一天，有C 42种选法，再排乙，不能安排在星期六，所以从剩下的3天中选2天，有C 32种选法，最后排丙，再把两类相加即可．本题考查了计数原理、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：C解析：本题考查双曲线的定义和方程，属于基础题．求得双曲线的a=4，设|AF1|=|BF1|=m，运用双曲线的定义可得|AB|=4a，即可得到所求值．解：由双曲线C：x216−y2b2=1(b>0)可得a=4，设|AF1|=|BF1|=m，由双曲线的定义可得|AF2|=|AF1|+2a=2a+m，|BF2|=|BF1|−2a=m−2a，可得|AB|=|AF2|−|BF2|=2a+m−(m−2a)=4a=16．故选：C．10.答案：B解析：本题考查对数函数的图象和性质，主要是定义域、奇偶性和单调性、对称性，考查化简变形能力和运算能力，属于基础题．由对数的运算性质及真数大于0，可判断A，由偶函数的定义可判断B，由函数的单调性可判断C，由f(2−x)与f(x)的关系可判断D．解：函数f(x)=log12(2−x)−1og2(x+4)=−log2(2−x)−log2(x+4)=−log2(2−x)(4+x)，由2−x>0，x+4>0，可得−4<x<2，即函数f(x)的定义域为(−4,2)，故A错误；由y =f(x −1)=−log 2(3−x)(3+x)=−log 2(3−x 2)，定义域为(−3,3)，且f(−x −1)=f(x −1)，即y =f(x −1)为偶函数，故B 正确；由x ∈[−1,2)，f(−1)=−log 29，f(0)=−log 28，即f(−1)<f(0)，故C 错误；由f(2−x)=−log 2x(6−x)≠f(x)，可得f(x)的图象不关于直线x =1对称，故D 错误．故选B ．11.答案：8解析：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z =2x −y 的最大值． 解：由z =2x −y ，得y =2x −z ，作出实数x ，y 满足约束条件{x +y −1≥0x −3y +3≥0x ≤3对应的可行域(阴影部分)，平移直线y =2x −z ，由平移可知当直线y =2x −z 经过点A 时，直线y =2x −z 的截距最小，此时z 取得最大值，由{x =3x +y −1=0，解得A(3,−2)， 将C 的坐标代入z =2x −y ，得z =8，即目标函数z =2x −y 的最大值为8．故答案为：8．12.答案：120解析：2n =64，所以n =6．T r+1=C 6r (2x)r =C 6r 2r ⋅x r ，令r =4，则T 5=C 6424⋅x 4=240x 4，令r =2，则T 3=C 6222x 2=60x 2，x 4项为240x 4×1−60x 2×2x 2=120x 4，故x 4项的系数为120．13.答案：23；29 解析： ξ表示取出的2个球中红球的个数，则ξ的所有可能取值为0、1，得到概率，然后求出期望与方差． 解：ξ可取0、1，且P(ξ=0)=13，P(ξ=1)=23，所以Eξ=0×13+1×23=23．Dξ=(0−23)2×13+(1−23)2×23=29．故答案为：23；29． 14.答案：12+4√2解析：解：根据三视图作出该三棱柱的直观图，其中底面是直角边长为2的等腰直角三角形，故该三棱柱的表面积S =12×2×2×2+2×2×2+2×2√2=12+4√2．故答案为：12+4√2．由已知得到几何体为平放的三棱柱，根据图中数据计算表面积．本题考查了由几何体的三视图求几何体的表面积；关键是正确还原几何体． 15.答案：20解析：解：∵S△ABC=12bcsinA=12bcsin60°=10√3，∴bc=40，由余弦定理知：a2=b2+c2−2bccosA，从而有49=b2+c2−bc，解得b2+c2=89，∴(b+c)2=b2+c2+2bc=89+80=169，从而解得b+c=13．∴△ABC的周长为：13+7=20．故答案为：20．由S△ABC=12bcsinA=12bcsin60°=10√3，可解得bc=40，由余弦定理知：a2=b2+c2−2bccosA，从而解得b2+c2=89，从而(b+c)2=b2+c2+2bc=169，从而解得b+c=13，即可求得周长．解决三角形问题，正、余弦定理是我们常用的定理，利用余弦定理，通常需知道三角形的两边及其夹角或已知三边，本题属于基本知识的考查．16.答案：[4,6]解析：解：圆C：(x−3)2+(y−4)2=1的圆心C(3,4)，半径为1，∵圆心C到O(0,0)的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB=90°，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=12AB=m，故4≤m≤6，∴m取值范围是[4,6]．故答案为：[4,6]．根据圆心C到O(0,0)的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB=90°，可得PO=12AB=m，从而得到实数m的取值范围．本题考查直线与圆、圆与圆位置关系的应用，考查数形结合思想，是中档题．17.答案：解析：由题意，方盒的高xcm，长、宽都是(12−2x)cm，∴V=(12−2x)2×x=4(6−x)2×x，∵2x+(6−x)+(6−x)≥3√2x(6−x)23，∴(6−x)2×x≤32(当且仅当6−x=2x，即x=2时取等号)，时，方盒的容积最大．18.答案：解：(1)∵f(x)=2√3sinx⋅cosx+sin2x−cos2x=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，∴函数的最小正周期T=2π2=π，令2x−π6=kπ，k∈Z，解得x=12kπ+π12，k∈Z，∴函数的对称中心为(12kπ+π12,0)，k∈Z．(2)∵x∈[0,π]，∴2x−π6∈[−π6,11π6]，∴sin(2x−π6)∈[−1,1]，∴f(x)=2sin(2x−π6)∈[−2,2]，可得函数f(x)最小值为−2，取最小值时x的值为；(3)∵f(α2)=12，α∈(0,π)，∴2sin(α−π6)=12，可得sin(α−π6)=14∈(0,12)，∵α−π6∈(−π6,5π6)，∴α−π6∈(0,π6)，可得cos(α−π6)=√1−sin2(α−π6)=√154，∴cosα=cos[(α−π6)+π6]=cos(α−π6)cosπ6−sin(α−π6)sinπ6=√154×√32−14×12=3√5−18．解析：(1)由二倍角公式，两角差的正弦函数公式化简可得函数解析式f(x)=2sin(2x−π6)，利用正弦函数的性质可求函数的最小正周期，函数的对称中心．(2)由x∈[0,π]，可求范围2x−π6∈[−π6,11π6]，利用正弦函数的性质可求f(x)最小值以及取最小值时x的值．(3)由已知可求sin(α−π6)=14∈(0,12)，可得范围α−π6∈(0,π6)，利用同角三角函数基本关系式可得cos(α−π6)的值，利用两角和的余弦函数公式即可求解cosα的值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.答案：解：(1)证明：取PD的中点N，连接AN，MN．又M 为PC 的中点，所以MN//CD ，MN =12CD ． 又AB//CD ，AB =12CD ，所以MN//AB ，MN =AB ． 则四边形ABMN 为平行四边形，所以AN//BM ． 因为BM ⊄平面PAD ，AN ⊂平面PAD ， 所以BM//平面PAD ．(2)解：因为BM ⊥平面PCD ，AN//BM ， 所以AN ⊥平面PCD ，所以AN ⊥PD ，AN ⊥CD ．由ED =EA ，即PD =PA 及N 为PD 的中点，可得△PAD 为等边三角形，所以∠PDA =60°． 又∠EDC =150°，所以∠CDA =90°，即CD ⊥AD ．因为AD ⊂平面PAD ，AN ⊂平面PAD ，AD ∩AN =A ，所以CD ⊥平面PAD ． 又CD ⊂平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ． 因为AB//CD ，所以∠PCD 即为直线PC 与AB 所成的角， 所以tan∠PCD =PDCD =12，所以CD =2PD ． 设PD =1，则CD =2，PA =AD =AB =1．取AD 的中点O ，连接PO ，过O 作OF//AB 交BC 于点F ，则PO ，OF ，OA 两两垂直．以O 为坐标原点，OA ，OF ，OP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．则D(−12,0，0)，B(12,1，0)，C(−12,2，0)，P(0,0，√32)，所以M(−14,1，√34).所以DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1，−√32)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−34,0，√34). 设平面PDB 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{x +y =012x +y −√32z =0， 令x =3，则n ⃗ =(3,−3,−√3).因为cos <n ⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=n⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗⃗ ||BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√21×√32=−2√77． 所以直线BM 与平面PDB 所成角的正弦值为2√77．解析：(1)取PD 的中点N ，连接AN ，MN ，可证四边形ABMN 为平行四边形，从而应用线面平行的判定定理证得结果；(2)设PD =1，取AD 的中点O ，连接PO ，过O 作AB 的平行线，建立空间直角坐标系O −xyz ，求出平面PBD 的法向量n ⃗ ，计算法向量与BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角得出结论．该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，应用向量法求线面角的正弦值的问题，属于中档题目．20.答案：(1)解：∵na n+1=S n +n(n +1)，a n+1=S n+1−S n ，∴nS n+1−(n +1)S n =n(n +1)，两边同时除以n(n +1)，得：Sn+1n+1−S n n=1，∵S 11=a 11=2，∴{Sn n }为等差数列，公差d =1，首项为2，∴S n n=2+n −1=n +1，∴S n =n(n +1)∴a n =S n −S n−1=[n(n +1)]−((n −1)n]=2n,把n =1代入验证，满足，∴a n =2n ． (2)证明：∵T n =Sn 2n=n 2+n 2n，∴T n −T n+1=n 2+n 2n −(n +1)2+(n +1)2n+1=2n 2+2n 2n+1−n 2+3n +22n+1 =n 2−n −22n+1=(n−12)2−942n+1，由(n −12)2−94≥0，得n ≥2， ∴当n ≥2时，T n ≥T n+1, 则当n ≥3时，也满足T n >T n+1．解析：(1)由已知条件推导出nS n+1−(n +1)S n =n(n +1)，两边同时除以n(n +1)，得：Sn+1n+1−S n n=1，从而得到S n =n(n +1)，由此能求出a n =2n ． (2)由T n =Sn 2n =n 2+n 2n，得到T n −T n+1=n 2+n 2n −(n+1)2+(n+1)2n+1=(n−12)2−942n+1，由此能证明当n ≥3时，T n >T n+1．本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意作差法比较大小的合理运用．21.答案：解：(1)由抛物线定义可知，|PF|=2+p2=3，∴p=2．∴抛物线的方程为y2=4x．(2)由p2=1，得F(1,0)．∵倾斜角为30°，∴直线AB的斜率为√33．∴过A，B的直线方程为y=√33(x−1)，联立y2=4x得y2−4√3y−4=0．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=4√3，y1·y2=−4．∴S△OAB=S△OAF+S△OFB=12|y1−y2|=12√48+16=4．解析：本题考查抛物线定义的运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想，涉及直线与圆锥曲线关系问题，常采用联立直线与圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，属于中档题．(1)先求抛物线y2=2px(p>0)的准线方程，根据抛物线的定义，将抛物线y2=2px上横坐标为2的点到焦点的距离等于3，转化为点到准线的距离为3，即可求得结论．(2)由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB 的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．22.答案：(1)解：f′(x)=1x −a=1−axx(x>0)，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)=lnx−ax+1在(0,+∞)单调递增，当a>0时，x∈(0,1a)时，f′(x)>0，x∈(1a,+∞)时f′(x)<0，f(x)=lnx−ax+1在(0,1a )单调递增，在(1a,+∞)单调递减．综上所述，当a≤0时，f(x)只有增区间为(0,+∞)．当a>0时，f(x)的增区间为(0,1a )，减区间为(1a,+∞)．(2)证明：f(x)<e x−ax−a等价于e x−lnx−a−1>0．令g(x)=e x−lnx−a−1，而g′(x)=e x−1x在(0,+∞)单调递增，且g′(1)=e−1>0，g′(12)=e12−2<0．令g′(t)=0，即e t=1t(0<t<1)，lnt=−t，则x∈(0,t)时，g′(x)<g′(t)=0，x∈(t,+∞)时，g′(x)>g′(t)=0，故g(x)在(0,t)单调递减，在(t,+∞)单调递增，所以g(x)≥g(t)=e t−lnt−a−1=1t+t−a−1≥2−a−1=1−a，因为a∈(0,1)，所以1−a>0，即g(x)>0，即f(x)<e x−ax−a．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性、不等式的证明等知识，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力、属于较难题．(1)写出函数f(x)的定义域，求出f′(x)，分a≤0，a>0两种情况讨论，通过解不等式f′(x)>0，f′(x)<0可得单调区间；(2)f(x)<e x−ax−a等价于e x−lnx−a−1>0，构造函数g(x)=e x−lnx−a−1，求导，可得g(x)≥g(t)=e t−lnt−a−1，即可证明．。
浙江省台州市温岭中学2020届高三下学期数学3月模拟测试试卷
浙江省台州市温岭中学2020届高三下学期数学3月模拟测试试卷一、单选题（共10题；共20分）1.设集合，，，则（）A. B. C. D.2.已知x,y是非零实数，则“ ”是“ ”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则C的离心率为（）A. B. C. D.4.如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的体积（）A. B. C. D.5.若x，y满足叫，且，则的最小值为（）A. B. C. D.6.若函数是奇函数，则使的x的取值范围为（）A. B. C. D.7.已知，随机变量，n的分布列如表所示，则（）A. ，B. ，C. ，D. ，8.如图，在直角梯形中，，，，为中点，M，N分别为，的中点，将沿折起，使点D到，M到，在翻折过程中，有下列命题：① 的最小值为；② 平面；③存在某个位置，使；④无论位于何位置，均有.其中正确命题的个数为（）A. B. C. D.9.已知，，是等差数列中的三项，同时，，是公比为的等比数列中的三项，则q的最大值为（）A. B. C. D. 无法确定10.已知函数在区间上有零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、双空题（共4题；共4分）11.已知若复数( 为虚数单位).若Z是纯虛数，则以为焦点的抛物线的标准方程为________；若，则m=________.12.已知，，动点M满足，则点M的轨迹方程是________；又若，此时的面积为________.13.在二项式的展开式中，所有项系数和为________，展开式中含的项是________.14.记A，B，C为的内角，①若，则________；②若，是方程的两根，则________.三、填空题（共3题；共3分）15.已知正实数满足，的值为________.16.已知P，Q是椭圆上的两点(点Q在第一象限)，若，且直线PM，QM的斜率互为相反数，且，则直线QM的斜率为________.17.已知A，B，C，D，E为半径为1的圆上相异的5点(没有任何两点重合)，这5个点两两相连可得到10条线段，则这10条线段长度平方和的最大值为________.四、解答题（共5题；共55分）18.已知函数.（1）若，，求得值；（2）在中，角，，的对边分别为，，且满足，求的取值范围.19.四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD为正三角形，，E为AD 的中点.（1）证明：平面平面ABCD；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20.数列中，，，且.（1）令，将用表示，并求通项公式；（2）令，求证：.21.如图，已知抛物线的焦点为F.（1）若点P为抛物线上异于原点的任一点，过点P作抛物线的切线交y轴于点Q，证明：.（2）A，B是抛物线上两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点( 不与轴平行)，且.过y轴上一点E作直线轴，且m被以AD为直径的圆截得的弦长为定值，求面积的最大值.22.已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）若在，处导数相等，证明：.（3）若对于任意，直线与函数图象都有唯一公共点，求实数b的取值范围.答案解析部分一、单选题1.【答案】C2.【答案】D3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】D9.【答案】B10.【答案】B二、双空题11.【答案】；12.【答案】；13.【答案】128；14.【答案】；三、填空题15.【答案】16.【答案】117.【答案】25四、解答题18.【答案】（1）解：，由，，可得，所以，，所以（2）解：因为，由正弦定理可得，，从而可得，，即，因为，所以，，所以，所以19.【答案】（1）证明：侧面为正三角形，为的中点，，底面是边长为的正方形，侧面为正三角形，，为的中点.，，，，，平面，平面，平面平面（2）解：以为原点，为轴，过作的平行线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为：20.【答案】（1）解：数列中，，，且..时，.，可得.时成立.（2）解证明：时，..，时也成立.综上可得：21.【答案】（1）证明：由抛物线的方程可得，准线方程：，设，由抛物线的方程可得，所以在处的切线的斜率为：，所以在处的切线方程为：，令，可得，即，所以，而到准线的距离，由抛物线的性质可得所以，，可证得：（2）解：设直线的方程为：，，，直线与抛物线联立，整理可得：，，即，，，，所以AB的中点坐标为：，所以线段AB的中垂线方程为：，由题意中垂线过，所以，即，①由抛物线的性质可得：，所以，即，②设，，的中点的纵坐标为，所以以AD为直径的圆与直线m的相交弦长的平方为：，要使以AD为直径的圆截得的弦长为定值则可得，时相交弦长的平方为定值，即所以E到直线AB的距离为：，而弦长，所以，将①代入可得，设为偶函数，只看的情况即可，令，当，，单调递增；当，，单调递减，所以且上，为最大值，所以的最大值为：22.【答案】（1）解：，所以，所以函数在处的切线方程为：，即（2）解：根据题意得，，即，为方程的根，，解得，所以，，所以，令，，，，，当时，，单调递增.当时，，单调递减.所以，所以，所以（3）解：根据题意得，方程只有一个根，即，只有一个根，令，有唯一零点，当趋近于时，趋近于，趋近于时，趋近于，下面证明恒成立，若存在，使得，所以存在，，使得，，，则与至少有两个交点，矛盾.由对于任意，只有一个解，得为上的增函数，所以，得，令，，则，所以在上单调递增，在上单调递减，，得11 / 11。
专题43 圆锥曲线中角的常见问题的处理(解析版)
专题43 圆锥曲线中角的常见问题的处理一、题型选讲题型一 、由角求圆锥曲线的离心率等基本量问题例1、【2020届北京市西城区师范大学附属实验中学高三摸底数学试题】已知双曲线()22221,0x y a b a b-=>的两条渐近线分别与抛物线24y x =交于第一、四象限的A ，B 两点，设抛物线焦点为F ，若7cos 9AFB ∠=-，则双曲线的离心率为（ ） ABCD．【答案】B【解析】双曲线()22221,0x y a b a b-=>的两条渐近线方程为b y x a =±，由抛物线24y x =和by x a =，联立可得22224444,,,a a a a A B bb b b ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由抛物线的方程可得(1,0)F ，设AF 的倾斜角为α，斜率为224tan 41ab a bα=-，而22222222cos sin 1tan 7cos cos 2cos sin cos sin 1tan 9AFB ααααααααα--∠==-===-++，解得tan α=， 设a t b =，可得2441tt =-2t =，则c e a === 故选：B.例2、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．y =D ．y x =±【答案】B【解析】如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥， 所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF FO c ==， 故而由几何性质可得160AFO ∠=，即260MOF ∠=，故渐近线方程为y =， 故选B.例3、（多选题）（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2C y px=(0)p >的焦点为F ，准线为l.设l 与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，EPF∠的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作QN PE ⊥交EP 的延长线于N ，作QM PF ⊥交线段PF 于点M ，则（ ）A ．||||PE PF =B ．||||PF QF =C ．||||PN MF =D ．||||PN KF =【答案】ABD 【解析】由抛物线的定义，PE PF =，A 正确；∵//PN QF ，PQ 是FPN ∠的平分线，∴FQP NPQ FPQ ∠=∠=，∴||||PF QF =，B 正确； 若||||PN MF =，由PQ 是外角平分线，QN PE ⊥，QM PF ⊥得QM QN =，从而有PM PN =，于是有PM FM =，这样就有QP QF =，PFQ ∆为等边三角形，60FPQ ∠=︒，也即有60FPE ∠=︒，这只是在特殊位置才有可能，因此C 错误；连接EF ，由A 、B 知PE QF =，又//PE QF ，EPQF 是平行四边形，∴EF PQ =，显然EK QN =，∴KF PN =，D 正确． 题型二、角度问题的证明例4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠． 【解析】（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1．由已知可得，点A 的坐标为或(1,，所以AM 的方程为2y x =+2y x =． （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <，直线MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--． 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--．将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=．所以21221222422,2121x x x k k k x k -+==++， 则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+． 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠． 综上，OMA OMB ∠=∠．例5、（八省联考数学）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上．当BF AF ⊥时，||||AF BF =．（1）求C 的离心率；（2）若B 在第一象限，证明：2BFA BAF ∠=∠．【解析】（1）设双曲线的半焦距为c ，则(),0F c ，2,b B c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，因为||||AF BF =，故2b ac a=+，故2220c ac a --=，即220e e --=，故2e =.（2）设()00,B x y ，其中00,0x a y >>.因为2e =，故2c a =，b =，故渐近线方程为：y =，所以0,3BAF π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，20,3BFA π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，又0000t n 2a y y BFA x c x a ∠=-=---，00tan y BAF x a∠=+， 所以()()()()0000002222220000020222tan 121y y x a y x a x a BAF x x a y y x a b a x a +++∠===⎛⎫+-⎛⎫+--- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭()()()()()()()0000022222200000022223331y x a y x a y x a x a x x a x a x a a a ++===+--⎛⎫+--+-- ⎪⎝⎭02tan y BFA x a=-=∠-，因为故220,3BAF π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭， 故BFA ∠2BAF =∠.例6、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）如图，已知抛物线214y x =的焦点为F .()1若点P 为抛物线上异于原点的任一点，过点P 作抛物线的切线交y 轴于点Q ，证明：2PFy PQF ∠=∠. ()2A ，B 是抛物线上两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点()0,4D (AB 不与x 轴平行)，且6AF BF +=.过y 轴上一点E 作直线//m x 轴，且m 被以AD 为直径的圆截得的弦长为定值，求ABE△面积的最大值.【解析】()1由抛物线的方程可得()0,1F ，准线方程：1y =-，设200,4x P x ⎛⎫⎪⎝⎭，由抛物线的方程可得2x y '=，所以在P 处的切线的斜率为：02x k =，所以在P 处的切线方程为：()200042x xy x x -=-，令0x =，可得24x y =-，即240,Q x ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，所以2014x FQ =+，而P 到准线的距离214x d =+，由抛物线的性质可得PF d =所以PF FQ =，PQF QPF ∠=∠， 可证得：2PFy PQF ∠=∠.