(完整word版)数学建模之钢管下料问题案例分析
钢管下料问题

钢管下料摘要在生活中常遇到通过切割、剪裁、等手段,将原材料加工成所需尺寸的工艺过程,称为原料下料问题。
按照进一步工艺要求,确定下料方案,使用料最省或利润最大。
本文研究的是钢管下料问题。
用数学规划模型确定切割方案,使其既能满足顾客需求,又能用料最省。
对于问题(1),以按照第i 种模式(1,2,,7i =)切割的原料钢管的根数为研究对象,确定下料方案,使其用料最省。
①以切割后剩余的总余料量最小为目标建立整数线性规划模型如下:7171min ,1,2,3..0,1,2,,7i ii ji i j i iz c x a x b j s t x i ===⎧≥=⎪⎨⎪≥=⎩∑∑ 利用LINGO 软件进行求解得到一共需要切割27根原料钢管。
总余料量为27m 。
②以切割原料钢管的总根数最少为目标建立整数线性规划模型同上。
利用LINGO 软件进行求解得到一共需要切割25根原料钢管。
总余料量为35m 。
在余料没有什么用途的情况下,通常选择使用原料钢管的总根数最少为目标。
对于问题(2),以所使用的第i 种切割模式下每根原料钢管生产4m ,5m ,6m ,和8m 的钢管数量为研究对象(1,2,3i =),此处仅以切割原料钢管的总根数最少为目标,建立整数非线性规划模型如下:31314141min ,1,2,3,4,1,2,3..,1,2,30,1,2,3ii ji i j i j ji j j ji j iz y r y b j c r m i s t c r n i y i =====⎧≥=⎪⎪⎪≥=⎪⎨⎪⎪≤=⎪⎪≥=⎩∑∑∑∑ 利用LINGO 软件进行求解得到一共需要切割28根原料钢管。
此整数非线性规划模型的解并不唯一,本文仅给出其中一组解。
关键字:钢管下料,用料最省,切割模式,整数线性规划,整数非线性规划1. 问题重述某钢管零售商从钢管厂进货,将钢管按照顾客的要求切割后售出,从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m 。
数学建模---最优化有效切割问题

钢管下料
切割模式
按照客户需要在一根原料钢管上安排切割的一种组合。 4米 1根 4米 1根 6米 1根 6米 1根 8米 1根 6米 1根 余料1米 余料3米 余料3米
8米 1根
8米 1根
合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸
钢管下料问题1
模式 1 2 3 4 5 6 7 4米钢管根数 4 3 2 1 1 0 0
26 x1 x2 x3 31
x1 x2 x3
模式排列顺序可任定
计算结果
• 模式1:每根原料钢管切割成3根4米和1根6 米钢管,共10根; • 模式2:每根原料钢管切割成2根4米、1根5 米和1根6米钢管,共10根; • 模式3:每根原料钢管切割成2根8米钢管, 共8根。 • 原料钢管总根数为28根。
合理切割模式
6米钢管根数 0 1 0 2 1 3 0 8米钢管根数 0 0 1 0 1 0 2 余料(米) 3 1 3 3 1 1 3
为满足客户需要,按照哪些种合理模式,每种模式 切割多少根原料钢管,最为节省? 两种 标准 1. 原料钢管剩余总余量最小
2. 所用原料钢管总根数最少
决策 变量 xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7) 目标1(总余量) Min Z1 3x1 x2 3x3 3x4 x5 x6 3x7
钢管下料问题2
增加一种需求:5米10根;切割模式不超过3种。
现有4种需求:4米50根,5米10根,6米20根,8米 15根,用枚举法确定合理切割模式,过于复杂。 对大规模问题,用模型的约束条件界定合理模式
决策变量
xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,3)
r1i, r2i, r3i, r4i ~ 第i 种切割模式下,每根原料钢管 生产4米、5米、6米和8米长的钢管的数量
钢管下料问题作业

