知识讲解_数列的求和问题_基础

数列的求和问题
【学习目标】
1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式；
2．掌握数列的通项a n 与前n 项和S n 之间的关系式；
3．熟练掌握求数列的前n 项和的几种常用方法；注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和.
【要点梳理】
要点一、数列的前n 项和S n 的相关公式
任意数列的第n 项n a 与前n 项和n S 之间的关系式：
11(1)(2)
n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 等差数列的前n 项和n S 公式：
211()(1)22
n n n a a n n S na d An Bn +-==+=+（A B 、为常数） 当d≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0；
当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式.
等比数列的前n 项和n S 公式：
当1q =时，1n a a =，1231n n S a a a a na =++++=，
当1≠q 时，q
q a S n n --=1)1(1或q q a a S n n --=11 要点诠释：等比数列的求和中若q 的范围不确定，要特别注意1q =的情况.
要点二、求数列的前n 项和的几种常用方法
公式法：
如果一个数列是等差或者等比数列，求其前n 项和可直接利用等差数列或等比数列的前n 项和公式求和；
倒序相加法：
等差数列前n 项和的推导方法，即将n S 倒写 后再与n S 相加，从而达到（化多为少）求和的目的，常用于组合数列求和.
裂项相消法：
把数列的通项拆成两项之差，然后把数列的每一项都按照这种方法拆成两项的差，以达到在求和的时候隔项正负相抵消的目的，使前n 项的和变成只剩下若干少数项的和的方法.
例如对通项公式为1(1)n a n n =
+的数列求和. 常见的拆项公式： ①)11(1)(1k
n n k k n n +-=+∙； ②若{}n a 为等差数列，且公差d 不为0，首项也不为0，则
111111()n n n n a a d a a ∙++=-； ③若{}n a 的通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式时，则)11(1))((1C
An B An B C C An B An a n +-+-=++=. ④
n n n n -+=++111；)(11
n k n k n k n -+=++. 分解求和与并项求和法：
把数列的每一项拆分成两项或者多项，或者把数列的项重新组合，或者把整个数列分成两部分等等，使其转化成等差数列或者等比数列等可求和的数列分别进行求和.例如对通项公式为a n =2n+3n 的数列求和.
错位相减法：
如果一个数列{}n a 的通项是由一个非常数列的等差数列{}n b 与等比数列{}n c 的对应项乘积组成的，求和的时候可以采用错位相减法.即错位相减法适用于通项为n n n c b a ⋅=（其中{}n b 是公差d≠0的等差数列，{}n c 是公比q≠1的等比数列）（也称为“差比数列”）的数列求前n 项和n S .例如对通项公式为(21)2n n a n =-⋅的数列求和.
一般步骤：
n n n n n c b c b c b c b S ++⋯++=--112211，则
1211n n n n n qS b c b c b c -+=+⋯⋯++
所以有13211)()1(+-⋯⋯+++=-n n n n c b d c c c c b S q
要点诠释：
①错位相减法是基于方程思想和数列规律的一种方法.一般都是把前n 项和的两边都乘以等比数列的公比q 后，再错位相减求出其前n 项和；
②在使用错位相减法求和时一定要注意讨论等比数列中其公比q 是否有可能等于1，若
q=1，错位相减法会不成立.
要点三、掌握一些常见数列的前n 项和公式 1. 2)1(321+=
++++n n n ； 2. 2135(21)n n ++++-= 3. 6)12)(1(3212222++=
++++n n n n ； 要点诠释：前两个公式结论最好能熟记，这样解题时会更加方便.
【典型例题】
类型一：公式法：直接利用或者转化后利用等差或等比数列求和公式 例1．设数列{}n a 的通项为*27(),n a n n N =-∈则1215||||+||a a a ++……=
举一反三：
【变式】已知{}n a 是首项为1的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且369,S S =则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前5项和为 类型二：错位相减法
例2．设0a ≠，求数列：a ,22a ,33a ,…, n na ,…的前n 项和n S .
举一反三：
【高清课堂：数列的求和问题381055 典型例题3】
【变式1】求和2311234...n n S x x x nx -=+++++（x R ∈）.
【变式2】求数列
1234,,,,,,248162
n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅的前n 项和n S .
类型三：裂项相消法
例3．求数列
)1(1431321211+⨯⨯⨯n n ，，，，的前n 项的和n S .
举一反三：
【变式1】
，……的前n 项和n S .
【变式2】求和:)(21132112111+∈++++++++++
N n n
（*n N ∈）
类型四：分组转化法求和
例4．已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }为等比数列．
(Ⅰ)求数列{a n }和{b n }的通项公式；
(Ⅱ)求数列{b n }的前n 项和．
【变式1】求和23(21)(21)(21)...(21)n n S =++++++++
【变式2】已知数列{}n x 的首项13x =，通项2n n x p n q =⋅+⋅（*n N ∈，,p q 是常数），且145,,x x x 成等差数列.
（1）求,p q 的值；
（2）求数列{}n x 的前n 项和n S .
【变式3】（2016 北京文）已知{a n }是等差数列，{b n }是等差数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4.
（Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设c n = a n + b n ，求数列{c n }的前n 项和.
例5．已知数列{}n a 的前n 项和1159131721...(1)(43)n n S n -=-+-+-++--，求15S ，22S 的值.
【变式1】求21-，22，23-，24，…，2(1)n n ∙-，…的前50项之和50S 以及前n 项之和n S .
【变式2】(2014 湖南)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2
2n n +，n ∈N *． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；
(Ⅱ)设b n ＝n n a a n )1(2-+，求数列{b n }的前2n 项和．。