()2设直线AB 的方程为：y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，直线与抛物线联立24y kx mx y =+⎧⎨=⎩，整理可得：2440x kx m --=，216160k m ∆=+>，即20k m +>，124x x k +=，124x x m =-，()21212242y y k x x m k m +=++=+，所以AB 的中点坐标为：()22,2k k m +，所以线段AB 的中垂线方程为：()212(2)y k m x k k-+=--， 由题意中垂线过()0,4D ，所以2224k m ++=，即222k m +=，① 由抛物线的性质可得：1226AF BF y y +=++=， 所以24226k m ++=，即222k m +=，②设()0,E b ，()222114AD x y =+-，AD 的中点的纵坐标为142y +， 所以以AD 为直径的圆与直线m 的相交弦长的平方为：2214442y AD b ⎡⎤+⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()222112114444444y y x b b y ⎡⎤-+=+--++⎢⎥⎢⎥⎣⎦()221111444434y b b y by b y b b ⎡⎤-+-+=-+-⎣⎦⎡⎤⎣⎦，要使以AD 为直径的圆截得的弦长为定值则可得3b =，时相交弦长的平方为定值12，即()0,3E 所以E 到直线AB的距离为：d =而弦长AB ==所以1232EABSAB d =⋅=-将①代入可得2322212ABESk k =-+=+=设()6424472f k k k k =-+++为偶函数，0k >>的情况即可，()()()()5342222416142126722167f k k k k k k k k k k ++=---=-+=--'令()0f k '=，6k =当0k <<()0f k '>，()f k单调递增；当k 6<<()0f k '<，()f k 单调递减，所以(k ∈且0k ≠上，f f ⎛= ⎝⎭⎝⎭为最大值9，所以ABE S的最大值为：212+=例7、（2020秋•河南月考）已知椭圆E ：+＝1（a ＞b ＞0），直线l ：x +my ﹣1＝0过E 的右焦点F ．当m＝1时，椭圆的长轴长是下顶点到直线l 的距离的2倍．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在定点P ，使得当m 变化时，总有∠OP A ＝∠OPB （O 为坐标原点）？若存在，求P 点的坐标；若不存在，说明理由． 【解析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ，直线l 恒过定点（1，0），所以c ＝1， 当m ＝1时，直线l ：x +y ﹣1＝0，椭圆的下顶点（0，﹣b ）到直线l 的距离d ＝，由题意可得，解得a ＝，b ＝1，所以椭圆的方程为+y 2＝1；（Ⅱ）当m ＝0时，显然在x 轴上存在点P ，使得∠OP A ＝∠OPB ； 当m ≠0时，由消去x ，可得（2+m 2）y 2﹣2my ﹣1＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1+y 2＝，y 1y 2＝﹣，设P （t ，0）满足题设条件， k P A +k PB ＝+＝+＝＝0，则（1﹣t ）（y 1+y 2）﹣2my 1y 2＝0，即2m （1﹣t ）+2m ＝2m （2﹣t ）＝0， t ＝2时，上式恒成立．所以在x 轴上存在点P （2，0）满足题设条件．题型三、由角求参数问题例8、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，F 是其右焦点，直线y kx =与椭圆交于A ，B 两点，8AF BF +=. （1）求椭圆的标准方程；（2）设()3,0Q ，若AQB ∠为锐角，求实数k 的取值范围.【解析】（1）设1F 为椭圆的左焦点,连接1F B ,由椭圆的对称性可知,1AF FB =, 所以128AF BF BF BF a +=+==,所以4a =, 又3c e a==,222a b c =+,解得23c =,2b =,所以椭圆的标准方程为221164x y +=（2）设点1122(,),(,)A x y B x y ,则11(3,)QA x y =-,22(3,)QB x y =-,联立221164x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩,得22(41)160k x +-=, 所以120x x +=,1221641x x k -=+,因为AQB ∠为锐角,所以0QA QB ⋅>, 所以1212(3)(3)QA QB x x y y ⋅=--+12121293()x x x x y y =-+++2121293()(1)x x k x x =-+++ 2216(1)9041k k +=->+, 解得k >k <例9、（江苏省徐州市2021届高三第一学期期中考试）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a＞b ＞0)的右焦点为F(1，0)，且过点(1，2)．（1）求椭圆C 的方程；（2）设A 是椭圆C 上位于第一象限内的点，连接AF 并延长交椭圆C 于另一点B ，点P(2，0)，若∠PAB 为锐角，求△ABP 的面积的取值范围．【解析】（1）由题意知，2222111,21,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩解得222,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为2212x y +=．…………………………………………3分 （2）由题意可设直线AF 的方程为1x my =+，联立221,21,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 并整理得，22(2)210m y my ++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12222m y y m +=-+，12212y y m =-+，……5分所以ABP △的面积121||S PF y y =⋅-===， 当且仅当0m =时，取等号，此时PAB ∠为锐角，符合题意．………9分 由PAB ∠为锐角可知，0AF AP ⋅>，即1111(1)(2)0x x y y --+>，即1111(1)0my myy y --+>，即21(1)0m y m +->，解得20m ≤，由函数1y x x =+>． 所以ABP △的面积的取值范围为2．…………………12分二、达标训练1、【2016年新课标2理科11】已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a −y 2b =1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1=13，则E 的离心率为（ ） A ．√2 B ．32 C ．√3D ．2【解析】：由题意，M 为双曲线左支上的点， 则丨MF 1丨=b 2a，丨MF 2丨=√4c 2+(b 2a )2，∴sin ∠MF 2F 1=13，∴b 2a√4c 2+b 4a2=13，可得：2b 4＝a 2c 2，即√2b 2＝ac ，又c 2＝a 2+b 2， 可得√2e 2﹣e −√2=0， e ＞1，解得e =√2． 故选：A ．2、【2018年新课标2理科12】已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为（ ） A ．23B ．12C ．13D ．14【解析】：由题意可知：A （﹣a ，0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 直线AP 的方程为：y =√36（x +a ）， 由∠F 1F 2P ＝120°，|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，则P （2c ，√3c ）， 代入直线AP ：√3c =√36（2c +a ），整理得：a ＝4c ， ∴题意的离心率e =ca =14． 故选：D ．3、（2020·浙江温州中学高三3月月考）过点()2,1P 斜率为正的直线交椭圆221245x y +=于A ，B 两点.C ，D 是椭圆上相异的两点，满足CP ，DP 分别平分ACB ∠，ADB ∠.则PCD ∆外接圆半径的最小值为（ ）A ．5B ．5C ．2413D ．1913【答案】D 【解析】 如图，先固定直线AB ，设()BM f M AM =，则()()()f C f D f P ==，其中()BPf P AP=为定值， 故点P ，C ，D 在一个阿波罗尼斯圆上，且PCD 外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r ，阿波罗尼斯圆会把点A ，B 其一包含进去，这取决于BP 与AP 谁更大，不妨先考虑BP AP >的阿波罗尼斯圆的情况，BA 的延长线与圆交于点Q ，PQ 即为该圆的直径，如图：接下来寻求半径的表达式， 由()2,2AP BP r BP BQr AP AQ AP AP AQ BP⋅+==+=+，解得111r AP BP =-，同理，当BP AP <时有，111r BP AP=-， 综上，111r AP BP=-； 当直线AB 无斜率时，与椭圆交点纵坐标为1,1AP BP =-=，则1912r =；当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为()12y k x -=-，即21y kx k =-+，与椭圆方程联立可得()()()22224548129610k x k k x k k ++-+--=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则由根与系数的关系有，()()12221224821245961245k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪+⎪⎨--⎪=⎪+⎩，211112r AP BP x ∴=-=--，注意到12x -与22x -异号，故1119r ===设125t k =+，则11121226131919192419r ==≤⋅=，，当15169t =，即1695t =，此时125k =，故1913r ≥，又19191213>，综上外接圆半径的最小值为1913. 故选：D ．4、(2017常州期末）已知圆C ：(x －t )2＋y 2＝20(t ＜0)与椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个公共点为B (0，－2)，F (c,0)为椭圆E 的右焦点，直线BF 与圆C 相切于点B .(1) 求t 的值以及椭圆E 的方程；(2) 过点F 任作与两坐标轴都不垂直的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，在x 轴上是否存在一定点P ，使PF 恰为∠MPN 的平分线？【解析】 (1) 由题意b ＝2.(2分)因为C (t,0)，B (0，－2)，所以BC ＝t 2＋4＝20，所以t ＝±4.因为t ＜0，所以t ＝－4.(4分) 因为BC ⊥BF ，所以20＋c 2＋4＝(c ＋4)2，所以c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝5.所以椭圆E 的方程为x 25＋y 24＝1.(6分)(2) 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，设l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入x 25＋y 24＝1，化简得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k2.(8分)若点P 存在，设P (m,0)，由题意k PM ＋k PN ＝0.所以y 1x 1－m ＋y 2x 2－m ＝k (x 1－1)x 1－m ＋k (x 2－1)x 2－m ＝0.(10分)所以(x 1－1)(x 2－m )＋(x 2－1)(x 1－m )＝0，即2x 1x 2－(1＋m )(x 1＋x 2)＋2m ＝2·5k 2－204＋5k 2－(1＋m )10k 24＋5k 2＋2m ＝0，所以8m －40＝0，所以m ＝5.(13分)即在x 轴上存在一定点P (5,0)，使PF 恰为∠MPN 的平分线．(14分)5、【北京师范大学第二附属中学2019-2020学年高三上学期期中】设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0). （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 【解析】（1）由已知得()1,0F ，l 的方程为1x =.由已知可得，点A的坐标为⎛ ⎝⎭或1,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 所以AM的方程为y x =+y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为()()10y k x k =-≠，()()1122,,,A x y B x y ，则12x x <<，直线MA 、MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得()()()12121223422MA MB kx x k x x kk k x x -+++=--.将()1y k x =-代入2212x y +=得()2222214220k x k x k +-+-=.所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++. 则()33312122441284234021k k k k kkx x k x x k k --++-++==+.从而0MA MB k k +=，故MA 、MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.6、(2017苏州期末）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点P(2，－1)．(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过点P 作两条直线分别交椭圆C 于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，若直线PQ 平分∠APB ，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．【解析】 (1) 由e ＝c a ＝32，得a ∶b ∶c ＝2∶1∶3，椭圆C 的方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.(2分)把P (2，－1)的坐标代入，得b 2＝2，所以椭圆C 的方程是x 28＋y22＝1.(5分)(2) 由已知得P A ，PB 的斜率存在，且互为相反数．(6分) 设直线P A 的方程为y ＋1＝k (x －2)，其中k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k (x －2)，x 2＋4y 2＝8，消去y ，得x 2＋4[kx －(2k ＋1)]2＝8， 即(1＋4k 2)x 2－8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－8＝0.(8分)因为该方程的两根为2，x A ，所以2x A ＝4(2k ＋1)2－81＋4k 2，即x A ＝8k 2＋8k －21＋4k 2.从而y A ＝4k 2－4k －14k 2＋1.(10分)把k 换成－k ，得x B ＝8k 2－8k －21＋4k 2，y B ＝4k 2＋4k －14k 2＋1.(12分)计算，得k AB ＝y B －y A x B －x A ＝8k －16k＝－12，是定值．(14分)解后反思 利用直线P A 与椭圆C 已经有一个交点P (2，－1)，可使得解答更简单． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋1＝k (x －2)，x 2＋4y 2＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k (x －2)，4(y 2－1)＝4－x 2， 当(x ，y )≠(2，－1)时，可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝k (x －2)，4k (y －1)＝－x －2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x A ＝8k 2＋8k －24k 2＋1，y A＝4k 2－4k －14k 2＋1.以下同解答．下面介绍一个更优雅的解法．由A ，B 在椭圆C ：x 2＋4y 2＝8上，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－14·x 1＋x 2y 1＋y 2.同理k P A ＝y 1＋1x 1－2＝－14·x 1＋2y 1－1，k PB ＝y 2＋1x 2－2＝－14·x 2＋2y 2－1.由已知，得k P A ＝－k PB ，所以y 1＋1x 1－2＝－y 2＋1x 2－2，且x 1＋2y 1－1＝－x 2＋2y 2－1，即x 1y 2＋x 2y 1＝2(y 1＋y 2)－(x 1＋x 2)＋4，且x 1y 2＋x 2y 1＝(x 1＋x 2)－2(y 1＋y 2)＋4.从而可得x 1＋x 2＝2(y 1＋y 2)．所以k AB ＝－14·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12，是定值．。
2020年浙江省台州市温岭中学高考数学模拟试卷(3月份)(含答案解析)
2020年浙江省台州市温岭中学高考数学模拟试卷（3月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设集合A ={1,2，3，4，5，6}，B ={2,3，4}，C ={x ∈R|−1<x ≤3}，则(A ∩C)∪B =( )A. {2,3}B. {2,3，4}C. {1,2，3，4}D. {2,3，4，5} 2. 已知x ，y 是非零实数，则“x >y ”是“1x <1y ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的倾斜角为110°，则C 的离心率为( )A. 2sin 20°B. 2cos20°C. 1sin20∘D. 1cos20∘4. 如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的体积( )A. 23 B. 1 C. 2 D. 35. 若x ，y 满足|y|≤2−x ，且|x|≤1，则2x +y 的最小值为( )A. −7B. −5C. 1D. 4 6. 若函数f(x)=ln(21−x +a)是奇函数，则使f(x)<1的x 的取值范围为( )A. (−1,e−1e+1) B. (0,e−1e+1)C. (e−1e+1,1)D. (−1,e−1e+1)∪(1,+∞)7. ( )η 4 3 2 P a b c ξ 2 3 4 PabcEξ>Eη，Dξ<Dη B. Eξ>Eη，Dξ=Dη C. Eξ>Eη，Dξ>Dη D. Eξ<Eη，Dξ=Dη8. 如图，在直角梯形ABCD 中，BC ⊥CD ，AB =BC =2，CD =4，E 为CD 中点，M ，N 分别为AD ，BC 的中点，将△ADE 沿AE 折起，使点D 到D 1，M 到M 1，在翻折过程中，有下列命题：①|M 1N|的最小值为1；②M 1N//平面CD 1E③存在某个位置，使M 1E ⊥DE④无论M 1位于何位置，均有M 1N ⊥AE.其中正确命题的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知a 1=1919，a k =1949，a l =2019是等差数列{a n }中的三项，同时b 1=1919，b k =1949，b 1=2019是公比为q 的等比数列{b n }中的三项，则q 的最大值为( )A. 20191949B. (20191949)17C. (20191949)107D. 无法确定10. 已知函数f(x)=x 2+ax +b(a,b ∈R)在区间[2,3]上有零点，则a 2+ab 的取值范围是( )A. (−∞,4]B. (−∞,818]C. [4,818]D. [818,+∞)二、填空题（本大题共7小题，共36.0分） 11. 已知若复数z =m+i 2−i(i 为虚数单位).若z 是纯虚数，则以F(0,m)为焦点的抛物线的标准方程为______；若|z|=√2，则m =______．12. 已知A(−2,0)，B(2,0)，动点M 满足|MA|=2|MB|，则点M 的轨迹方程是______；又若MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，此时△MAB 的面积为______． 13. 在二项式(3x −√x 23)7的展开式中，所有项系数和为______，展开式中含x 2的项是______．14. 已知正实数a 满足a a =(8a)9a ，log a (2a)的值为______． 15. 记A ，B ，C 为△ABC 的内角，①若1+sinA cosA=3，则1+cosA sinA=______；②若cos B ，cos C 是方程5x 2−3x −1=0的两根，则sinB ⋅sinC =______． 16. 已知P ，Q 是椭圆x 23+y 2=1上的两点(点Q 在第一象限)，若M(1,0)，且直线pM ，QM 的斜率互为相反数，且|PM|=2|QM|，则直线QM 的斜率为______．17. 已知A ，B ，C ，D ，E 为半径为1的圆上相异的5点(没有任何两点重合)，这5个点两两相连可得到10条线段，则这10条线段长度平方和的最大值为______． 三、解答题（本大题共5小题，共74.0分） 18. 已知函数f(x)=√3sin x2cos x2−cos 2x2+1．(Ⅰ)若x ∈[0,π2],f(x)=56，求cos x 的值；(Ⅱ)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2bcosA ≤2c −√3a ，求f(B)的取值范围．19. 四棱锥S −ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 为正三角形，SC =2√2，E为AD 的中点．(Ⅰ)证明：平面SAD ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求直线SB 与平面SEC 所成角的正弦值．20. 数列{a n }中，a 1=1，a 2=14，且a n+1a n=n−1n−a n(n ∈N ∗,n ≥2)．(Ⅰ)令f(n)=1nan+1−1(n−1)a n(n ∈N ∗,n ≥2)，将f(n)用n 表示，并求{a n }通项公式；(Ⅱ)令T n =a 12+a 22+⋯+a n 2，求证：T n <76．21. 如图，已知抛物线y =14x 2的焦点为F ．(Ⅰ)若点P 为抛物线上异于原点的任一点，过点P 作抛物线的切线交y 轴于点Q ，证明：∠PFy =2∠PQF ；(Ⅱ)A ，B 是抛物线上两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点D(0,4)(AB 不与X 轴平行)，且|AF|+|BF|=6.过y 轴上一点E 作直线m//x 轴，且m 被以AD 为直径的圆截得的弦长为定值，求△ABE 面积的最大值．−3lnx．22.已知函数f(x)=2x−1x(Ⅰ)求函数y=f(x)在x=1处的切线方程；(Ⅱ)若y=f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)≥3ln2．(Ⅲ)若对于任意k∈(−∞,2)，直线y=kx+b与函数y=f(x)图象都有唯一公共点，求实数b的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合A ={1,2，3，4，5，6}，B ={2,3，4}， C ={x ∈R|−1<x ≤3}，则(A ∩C)∪B ={1,2，3}∪B ={1，2，3，4}， 故选：C ．求出集合，直接计算．考查集合的交集，并集运算，基础题． 2.答案：D解析：解：由x >y ，不能推出1x <1y ，如x =3，y =−2； 反之，由1x <1y ，也不一定有x >y ，如x =−1，y =2． ∴“x >y ”是“1x <1y ”的既不充分也不必要条件． 故选：D ．举例说明由x >y ，不能推出1x <1y ，由1x <1y ，也不一定有x >y ，则答案可求． 本题考查充分必要条件的判定方法，是基础题． 3.答案：C解析：解：∵双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为110°， ∴−ba=tan110°，所以ba=tan70°，∴C 的离心率e =c a=√a 2+b 2a 2=√1+tan 270°=1sin20∘．故选：C ．由双曲线C 的一条渐近线的倾斜角为110°，得−ba =tan110°，所以ba =tan70°，C 的离心率e =ca =√a 2+b 2a 2.代入求值即可．本题主要考查了双曲线的性质，是基础题．4.答案：B解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，PA ⊥底面ABCD ，且PA =1，底面ABCD 为直角梯形，AB ⊥AD ，AD//BC ，AB =AD =2，BC =1． ∴该多面体的体积V =13×12(1+2)×2×1=1．故选：B ．由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，PA ⊥底面ABCD ，且PA =1，底面ABCD 为直角梯形，AB ⊥AD ，AD//BC ，AB =AD =2，BC =1，再由棱锥体积公式求解． 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 5.答案：B解析：解：作出x ，y 满足|y|≤2−x ，且|x|≤1，对应的平面区域如图：由z =2x +y 得y =−2x +z 平移直线y =−2x +z ，由图象可知当直线y =−2x +z 经过点A 时，直线的截距最小， 此时z 最小，由{−y =2−x x =−1，解得A(−1,−3)，此时z =2×(−1)+(−3)=−5，则2x +y 的最小值为：−5． 故选：B ．作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可得到结论． 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键． 6.答案：A解析：解：根据题意，函数f(x)=ln(21−x +a)是奇函数，则f(−x)+f(x)=0， 即ln(21+x +a)+ln(21−x +a)=0，变形可得(2+a+ax 1+x)(2+a−ax 1−x)=1，分析可得：a =−1，则f(x)=ln(21−x −1)=ln(1+x1−x )，有1+x1−x >0，解可得−1<x <1，即函数的定义域为(−1,1)， 设t =1+x1−x ，则y =lnt ，t =1+x1−x =−2x−1−1，则t 在(−1,1)上为增函数，而y =lnt 在(0,+∞)上为增函数， 则f(x)在(−1,1)上为增函数，若f(x)=1，即1+x1−x =e ，解可得x =e−1e+1， 则f(x)<1⇒f(x)<f(e−1e+1)⇒x <e−1e+1， 又由−1<x <1，则有−1<x <e−1e+1， 即x 的取值范围为(−1,e−1e+1)； 故选：A ．根据题意，由奇函数的定义可得f(−x)+f(x)=0，即ln(21+x +a)+ln(21−x +a)=0，变形可得a 的值，即可得函数的解析式，由复合函数的单调性判断方法可得f(x)在(−1,1)上为增函数，求出满足f(x)=1的x 的值，据此分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及不等式的解法，关键是求出a的值，属于基础题．7.答案：B解析：解：Eξ=2a+3b+4c，Eη=4a+3b+2c，Eξ−Eη=2(c−a)>0，由ξ+η=6，所以Dξ=D(6−η)=Dη，故选：B．求出数学期望，作差比较大小，和利用方差的性质，得到结论．