钢管下料问题的数学模型组员一、问题的提出1、某钢管零售商从钢管厂进货,将钢管按照顾客的需求切割后售出,从钢管厂进货时,得到原料19米,现有乙客户需要50根4米,20根6米,15根8米,如何下料最省?2、摘要:生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段,将原材料加工成规定大小的某种,称为原料下料问题.按照进一步的工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大是典型的优化问题.下面我们采用数学规划模型建立线性规划模型并借助LINGO 9.0来解决这类问题.二、引言:钢管、钢筋在隧道施工中用途极为广泛,然而,钢铁厂因为大规模生产,出厂的钢管、钢筋大多为半成品,长度极少能满足工程建设的需要。
作业队伍要根据图纸所要求的钢管、钢筋长度对半成品的钢管、钢筋进行再加工。
加工剩下的废料因为长短不一,往往无法再次利用,只能当作废铁贱卖,白白浪费。
建设者长期因为找不到最佳解决方案而苦恼。
因此,如何巧妙安排,运筹谋划使下料后的废料达到最小化,是一个非常重要的、值得进行深入研究的课题。
数学建模在隧道施工钢管下料中的应用就是研究如何针对不同要求进行统筹分配,使在保证需求数量的情况下,达到最佳效果的一种运筹学方法。
下面将通过介绍高速公路隧道钢管下料中如何应用这一研究方法和技术,并应用LINDO 软件求解,来达到在条件限制下的总体废料最小化三、问题的分析:首先确定合理的切割模式,其次对于不同的分别进行计算得到加工费用,通过不同的切割模式进行比较,按照一定的排列组合,得最优的切割模式组,进而使工加工的总费用最少.1、问题一:某钢管零售商以钢管厂进货,将钢管按顾客的需求切割后售出,从钢管厂进货时得到原料19m建立模型引入决策变量,x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 目标函数1 钢管数最少:=Z min 7654321x x x x x x x ++++++2 余下的钢管最少76543213333m in x x x x x x x Z ⨯+++⨯+⨯++⨯= 经过以上分析,可转化为下述线性规划问题 约束条件:1、⎪⎩⎪⎨⎧≥⨯++≥⨯++⨯+≥++⨯+⨯+⨯++++++=152203250234min 7536542543217654321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Z 问题一:2、 76543213333m in x x x x x x x Z ++++++=⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+++≥++++152203250234753654254321x x x x x x x x x x x xj=1,2,3,4)目标函数MinZ=X1+X2+X3Minz=x1r15+x2r25+x3r35约束条件R11x1+r21x2+r31x3>=50;R12x1+r22x2+r32x3>=10;R13X1+R23X2+R33X3>=20;R14x1+r24x2+r34x3>=15;16<=4r11+5r12+6r13+8r14<=19;16<=4r21+5r22+6r23+8r24<=19;16<=4r31+5r32+6r33+8r34<=19;要使钢管数最少,将上面构建的模型输入Lingo9.0得:Global optimal solution found.Objective value: 25.00000Total solver iterations: 3Variable Value Reduced Cost X1 5.000000 0.000000 X2 5.000000 0.000000 X3 0.000000 0.000000 X4 0.000000 0.2500000 X5 15.00000 0.000000 X6 0.000000 0.2500000 X7 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 25.00000 -1.0000002 0.000000 -0.25000003 0.000000 -0.25000004 0.000000 -0.50000005 5.000000 0.0000006 5.000000 0.0000007 0.000000 0.0000008 0.000000 0.0000009 15.00000 0.00000010 0.000000 0.00000011 0.000000 0.000000 要使余下的钢管最少,将上面构建的模型输入Lingo9.0得:Global optimal solution found.Objective value: 26.66667Total solver iterations: 4Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 1.666667 X2 11.66667 0.000000 X3 0.000000 1.666667 X4 0.000000 2.666667 X5 15.00000 0.000000 X6 0.000000 1.000000 X7 0.000000 1.666667Row Slack or Surplus Dual Price1 26.66667 -1.0000002 0.000000 -0.33333333 6.666667 0.0000004 0.000000 -0.66666675 0.000000 0.0000006 11.66667 0.0000007 0.000000 0.0000008 0.000000 0.0000009 15.00000 0.00000010 0.000000 0.00000011 0.000000 0.000000 模型求解的算法程序:model:min=x1+x2+x3;r11*x1+r12*x2+r13*x3>=50;r21*x1+r22*x2+r23*x3>=10;r31*x1+r32*x2+r33*x3>=20;r41*x1+r42*x2+r43*x3>=15;4*r11+5*r21+6*r31+8*r41>=16;4*r11+5*r21+6*r31+8*r41<=19;4*r11+5*r21+6*r31+8*r41>=16;4*r11+5*r21+6*r31+8*r41<=19;4*r13+5*r23+6*r33+8*r43>=16;4*r13+5*r23+6*r33+8*r43<=19;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(r11);@gin(r12);@gin(r13);@gin(r14);@gin(r21);@gin(r22);@gin(r23);@gin(r24);@gin(r31);@gin(r32);@gin(r33);@gin(r34);@gin(r41);@gin(r42);@gin(r43);@gin(r44);endLocal optimal solution found.Objective value:28.00000Extended solver steps:75Total solver iterations:2005VariableValue Reduced Cost X1 10.00000 0.000000X2 10.00000 2.000000X3 8.000000 1.000000 R11 3.000000 0.000000 R21 2.000000 0.000000 R31 0.000000 0.000000 R12 0.000000 0.000000 R22 1.000000 0.000000 R32 0.000000 0.000000 R13 1.000000 0.000000 R23 1.000000 0.000000 R33 0.000000 0.000000 R14 0.000000 0.000000 R24 0.000000 0.000000 R34 2.000000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price1 28.00000 -1.0000002 0.000000 -1.0000003 2.000000 0.0000004 2.000000 0.0000005 3.000000 0.0000006 0.000000 0.0000007 0.000000 0.0000008 0.000000 0.0000009 1.000000 0.00000010 2.000000 0.00000011 1.000000 0.00000012 3.000000 0.00000013 0.000000 0.00000014 0.000000 0.00000015 3.000000 0.000000。
数学实验钢管下料问题