考查数学期望和方差的性质及其应用，中档题．8.答案：D解析：解：在直角梯形ABCD中，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=4，E为CD中点，M，N分别为AD，BC的中点，将△ADE沿AE折起，使点D到D1，M到M1，在翻折过程中，当D1与C重合时，|M1N|的最小值为1；所以①正确；连接MN交AE于F连接M1F，可以证明平面FM1N//平面CD1E，所以M1N//平面CD1E，所以②正确；当D1E⊥平面ABCD时，M1E⊥DE，所以③正确；因为AE⊥FN，AE⊥M1F，所以直线AE⊥平面FM1E，所以无论M1位于何位置，均有M1N⊥AE.所以④正确；故选：D．通过连接直线DN等直线，结合直线与平面的平行与垂直，转化判断4个命题的真假即可．本题考查命题的直接的判断与应用，涉及空间几何体直线与平面的位置关系的综合应用，是中档题．9.答案：B解析：解：由题意，数列{b n}不是常数列．由a1=1919，a k=1949，a l=2019是等差数列{a n}中的三项，得d=a k−a1k−1=a l−a1l−1，即1949−1919k−1=2019−1919l−1，得l=10k−73．由b1=1919，b k=1949，b1=2019是公比为q的等比数列{b n}中的三项，得q l−k=a l ak =20191949>1，则q=(20191949)1l−k，要使q最大，则l−k最小，由3l=10k−7，得k=1，l=1(舍)；k=4，l=11；k=7，l=21；k=10，l=31；…；由上可知，当k与l均增加时，由于l的系数小于k的系数，则要使等式3l=10k−7成立，l比k增加要快．∴l−k的最小值为7．则q的最大值为(20191949)17．故选：B ．由题意可得3l =10k −7，q =(20191949)1l−k ，要使q 最大，则l −k 最小，结合等式3l =10k −7求得l −k 的最小值，则q 的最大值可求．本题考查等差数列与等比数列的性质，考查数列的函数特性，是中档题． 10.答案：B解析：解：不妨设x 1，x 2为函数f(x)的两个零点，其中x 1∈[2,3]，x 2∈R ， 则x 1+x 2=−a ，x 1x 2=b ．则a 2+ab =(x 1+x 2)2−(x 1+x 2)⋅x 1x 2=(1−x 1)x 22+(2x 1−x 12)x 2+x 12， 由1−x 1<0，x 2∈R ，所以(1−x 1)x 22+(2x 1−x 12)x 2+x 12≤4(1−x 1)x 12−(2x 1−x 12)24(1−x 1)=x 144(x1−1)，可令g(x 1)=x 144(x 1−1)，g′(x 1)=x 13(3x 1−4)4(x 1−1)，当x 1∈[2,3]，g′(x 1)>0恒成立，所以g(x 1)∈[g(2),g(3)]=[4,818]. 则g(x 1)的最大值为818，此时x 1=3，还应满足x 2=−2x 1−x 122(1−x 1)=−34，显然x 1=3，x 2=−34时，a =b =−94，a 2+ab =818．故选：B ．不妨设x 1，x 2为函数f(x)的两个零点，其中x 1∈[2,3]，x 2∈R ，运用韦达定理和主元法、二次函数的最值，构造函数g(x 1)，求得导数，判断单调性，可得所求范围．本题考查函数的零点问题，注意函数方程的转化、韦达定理的运用和构造函数法，考查化简运算能力和推理能力，属于难题． 11.答案：x 2=2y ±3解析：解：∵z =m+i 2−i=(m+i)(2+i)(2−i)(2+i)=2m−15+m+25i 为纯虚数，则2m −1=0，即m =12，则F(0,12)，∴以F(0,12)为焦点的抛物线的标准方程为x 2=2y ； 由|z|=√2，得|m+i 2−i|=|m+i||2−i|=√m 2+1√5=√2，解得m =±3．故答案为：x 2=2y ；±3．利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得m ，可得抛物线的方程；再由复数模的计算公式列式求m 值．本题考查抛物线的方程的求法，考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念及复数模的求法，是基础题．12.答案：3x 2+3y 2−20x +12=0 165解析：解：A(−2,0)，B(2,0)，设M(x,y)，由|MA|=2|MB|，得√(x +2)2+y 2=2√(x −2)2+y 2， 整理得：3x 2+3y 2−20x +12=0； 以AB 为直径的圆的方程为x 2+y 2=4， 联立{3x 2+3y 2−20x +12=0x 2+y 2=4，解得|y|=85． 即M 点的纵坐标的绝对值为85． ∴此时△MAB 的面积为S =12×4×85=165．故答案为：3x 2+3y 2−20x +12=0；165．设M(x,y)，由|MA|=2|MB|列式可得点M 的轨迹方程，再写出以AB 为直径的圆的方程，与M 的轨迹联立求得M 的纵坐标，再由三角形面积公式求解．本题考查轨迹方程的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题． 13.答案：128 −2835x 2解析：解：∵二项式(3x −√x 23)7的展开式中，令x =1，可得所有项系数和为(3−1)7=128．二项式(3x −√x23)7的展开式中，通项公式为T r+1=C 7r ⋅(−1)r ⋅37−r ⋅x 7−5r3，令7−5r 3=2，求得r =3，可得展开式中含x 2的项是−C 73⋅34⋅x 2=−2835x 2，故答案为：128；−2835x 2．令x =1，可得所有项系数和．再利用二项展开式的通项公式，求出展开式中含x 2的项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.答案：1927解析：解：∵正实数a 满足a a =(8a)9a ， ∴a =9alog a 8a ，由log a 8a =19，得log a 8=−89， ∴log a 2=−827，∴log a (2a)=log a 2+1=−827+1=1927． 故答案为：1927．推导出a =9alog a 8a ，由log a 8a =19，得log a 8=−89，从而log a 2=−827，由此能求出log a (2a)的值． 本题考查对数值的求法，考查对数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15.答案：2 √75解析：解：①由已知得1+sinA =3cosA >0，再由sin 2A +cos 2A =1，联立化简cosA =35,sinA =45，则1+cosA sinA=2故应填2；②由题知cosB +cosC =35 ① cosBcosC =−15 ②将①式平方得 cos 2B +2cosBcosC +cos 2C =925 得cos 2B +cos 2C =925+2×15=1925sinBsinC =√1−cos 2B √1−cos 2C =√1−(cos 2B +cos 2C)+cos 2Bcos 2C =√1−1925+125=√75故应填√75①由已知得1+sinA =3cosA ，再利用sin 2A +cos 2A =1，即可得出sin A ，cos A ，代入即可； ②由题知cosB +cosC =35 ①cosBcosC =−15 ②，将①平方得出cos 2B +cos 2C ，再由sinBsinC =√1−cos 2B√1−cos 2C ，乘进去代入即可得出结果本题主要考查的是三角函数的恒等变换及化简求值，注意sin 2A +cos 2A =1的隐含条件，是道综合题16.答案：1解析：解：延长PM 交椭圆于N ，由对称性可知|QM|=|MN|， 设直线PM 的斜率为k ，则直线PM 的方程为y =k(x −1)(k <0)，联立方程组{y =k(x −1)x 2+3y 2=3，消元得：(1k 2+3)y 2+2yk −2=0， 设P(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则y 1+y 2=−2k1+3k 2， ∵|PM|=2|QM|，∴y 1=−2y 2． ∴y 1+y 2=−y 2=−2k1+3k 2， 即y 2=2k1+3k 2，∴x 2=21+3k 2+1，把N(21+3k 2+1,2k1+3k 2)代入椭圆方程得：(21+3k 2+1)2+3(2k1+3k 2)2=3，解得k 2=1，∴k =−1， ∴直线QM 的斜率为−k =1． 故答案为：1．设直线PM 斜率为k ，得出直线PM 的方程，联立方程组消元，得出N 点坐标，代入椭圆方程计算k 的值即可得出OM 的斜率−k ．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查分析问题解决问题的能力，是中档题． 17.答案：25解析：解：不妨设圆心为O ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，……，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+EA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)−2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =20−[(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)]=25−(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )2≤25，当且仅当OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 时取等号． 故答案为：25．由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，……，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再相加即可求得答案．本题考查数量积的运用，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．18.答案：解：(I)f(x)=√3sin x 2cos x 2−cos 2x 2+1=√32sinx −1+cosx 2+1，=√32sinx −12cosx +12=sin(x −π6)+12，由x ∈[0,π2],f(x)=56可得sin(x −π6)+12=56，所以sin(x −π6)=13，cos(x −π6)=2√23，所以cosx =cos[(x −π6)+π6]=√32×2√23−13×12=2√6−16． (II)因为2bcosA ≤2c −√3a ，由正弦定理可得，2sinBcosA ≤2sinC −√3sinA ，从而可得，2sinBcosA ≤2sinAcosB +2sinBcosA −√3sinA ， 即cosB ≥√32，因为0<B <π，所以0<B ≤π6，−π6<B −π6≤0， 所以−12<sin(B −π6)≤0，所以f(B)=sin(B −π6)+12∈(0,12]．解析：(I)先利用二倍角公式，辅助角公式先对已知函数进行化简，然后结合两角和的余弦公式展开即可求解；(II)由已知结合正弦定理进行化简可求cos B 的范围，进而可求B 的范围，代入f(B)后结合余弦函数的性质即可求解．本题考查了三角公式在化简中的应用及三角函数性质的应用，属于中档试题．19.答案：解：(Ⅰ)证明：∵侧面SAD 为正三角形，E 为AD 的中点，∴SE ⊥AD ，∵底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 为正三角形，SC =2√2，E 为AD 的中点．∴SE =√4−1=√3，CE =√4+1=√5，∴SE 2+CE 2=SC 2，∴SE ⊥CE ， ∵AD ∩CE =E ，∴SE ⊥平面ABCD ， ∵SE ⊂平面SAD ，∴平面SAD ⊥平面ABCD ．(Ⅱ)解：以E 为原点，EA 为x 轴，过E 作AB 的平行线为y 轴，ES 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则S(0,0，√3)，B(1,2，0)，E(0,0，0)，C(−1,2，0)， SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2，√3)，ES ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，√3)，EC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2，0)， 设平面SEC 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n⃗ ⋅ES ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3z =0n ⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +2y =0，取y =1，得n⃗ =(2,1，0)， 设直线SB 与平面SEC 所成角为θ，则直线SB 与平面SEC 所成角的正弦值为： sinθ=|SB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||SB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=4√8⋅√5=√105．解析：(Ⅰ)推导出SE ⊥AD ，SE ⊥CE ，从而SE ⊥平面ABCD ，由此能证明平面SAD ⊥平面ABCD ． (Ⅱ)以E 为原点，EA 为x 轴，过E 作AB 的平行线为y 轴，ES 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线SB 与平面SEC 所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：(I)∵数列{a n }中，a 1=1，a 2=14，且a n+1a n=n−1n−a n(n ∈N ∗,n ≥2)．∴f(n)=1n⋅(n−1)a n n−a n−1(n−1)a n=1n(n−1)=1n−1−1n． n ≥2时，1na n+1−1a 2=1−12+12−13+⋯…+1n−1−1n =1−1n．∴a n+1=15n−1，可得a n =15n−6.n =2时成立． ∴a n ={1,n =115n−6,n ≥2． (II)证明：n ≥3时，a n2=1(5n−6)2<1(5n−11)(5n−6)=15(15n−11−15n−6). ∴T n <1+116+15(14−19+19−114+⋯…+15n−11−15n−6)=1+116+120<76． n =1，2时也成立． 综上可得：T n <76．解析：(I)由数列{a n }中，a 1=1，a 2=14，且a n+1a n=n−1n−an(n ∈N ∗,n ≥2).可得f(n)=1n⋅(n−1)a n n−a n−1(n−1)a n =1n(n−1)=1n−1−1n.利用累加求和方法可得a n+1，可得a n ．(II)n ≥3时，a n2=1(5n−6)2<1(5n−11)(5n−6)=15(15n−11−15n−6).即可证明． 本题考查了数列递推关系、裂项求和方法、累加求和方法、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ)由抛物线的方程可得F(0,1)，准线方程：y =−1，设P(x 0,x 024)，由抛物线的方程可得y′=x2，所以在P 处的切线的斜率k =x 02，所以在P 处的切线方程为：y −x 024=x 02(x −x 0)令x =0可得y =−x 024，即Q(0,−x 024)，所以FQ =1+x 024，而P 到准线的距离d =x 024+1，由抛物线的性质可得PF =d所以PF =FQ ，∠PQF =∠QPF ，可证得：∠PFy =2∠PQF ；(Ⅱ)设直线AB 的方程为：y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 直线与抛物线联立{y =kx +mx 2=4y 整理可得：x 2−4kx −4m =0，△=16k 2+16m >0，即k 2+m >0，x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−4m ，y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m =4k 2+2m ， 所以AB 的中点坐标为：(2k,2k 2+m)，所以线段AB 的中垂线方程为：y −(2k 2+m)=−1k (x −2k)，由题意中垂线过D(0,4)，所以2k 2+m +2=4，即2k 2+m =2，①由抛物线的性质可得：|AF|+|BF|=y 1+y 2+2=6，所以4k 2+2m +2=6，即2k 2+m =2②设E(0,b)，AD 2=x 12+(y 1−4)2，AD 的中点的纵坐标为4+y 12，所以以AD 为直径的圆与直线m 的相交弦长的平方为：4[AD 24−(b −4+y 12)2]=4[x 124+(y 1−4)24−b 2−(y 1+4)24+b(y 1+4)]=4[y 1−b 2+4b −4y 1+by 1]=4[(b −3)y 1+4b −b 2]，要使以AD 为直径的圆截得的弦长为定值则可得b =3，时相交弦长的平方为定值12，即E(0,3)， 所以E 到直线AB 的距离为：d =√1+k 2，而弦长|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√1+k 2√k 2+m ， 所以S △EAB =12|AB|⋅d =2√1+k 24√1+k 2⋅√k 2+m =2|3−m|√m +k 2，将①代入可得S △ABE =2|3−2+2k 2|√2−2k 2+k 2=2|1+2k 2|√2−k 2=2√−4k 6+4k 4+7k 2+2设f(k)=−4k 6+4k 4+7k 2+2，为偶函数，只看√2>k >0的情况即可，f′(k)=−24k 5+16k 3+14k =−2k(12k 4−6k 2−7=−2k(2k 2+1)(6k 2−7) 令f′(k)=0，k =√426当0<k <√426，f′(k)>0，f(k)单调递增；当√426<k <√2，f′(k)<0，f(k)单调递减所以k ∈(−√2,√2)且k ≠0，上，f(√426)=f(−√426)为最大值10√309所以S △ABE 的最大值为：2|1+2×4236|√2−4236=10√309．解析：(Ⅰ)设P 的坐标，求出在P 处的导数，进而求出在P 处的切线的方程，令x =0求出Q 的坐标，进而求出FQ 的值，P 到准线的距离为PF 的值可得PF =FQ ，进而可得结论； (Ⅱ)设直线AB 的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB ，再求线段AB 的中点坐标，求出AB 的中垂线的方程，将D 点代入中垂线的方程可得参数的关系，设E 的坐标，由以AD 为直径的圆圆直线m 的弦长为定值可得E 的坐标，进而求出E 到直线AB 的距离，代入面积公式可得关于直线AB 斜率的表达式，令函数求导可得函数的最大值，即求出面积的最大值． 考查过抛物线的一点求切线方程，面积公式及直线与抛物线的综合应用，属于中难题．22.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=2+1x 2−3x =2x 2−3x+1x 2所以f′(1)=0，所以函数f(x)在x =1处的切线方程为： y −f(1)=f′(1)(x −1)， 即y =1．(Ⅱ)根据题意得，f′(x 1)=f′(x 2)=m ，即x 1，x 2为方程(2−m)x 2−3x +1=0的根，{2−m >0△=9−4(2−m)>0x =−−32(2−m)>0，解得−14<m <2， 所以x 1+x 2=32−m ，x 1x 2=12−m ，所以f(x 1)+f(x 2)=2(x 1+x 2)−(1x 1+1x 2)−3(lnx 1+lnx 2)=2(x 1+x 2)−(x 2+x 1x 1x 2)−3ln(x 1x 2) =2×3−32−m 12−m−3ln 1=62−m−3−3ln12−m ，令t =12−m ，(t >49)g(t)=6t −3−3lnt ，(t >49)， g′(t)=6−3t =6t−3t，当t ∈(12,+∞)时，g′(t)>0，g(t)单调递增． 当t ∈(49,12)时，g′(t)<0，g(t)单调递减． 所以g(t)min =g(12)=3ln2，所以g(t)≥3ln2，所以f(x 1)+f(x 2)≥3ln2．(Ⅲ)根据题意得，方程f(x)=kx +b 只有一个根， 即k =2x−1x−3lnx−bx只有一个根， 令ℎ(x)=2x−1x −3lnx−bx，有唯一零点，当x →0+时，ℎ(x)→−∞，x →+∞时，ℎ(x)→2， 下面证明ℎ(x)<2恒成立，若存在x 0∈(0,+∞)，使得ℎ(x 0)≥1，所以存在x 1∈(0,x 0)，x 2∈(x 0,+∞)，使得ℎ(x 1)<1，ℎ(x 2)<1，k =max{ℎ(x 1),ℎ(x 2)}<2，则y =k 与y =ℎ(x)至少有两个交点，矛盾．由对于任意k ∈(−∞,2)，ℎ(x)=k 只有一个解，得ℎ(x)为(0,+∞)上的增函数， 所以ℎ′(x)=2x+3lnx+b−3x 2≥0，得b ≥−2x −3lnx +3，令m(x)=−2x −3lnx +3，(x >0)，则m′(x)=2x 2−3x =2−3x x 2，所以m(x)在(0,23)上单调递增，在(23,+∞)上单调递减， m(x)max =m(23)=−3ln 23．得b ≥m(x)max =m(23)=−3ln 23．解析：(Ⅰ)先求导得f′(1)，函数f(x)在x =1处的切线方程为：y −f(1)=f′(1)(x −1)，代入化简即可得结论．(Ⅱ)根据y =f(x)在x =x 1，x 2(x 1≠x 2)处导数相等，即x 1，x 2为方程(2−m)x 2−3x +1=0的根，{2−m >0△=9−4(2−m)>0x =−−32(2−m)>0，解得−14<m <2，由韦达定理x 1+x 2，x 1x 2，所以f(x 1)+f(x 2)=2(x 1+x 2)−(1x 1+1x 2)−3(lnx 1+lnx 2)=62−m−3−3ln12−m，钩爪函数求导可证．(Ⅲ)将问题转化为ℎ(x)=2x−1x−3lnx−bx有唯一零点，再利用导数研究函数的单调性，利用函数单调性得函数草图，根据草图可得．本题考查导数的综合应用，属于中档题．。
温岭市新河中学2019-2020学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
温岭市新河中学2019-2020学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 以下四个命题中，真命题的是（ ）A ．(0,)x π∃∈，sin tan x x =B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数D ．ABC ∆中，“sin sin cos cos A B A B +=+”是“2C π=”的充要条件【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．2． 函数21()ln 2f x x x ax =++存在与直线03=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ）A. ),0(+∞B. )2,(-∞C. ),2(+∞D. ]1,(-∞【命题意图】本题考查导数的几何意义、基本不等式等基础知识，意在考查转化与化归的思想和基本运算能力．3． 设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数22z z+=（ ） A.1i - B.1i + C. 2i + D. 2i -【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力．4． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．20【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．5． 已知全集为R ，集合{}|23A x x x =<->或，{}2,0,2,4B =-，则()R A B =ð（ ）A ．{}2,0,2-B ．{}2,2,4-C ．{}2,0,3-D ．{}0,2,4 6． 为得到函数sin 2y x =-的图象，可将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位 C.向右平移3π个单位 D ．向右平移23π个单位 7． 奇函数()f x 满足()10f =，且()f x 在()0+∞，上是单调递减，则()()210x f x f x -<--的解集为（ ）A ．()11-，B ．()()11-∞-+∞，，C ．()1-∞-，D ．()1+∞，8． 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）A 1CA BA.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力.9． 以下四个命题中，真命题的是（ ）A ．2,2x R x x ∃∈≤-B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<C ．R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数D ．已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示不同的平面，并且m α⊥，n β⊂，则“αβ⊥”是“//m n ”的必要不充分条件【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．10．由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）。
2020届浙江省台州市温岭中学高三下学期3月第二次高考模拟数学试题(word无答案)
2020届浙江省台州市温岭中学高三下学期3月第二次高考模拟数学试题一、单选题(★) 1 . 已知全集.集合.则（）A．B．C．D．(★) 2 . 已知是虚数单位，则（）A．1B．C．D．2(★) 3 . 已知是公比不为1的等比数列，且依次构成等差数列，则公比为（）A．B．2C．D．(★) 4 . 已知实数满足则“ ”是“ ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★) 5 . 设是三个互不重合的平面，是两条互不重合的直线，则下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则(★) 6 . 若正实数，满足，则的最小值为（）A．2B．C．5D．(★★) 7 . 是边的中点，、是线段上两动点，且.则的最小值是（）A．B．C．1D．(★) 8 . 安排5名班干部周一至周五值班，每天1人，每人值1天，若甲、乙两人要求相邻两天值班，甲、丙两人都不排周二，则不同的安排方式有（）A．13B．18C．22D．28(★★) 9 . 双曲线分别为左、右焦点，过右焦点的直线与双曲线同一支相交于两点.若，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2(★★★★) 10 . 函数，则下列结论中不正确的是（）A．曲线存在对称中心B．曲线存在对称轴C．函数的最大值为D．二、双空题(★) 11 . 已知实数、满足条件，则的最小值为__________，最大值为__________.(★) 12 . 展开式中的系数是15，则展开式的常数项为__________，展开式中有理项的二项式系数和为__________.(★) 13 . 盒子中装有8个除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黑球3个，若取到红球记2分，取到黑球记1分，现从盒子中任取3个，记总分为__________，__________.(★★) 14 . 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________，表面积为__________.三、填空题(★★) 15 . 中，内角的对边分别为，已知的面积为，则的周长为__________.(★★) 16 . 已知圆、为圆上两个动点，满足为线段的中点，.当在圆上运动时，存在某个位置使为钝角，则实数的取值范围是__________.(★★★★) 17 . 设函数，若对任意的负实数和实数，总有使得，则实数的取值范围是__________.四、解答题(★★) 18 . 已知函数在时取到最大值2.（1）求函数的解析式；（2）若，求的值.(★★) 19 . 在直角三角形中，、分别在线段、上，.沿着将折至如图，使.（1）若是线段的中点，试在线段上确定点的位置，使面；（2）在（1）条件下，求与平面所成角的正弦值.(★★) 20 . 已知数列满足：.（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；（2）记、分别为数列、的前项和.求证：对任意.(★★★★) 21 . 点是抛物线内一点，是抛物线的焦点，是抛物线上任意一点，且已知的最小值为2.（1）求抛物线的方程；（2）抛物线上一点处的切线与斜率为常数的动直线相交于，且直线与抛物线相交于、两点.问是否有常数使？(★★★★) 22 . 已知函数.（1）求证：当时，；（2）记，若有唯一零点，求实数的取值范围.。
2020年高考模拟试卷浙江省高考数学全真模拟试卷(3月) 含解析
2020年高考模拟高考数学全真模拟试卷（3月份）一、选择题1．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，则（∁U A）∪B＝（）A．∅B．{1，2，3，4}C．{2，3，4}D．{0，11，2，3，4}2．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B﹣PA﹣C的余弦值是（）A．B．C．D．3．某棱柱的三视图如图示，则该棱柱的体积为（）A．3B．4C．6D．124．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）5．若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最大值是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．76．已知随机变量X的分布列如表：X135P0.40.1x 则X的方差为（）A．3.56B．C．3.2D．7．双曲线x2﹣y2＝1右支上一点P（a，b）到直线l：y＝x的距离d＝．则a+b＝（）A．﹣B．C．或﹣D．2或﹣28．已知数列{a n}满足，n∈N*，且a2+a4+a6＝9，则＝（）A．B．3C．﹣3D．9．若[x]表示不超过x的最大整数，则f（x）＝[x]﹣x，（x∈R）的值域是（）A．[0，1）B．（﹣1，1）C．[﹣1，1]D．（﹣1，0] 10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．在圆内接四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝3，AD＝4，则△ABC的面积为．12．设函数，，则函数的最小值为；若，使得a2﹣a≥f（x）成立，则实数a的取值范围是．13．在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是，含x2项的系数是．14．函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是；②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是．15．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足||＝，则||+2||的最小值为．16．已知a，b∈R，f（x）＝e x﹣ax+b，若f（x）≥1恒成立，则的取值范围是17．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD+PD ＝3．若四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为；当四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值时，二面角A﹣PC﹣D的正切值为．三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，．（1）若ω＝1，，且对任意的，都有，求实数m的取值范围；（2）若，，且f（x）在单调递增，求ω的最大值．19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面EAD．20．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n），试证：|S k|≤．21．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|＝2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB面积的最大值．22．已知函数f（x）＝﹣x3+x2+x+a，g（x）＝2a﹣x3（x∈R，a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）求函数f（x）的极值．（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，则（∁U A）∪B＝（）A．∅B．{1，2，3，4}C．{2，3，4}D．{0，11，2，3，4}【分析】根据全集U及A，求出A的补集，找出A补集与B的并集即可．解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2}，集合B＝{2，3}，∴∁U A＝{3，4}，则（∁U A）∪B＝{2，3，4}，故选：C．2．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B﹣PA﹣C的余弦值是（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，作出二面角B﹣PA﹣C的平面角，设PE＝a，求解直角三角形得到EG、EF、FG的长度，再由余弦定理得答案．解：如图，在PA上任取一点E，在平面APB内过E作EF⊥PA交PB于F，在平面APC内过E 作EG⊥PA交PC于G，连接GF，设PE＝a，在Rt△PEG中，∵∠EPG＝60°，∴PG＝2a，GE＝a，同理求得PF＝2a，EF＝a，则GF＝2a，在△FGE中，由余弦定理得：cos∠FEG＝＝．故选：C．3．某棱柱的三视图如图示，则该棱柱的体积为（）A．3B．4C．6D．12【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，进而可得答案．解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，棱柱的底面面积S＝×（2+4）×2＝6，棱柱的高为1，故棱柱的体积V＝6．故选：C．4．若函数f（x）＝的图象和直线y＝ax有四个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A．（﹣，4）B．（0，4）C．（﹣，0）D．（﹣，0）∪（0，4）【分析】根据分段函数的表达式，先得到x＝0是f（x）与y＝ax的一个根，利用参数分离法构造函数h（x），得到h（x）与y＝a有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可．解：当x＞0时，由f（x）＝ax得2x2lnx＝ax，得a＝2xlnx，当x≤0时，由f（x）＝ax得﹣x3﹣4x2＝ax，此时x＝0是方程的一个根，当x≠0时，a＝﹣x﹣4x，设h（x）＝，当x＞0时，h′（x）＝2lnx+2x＝2lnx+2＝2（1+lnx），由h′（x）＞0得1+lnx＞0得lnx＞﹣1，得x＞此时函数为增函数，由h′（x）＜0得1+lnx＜0得lnx＜﹣1，得0＜x＜，此时函数为减函数，即当x＝时，h（x）取得极小值h（）＝2×ln＝﹣，当x＜0时，h（x）＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，作出h（x）的图象如图：要使f（x）与直线y＝ax有四个不同的公共点，等价为h（x）与y＝a有3个不同的交点，则a满足﹣＜a＜0或0＜a＜4，即实数a的取值范围是（﹣，0）∪（0，4），故选：D．5．若x，y满足约束条件，则z＝3x﹣y的最大值是（）A．﹣7B．﹣1C．5D．7【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝3x﹣y表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．解：不等式组表示的平面区域如图所示，由解得A（2，1）当直线z＝3x﹣y过点A（2，1）时，在y轴上截距最小，此时z取得最大值5．故选：C．6．已知随机变量X的分布列如表：X135P0.40.1x 则X的方差为（）A．3.56B．C．3.2D．【分析】先求得x的值，然后计算出EX，再利用方差公式求解即可．解：根据随机变量分布列的性质，知0.4+0.1+x＝1，所以x＝0.5，EX＝0.4+0.3+2.5＝3.2，DX＝2.22×0.4+0.22×0.1+1.82×0.5＝3.56，故选：A．7．双曲线x2﹣y2＝1右支上一点P（a，b）到直线l：y＝x的距离d＝．则a+b＝（）A．﹣B．C．或﹣D．2或﹣2【分析】P（a，b）点在双曲线上，则有a2﹣b2＝1，即（a+b）（a﹣b）＝1．根据点到直线的距离公式能够求出a﹣b的值，注意a＞b，从而得到a+b的值．解：∵P（a，b）点在双曲线上，∴有a2﹣b2＝1，即（a+b）（a﹣b）＝1．∵A（a，b）到直线y＝x的距离为，∴d＝＝，∴|a﹣b|＝2．又P点在右支上，则有a＞b，∴a﹣b＝2．∴a+b＝，故选：B．8．已知数列{a n}满足，n∈N*，且a2+a4+a6＝9，则＝（）A．B．3C．﹣3D．【分析】首先利用关系式的两边取对数求出数列的通项公式，进一步得到数列为等差数列，最后求出结果．解：数列{a n}满足，两边取对数得到，整理得a n+1﹣a n＝2（常数），所以数列{a n}是以2为公差的等差数列．则a2+a4+a6＝3a4＝9，整理得a4＝3，所以a7＝a4+2（7﹣4）＝3+6＝9，故a5+a7+a9＝3a7＝27，所以．故选：C．9．若[x]表示不超过x的最大整数，则f（x）＝[x]﹣x，（x∈R）的值域是（）A．[0，1）B．（﹣1，1）C．[﹣1，1]D．（﹣1，0]【分析】可设n≤x＜n+1，从而得出[x]＝n，先可得出﹣n﹣1＜﹣x≤﹣n，从而可求出[x]﹣x的范围，即得出f（x）的值域．解：设n≤x＜n+1，则[x]＝n；∴﹣n﹣1＜﹣x≤﹣n；∴﹣1＜[x]﹣x≤0；∴f（x）的值域为（﹣1，0]．故选：D．10．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论．解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：A．二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．在圆内接四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝3，AD＝4，则△ABC的面积为．【分析】利用余弦定理可得AC，cos B，再利用三角形面积计算公式即可得出．解：AC2＝32+42﹣2×3×4cos D＝52+62﹣2×5×6cos B，cos B+cos D＝0．∴AC2＝，∴cos B＝，可得sin B＝＝．∴△ABC的面积S＝×＝．故答案为：．12．设函数，，则函数的最小值为2；若，使得a2﹣a≥f（x）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．【分析】由已知结合基本不等式可求函数的最小值；由，使得a2﹣a≥f （x）成立，可得a2﹣a≥f（x）min，然后解不等式可求．解：∵，由基本不等式可得，＝2，当且仅当x＝即x＝1时取得最小值2，∵，使得a2﹣a≥f（x）成立，∴a2﹣a≥f（x）min，∴a2﹣a≥2，解不等式可得，a≥2或a≤﹣1，故a的范围为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞]．故答案为：2；（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞]．13．在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是64，含x2项的系数是240．【分析】先利用二项式系数的性质求得n＝6，再利用二项展开式的通项公式求得含x2项的系数．解：在二项式（2x﹣）6的展开式中，所有项的二项式系数之和是2n＝26＝64，而通项公式为T r+1＝•（﹣1）r 26﹣r•x6﹣2r，令6﹣2r＝2，求得r＝2，可得含x2项的系数是•24＝240，故答案为：64；240．14．函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f（x）的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当x∈[﹣1，1]时，y的取值范围是[1，2]；②如果对任意x∈[a，b]（b＜0），都有y∈[﹣2，1]，那么b的最大值是﹣2．【分析】①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，结合图象可得y的取值范围．②当x≥0时，设抛物线的方程为y＝ax2+bx+c，求解解析式，根据f（x）是定义域为R的偶函数，可得x＜0的解析式，令y＝1，可得x对应的值，结合图象可得b的最大值．解：①根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，当x∈[﹣1，1]时，值域为x∈[0，1]时相同，可得y的取值范围是[1，2]．②当x≥0时，设抛物线的方程为f（x）＝ax2+bx+c，图象过（0，1），（1，2），（3，﹣2），带入计算可得：a＝﹣1，b＝2，c＝1，∴f（x）＝﹣x2+2x+1，当x＜0时，﹣x＞0．∴f（﹣x）＝﹣x2﹣2x+1即f（x）＝﹣x2﹣2x+1．令y＝1，可得1＝﹣x2﹣2x+1．解得：x＝﹣2．结合图象可得b的最大值为﹣2．故答案为：[1，2]；﹣2．15．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足||＝，则||+2||的最小值为．【分析】建立坐标系，设A（1，0），B（0，1），D（1，1），设＝，＝，则||+2||＝CD+2BC，构造相似三角形，设E（1，），可得△AEC∽△ACD，所以||+2||＝CD+2BC＝2（BC+CE）≥2BE＝．解：如图，A（1，0），B（0，1），D（1，1），设＝，＝，则向量满足||＝，设＝，所以点C为以A为圆心，以为半径的圆上的一点，所以||＝|﹣|＝|CD|，同理2||＝2|BC|，取点E（1，），则，又因∠CAE＝∠DAC，所以△AEC∽△ACD，所以，即CD＝2CE，所以||+2||＝CD+2BC＝2CE+2BC＝2（BC+CE），由三角形的三边关系知2（BC+CE）≥2BE＝2＝2×＝．故填：．16．已知a，b∈R，f（x）＝e x﹣ax+b，若f（x）≥1恒成立，则的取值范围是[﹣1，+∞）【分析】先根据导数和函数的最值得关系，以及f（x）≥1恒成立，可得当a＞0时，b ≥alna﹣a+1，代入≥＝lna+﹣2，构造函数g（a）＝lna+﹣2，a＞0，利用导数求出函数的最值即可解：∵f（x）＝e x﹣ax+b，∴f′（x）＝e x﹣a，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）单调递增，f（x）≥1不恒成立，当a＞0时，令f′（x）＝e x﹣a＝0，解得x＝lna，当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna+b，∵f（x）≥1恒成立，∵a﹣alna+b≥1∴b≥alna﹣a+1，∴≥＝lna+﹣2，设g（a）＝lna+﹣2，a＞0∴g′（a）＝﹣＝，令g′（a）＝0，解得a＝1，当a∈（0，1）时，g′（a）＜0，函数g（a）单调递减，当x∈（1，+∞）时，g′（a）＞0，函数g（a）单调递增，∴g（a）min＝0+1﹣2＝﹣1，∴≥﹣1，故答案为：[﹣1，+∞）17．在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD为正方形，且CD+PD ＝3．若四棱锥P﹣ABCD的每个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为6π；当四棱锥P﹣ABCD的体积取得最大值时，二面角A﹣PC﹣D的正切值为．【分析】设CD＝x（0＜x＜3），则PD＝3﹣x，四棱锥P﹣ABCD可补形为一个长方体，球O的球心为PB的中点，然后求解球O的表面积推出最值；四棱锥的体积为V＝（0＜x＜3），利用函数的导数，求解PD＝1，过D作DH⊥PC于H，连接AH，则∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．求解即可．解：设CD＝x（0＜x＜3），则PD＝3﹣x，因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD，所以AB⊥PD，又PD⊥AC，所以PD⊥平面ABCD，则四棱锥P﹣ABCD可补形为一个长方体，球O的球心为PB的中点，从而球心O的表面积为：＝3π[（x﹣1）2+2]≥6π．四棱锥的体积为V＝（0＜x＜3），则V′＝﹣x2+2x，当0＜x＜2时，V′＞0，当2＜x＜3时，V′＜0，所以V max＝V（2）此时AD＝CD＝2，PD＝1，过D作DH⊥PC于H，连接AH，则∠AHD为二面角A﹣PC﹣D的平面角．∵DH＝＝，∴tan∠AHD＝＝．故答案为：6π；．三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，．（1）若ω＝1，，且对任意的，都有，求实数m的取值范围；（2）若，，且f（x）在单调递增，求ω的最大值．【分析】（1）ω＝1，φ＝时，函数f（x）＝sin（x+），不等式化为m≥﹣2sin2x+sin x；求出g（x）＝﹣2sin2x+sin x，在x∈[0，]的最大值即可；（2）根据三角函数的图象与性质，结合题意列方程和不等式，即可求出ω的最大值．解：（1）ω＝1，φ＝时，函数f（x）＝sin（x+），则y＝f（x﹣）+f（2x+）＝sin[（x﹣）+]+sin[（2x+）+]＝sin x+cos2x ＝1﹣2sin2x+sin x；不等式f（x﹣）+f（2x+）﹣m≤1，可化为m≥﹣2sin2x+sin x；设g（x）＝﹣2sin2x+sin x，x∈[0，]，则g（x）＝﹣2+，且x∈[0，]时，sin x∈[0，]，所以sin x＝时，g（x）取得最大值是，所以实数m的取值范围是m≥；（2）若，则x＝是f（x）的对称轴，即ω•+φ＝kπ+，k∈Z；又，则﹣ω+φ＝kπ，k∈Z；所以φ＝，ω＝6k+，k∈Z；又f（x）在单调递增，则，解得ω≤2；综上知，ω的最大值是．19．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点．（Ⅰ）求证：平面B1FC∥平面EAD；（Ⅱ）求证：BC1⊥平面EAD．【分析】（I）根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，结合D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，由三角形的中位线定理，易得AE ∥FB1，DE∥B1C，进而由面面平行的判定定理得到平面B1FC∥平面EAD；（II）根据直三棱柱的结构特征及已知中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，结合D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点，我们可判断出△ABC是正三角形，进而得到AD⊥BC1，DE⊥BC1，结合线面垂直的判定定理即可得到BC1⊥平面EAD．【解答】证明：（Ⅰ）由已知可得AF∥B1E，AF＝B1E，∴四边形AFB1E是平行四边形，∴AE∥FB1，…（1分）∵AE⊄平面B1FC，FB1⊂平面B1FC，∴AE∥平面B1FC；…又D，E分别是BC，BB1的中点，∴DE∥B1C，…∵ED⊄平面B1FC，B1C⊂平面B1FC，∴ED∥平面B1FC；…∵AE∩DE＝E，AE⊂平面EAD，ED⊂平面EAD，…∴平面B1FC∥平面EAD．…（Ⅱ）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴C1C⊥面ABC，又∵AD⊂面ABC，∴C1C⊥AD．…又∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，D是BC边中点，∴△ABC是正三角形，∴BC⊥AD，…而C1C∩BC＝C，CC1⊂面BCC1B1，BC⊂面BCC1B1，∴AD⊥面BCC1B1，…故AD⊥BC1．…∵四边形BCC1B1是菱形，∴BC1⊥B1C，…而DE∥B1C，故DE⊥BC1，…由AD∩DE＝D，AD⊂面EAD，ED⊂面EAD，得BC1⊥面EAD．…20．设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，…，a n为n（n＝2，3，4，…，）阶“期待数列”：①a1+a2+a3+…+a n＝0；②|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|＝1．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”的前k项和为S k（k＝1，2，3，…，n），试证：|S k|≤．【分析】（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，﹣，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，由于a1+a2+…+a2013＝0，可得a1007＝0，a1008＝d，对d分类讨论，利用等差数列的通项公式即可得出．（Ⅲ）当k＝n时，显然|S n|＝0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k＝a1+a2+…+a k ＝﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|＝|a1+a2+…+a k|＝|a k+1+a k+2+…+a n|，再利用绝对值不等式的性质即可得出．解：（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，﹣，，为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d，∵a1+a2+…+a2013＝0，∴＝0，∴a1+a2013＝0，即a1007＝0，∴a1008＝d，当d＝0时，与期待数列的条件①②矛盾，当d＞0时，据期待数列的条件①②可得a1008+a1009+…+a2013＝，∴1006d+d＝，即d＝，∴a n＝a1007+（n﹣1007）d＝（n∈N*，n≤2013），当d＜0时，同理可得a n＝，（n∈N*，n≤2013）．（Ⅲ）当k＝n时，显然|S n|＝0成立；当k＜n时，根据条件①得：S k＝a1+a2+…+a k＝﹣（a k+1+a k+2+…+a n），即|S k|＝|a1+a2+…+a k|＝|a k+1+a k+2+…+a n|，∴2|S k|＝|a1+a2+…+a k|+|a k+1+a k+2+…+a n|≤|a1|+|a2|+…+|a k|+|a k+1|+…+|a n|＝1，∴|S k|（k＝1，2，…，n）．21．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为该抛物线上的一个动点．（1）当|PF|＝2时，求点P的坐标；（2）过F且斜率为1的直线与抛物线交与两点AB，若P在弧AB上，求△PAB面积的最大值．【分析】（1）当|PF|＝2时，利用抛物线的定义，即可求点P的坐标；（2）先求出|AB|，再计算抛物线上点到直线的最大距离，即可求出△PAB的面积的最大值．解：（1）设P（x，y），则y+1＝2，∴y＝1，∴x＝±2，∴P（±2，1）；（2）过F的直线方程为y＝x+1，代入抛物线方程，可得y2﹣6y+1＝0，可得A（2﹣2，3﹣2），B（2+2，3+2），∴|AB|＝•|2+2﹣2+2|＝8．平行于直线l：x﹣y+1＝0的直线设为x﹣y+c＝0，与抛物线C：x2＝4y联立，可得x2﹣4x﹣4c＝0，∴△＝16+16c＝0，∴c＝﹣1，两条平行线间的距离为＝，∴△PAB的面积的最大值为＝4．22．已知函数f（x）＝﹣x3+x2+x+a，g（x）＝2a﹣x3（x∈R，a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间．（2）求函数f（x）的极值．（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）利用导数来求出函数的单调区间．（2）利用导数来求出函数的极值，利用（1）的结论．（3）不等式g（x）≥f（x）恒成立转化为不等式a≥x2+x恒成立，h（x）＝x2+x，x∈[0，1]，利用导数，求出h（x）的最大值，问题得以解决．解：（1）f（x）＝﹣x3+x2+x+a，f'（x）＝﹣3x2+2x+1，．．．（2）由（1）可知，当时，函数f（x）取得极小值，函数的极小值为当x＝1时，函数f（x）取得极大值，函数的极大值为f（1）＝a+1，（3）若任意x∈[0，1]，不等式g（x）≥f（x）恒成立，即对于任意x∈[0，1]，不等式a≥x2+x恒成立，设h（x）＝x2+x，x∈[0，1]，则h'（x）＝2x+1，∵x∈[0，1]，∴h'（x）＝2x+1＞0恒成立，∴h（x）＝x2+x在区间[0，1]上单调递增，∴[h（x）]max＝h（1）＝2∴a≥2，∴a的取值范围是[2，+∞）。
高常考题—函数的性质(含解析)
函数的性质一、题型选讲题型一 、 函数的奇偶性正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性.填空题，可用特殊值法解答，但取特值时，要注意函数的定义域．例1、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =（ ） A ．2x - B ．2x - C ．2x --D ．2x例2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21x f x =-，则()f m 的值为（ ）A ．-15B ．-7C ．3D ．15例3、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）若函数()2ln 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()1f x <的x 的取值范围为（ ） A ．11,1e e -⎛⎫- ⎪+⎝⎭B ．10,1e e -⎛⎫⎪+⎝⎭C ．1,11e e -⎛⎫⎪+⎝⎭D ．11,(1,)1e e -⎛⎫-⋃+∞ ⎪+⎝⎭例4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =题型二、函数的单调性已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数.简称：同增异减.例5、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知函数22,1()1,1ax x x f x ax x ⎧+≤=⎨-+>⎩在R 上为单调増函数，则实数a 的取值范围为________．例6、函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是例7、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，若(31)(2)0f x f ++>，则x 的取值范围是________．题型三、 函数的周期性1、若()f x 是一个周期函数，则()()f x T f x +=，那么()()()2f x T f x T f x +=+=，即2T 也是()f x 的一个周期，进而可得：()kT k Z ∈也是()f x 的一个周期2、函数周期性的判定：（1）()()f x a f x b +=+：可得()f x 为周期函数，其周期T b a =- （2）()()()f x a f x f x +=-⇒的周期2T a = （3）()()()1f x a f x f x +=⇒的周期2T a = （4）()()f x f x a k ++=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a = （5）()()f x f x a k ⋅+=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a =例8、(2019通州、海门、启东期末）已知函数f(x)的周期为4，且当x ∈(0，4]时，f(x)＝⎩⎨⎧cos πx 2，0<x≤2，log 2⎝⎛⎭⎫x －32，2<x≤4.则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12的值为________．例9、(2017南京三模）已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数． 当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －32)|，则f (12)的值为 ▲ ．题型四 函数的对称性函数的对称性要注意一下三点：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a bx +=轴对称 （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
2020年浙江省高考数学全真模拟试卷(1)(3月份)(有解析)
2020年浙江省高考数学全真模拟试卷(1)(3月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知全集U ={l,2，3，4，5，6}，集合A ={l,2，4，6}，集合B ={l,3，5}，则A ∪(∁U B)=( )A. {l,2，3，4，5，6}B. {1,2，4，6}C. {2,4，6}D. {2,3，4，5，6}2. 把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当B 、D 两点距离为a 时，二面角B −AC −D 的大小为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3. 某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积为( )A. 4√3B. 4√33C. 8√3D. 8√334. 已知函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0，若关于x 的方程f(f(x))=m 有两个不同的实数根x 1，x 2，则x 1+x 2的取值范围为( )A. [2,3)B. (2,3)C. [2ln2,4)D. (2ln2,4)5. 已知实数x ，y 满足条件{x −y +1≥0y +1≥0x +y +1≤0，那么2x −y 的最大值为( )A. −3B. −2C. 1D. 26. 已知随机变量X 的分布列如表，则D(X)=( )X 0 1 3P 0.2 0.2 yA. 0.4B. 1.2C. 1.6D. 27. 若双曲线x 2−y 2=2右支上一点(s,t)到直线y =x 的距离为2，则s −t 的值等于( )A. 2B. 2√2C. −2D. −2√28.已知数列{a n}满足a1=32，a n+1=3a na n+3，则a2019=()A. 32020B. 20203C. 20193D. 202139.已知[x]表示不超过x的最大整数，则f(x)=√1−log2[x]的定义域为()A. (0,3]B. [0,3)C. (1,3]D. [1,3)10.“α≠β”是“cosα≠cosβ”的()条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）11.在ΔABC中，已知AB=√3，AC=1，A=30∘，则ΔABC的面积为________________．12.若向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=8，|b⃗ |=12，则|a⃗+b⃗ |的最小值是__________．13.若函数f(x)，g(x)满足：∀x∈(0,+∞)，均有f(x)>x，g(x)<x成立，则称“f(x)与g(x)关于y=x分离”.已知函数f(x)=a x与g(x)=log a x(a>0，且a≠1)关于y=x分离，则a的取值范围是______．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14.已知a,b为正实数，且a+b=2，则2a +1b+1的最小值为(1)，(a2+3)(b2+3)的最小值为(2)．15.在二项式(x−√x )7的展开式中，所有项系数之和为，含x4的项的系数是．16.已知定义域为R的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)=−(x−1)2+1． ①当x∈[−1,0]时，f(x)的取值范围是(1); ②当函数f(x)的图像在直线y=x的下方时，x的取值范围是(2)．17.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中，ABCD是边长为1的正方形，D1B与平面ABCD所成的角为45∘，则棱AA1的长为；二面角B−DD1−C的大小为．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.知函数f(x)=x2+2xsinθ−1,x∈[−√32,12],θ∈[0,2π)．(1)当θ=π6时，求f(x)的最值；(2)若f(x)是单调函数，求θ的取值范围．19.如下图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．(1)求证：平面AD1E//平面BGF．(2)求证：D1E⊥AC．20.在等差数列{a n}中，a4+a7+a10=17，a4+a5+⋯+a14=77，求此数列的通项公式．若a k=13，求k的值．21.已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离是10，求点P的坐标．(a∈R).22.已知函数f(x)=ax+(1−a)lnx+1x(1)当a=0时，求f(x)的极值；(2)当a<0时，求f(x)的单调区间．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵全集U={1,2，3，4，5，6}，集合A={1,2，4，6}，集合B={1,3，5}，∴∁U B={2,4，6}，则A∪(∁U B)={1,2，4，6}．故选：B．根据全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的并集即可此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.答案：D解析：解：如图，连接AC，BD交于O，则DO⊥AC，BO⊥AC，∴∠BOD为二面角B−AC−D的平面角，∵正方形ABCD的边长为a，则BO=DO=√2a，2a，BD=a，可得BO2+OD2=BD2，在△BOD中，由BO=DO=√22则∠BOD=90°．∴二面角B−AC−D的大小为90°．故选：D．由题意画出图形，求出二面角B−AC−D的平面角，解三角形得答案．本题考查二面角的平面角及其求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．3.答案：B解析：本题是基础题，考查三视图的视图能力，计算能力，空间想象能力，常考题型．依据三视图的数据，求出几何体的体积．解：三视图复原的几何体是以俯视图为底面，高为2的三棱锥， 所以三棱锥的体积为：13×12×2×2√3×2=4√33． 故选：B ． 4.答案：A解析：解：函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0，的图象如下：当m ≥1时，f(t)=m ，有两个解t 1，t 2，其中t 1≤0，t 2≥2，f(x)=t 1有一个解，f(x)=t 2有两个解，不符合题意．当m <0时，f(t)=m ，有一个解t ，且t ∈(0,1)，f(x)=t 有一个解，不符合题意．当0≤m <1时，f(t)=m ，有一个解t ，且t ∈[1,2)，f(x)=t 两个不同的实数根x 1，x 2，符合题意． 可得1−x 1=log 2x 2=t ，且t ∈[1,2)，x 1+x 2=2t −t +1，令g(t)=2t −t +1，g′(t)=2t lnt −1>0，故g(t)在[1,2)单调递增，∴g(t)∈[2,3)．故选：A ．画出函数f(x)={1−x,x ≤0log 2x,x >0，的图象，可求得当0≤m <1时，f(t)=m ，有一个解t ，且t ∈[1,2)，f(x)=t 两个不同的实数根x 1，x 2，符合题意．可得1−x1=log2x=t，且t∈[1,2)，x1+x2=2t−t+1，令g(t)=2t−t+1，利用导数求解．本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，属于中档题．5.答案：C解析：解：由约束条件作出图形：易知可行域为一个三角形，验证当直线过点A(0,−1)时，z取得最大值z=2×0−(−1)=1，故选：C．先根据约束条件画出可行域，z=2x−y表示斜率为2的直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．本题是考查线性规划问题，准确作图以及利用几何意义求最值是解决问题的关键，属中档题．6.答案：C解析：解：由题意0.2+0.2+y=1，所以y=0.6所以E(X)=1×0.2+3×0.6=2所以D(X)=4×0.2+1×0.2+1×0.6=1.6故选C．利用概率和为1，确定y的值，计算出期望，即可求得方差．本题考查期望、方差和分布列中各个概率之间的关系，考查学生的计算能力，属于基础题．7.答案：B解析：解：∵双曲线x2−y2=2右支上一点(s,t)到直线y=x的距离为2，∴d=√2=2，∴|s−t|=2√2．又P点在右支上，则有s>t，∴s−t=2√2．故选B．根据点到直线的距离公式能够求出s−t的值．本题考查双曲线的性质和点到直线的距离，解题时要注意公式的灵活运用．8.答案：A解析：本题考查了数列的通项公式与数列的递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．运用数列的递推公式可得数列{1an }是以首项为1a1=23，公差为13的等差数列，进而由等差数列的通项公式可求出a2019．解：∵a n+1=3a na n+3⇒1a n+1=13+1a n⇒1a n+1−1a n=13，∴数列{1a n }是以首项为1a1=23，公差为13的等差数列，∴1a2019=23+(2019−1)×13=20203，∴a2019=32020．故选A．9.答案：D解析：本题主要考查函数定义域的求解，结合根式和对数的性质建立不等式关系是解决本题的关键，属基础题．根据函数表达式建立不等式，结合[x]的定义进行求解即可．解：要使函数有意义，则1−log2[x]≥0，即log2[x]≤1且[x]>0得0<[x]≤2，则1≤x<3，即函数的定义域为[1,3)，故选：D．10.答案：B解析：解：若“α≠β”则“cosα≠cosβ”的逆否命题是：若“cosα=cosβ”则“α=β”，∵α=β⇒cosα=cosβ，又当cosα=cosβ时，α=±β+2kπ，k∈Z，∴cosα=cosβ推不出α=β，∴“cosα=cosβ”是“α=β”的必要非充分条件，即“α≠β”是“cosα≠cosβ”的必要不充分条件．故选：B．根据充分必要条件的定义结合三角函数的性质判断即可．本题考查必要条件、充分条件和充要条件的求法，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．11.答案：√34解析：本题考查三角面积公式，根据题意利用三角形面积公式SΔABC=12AB·AC·sinA，即可求得结果．解：S△ABC=12AB·ACsinA=12×√3×1×sin30°=√34，故答案为√34．12.答案：4解析：本题考查了平面向量数量积中模长公式的应用问题，属于基础题．设a⃗与b⃗ 的夹角为θ，则θ∈[0,π]，利用|b⃗ |−|a⃗|≤|a⃗+b⃗ |≤|a⃗|+|b⃗ |，得出θ=π时，|a⃗+b⃗ |取得最小值．解：设a⃗与b⃗ 的夹角为θ，则θ∈[0,π]，∵|a⃗|=8，|b⃗ |=12，∴|b⃗ |−|a⃗|≤|a⃗+b⃗ |≤|a⃗|+|b⃗ |，即4≤|a⃗+b⃗ |≤20，∴θ=π时，|a⃗+b⃗ |的最小值为4．故答案为4．13.答案：(e1e,+∞)解析：解：由题意，a>1．故问题等价于a x>x(a>1)在区间(0,+∞)上恒成立．构造函数f(x)=a x−x，则f′(x)=a x lna−1，由f′(x)=0，得x=log a(log a e)，x>log a(log a e)时，f′(x)>0，f(x)递增；0<x<log a(log a e)，f′(x)<0，f(x)递减．则x=log a(log a e)时，函数f(x)取到最小值，故有a log a(log a e)−log a(log a e)>0，解得a>e1e．故答案为：(e1e,+∞)．由题意可得y=a x与y=log a x互为反函数，a>1，故问题等价于a x>x(a>1)在区间(0,+∞)上恒成立，利用导数进行解决．本题考查恒成立问题关键是将问题等价转化，从而利用导数求函数的最值求出参数的范围．14.答案：3+2√2316解析：本题考查了利用基本不等式求最值，构造13(a+b+1)=1，由“1”的用法利用基本不等式得2a+1b+1的最小值，由a2+b2=4−2ab可得(a2+3)(b2+3)=(ab−3)2+12，由2=a+b≥2√ab，得0<ab≤1，即可得出最小值．解：由a+b=2，则13(a+b+1)=1，所以2a +1b+1=13(a+b+1)(2a+1b+1)=13[3+2(b+1)a+ab+1]≥13(3+2√2(b+1)a·ab+1)=3+2√23，当且仅当2(b+1)a =ab+1时等号成立，由a+b=2得a2+b2=4−2ab，所以(a2+3)(b2+3)=a2b2+3(a2+b2)+9=a2b2+3(4−2ab)+9=(ab−3)2+12，由a+b=2得2=a+b≥2√ab，得0<ab≤1，当且仅当a=b=1等号成立，所以当ab=1时，(ab−3)2+12取得最小值为16，即(a2+3)(b2+3)的最小值为16，故答案为3+2√23；16．15.答案：−184解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，赋值法求所有项的系数和，属于基础题．赋值法求出所有项的系数之和，写出二项展开式的通项公式，令7−32r=4，得r=2，再代入公式中即可求出含x4项的系数．解：二项式(x−√x )7的展开式中，令x=1，所有项的项式系数之和为(1−2)7=−1，二项展开式的通项公式T r+1=C7r(x)7−rx)r=C7r·(−2)r·x7−32r，由7−32r=4，得r=2，∴含x4项的系数为C72·(−2)2 =21×4=84．故答案为−1；84．16.答案：[−1,0](−1,0)∪(1,+∞)解析：本题考查函数的奇偶性的应用，二次函数的图像以及性质的应用，属于中档题．①由函数的奇偶性，以及二次函数在x ∈[0,1]时的值域即可求得在x ∈[−1,0]时的值域； ②由函数的图像可得x 的取值范围．解：①当x >0时，f(x)=−(x −1)2+1，∴当x ∈[0,1]时，f (x )∈[0,1]，因为f(x)为奇函数，∴当x ∈[−1,0]时，f(x)的取值范围是[−1,0]；②函数f(x)的图像如图所示，当函数f(x)的图像在直线y =x 的下方时，得x 的取值范围是(−1,0)∪(1,+∞).故答案为①[−1,0] ；② (−1,0)∪(1,+∞).17.答案：√245∘解析：(1)由D 1B 与平面ABCD 所成的角为45∘可知∠D 1BD =45∘，又易知在等腰直角三角形DD 1B 中，DD 1=DB =√2，所以AA 1=√2.(2)BD ⊥DD 1，CD ⊥DD 1，∠BDC 即为所求二面角的平面角，为45∘． 18.答案：解：(1)当θ=π6时，f(x)=x 2+x −1=(x +12)2−54，又x ∈[−√32,12]， 所以当x =−12时，f(x)min =−54；x =12时，f(x)max =−14；(2)因为f(x)=x 2+2xsinθ−1的对称轴为x =−sinθ，又欲使f(x)在x ∈[−√32,12]上单调，则−sinθ≤−√32或−sinθ≥12，又θ∈[0,2π)，所以θ∈[π3,2π3]∪[7π6,11π6]．解析：本题主要考查三角函数性质的应用，熟悉三角函数求最值的方法是解答本题的关键，属于中档题，(1)由题意得，直接运用三角函数和二次函数的性质即可求解；(2)由题意得，直接运用三角函数的图像与性质即可求解．19.答案：证明：(1)∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F=BE，且D1F//BE，∴四边形BED1F是平行四边形，∴D1E//BF．∵D1E不在平面BGF内，BF⊂平面BGF，∴D1E//平面BGF．∵FG是△DAD1的中位线，∴FG//AD1．又AD1不在平面BGF内，FG⊂平面BGF，∴AD1//平面BGF．∵AD1∩D1E=D1，∴平面AD1E//平面BGF.(2)如图，连接BD，B1D1，∵底面是正方形，∴AC⊥BD．∵D1D⊥AC，D1D∩BD=D，∴AC⊥平面BDD1B1．∵D1E⊂平面BDD1B1，∴ D 1E ⊥AC.解析：(1)由于E ，F 分别是B 1B 和D 1D 的中点可证得D 1E//BF 再由线面平行的性质定理得到D 1E//平面BGF.同理证得FG//AD 1再由线面平行的性质定理得到AD 1//平面BGF ，再由面面平行的性质定理得到平面AD 1E//平面BGF.(2)由已知可证得AC ⊥平面BDD 1B 1.再由线面垂直的性质定理得到D 1E ⊥AC.20.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 4+a 7+a 10=17，a 4+a 5+a 6+⋯+a 14=77．∴3a 1+18d =17，14a 1+14×132d −(3a 1+3d )=77，化为{3a 1+18d =17a 1+8d =7，解得a 1=53，d =23． ∴a n =53+23(n −1)=2n+33．(2)∵13=a k =2k+33，解得k =18．解析：本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 4+a 7+a 10=17，a 4+a 5+a 6+⋯+a 14=77.可得3a 1+18d =17，14a 1+14×132d −(3a 1+3d )=77，联立解出即可．(2)由(1)可得：13=a k=2k+33，解得k．21.答案：解：设p(x,y)由抛物线的焦半径公式知|PF|=x+p2，又p=1，所以10=x+1，解得x=9，又P在y2=4x上，解出y=±6．所以P(9,6)或(9,−6)解析：本题考察抛物线的焦半径公式，利用焦半径公式|PF|=x+p2求出P的横坐标，然后P在抛物线上，求出纵坐标。
浙江省温州中学2020届高三下学期3月高考模拟测试数学试题含答案.pdf
y＝________.
C. 5＋ 1
D. 5＋ 1 2
5． “α≠β”是 “ coαs≠ coβs”的 ( )
A ．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．函数 f(x)＝ ln|x|的图象大致为 (
)
x
7．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲 评顺序表， 若化学排在生物前面， 数学与物理不相邻且都不排在最后， 则不同的排表方法共 有( )
下列两个命题 ( )
①数列 { an} 的任意一项都是正整数； ②数列 { an} 存在某一项是 5 的倍数．
A ．①正确，②错误
B．①错误，②正确
C ．①②都正确
D ．①②都错误
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本大题共 7 小题 , 多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分 , 共 36 分．
x y＋1
16．已知 F1， F 2 为椭圆 C：x2＋ y2＝1 的左、右焦点，点 43
内心 I 的轨迹方程为 ____________________________ ．
P 在椭圆 C 上移动时，△ PF 1F2 的
17．如图，在△ ABC 中，已知 AB＝ AC＝ 1，∠ A＝ 120 ，°E， F 分别是边 AB，AC 上的点， 且A→E＝ λ→AB， A→F＝ μ→AC，其中 λ， μ∈ (0,1) ，且 λ＋ 4μ＝ 1，若线段 EF ， BC 的中点分别为 M ， N，则 |M→N|的最小值为 ________．
2020年浙江省台州市温岭中学高考数学(3月份)模拟试卷 含解析
2020年高考数学（3月份）模拟试卷一、选择题1．设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|﹣1＜x≤3}，则（A∩C）∪B＝（）A．{2，3}B．{2，3，4}C．{1，2，3，4}D．{2，3，4，5} 2．已知x，y是非零实数，则“x＞y”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为110°，则C的离心率为（）A．2sin 20°B．2cos20°C．D．4．如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的体积（）A．B．1C．2D．35．若x，y满足|y|≤2﹣x，且|x|≤1，则2x+y的最小值为（）A．﹣7B．﹣5C．1D．46．若函数是奇函数，则使f（x）＜1的x的取值范围为（）A．B．C．D．7．已知c＞a，随机变量ξ，n的分布列如表所示，则（）η432P a b cξ234P a b cA．Eξ＞Eη，Dξ＜DηB．Eξ＞Eη，Dξ＝DηC．Eξ＞Eη，Dξ＞DηD．Eξ＜Eη，Dξ＝Dη8．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD中点，M，N 分别为AD，BC的中点，将△ADE沿AE折起，使点D到D1，M到M1，在翻折过程中，有下列命题：①|M1N|的最小值为1；②M1N∥平面CD1E③存在某个位置，使M1E⊥DE④无论M1位于何位置，均有M1N⊥AE．其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．49．已知a1＝1919，a k＝1949，a l＝2019是等差数列{a n}中的三项，同时b1＝1919，b k＝1949，b1＝2019是公比为q的等比数列{b n}中的三项，则q的最大值为（）A．B．C．D．无法确定10．已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）在区间[2，3]上有零点，则a2+ab的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．C．[4，]D．二、填空题11．已知若复数z＝（i为虚数单位）．若z是纯虚数，则以F（0，m）为焦点的抛物线的标准方程为；若|z|＝，则m＝．12．已知A（﹣2，0），B（2，0），动点M满足|MA|＝2|MB|，则点M的轨迹方程是；又若，此时△MAB的面积为．13．在二项式的展开式中，所有项系数和为，展开式中含x2的项是．14．已知正实数a满足a a＝（8a）9a，log a（2a）的值为．15．记A，B，C为△ABC的内角，①若，则＝；②若cos B，cos C是方程5x2﹣3x﹣1＝0的两根，则sin B•sin C＝．16．已知P，Q是椭圆上的两点（点Q在第一象限），若M（1，0），且直线pM，QM的斜率互为相反数，且|PM|＝2|QM|，则直线QM的斜率为．17．已知A，B，C，D，E为半径为1的圆上相异的5点（没有任何两点重合），这5个点两两相连可得到10条线段，则这10条线段长度平方和的最大值为．三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知函数f（x）＝sin cos﹣cos2+1．（Ⅰ）若x，求cos x的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2b cos A≤2c﹣a，求f（B）的取值范围．19．四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD为正三角形，，E为AD的中点．（Ⅰ）证明：平面SAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线SB与平面SEC所成角的正弦值．20．数列{a n}中，a1＝1，a2＝，且．（Ⅰ）令f（n）＝，n≥2），将f（n）用n表示，并求{a n}通项公式；（Ⅱ）令T n＝a12+a22+…+a n2，求证：T n＜．21．如图，已知抛物线的焦点为F．（Ⅰ）若点P为抛物线上异于原点的任一点，过点P作抛物线的切线交y轴于点Q，证明：∠PFy＝2∠PQF；（Ⅱ）A，B是抛物线上两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点D（0，4）（AB不与X轴平行），且|AF|+|BF|＝6．过y轴上一点E作直线m∥x轴，且m被以AD为直径的圆截得的弦长为定值，求△ABE面积的最大值．22．已知函数．（Ⅰ）求函数y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（Ⅱ）若y＝f（x）在x＝x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）≥3ln2．（Ⅲ）若对于任意k∈（﹣∞，2），直线y＝kx+b与函数y＝f（x）图象都有唯一公共点，求实数b的取值范围．参考答案一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|﹣1＜x≤3}，则（A∩C）∪B＝（）A．{2，3}B．{2，3，4}C．{1，2，3，4}D．{2，3，4，5}【分析】求出集合，直接计算．解：集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|﹣1＜x≤3}，则（A∩C）∪B＝{1，2，3}∪B＝{1，2，3，4}，故选：C．2．已知x，y是非零实数，则“x＞y”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】举例说明由x＞y，不能推出，由，也不一定有x＞y，则答案可求．解：由x＞y，不能推出，如x＝3，y＝﹣2；反之，由，也不一定有x＞y，如x＝﹣1，y＝2．∴“x＞y”是“”的既不充分也不必要条件．故选：D．3．双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为110°，则C的离心率为（）A．2sin 20°B．2cos20°C．D．【分析】由双曲线C的一条渐近线的倾斜角为110°，得﹣＝tan110°，所以＝tan70°，C的离心率e＝＝．代入求值即可．解：∵双曲线C的一条渐近线的倾斜角为110°，∴﹣＝tan110°，所以＝tan70°，∴C的离心率e＝＝＝＝．故选：C．4．如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的体积（）A．B．1C．2D．3【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，且PA＝1，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AD∥BC，AB＝AD＝2，BC＝1，再由棱锥体积公式求解．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，且PA＝1，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AD∥BC，AB＝AD＝2，BC＝1．∴该多面体的体积V＝．故选：B．5．若x，y满足|y|≤2﹣x，且|x|≤1，则2x+y的最小值为（）A．﹣7B．﹣5C．1D．4【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．解：作出x，y满足|y|≤2﹣x，且|x|≤1，对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得A（﹣1，﹣3），此时z＝2×（﹣1）+（﹣3）＝﹣5，则2x+y的最小值为：﹣5．故选：B．6．若函数是奇函数，则使f（x）＜1的x的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由奇函数的定义可得f（﹣x）+f（x）＝0，即ln（+a）+ln（+a）＝0，变形可得a的值，即可得函数的解析式，由复合函数的单调性判断方法可得f（x）在（﹣1，1）上为增函数，求出满足f（x）＝1的x的值，据此分析可得答案．解：根据题意，函数是奇函数，则f（﹣x）+f（x）＝0，即ln（+a）+ln（+a）＝0，变形可得（）（）＝1，分析可得：a＝﹣1，则f（x）＝ln（﹣1）＝ln（），有＞0，解可得﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1），设t＝，则y＝lnt，t＝＝﹣﹣1，则t在（﹣1，1）上为增函数，而y＝lnt在（0，+∞）上为增函数，则f（x）在（﹣1，1）上为增函数，若f（x）＝1，即＝e，解可得x＝，则f（x）＜1⇒f（x）＜f（）⇒x＜，又由﹣1＜x＜1，则有﹣1＜x＜，即x的取值范围为（﹣1，）；故选：A．7．已知c＞a，随机变量ξ，n的分布列如表所示，则（）η432P a b cξ234P a b cA．Eξ＞Eη，Dξ＜DηB．Eξ＞Eη，Dξ＝DηC．Eξ＞Eη，Dξ＞DηD．Eξ＜Eη，Dξ＝Dη【分析】求出数学期望，作差比较大小，和利用方差的性质，得到结论．解：Eξ＝2a+3b+4c，Eη＝4a+3b+2c，Eξ﹣Eη＝2（c﹣a）＞0，由ξ+η＝6，所以Dξ＝D（6﹣η）＝Dη，故选：B．8．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD中点，M，N 分别为AD，BC的中点，将△ADE沿AE折起，使点D到D1，M到M1，在翻折过程中，有下列命题：①|M1N|的最小值为1；②M1N∥平面CD1E③存在某个位置，使M1E⊥DE④无论M1位于何位置，均有M1N⊥AE．其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】通过连接直线DN等直线，结合直线与平面的平行与垂直，转化判断4个命题的真假即可．解：在直角梯形ABCD中，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD中点，M，N分别为AD，BC的中点，将△ADE沿AE折起，使点D到D1，M到M1，在翻折过程中，当D1与C重合时，|M1N|的最小值为1；所以①正确；连接MN交AE于F连接M1F，可以证明平面FM1N∥平面CD1E，所以M1N∥平面CD1E，所以②正确；当D1E⊥平面ABCD时，M1E⊥DE，所以③正确；因为AE⊥FN，AE⊥M1F，所以直线AE⊥平面FM1E，所以无论M1位于何位置，均有M1N⊥AE．所以④正确；故选：D．9．已知a1＝1919，a k＝1949，a l＝2019是等差数列{a n}中的三项，同时b1＝1919，b k＝1949，b1＝2019是公比为q的等比数列{b n}中的三项，则q的最大值为（）A．B．C．D．无法确定【分析】由题意可得3l＝10k﹣7，，要使q最大，则l﹣k最小，结合等式3l＝10k﹣7求得l﹣k的最小值，则q的最大值可求．解：由题意，数列{b n}不是常数列．由a1＝1919，a k＝1949，a l＝2019是等差数列{a n}中的三项，得d＝，即，得．由b1＝1919，b k＝1949，b1＝2019是公比为q的等比数列{b n}中的三项，得＞1，则，要使q最大，则l﹣k最小，由3l＝10k﹣7，得k＝1，l＝1（舍）；k＝4，l＝11；k＝7，l＝21；k＝10，l＝31；…；由上可知，当k与l均增加时，由于l的系数小于k的系数，则要使等式3l＝10k﹣7成立，l比k增加要快．∴l﹣k的最小值为7．则q的最大值为．故选：B．10．已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）在区间[2，3]上有零点，则a2+ab的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．C．[4，]D．【分析】不妨设x1，x2为函数f（x）的两个零点，其中x1∈[2，3]，x2∈R，运用韦达定理和主元法、二次函数的最值，构造函数g（x1），求得导数，判断单调性，可得所求范围．解：不妨设x1，x2为函数f（x）的两个零点，其中x1∈[2，3]，x2∈R，则x1+x2＝﹣a，x1x2＝b．则a2+ab＝（x1+x2）2﹣（x1+x2）•x1x2＝（1﹣x1）x22+（2x1﹣x12）x2+x12，由1﹣x1＜0，x2∈R，所以（1﹣x1）x22+（2x1﹣x12）x2+x12≤＝，可令g（x1）＝，g′（x1）＝，当x1∈[2，3]，g′（x1）＞0恒成立，所以g（x1）∈[g（2），g（3）]＝[4，]．则g（x1）的最大值为，此时x1＝3，还应满足x2＝﹣＝﹣，显然x1＝3，x2＝﹣时，a＝b＝﹣，a2+ab＝．故选：B．二、填空题：共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．已知若复数z＝（i为虚数单位）．若z是纯虚数，则以F（0，m）为焦点的抛物线的标准方程为x2＝2y；若|z|＝，则m＝±3．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得m，可得抛物线的方程；再由复数模的计算公式列式求m值．解：∵z＝＝为纯虚数，则2m﹣1＝0，即m＝，则F（0，），∴以F（0，）为焦点的抛物线的标准方程为x2＝2y；由|z|＝，得＝＝，解得m＝±3．故答案为：x2＝2y；±3．12．已知A（﹣2，0），B（2，0），动点M满足|MA|＝2|MB|，则点M的轨迹方程是3x2+3y2﹣20x+12＝0；又若，此时△MAB的面积为．【分析】设M（x，y），由|MA|＝2|MB|列式可得点M的轨迹方程，再写出以AB为直径的圆的方程，与M的轨迹联立求得M的纵坐标，再由三角形面积公式求解．解：A（﹣2，0），B（2，0），设M（x，y），由|MA|＝2|MB|，得，整理得：3x2+3y2﹣20x+12＝0；以AB为直径的圆的方程为x2+y2＝4，联立，解得|y|＝．即M点的纵坐标的绝对值为．∴此时△MAB的面积为S＝．故答案为：3x2+3y2﹣20x+12＝0；．13．在二项式的展开式中，所有项系数和为128，展开式中含x2的项是﹣2835x2．【分析】令x＝1，可得所有项系数和．再利用二项展开式的通项公式，求出展开式中含x2的项．解：∵二项式的展开式中，令x＝1，可得所有项系数和为（3﹣1）7＝128．二项式的展开式中，通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•37﹣r•，令7﹣＝2，求得r＝3，可得展开式中含x2的项是﹣•34•x2＝﹣2835x2，故答案为：128；﹣2835x2．14．已知正实数a满足a a＝（8a）9a，log a（2a）的值为．【分析】推导出a＝9a log a8a，由log a8a＝，得log a8＝﹣，从而log a2＝﹣，由此能求出log a（2a）的值．解：∵正实数a满足a a＝（8a）9a，∴a＝9a log a8a，由log a8a＝，得log a8＝﹣，∴log a2＝﹣，∴log a（2a）＝log a2+1＝﹣＝．故答案为：．15．记A，B，C为△ABC的内角，①若，则＝2；②若cos B，cos C是方程5x2﹣3x﹣1＝0的两根，则sin B•sin C＝．【分析】①由已知得1+sin A＝3cos A，再利用sin2A+cos2A＝1，即可得出sin A，cos A，代入即可；②由题知cos B+cos C＝①cos B cos C＝②，将①平方得出cos2B+cos2C，再由，乘进去代入即可得出结果解：①由已知得1+sin A＝3cos A＞0，再由sin2A+cos2A＝1，联立化简，则故应填2；②由题知cos B+cos C＝①cos B cos C＝②将①式平方得得＝＝故应填16．已知P，Q是椭圆上的两点（点Q在第一象限），若M（1，0），且直线pM，QM的斜率互为相反数，且|PM|＝2|QM|，则直线QM的斜率为1．【分析】设直线PM斜率为k，得出直线PM的方程，联立方程组消元，得出N点坐标，代入椭圆方程计算k的值即可得出OM的斜率﹣k．解：延长PM交椭圆于N，由对称性可知|QM|＝|MN|，设直线PM的斜率为k，则直线PM的方程为y＝k（x﹣1）（k＜0），联立方程组，消元得：（+3）y2+﹣2＝0，设P（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2＝，∵|PM|＝2|QM|，∴y1＝﹣2y2．∴y1+y2＝﹣y2＝，即y2＝，∴x2＝+1，把N（+1，）代入椭圆方程得：（+1）2+3（）2＝3，解得k2＝1，∴k＝﹣1，∴直线QM的斜率为﹣k＝1．故答案为：1．17．已知A，B，C，D，E为半径为1的圆上相异的5点（没有任何两点重合），这5个点两两相连可得到10条线段，则这10条线段长度平方和的最大值为25．【分析】由，……，，再相加即可求得答案．解：不妨设圆心为O，则，……，，∴＝＝＝，当且仅当时取等号．故答案为：25．三、解答题：共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知函数f（x）＝sin cos﹣cos2+1．（Ⅰ）若x，求cos x的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2b cos A≤2c﹣a，求f（B）的取值范围．【分析】（I）先利用二倍角公式，辅助角公式先对已知函数进行化简，然后结合两角和的余弦公式展开即可求解；（II）由已知结合正弦定理进行化简可求cos B的范围，进而可求B的范围，代入f（B）后结合余弦函数的性质即可求解．解：（I）f（x）＝sin cos﹣cos2+1＝，＝＝sin（x﹣）+，由x可得sin（x﹣）+＝，所以sin（x﹣）＝，cos（x﹣）＝，所以cos x＝cos[（x﹣）+]＝＝．（II）因为2b cos A≤2c﹣a，由正弦定理可得，2sin B cos A≤2sin C﹣sin A，从而可得，2sin B cos A≤2sin A cos B+2sin B cos A﹣sin A，即cos B，因为0＜B＜π，所以0＜B，，所以，所以f（B）＝sin（B﹣）+．19．四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD为正三角形，，E为AD的中点．（Ⅰ）证明：平面SAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线SB与平面SEC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）推导出SE⊥AD，SE⊥CE，从而SE⊥平面ABCD，由此能证明平面SAD ⊥平面ABCD．（Ⅱ）以E为原点，EA为x轴，过E作AB的平行线为y轴，ES为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线SB与平面SEC所成角的正弦值．解：（Ⅰ）证明：∵侧面SAD为正三角形，E为AD的中点，∴SE⊥AD，∵底面ABCD是边长为2的正方形，侧面SAD为正三角形，，E为AD的中点．∴SE＝，CE＝＝，∴SE2+CE2＝SC2，∴SE⊥CE，∵AD∩CE＝E，∴SE⊥平面ABCD，∵SE⊂平面SAD，∴平面SAD⊥平面ABCD．（Ⅱ）解：以E为原点，EA为x轴，过E作AB的平行线为y轴，ES为z轴，建立空间直角坐标系，则S（0，0，），B（1，2，0），E（0，0，0），C（﹣1，2，0），＝（1，2，），＝（0，0，），＝（﹣1，2，0），设平面SEC的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（2，1，0），设直线SB与平面SEC所成角为θ，则直线SB与平面SEC所成角的正弦值为：sinθ＝＝＝．20．数列{a n}中，a1＝1，a2＝，且．（Ⅰ）令f（n）＝，n≥2），将f（n）用n表示，并求{a n}通项公式；（Ⅱ）令T n＝a12+a22+…+a n2，求证：T n＜．【分析】（I）由数列{a n}中，a1＝1，a2＝，且．可得f（n）＝﹣＝＝﹣．利用累加求和方法可得a n+1，可得a n．（II）n≥3时，＝＜＝（﹣）．即可证明．解：（I）∵数列{a n}中，a1＝1，a2＝，且．∴f（n）＝﹣＝＝﹣．n≥2时，﹣＝1﹣++……+﹣＝1﹣．∴a n+1＝，可得a n＝．n＝2时成立．∴a n＝．（II）证明：n≥3时，＝＜＝（﹣）．∴T n＜1++（﹣+﹣+……+﹣）＝1++＜．n＝1，2时也成立．综上可得：T n＜．21．如图，已知抛物线的焦点为F．（Ⅰ）若点P为抛物线上异于原点的任一点，过点P作抛物线的切线交y轴于点Q，证明：∠PFy＝2∠PQF；（Ⅱ）A，B是抛物线上两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点D（0，4）（AB不与X轴平行），且|AF|+|BF|＝6．过y轴上一点E作直线m∥x轴，且m被以AD为直径的圆截得的弦长为定值，求△ABE面积的最大值．【分析】（Ⅰ）设P的坐标，求出在P处的导数，进而求出在P处的切线的方程，令x ＝0求出Q的坐标，进而求出FQ的值，P到准线的距离为PF的值可得PF＝FQ，进而可得结论；（Ⅱ）设直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长AB，再求线段AB的中点坐标，求出AB的中垂线的方程，将D点代入中垂线的方程可得参数的关系，设E的坐标，由以AD为直径的圆圆直线m的弦长为定值可得E的坐标，进而求出E到直线AB的距离，代入面积公式可得关于直线AB斜率的表达式，令函数求导可得函数的最大值，即求出面积的最大值．解：（Ⅰ）由抛物线的方程可得F（0，1），准线方程：y＝﹣1，设P（x0，），由抛物线的方程可得y'＝，所以在P处的切线的斜率k＝，所以在P处的切线方程为：y﹣＝（x﹣x0）令x＝0可得y＝﹣，即Q（0，﹣），所以FQ＝1+，而P到准线的距离d＝+1，由抛物线的性质可得PF＝d所以PF＝FQ，∠PQF＝∠QPF，可证得：∠PFy＝2∠PQF；（Ⅱ）设直线AB的方程为：y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），直线与抛物线联立整理可得：x2﹣4kx﹣4m＝0，△＝16k2+16m＞0，即k2+m＞0，x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4m，y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝4k2+2m，所以AB的中点坐标为：（2k，2k2+m），所以线段AB的中垂线方程为：y﹣（2k2+m）＝﹣（x﹣2k），由题意中垂线过D（0，4），所以2k2+m+2＝4，即2k2+m＝2，①由抛物线的性质可得：|AF|+|BF|＝y1+y2+2＝6，所以4k2+2m+2＝6，即2k2+m＝2②设E（0，b），AD2＝x12+（y1﹣4）2，AD的中点的纵坐标为，所以以AD为直径的圆与直线m的相交弦长的平方为：4[﹣（b﹣）2]＝4[﹣b2﹣+b（y1+4）]＝4[y1﹣b2+4b﹣4y1+by1]＝4[（b﹣3）y1+4b﹣b2]，要使以AD为直径的圆截得的弦长为定值则可得b＝3，时相交弦长的平方为定值12，即E（0，3），所以E到直线AB的距离为：d＝，而弦长|AB|＝＝4，所以S△EAB＝•d＝＝2|3﹣m|，将①代入可得S△ABE＝2|3﹣2+2k2|＝2|1+2k2|＝2设f（k）＝﹣4k6+4k4+7k2+2，为偶函数，只看k＞0的情况即可，f'（k）＝﹣24k5+16k3+14k＝﹣2k（12k4﹣6k2﹣7＝﹣2k（2k2+1）（6k2﹣7）令f'（k）＝0，k＝当0＜k，f'（k）＞0，f（k）单调递增；当，f'（k）＜0，f（k）单调递减所以k∈（﹣，）且k≠0，上，f（）＝f（﹣）为最大值所以S△ABE的最大值为：2|1+2×|＝．22．已知函数．（Ⅰ）求函数y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（Ⅱ）若y＝f（x）在x＝x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）≥3ln2．（Ⅲ）若对于任意k∈（﹣∞，2），直线y＝kx+b与函数y＝f（x）图象都有唯一公共点，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）先求导得f′（1），函数f（x）在x＝1处的切线方程为：y﹣f（1）＝f′（1）（x﹣1），代入化简即可得结论．（Ⅱ）根据y＝f（x）在x＝x1，x2（x1≠x2）处导数相等，即x1，x2为方程（2﹣m）x2﹣3x+1＝0的根，，解得﹣，由韦达定理x1+x2，x1x2，所以f（x1）+f（x2）＝2（x1+x2）﹣（+）﹣3（lnx1+lnx2）＝﹣3﹣3ln，钩爪函数求导可证．（Ⅲ）将问题转化为h（x）＝有唯一零点，再利用导数研究函数的单调性，利用函数单调性得函数草图，根据草图可得．解：（Ⅰ）f′（x）＝2+﹣＝所以f′（1）＝0，所以函数f（x）在x＝1处的切线方程为：y﹣f（1）＝f′（1）（x﹣1），即y＝1．（Ⅱ）根据题意得，f′（x1）＝f′（x2）＝m，即x1，x2为方程（2﹣m）x2﹣3x+1＝0的根，，解得﹣，所以x1+x2＝，x1x2＝，所以f（x1）+f（x2）＝2（x1+x2）﹣（+）﹣3（lnx1+lnx2）＝2（x1+x2）﹣（）﹣3ln（x1x2）＝2×﹣﹣3ln＝﹣3﹣3ln，令t＝，（t＞）g（t）＝6t﹣3﹣3lnt，（t＞），g′（t）＝6﹣＝，当t∈（，+∞）时，g′（t）＞0，g（t）单调递增．当t∈（，）时，g′（t）＜0，g（t）单调递减．所以g（t）min＝g（）＝3ln2，所以g（t）≥3ln2，所以f（x1）+f（x2）≥3ln2．（Ⅲ）根据题意得，方程f（x）＝kx+b只有一个根，即k＝只有一个根，令h（x）＝，有唯一零点，当x→0+时，h（x）→﹣∞，x→+∞时，h（x）→2，下面证明h（x）＜2恒成立，若存在x0∈（0，+∞），使得h（x0）≥1，所以存在x1∈（0，x0），x2∈（x0，+∞），使得h（x1）＜1，h（x2）＜1，k＝max{h（x1），h（x2）}＜2，则y＝k与y＝h（x）至少有两个交点，矛盾．由对于任意k∈（﹣∞，2），h（x）＝k只有一个解，得h（x）为（0，+∞）上的增函数，所以h′（x）＝≥0，得b≥﹣﹣3lnx+3，令m（x）＝﹣﹣3lnx+3，（x＞0），则m′（x）＝﹣＝，所以m（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，m（x）max＝m（）＝﹣3ln．得b≥m（x）max＝m（）＝﹣3ln．。
2020届浙江省台州市温岭中学高三下学期3月模拟测试数学试题(word无答案)
2020届浙江省台州市温岭中学高三下学期3月模拟测试数学试题一、单选题(★) 1 . 设集合，，，则（）A．B．C．D．(★★) 2 . 已知是非零实数，则“ ”是“ ”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(★) 3 . 双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为（）A．B．C．D．(★★) 4 . 如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的体积（）A．B．C．D．(★★) 5 . 若，满足叫，且，则的最小值为（）A ．B ．C ．D ．(★) 6 . 若函数 是奇函数，则使 的 的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．(★★) 7 . 已知 ，随机变量 ， 的分布列如表所示，则（）A ．，B ．，C ．，D ．，(★★) 8 . 如图，在直角梯形中，，， ， 为 中点， ，分别为，的中点，将沿 折起，使点到，到，在翻折过程中，有下列命题： ① 的最小值为 ； ② 平面；③存在某个位置，使；④无论位于何位置，均有.其中正确命题的个数为（）A．B．C．D．(★★) 9 . 已知，，是等差数列中的三项，同时，，是公比为的等比数列中的三项，则的最大值为（）A．B．C．D．无法确定(★★★★★) 10 . 已知函数在区间上有零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、双空题(★) 11 . 已知若复数( 为虚数单位).若是纯虛数，则以为焦点的抛物线的标准方程为___________；若，则___________.(★★) 12 . 已知，，动点满足，则点的轨迹方程是___________；又若，此时的面积为___________.(★) 13 . 在二项式的展开式中，所有项系数和为____________，展开式中含的项是____________.三、填空题(★★) 14 . 已知正实数满足，的值为____________.四、双空题(★★) 15 . 记，，为的内角，①若，则____________；②若，是方程的两根，则____________.五、填空题(★★) 16 . 已知，是椭圆上的两点(点在第一象限)，若，且直线，的斜率互为相反数，且，则直线的斜率为____________.(★★) 17 . 已知，，，，为半径为的圆上相异的点(没有任何两点重合)，这个点两两相连可得到条线段，则这条线段长度平方和的最大值为____________.六、解答题(★★) 18 . 已知函数.若，，求得值；在中，角，，的对边分别为，，且满足，求的取值范围.(★★★★)19 . 四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为正三角形，，为的中点.证明：平面平面；求直线与平面所成角的正弦值.(★★★★) 20 . 数列中，，，且.令，将用表示，并求通项公式；令，求证：.(★★★★★) 21 . 如图，已知抛物线的焦点为.若点为抛物线上异于原点的任一点，过点作抛物线的切线交轴于点，证明：.，是抛物线上两点，线段的垂直平分线交轴于点 ( 不与轴平行)，且.过轴上一点作直线轴，且被以为直径的圆截得的弦长为定值，求面积的最大值.(★★★★★) 22 . 已知函数.求函数在处的切线方程；若在，处导数相等，证明：.若对于任意，直线与函数图象都有唯一公共点，求实数的取值范围.。
2020年浙江省台州市温岭中学高考数学模拟试卷(3月份)
2020年浙江省台州市温岭中学高考数学模拟试卷（3月份）一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知全集{1U =，2，3，5，8}．集合{1A =，3，5}，{1B =，2，5，8}．则()(U A B =⋂ð) A ．{3} B ．{1，5}C ．{1，3，8}D ．{1，2，3，5}2．（4分）已知21iz i=+，i 是虚数单位，则||(z = )A ．1BC D ．23．（4分）已知{}n a 是公比不为1的等比数列，且4a ，2a ，3a 依次构成等差数列，则公比为( ) A ．12B ．2C ．12-D ．2-4．（4分）已知实数x ，y 满足01x <<，0y >则“x y <”是“log 1x y <”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（4分）设α，β，γ是三个互不重合的平面，m ，n 是两条互不重合的直线，则下列说法正确的是( )A ．若//m α，//m β，则//αβB ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊥，m β⊥，则//αβD ．若a γ⊥，βγ⊥，则//αβ6．（4分）若正实数a ，b ，满足1a b +=，则33b a b +的最小值为( )A ．2B ．C ．5D ．7．（4分）Rt ABC ∆，90C ∠=︒，60A ∠=︒，2CA =，D 是边BC 的中点，E 、F 是线段AB 上两动点，且1EF =．则DE DF u u u r u u u rg 的最小值是( )A ．13B ．12C ．1D ．328．（4分）安排5名班干部周一至周五值班，每天1人，每人值1天，若甲、乙两人要求相邻两天值班，甲、丙两人都不排周二，则不同的安排方式有( ) A ．13B ．18C ．22D ．289．（4分）双曲线22122:1(0,0),x y C a b F a b -=>>，2F 分别为左、右焦点，过右焦点2F 的直线l 与双曲线同一支相交于A ，B 两点．若224||5||AF BF =，且221||BF a b =+，则该双曲线的离心率e 为( ) A ．54B ．119C ．3127D ．210．（4分）函数2sin2()23x f x x x π=-+，则下列结论中不正确的是( ) A ．曲线()y f x =存在对称中心 B ．曲线()y f x =存在对称轴 C ．函数()f x 的最大值为12D ．|()|||f x x „二.填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在题中的横线上.11．（6分）已知实数x 、y 满足条件0220y y xx y ⎧⎪⎨⎪+-⎩…„„，则2x y -的最小值为 ，最大值为 ． 12．（6分）6(2)x x+展开式中3x 的系数是15，则展开式的常数项为 ，展开式中有理项的二项式系数和为 ．13．（6分）盒子中装有8个除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黑球3个，若取到红球记2分，取到黑球记1分，现从盒子中任取3个，记总分为ξ，(4)P ξ== ，()E ξ= ． 14．（6分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ，表面积为 ．15．（4分）ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 3sin cos b A a B =，2b =，ABC ∆3ABC ∆的周长为 ．16．（4分）已知圆22:4O x y +=，A 、B 为圆O 上两个动点，满足||3AB =D 为线段AB 的中点，(3,)E m ，(3,5)F m +．当A 、B 在圆上运动时，存在某个位置使EDF ∠为钝角，则实数m 的取值范围是 ．17．（4分）设函数2()|3|f x ax bx =-+，若对任意的负实数a 和实数b ，总有0[1x ∈，2]使得00()f x mx …，则实数m 的取值范围是 ．三.解答题：本大题共5小题，共74分，其中第18题14分，其余均为15分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.18．（14分）已知函数()sin cos (0f x m x x m ωω=+>，0)πω>>在6x π=时取到最大值2．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若4()65f πα-=，233ππα<<，求cos2α的值．19．（15分）在直角三角形ABC 中，90,3,3C AC BC ∠=︒==M 、N 分别在线段AC 、AB 上，//MN BC ，2AM MC =．沿着MN 将AMN ∆折至如图，使3A C '=．（1）若P 是线段A C '的中点，试在线段NB 上确定点Q 的位置，使//PQ 面A MN '； （2）在（1）条件下，求CQ 与平面A MN '所成角的正弦值．20．（15分）已知数列{}{}n n a b >满足：1111321,2,22n n n n n n a a a b b ++++=-==g ．（1）求证：{}n b 是等比数列，并求n b 的通项公式；（2）记n S 、n T 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项和．求证：对任意*1,nn n nS n N a T T +∈+…． 21．（15分）点(1,1)A 是抛物线2:2C x py =内一点，F 是抛物线C 的焦点，Q 是抛物线C 上任意一点，且已知||||QA QF +的最小值为2． （1）求抛物线C 的方程；（2）抛物线C 上一点(2,)B b 处的切线与斜率为常数k 的动直线l 相交于P ，且直线l 与抛物线C 相交于M 、N 两点．问是否有常数λ使2||||||PB PM PN λ=g？ 22．（15分）已知函数2()1f x ax x xlnx =-++，()2g x ax =． （1）求证：当1a =时，()0f x >；（2）记()()()h x f x g x =-，若()h x 有唯一零点，求实数a 的取值范围．。
2020年浙江省台州市温岭中学高考数学模拟试卷(二)(3月份)
根据题意，若正实数 ， ，满足 ＝ ，
则 ＝ ，
当且仅当 ＝ 时等号成立，
即 的最小值为 ；
7.
【答案】
B
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
建立平面直角坐标系，设 ＝ ，求出相关点的坐标，求出 ， 的向量坐标，则 可表示为 的函数，利用函数的性质得出最小值．
【解答】
建立如图所示的坐标系，可得 ， ， ，设 ＝ ， ，则 ， （ ），
2020年浙江省台州市温岭中学高考数学模拟试卷（二）（3月份）
一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集 ＝ ．集合 ＝ ， ＝ ．则 ＝（）
A. B. C. D.
2.已知 ， 是虚数单位，则 ＝（）
A. B. C. D.
3.已知 是公比不为 的等比数列，且 ， ， 依次构成等差数列，则公比为（）
所以 面 ，即 为 的中点时， 面 ；
因为三角形 中， ， ， ＝ ．
所以 ＝ ， ＝ ，由 ，易知 ＝ ，
所以 ，又 ，所以 ， ，
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 ，
所以 ， ， ， ， ，∴
∴
又 ， 设平面 的法向量 ，
∴ ，即 ，令 ＝ ，则 ， ＝ ，所求的一个法向量 ，
【解答】
函数 ＝ ，其中 ，
∵ 在 时取到最大值 ，∴ ， ，∴ ，Fra bibliotek∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ＝ ，
∴ ；
由（1）可得 ＝
∵ ，
∴ ＝ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，
专题03 充分、必要、充要问题的研究(解析版)
专题03 充分、必要、充要问题的研究一、题型选讲题型一 、充分、不要条件的判断充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．（2）等价法：利用p⇒q 与非q⇒非p ，q⇒p 与非p⇒非q ，p⇔q 与非q⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若A⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 例1、【2020年高考天津】设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <， 据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件. 故选A ．1-1、【2019年高考天津理数】设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由250x x -<可得05x <<，由|1|1x -<可得02x <<， 易知由05x <<推不出02x <<， 由02x <<能推出05x <<，故05x <<是02x <<的必要而不充分条件， 即“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要而不充分条件. 故选B.1-2、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）已知,x y 是非零实数，则“x y >”是“11x y<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 因为11x y <,所以00x y x y xy xy >⎧->⇒⎨>⎩或0x y xy <⎧⎨<⎩ ,所以x y >是“11x y <”的既不充分也不必要条件,选D 1-3、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）已知0a >且1a ≠，则“()log 1a a b ->”是“()10a b -⋅<”成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由()log 1a a b ->当1a >时，a b a ->得0b <，推出()10a b -<， 当01a <<时，0a b a <-<得0b >，推出()10a b -<， 则()log 1a a b ->是()10a b -<的充分条件，但当()10a b -<时不一定能推出()log 1a a b ->（比如：01a <<，1b >，这时0a b -<无意义） 则()log 1a a b ->是()10a b -<的不必要条件， 故选：A.1-4、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）已知m 为非零实数，则“11m＜-”是“1m ＞-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由11m <-，得10m m +<，解得10m -<<，故“11m<-”是“1m >-”的充分不必要条件.故选A.例2、【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件. 依题意，,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件. 故选B.2-1、（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当“直线a 和直线b 相交”时，平面α和平面β必有公共点，即平面α和平面β相交，充分性成立； 当“平面α和平面β相交”，则 “直线a 和直线b 可以没有公共点”，即必要性不成立. 故选A.例3、【2020年高考北京】已知,αβ∈R ，则“存在k ∈Z 使得π(1)k k αβ=+-”是“sin sin αβ=”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】(1)当存在k ∈Z 使得π(1)kk αβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin πsin k αββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin πsin 1ππsin πsin k k αββββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2πm αβ=+或π2πm αβ+=+，m ∈Z ，即()()π12kk k m αβ=+-=或()()π121kk k m αβ=+-=+，亦即存在k ∈Z 使得π(1)kk αβ=+-．所以，“存在k ∈Z 使得π(1)kk αβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选C ．3-1、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由题意可得，在ABC ∆中，因为tan tan 1A B >， 所以sin sin 1cos cos A BA B>，因为0,0A B ππ<<<<，所以sin sin 0A B >，cos cos 0A B >，结合三角形内角的条件，故A,B 同为锐角，因为sin sin cos cos A B A B >， 所以cos cos sin sin 0A B A B -<，即cos()0A B +<，所以2A B ππ<+<，因此02C <<π，所以ABC ∆是锐角三角形，不是钝角三角形，所以充分性不满足，反之，若ABC ∆是钝角三角形，也推不出“tan tan 1B C >，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，故选D.3-2、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）“”αβ≠是”cos cos αβ≠的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】cos cos αβαβ=⇒=所以cos cos αβαβ≠⇒≠ （逆否命题）必要性成立当cos cos αβαβ=-⇒=，不充分 故是必要不充分条件，答案选B3-3、（江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测）将函数()sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，得到函数y g x =（）的图象.则“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的________条件，（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”中选填一个） 【答案】充分不必要【解析】由题意，将函数()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ个单位，可得sin 4（）=πϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭gx x 的图像， 当34πϕ=时，可得3sin sin cos 442（）=πππ⎛⎫⎛⎫+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭gx x x x ，显然()g x 为偶函数， 所以“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的充分条件； 若函数()g x 为偶函数，则,42ππϕπ-=+∈k k Z ，即,4πϕπ=--∈k k Z ，不能推出34πϕ=， 所以“34πϕ=”不是“函数()g x 为偶函数”的必要条件， 因此“34πϕ=”是“函数()g x 为偶函数”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要例4、【2019年高考北京理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵A ､B ､C 三点不共线，∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AC -AB |⇔|AB +AC |2>|AC -AB |2AB ⇔·AC >0AB ⇔与AC 的夹角为锐角，故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件. 故选C.4-1、（2020届山东省日照市高三上期末联考）设,a b 是非零向量，则2a b =是a abb =成立的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】由2a b =可知：a b ， 方向相同，a ba b ， 表示 a b ， 方向上的单位向量所以a b a b=成立;反之不成立. 故选B例5、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）已知,R a b ∈，则“1a =”是“直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直， 则()220a a +-=，解得2a =-或1a =，所以，由“1a =”可以推出“直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直”，由 “直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直”不能推出“1a =”，故“1a =”是“直线10ax y +-=和直线2(2)10x a y +--=垂直”的充分不必要条件， 故选：A.5-1、（2020·浙江温州中学高三3月月考）“直线()1330m x y +-+=与直线220x my -+=平行”的充要条件是m =（ ） A ．-3 B ．2 C ．-3或2 D ．3或2【答案】A【解析】当0m =或1m =-时，显然直线不平行， 由132m m+=，解得：3m =-或2m =， 3m =-时，直线分别为：2330x y --+=和2320x y ++=，平行， 2m =时，直线分别为：3330x y -+=和2220x y -+=，重合，故3m =-， 故选：A ．例6、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“990S >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】设等比数列{}n a 公比为q ，当1q =时，19910990a S a >⇔=>，当1q ≠时，999999111,011q q S a q q --=⋅>--， 19900a S >⇔>∴，所以“10a >”是“990S >”的充要条件. 故选:C.6-1、（2020·浙江高三）等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和，则“d ＝0”是“2nnS S ∈Z ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和，若d ＝0，则{a n }为常数列，故a n =1a ， 即2112,n n S na S na ==⇒“2nnS S ∈Z ”，当2nnS S ∈Z 时，d 不一定为0， 例如，数列1，3，5，7，9，11中，631357911135S S +++++==++4，d ＝2， 故d ＝0是2nnS S ∈Z 的充分不必要条件． 故选：A ．题型二、根据充分、必要条件判断含参的问题解决此类问题要注意以下两点：（1）把充分、不要条件转化为集合之间的关系；（2）根据集合之间的关系列出关于参数的不等式。
2020年浙江省台州市温岭中学高考数学(3月份)第二次模拟试卷 含解析
2020年高考数学第二次（3月份）模拟试卷一、选择题1．已知全集U＝{1，2，3，5，8}．集合A＝{1，3，5}，B＝{1，2，5，8}．则A∩（∁U B）＝（）A．{3}B．{1，5}C．{1，3，8}D．{1，2，3，5} 2．已知，i是虚数单位，则|z|＝（）A．1B．C．D．23．已知{a n}是公比不为1的等比数列，且a4，a2，a3依次构成等差数列，则公比为（）A．B．2C．﹣D．﹣24．已知实数x，y满足0＜x＜1，y＞0则“x＜y”是“log x y＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条互不重合的直线，则下列说法正确的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若a⊥γ，β⊥γ，则α∥β6．若正实数a，b，满足a+b＝1，则+的最小值为（）A．2B．2C．5D．47．Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝60°，CA＝2，D是边BC的中点，E、F是线段AB上两动点，且EF＝1．则的最小值是（）A．B．C．1D．8．安排5名班干部周一至周五值班，每天1人，每人值1天，若甲、乙两人要求相邻两天值班，甲、丙两人都不排周二，则不同的安排方式有（）A．13B．18C．22D．289．双曲线C：，F2分别为左、右焦点，过右焦点F2的直线l与双曲线同一支相交于A，B两点．若4|AF2|＝5|BF2|，且|BF1|＝2，则该双曲线的离心率e为（）A．B．C．D．210．函数f（x）＝，则下列结论中不正确的是（）A．曲线y＝f（x）存在对称中心B．曲线y＝f（x）存在对称轴C．函数f（x）的最大值为D．|f（x）|≤|x|二.填空题：共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在题中的横线上.11．已知实数x、y满足条件，则x﹣2y的最小值为，最大值为．12．（+2x）6展开式中x3的系数是15，则展开式的常数项为，展开式中有理项的二项式系数和为．13．盒子中装有8个除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黑球3个，若取到红球记2分，取到黑球记1分，现从盒子中任取3个，记总分为ξ，P（ξ＝4）＝，E（ξ）＝．14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为．15．△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b sin A＝a cos B，b＝2，△ABC 的面积为，则△ABC的周长为．16．已知圆O：x2+y2＝4，A、B为圆O上两个动点，满足，D为线段AB的中点，E（3，m），F（3，m+5）．当A、B在圆上运动时，存在某个位置使∠EDF为钝角，则实数m的取值范围是．17．设函数f（x）＝|ax2﹣bx+3|，若对任意的负实数a和实数b，总有x0∈[1，2]使得f（x0）≥mx0，则实数m的取值范围是．三.解答题：共5小题，共74分，其中第18题14分，其余均为15分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝m sinωx+cosωx（m＞0，π＞ω＞0）在x＝时取到最大值2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（）＝，＜α＜，求cos2α的值．19．在直角三角形ABC中，∠，M、N分别在线段AC、AB上，MN∥BC，AM＝2MC．沿着MN将△AMN折至如图，使．（1）若P是线段A′C的中点，试在线段NB上确定点Q的位置，使PQ∥面A′MN；（2）在（1）条件下，求CQ与平面A′MN所成角的正弦值．20．已知数列{a n}＞{b n}满足：．（1）求证：{b n}是等比数列，并求b n的通项公式；（2）记S n、T n分别为数列{a n}、{b n}的前n项和．求证：对任意．21．点A（1，1）是抛物线C：x2＝2py内一点，F是抛物线C的焦点，Q是抛物线C上任意一点，且已知|QA|+|QF|的最小值为2．（1）求抛物线C的方程；（2）抛物线C上一点B（2，b）处的切线与斜率为常数k的动直线l相交于P，且直线l与抛物线C相交于M、N两点．问是否有常数λ使|PB|2＝λ|PM|•|PN|？22．已知函数f（x）＝ax2﹣x+xlnx+1，g（x）＝2ax．（1）求证：当a＝1时，f（x）＞0；（2）记h（x）＝f（x）﹣g（x），若h（x）有唯一零点，求实数a的取值范围．参考答案一.选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝{1，2，3，5，8}．集合A＝{1，3，5}，B＝{1，2，5，8}．则A∩（∁U B）＝（）A．{3}B．{1，5}C．{1，3，8}D．{1，2，3，5}【分析】先求补集，再求交集．解：∵全集U＝{1，2，3，5，8}．集合A＝{1，3，5}，B＝{1，2，5，8}．∴∁u B＝{3}，∴A∩（∁U B）＝{3}，故选：A．2．已知，i是虚数单位，则|z|＝（）A．1B．C．D．2【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则化简复数z为1+i，由此求得|z|．解：∵已知＝＝i（1﹣i）＝1+i，∴|z|＝，故选：B．3．已知{a n}是公比不为1的等比数列，且a4，a2，a3依次构成等差数列，则公比为（）A．B．2C．﹣D．﹣2【分析】本题先设等比数列{a n}的公比为q（q≠1），然后根据等差中项的性质列出关系式2a2＝a4+a3，根据等比数列通项公式代入可转化为关于q的方程，解出q的值即可得到正确选项．解：由题意，设等比数列{a n}的公比为q（q≠1），则a4＝a2q2，a3＝a2q．∵a4，a2，a3依次构成等差数列，∴2a2＝a4+a3，即2a2＝a2q2+a2q，整理，得q2+q﹣2＝0，解得q＝1（舍去），或q＝﹣2．∴q＝﹣2．故选：D．4．已知实数x，y满足0＜x＜1，y＞0则“x＜y”是“log x y＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，由对数的性质分析可得“若x＜y，则log x y＜log x x＝1”和“若log x y ＜1，即log x y＜log x x＝1，必有x＜y”，结合充分必要条件的定义分析可得答案．解：根据题意，实数x，y满足0＜x＜1，y＞0，若x＜y，则log x y＜log x x＝1，则“x＜y”是“log x y＜1”的充分条件，反之若log x y＜1，即log x y＜log x x＝1，必有x＜y，则“x＜y”是“log x y＜1”的必要条件，故“x＜y”是“log x y＜1”的充要条件；故选：C．5．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条互不重合的直线，则下列说法正确的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若a⊥γ，β⊥γ，则α∥β【分析】根据空间直线，平面直线平行或垂直的判定定理和性质定理进行判断即可．解：A．同时平行于一条直线的两个平面不一定垂平行，可能平行也可能相交，故A错误，B．若m∥α，n∥α，则m，n关系不确定，可能平行也可能相交，也可能异面，故B错误，C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β，成立，D．若a⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交，故D错误，故选：C．6．若正实数a，b，满足a+b＝1，则+的最小值为（）A．2B．2C．5D．4【分析】根据题意，分析可得+＝+＝++3，结合基本不等式的性质分析可得答案．解：根据题意，若正实数a，b，满足a+b＝1，则+＝+＝++3≥2×+3＝5，当且仅当b＝3a＝时等号成立，即+的最小值为5；故选：C．7．Rt△ABC，∠C＝90°，∠A＝60°，CA＝2，D是边BC的中点，E、F是线段AB上两动点，且EF＝1．则的最小值是（）A．B．C．1D．【分析】建立平面直角坐标系，设AE＝t，求出相关点的坐标，求出，的向量坐标，则•可表示为t的函数，利用函数的性质得出最小值．解：建立如图所示的坐标系，可得A（2，0），B（0，2），D（0，），设AE＝t，t∈[0，3]，则E（2﹣t，），F（，），则＝（2﹣t，﹣）•（，﹣）＝t2﹣4t+＝（t﹣2）2+．的最小值是：．故选：B．8．安排5名班干部周一至周五值班，每天1人，每人值1天，若甲、乙两人要求相邻两天值班，甲、丙两人都不排周二，则不同的安排方式有（）A．13B．18C．22D．28【分析】根据题意，分两类，第一类，乙安排在周二，第二类，乙不安排在周二，根据分类计数原理可得．解：第一类，乙安排在周二，则有2＝12种，第二类，乙不安排在周二，则从两位2人中选2人，安排在周二，把甲乙安排在周三周四或周四周五，其余人任意排，故有＝16种，根据分类计数原理可得，共有12+16＝28种，故选：D．9．双曲线C：，F2分别为左、右焦点，过右焦点F2的直线l与双曲线同一支相交于A，B两点．若4|AF2|＝5|BF2|，且|BF1|＝2，则该双曲线的离心率e为（）A．B．C．D．2【分析】可得|BF2|＝2c﹣2a，|AF2|＝，|A1|＝．由cos∠F1F2B+cos∠F1F2A＝0．可得9c2﹣20ac+11a2＝0．即可求解．解：∵4|AF2|＝5|BF2|，且|BF1|＝2＝2c，则|BF2|＝2c﹣2a，|AF2|＝，则|A1|＝．∵cos∠F1F2B+cos∠F1F2A＝0．∴+＝0．整理可得：9c2﹣20ac+11a2＝0．（9c﹣11a）（c﹣a）＝0．∴9c＝11a，∴则该双曲线的离心率e为．故选：B．10．函数f（x）＝，则下列结论中不正确的是（）A．曲线y＝f（x）存在对称中心B．曲线y＝f（x）存在对称轴C．函数f（x）的最大值为D．|f（x）|≤|x|【分析】由＝f（x），可判定B；当x＝1时，分母x2﹣2x+3取得最小值2，此时分子刚好取得最大值1，故函数f（x）的最大值为，可判定C．由|f（x）|，可判定D，排除B，C，D，即可以选A．解：∵＝f（x），故曲线y＝f（x）关于x＝1对称，故B正确；当x＝1时，分母x2﹣2x+3取得最小值2，此时分子刚好取得最大值1，故函数f（x）的最大值为，故C正确．|f（x）|，故D正确．故选：A．二.填空题：共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.把答案填在题中的横线上.11．已知实数x、y满足条件，则x﹣2y的最小值为，最大值为2．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由实数x、y满足条件作出可行域如图，化目标函数z＝x﹣2y为y＝，由图可知，当直线y＝过B时直线在y轴上的截距最小，z有最大值，等于2﹣2×0＝2．由，解得A（，）当直线y＝过A时直线在y轴上的截距最大，z有最小值，等于﹣2×＝．故答案为：；2．12．（+2x）6展开式中x3的系数是15，则展开式的常数项为，展开式中有理项的二项式系数和为32．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x3的系数，再根据x3的系数为15，求得a的值；在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于整数，求出r的值，即可求展开式中有理项的二项式系数和．解：（+2x）6的展开式的通项公式为T r+1＝2r••a6﹣r•x，令＝3，求得r＝4，可得x3的系数为：24••a2＝15，∴a＝±．令＝0，求得r＝2，可得常数项的值为：22••a4＝，当r＝0，2，4，6时，为整数；所以其有理项的二项式系数和为：++＝32．故答案为：；32．13．盒子中装有8个除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黑球3个，若取到红球记2分，取到黑球记1分，现从盒子中任取3个，记总分为ξ，P（ξ＝4）＝，E（ξ）＝．【分析】ξ的所有可能取值为3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出P（ξ＝4），E（ξ）．解：盒子中装有8个除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黑球3个，取到红球记2分，取到黑球记1分，现从盒子中任取3个，记总分为ξ，则ξ的所有可能取值为3，4，5，6，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝5）＝＝P（ξ＝6）＝＝，E（ξ）＝＝．故答案为：，．14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为7+．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用分割法求出几何体的体积和表面积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为由长方体ABCD﹣EFGH，切去两个三棱锥体K﹣EFH和M﹣BCD构成．如图所示：所以该几何体的体积为V＝＝2﹣．该几何体的表面积为S＝＝7+．故答案为：①，②．15．△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b sin A＝a cos B，b＝2，△ABC 的面积为，则△ABC的周长为4+2．．【分析】由已知结合正弦定理进行化简可求B，然后结合三角形的面积公式可求ac，再由余弦定理可求a+c，进而可求三角形的周长．解：因为b sin A＝a cos B，由正弦定理可得，sin B sin A＝sin A cos B，因为sin A≠0，所以sin B＝cos B，即tan B＝所以B＝30°，则△ABC的面积S＝＝＝，则ac＝4，由余弦定理可得，cos B＝＝，解可得，a+c＝2+2，所以△ABC的周长a+b+c＝4+2．故答案为：4+2．16．已知圆O：x2+y2＝4，A、B为圆O上两个动点，满足，D为线段AB的中点，E（3，m），F（3，m+5）．当A、B在圆上运动时，存在某个位置使∠EDF为钝角，则实数m的取值范围是（﹣，）．【分析】利用弦心距，半弦长，半径所成的直角三角形可求得OD＝1，故D在圆上，设EF的中点为M，利用当A、B在圆上运动时，存在某个位置使∠EDF为钝角，可得D 的轨迹与以M为圆心以为半径的圆相交，再由圆心距与半径间的关系列式求解．解：由题意得|OD|＝＝1，∴D在以O为圆心，以1为半径的圆O′上，设EF的中点为M，则M（3，m+），且|EF|＝5，当A、B在圆上运动时，存在某个位置使∠EDF为钝角，∴圆O′与以M为圆心以为半径的圆相交，∴＜，解得﹣＜m＜，∴实数m的取值范围为（﹣，，故答案为：（﹣，）．17．设函数f（x）＝|ax2﹣bx+3|，若对任意的负实数a和实数b，总有x0∈[1，2]使得f（x0）≥mx0，则实数m的取值范围是（﹣∞，]．【分析】由题意可得m≤在[1，2]有解，设＝|ax+﹣b|（1≤x≤2），运用绝对值不等式的解法和函数的单调性，求得最值，结合对于负数a恒成立，由不等式的性质，可得m的范围．解：对任意的负实数a和实数b，总有x0∈[1，2]使得f（x0）≥mx0，可得m≤在[1，2]有解，设＝|ax+﹣b|（1≤x≤2），由|ax+﹣b|≥m可得ax+﹣b≥m，或ax+﹣b≤﹣m，即ax+≥b+m，或ax+≤b﹣m，可令g（x）＝ax+，可得g（x）在[1，2]递减，即g（x）的最小值为g（2）＝2a+，g（x）的最大值为g（1）＝a+3，由题意可得b+m≤3+a，b﹣m≥2a+，即m﹣b≤﹣2a﹣，由于对于任意的a＜0，不等式成立，可得2m≤﹣a+，而﹣a+＞，可得2m≤，即m≤，则m的取值范围是（﹣∞，]，故答案为：（﹣∞，]．三.解答题：共5小题，共74分，其中第18题14分，其余均为15分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数f（x）＝m sinωx+cosωx（m＞0，π＞ω＞0）在x＝时取到最大值2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（）＝，＜α＜，求cos2α的值．【分析】（1）依题意，可求得m＝，ω＝1，继而可求得f（x）的解析式，（2）根据同角的三角函数的关系，和两角和的余弦公式即可求出．解：（1）函数f（x）＝m sinωx+cosωx＝sin（ωx+φ），其中tanφ＝，∵f（x）在x＝时取到最大值2，∴＝2，ω+φ＝，∴m＝，∴tanφ＝，∴φ＝，∴ω+＝，解得ω＝2，∴f（x）＝sin2x+cos2x；（2）由（1）可得f（x）＝2sin（2x+）∵f（）＝，∴2sin（2α﹣+）＝2sin（2α﹣）＝，∴sin（2α﹣）＝∵＜α＜，∴＜2α﹣＜，∴cos（2α﹣）＝﹣，∴cos2α＝cos（2α﹣+）＝cos（2α﹣）cos﹣sin（2α﹣）sin＝﹣×﹣×＝﹣．19．在直角三角形ABC中，∠，M、N分别在线段AC、AB上，MN∥BC，AM＝2MC．沿着MN将△AMN折至如图，使．（1）若P是线段A′C的中点，试在线段NB上确定点Q的位置，使PQ∥面A′MN；（2）在（1）条件下，求CQ与平面A′MN所成角的正弦值．【分析】（1）利用面面平行切入，不防取MC的中点L，连接PL，QL，容易证明面PQL ∥面A′MN，问题可证出；（2）可以以C为原点，CM，CB，CA′所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，给出点、向量坐标、求出平面的法向量，套用公式即可．解：（1）取CM的中点L，连接PL，QL，因为MN∥BC，设NQ＝QB，则QL是梯形BCMN的中位线，故QL∥MN，因为QL⊄面A′MN，MN⊂面A′MN 所以QL∥面A′MN，同理可证PL∥面A′MN，又PL，QL⊂面PQL，PL∩QL＝L，所以面PQL∥面A′MN，所以PQ∥面A′MN，即Q为BN的中点时，PQ∥面A′MN；（2）因为三角形ABC中，∠，MN∥BC，AM＝2MC．所以MC＝1，A′M＝2，由A′C＝，易知A′M2＝MC2+A′C2，所以MC⊥A′C，又MN∥BC，所以BC⊥MC，BC⊥A′C，以C为原点，CM，CB，CA′所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系C﹣xyz，所以C（0，0，0），B（0，），M（1，0，0），N（1，），A′（0，0，），∴∴又，设平面A′MN的法向量，∴，即，令z＝1，则x＝，y＝0，所求的一个法向量，设直线CQ与平面A′MN所成角为θ，所以，故CQ与平面A′MN所成角的正弦值为．20．已知数列{a n}＞{b n}满足：．（1）求证：{b n}是等比数列，并求b n的通项公式；（2）记S n、T n分别为数列{a n}、{b n}的前n项和．求证：对任意．【分析】（1）由．即可证明数列{b n}是以为首项，公比为的等比数列．（2）证明：要证：对任意⇔，求得，S，可得S n﹣＝＞0，即可证明，对任意．【解答】（1）证明：．b n+1＝a n+1﹣2•2n+1＝＝．∴．∴数列{b n}是以为首项，公比为的等比数列．．（2）证明：要证：对任意．⇔，∵，∴，∴，S．S n﹣＝＞0．所以，对任意．21．点A（1，1）是抛物线C：x2＝2py内一点，F是抛物线C的焦点，Q是抛物线C上任意一点，且已知|QA|+|QF|的最小值为2．（1）求抛物线C的方程；（2）抛物线C上一点B（2，b）处的切线与斜率为常数k的动直线l相交于P，且直线l与抛物线C相交于M、N两点．问是否有常数λ使|PB|2＝λ|PM|•|PN|？【分析】（1）由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，且A，Q，N三点共线时|QA|+|QF|的最小值为2可得p的值．进而求出抛物线的方程．（2）由（1）可得B的坐标，求导可得在B处的切线方程，设动准线l的方程与在B处的切线方程联立求出交点P的坐标，直线与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出|PB|2，|PM|和|PN|的表达式，进而求出|PM||PN|的乘积，假设存在λ满足条件，因为k 为常数，所以可得λ的值．解：（1）抛物线的准线方程为：y＝﹣，因为A点在抛物线内部，过A做AN垂直于准线交于N，抛物线于Q，由抛物线的性质可得|QA|+|QF|＝|QA|+|QN|≥|AN|，当且仅当，A，Q，N三点共线时|QA|+|QF|最小，即|AN|＝2，即1+＝2，解得：p＝2，所以抛物线的方程为：x2＝4y；（2）有题意B在抛物线上，所以22＝4b，所以b＝1，即B（2，1），因为y＝，所以y'＝，所以在B处的斜率为：＝1，所以在B处的切线方程为：y﹣1＝x﹣2，即y＝x﹣1，设直线l的方程：y＝kx+m，且k≠1，联立l与切线方程：，解得：y＝，x＝，即P（，），设M（x1，y1），N（x2，y2），假设存在λ值满足条件，联立直线l与抛物线的方程：，整理可得：x2﹣4kx﹣4m＝0，△＝16k2+16m＞0，即k2+m＞0，x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4m，|PB|2＝（﹣2）2+（﹣1）2＝2（）2，|PM|＝＝＝•|x1﹣|，同理可得：|PN|＝•|x2﹣|，所以|PM|•|PN|＝（1+k2）|x1x2﹣（x1+x2）+（）2|＝（1+k2）•|﹣4m﹣+（）2|＝，所以2•（）2＝λ•（1+k2），所以λ＝，所以存在常数λ＝，使得使|PB|2＝λ|PM|•|PN|．22．已知函数f（x）＝ax2﹣x+xlnx+1，g（x）＝2ax．（1）求证：当a＝1时，f（x）＞0；（2）记h（x）＝f（x）﹣g（x），若h（x）有唯一零点，求实数a的取值范围．【分析】（1）先求导，利用导数和函数的最值的关系即可证明；（2）若函数f（x）有唯一的零点，等价于a（x2﹣2x）＝x﹣lnx﹣1，有唯一的实根，构造函数p（x）＝a＝，研究函数的最值求实数a的取值范围．解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2﹣x+xlnx+1，x＞0，∴f′（x）＝2x﹣1+1+lnx＝2x+lnx，∴f′（x）＝2x+lnx易知函数f′（x）在（0，+∞）上单调递增，设f′（x0）＝2x0+lnx0＝0，①，则f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，f′（）＝1﹣ln2＞0，∴x0∈（0，），f（x）min＝f（x0）＝x02﹣x0+x0lnx0+1，代入①式，∴f（x）min＝x02﹣x0+1＝﹣（x0+）2+＞﹣﹣+1＞0；（2）h（x）＝f（x）﹣g（x）＝ax2﹣2ax﹣x+xlnx+1＝0，∴a（x2﹣2x）＝x﹣lnx﹣1，若x＝2，h（2）＝2ln2﹣1≠0，故2不为零点，若x≠2，p（x）＝a＝，∴p′（x）＝，令p′（x）＝0，解得x＝1，∴p（x）在x∈（0，1]单调递减，p（1）＝0，在x∈（1，2），（2，+∞）上单调递增，∵＝＝+∞，＝+∞，＝﹣∞，＝0，渐近线为x＝0，x＝2，y＝0，∴a≤0．。
2020届浙江省温州中学高三下学期3月高考模拟测试数学试题
浙江省温州中学2020年3月高考模拟测试高三数学试卷参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()()C 1n kk k n n P k p p -=-（0k =，1，2，…，n ）台体的体积公式()1213V h S S =+其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高 柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高椎体的体积公式13V Sh = 其中S 表示椎体的底面积，h 表示椎体的高 球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径第I 卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21A x x =<，集合{}2log 0B x x =<，则A B I 等于（ ）A. ()0,1B. ()1,0-C. ()1,1-D. (),1-∞-2.在平面直角坐标系中，经过点P，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）A. 22142x y -=B. 221714x y -=C. 22136x y -=D. 221147y x -=3.设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A. 7B. 5C. 3D. 24.若复数12z i =+，2cos isin ()z ααα=+∈R ，其中i 是虚数单位，则12||z z -的最大值为( )1B.121D.125.“”αβ≠是”cos cos αβ≠的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6.函数ln ()xf x x=的图象大致为（ ） A. B.C. D.7.本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ） A. 72种B. 144种C. 288种D. 360种8.已知随机变量X 分布列如下表：其中a ，b ，0c >.若X 方差()13D X ≤对所有()0,1ab ∈-都成立，则（ ） A. 13b ≤B. 23b ≤C. 13b ≥D. 23b ≥9.的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A.12 B.12C.12D.1210.设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n nn a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（ ）①数列{}n a 任意一项都是正整数；②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①②都正确D. ①②都错误第II 卷（非选择题共110分）的的二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．问人数、豕价各几何？”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少．问人数、猪价各多少？”.设,x y 分别为人数、猪价，则x =___，y =___.12.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______2cm ，体积是_____3cm .13.已知多项式(2)(1)m nx x ++=2012m n m n a a x a x a xL ++++++满足01416a a ==，，则m n +=_________，012m n a a a a +++++=L __________．14.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 为ABC ∆的面积，若2cos c a B =，221124S a c =-，则ABC ∆的形状为__________，C 的大小为__________．15.已知0x >，1y >-，且1x y +=，则2231x y x y +++最小值为__________． 16.已知12,F F 为椭圆22:143x y C +=的左、右焦点、点P 在椭圆C 上移动时、12PF F ∆的内心I 的轨迹方程为__________．17.如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==u u u v u u u v u u u v u u u v,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN u u u u v的最小值是_____.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.已知()sin()f x A x ωφ=+（0,04,)2A πωφ><<<）过点1(0,)2，且当6x π=时，函数()f x 取得最大值1.（1）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()g x ，求函数()g x 的表达式； （2）在（1）条件下，函数2()()()2cos 1h x f x g x x =++-，求()h x 在[0,]2π上的值域.19.如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是梯形．BC ∥AD ，AB ＝BC ＝CD ＝1，AD ＝2，PB =，PA PC == （Ⅰ）证明；AC ⊥BP ；（Ⅱ）求直线AD 与平面APC 所成角的正弦值．20.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，n a =*n N ∈，且2n ≥）（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：当2n ≥时，12311113232n a a a na ++++<L 21.已知直线:l y kx m =+与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>恰有一个公共点P ，l 与圆222x y a +=相交于,A B 两点.（I ）求k 与m 的关系式；（II ）点Q 与点P 关于坐标原点O 对称.若当12k =-时，QAB ∆的面积取到最大值2a ，求椭圆的离心率.的22.已知2()2ln(2)(1)()(1)f x x x g x k x =+-+=+，.（1）求()f x 的单调区间；（2）当2k =时，求证：对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立；（3）若存在01x >-，使得当0(1,)x x ∈-时，恒有()()f x g x >成立，试求k 的取值范围.。
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A.充分不必要条件
B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5．设, , 是三个互不重合的平面， m, n 是两条互不重合的直线, 则下列说法正确的是
A. 若m // , m // ,则 //
B. 若m // , n // ,则m // n
C. 若m ⊥ , m ⊥ ,则 //
D. 若 ⊥ , ⊥ ,则 //
.
三. 解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,其中第 18 题 14 分,其余均为 15 分.解答应写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤.
18．已知函数 f (x) = msin ωx + cosωx （ m 0, ω 0 ）在 x = 时取到最大值 2 . 6
（1）求函数 f (x) 的解析式；
已知 QA + QF 的最小值为 2 （1）求抛物线 C 的方程；
（2）抛物线 C 上一点 B(2,b) 处的切线与斜率为常数 k 的动直线l 相交于 P ，且直线 l 与抛物线C
相交于 M、N 两点.问是否有常数 使 PB 2 = PM PN ？
22．已知函数 f (x) = ax2 − x + x ln x +1, g(x) = 2ax
选择题部分
一．选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
1．已知全集 U = {1,2,3,5,8}. 集合 A = {1,3,5}, B = {1,2,5,8}. 则 A (CUB) =
A.{3}
B.{1,5}
C.{1,3,8}
12． ( a + 2x)6 展开式中 x3 的系数是 15,则展开式的常数项为 x
, 展开式中有理项的二项式系
数和为
.
13．盒子中装有 8 个除颜色外完全相同的小球, 其中红球 5 个, 黑球 3 个, 若取到红球记 2 分, 取到
黑球记 1 分, 现从盒子中任取 3 个, 记总分为 , 则 P( = 4) =
E(3, m), F(3, m + 5). 当 A、B 在圆上运动时, 存在某个位置使 EDF 为钝角, 则实数 m 的取
值范围是
.
17.设函数 f (x) = ax2 − bx + 3 ，若对任意的负实数 a 和实数 b ，总有 x0 1,2，使得 f (x0 ) mx0 ，
则实数 m 的取值范围是
, E( ) =
.
14．已知某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为
,表
面积为
.
15 ． ABC 中 , 内 角 A、B、C 的 对 边 分 别 为 a、b、c ， 已 知
主视图
侧视图
3b sin A = a cos B ， b = 2 ，ABC 的面积为 3 ，则 ABC 的
周长为
.
俯视图
16．已知圆 O：x2 + y2 = 4 ，A、B 为圆 O 上两个动点，满足 AB = 2 3 , D 为线段 AB 的中点，
（2）若 f ( − ) = 4 , 2 , 求 cos2 的值.
6 53
3
19 ． 在 直 角 三 角 形 ABC 中 , C = 90, AC = 3, BC = 3 , M、N 分 别 在 线 段 AC、AB 上 ，
MN//BC ， AM = 2MC .沿着 MN 将 AMN 折至如图, 使 A'C = 3 .
台体的体积公式：V
=
1 3
h(
S1
+
S1S2 + S2 ) (其中 S1, S2 分别表示台体的上下底面积，h 表示台体的高)
柱体的体积公式：V = Sh （其中 S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高）
椎体的体积公式：V = 1 Sh （其中 S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高） 3
球体的表面积公式： S = 4R2 球体的体积公式：V = 4 R3 （其中R是球体的半径） 3
D.{1,2,3,5}
2．已知 z
= 2i 1+ i
（i
为虚数单位）,
则
z
=
A. 2
B.2
C. 2 2
D.4
3．已知{a n}是公比不为 1 的等比数列, 且 a4 , a2 , a3 依次构成等差数列, 则公比为
1
A.
B.2
2
C. − 1 2
D. − 2
4．已知实数 x, y 满足 0 x 1, y 0 则"x y" 是"log x y 1"的
一支相交于 A, B 两点. 若 4 AF2 = 5 BF2 , 且 BF1 = 2 a2 + b2 , 则该双曲线的离心率 e 为
5
11
31
A.
B.
C.
D.2
4
9
27
sin x
10．函数
f (x) =
x2
2, − 2x +3
则下列结论中不正确的是
A.曲线 y = f (x) 存在对称中心
B.曲线 y = f (x) 存在对称轴
´
（1）若 P 是线段 A'C 的中点，试在线段 NB 上确定点 Q 的
位置，使 PQ//面A'MN ；
（2）在（1）条件下，求 CQ 与平面 A'MN 所成角的正弦值.
第 19 题图
20．已知数列{a n}、{bn}满足: an+1
=
an
+ 3 2n+1 2
, an
− bn
=
2n+1, b1
=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 2
C.函数 f (x) 的最大值为 1 2
D. f (x) x
非选择题部分
二. 填空题:本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分,共 36 分.把答案填在题中的横线上.
y 0
11．已知实数
x、y
满足条件
y
x
, 则 x − 2y 的最小值为 , 最大值为 .
x + 2 y − 2 0
（1）求证：当 a = 1时， f (x) 0 ; （2）记 h(x) = f (x) − g(x) ,若 h(x) 有唯一零点, 求实数 a 的取值范围.
温岭中学 2020 年 3 月模拟测试 高三数学试卷参考答案（二）
6．若正实数 a,b ，满足 a + b = 1，则 b + 3 的最小值为 3a b
A. 2
B. 2 6
C. 5
D. 4 3
7． RtABC,C = 90,A = 60,CA = 2 , D 是边 BC 的中点, E、F 是线段 AB 上两动点, 且
EF = 1.则 DE DF 的最小值是
B
1
A.
3
F
1
D
B.
2
E
C. 1
D. 3 2
C
A
第 7 题图
8．安排 5 名班干部周一至周五值班, 每天 1 人，每人值 1 天，若甲、乙两人要求相邻两天值班, 甲、
丙两人都不排周二, 则不同的安排方式有
A.13
B.18
C.22
D.28
9．双曲线
C:
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a
0, b
0) ,
F1, F2 分别为左、右焦点，过右焦点 F2 的直线 l 与双曲线同
如果事件 A、B 互斥，那么 P(A + B) = P(A) + P(B)
如果事件 A、B 互相独立，那么 P(AB) = P(A) P(B)
如果事件 A 在一次实验中发生的概率是 p ，那么 n 次独立重复实验中事件 A 发生 k 次的概率
Pn (k) = Cnk pk (1− p)n−k (k = 0,1,2,, n)
.
（1）求证：{bn} 是等比数列, 并求 bn 的通项公式;
（2）记 Sn、Tn 分别为数列{a n}、{bn}的前 n 项和.
求证:
对任意 n N *, Sn Tn
an+1 + Tn
21．点 A(1,1) 是抛物线 C : x2 = 2 py 内一点, F 是抛物线 C 的焦点, Q 是抛物线 C 上任意一点, 且
温岭中学２０２０年３月模拟测试 高三数学试卷（二）
考生须知： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效。 4．考试结束后，只需上交答题卷。 参考公式：