钢管的下料问题 线性规划中的整数规划基本形式
Max(Min)(c
1
x+
1
c
2
x
2
+…+
c
n
xn
)
a x+
11 1
a
12
x2
+…+
a1n
xn
(=,)
b
1
a21 x1+ a22 x2 +…+ a2n xn (=,) b2
……...
am1 x1+ am2 x2 +…+ amn xn (=,) bm
x1~n 0 且取整数
x3 x5 2x7 15源自(1)求解得到: x2 12,x5 15,其余0,最优值27
(2)
(2)求解得到: x2 15,x5 5,x7 = 5 其余0,最优值25 结果分析:(2)比(1)总余量增加了 8cm 但是所有原料的钢管的总跟数减
少了两根。在余料没有什么用途的情况下,通常选用总跟数最小为目标。 问题(2)的求解 模型建立
显然他 们应当是非负整数
目标函数:总余量最小
Min Z1 3x1 x2 3x3 3x4 x5 x6 3x7 切割总数量最小
(1)
Min Z1 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
约束条件:
4x1 3x2 2x3 x4 x5 50 s.t. x2 2x4 x5 3x6 20
r11x1 r12 x2 r13x3 50 s.t.r21x1 r22 x2 r23x3 50
r31x1 r32 x2 r33x3 50 r41x1 r42 x2 r43x3 50
下料问题数学建模(钢管)

防盗窗下料问题摘要本文针对寻找经济效果最优的钢管下料方案,建立了优化模型。
问题中的圆形管下料设定目标为切割原料圆形管数量尽可能少且在使用一定数量圆形管的过程中使被切割利用过的原料总进价尽可能低。
问题中的方形管原料不足以提供所需截得的所用钢管,故设目标为使截得后剩余方形管总余量最小。
模型的建立过程中,首先运用了C语言程序,利用逐层分析方法,罗列出针对一根钢材的截取模式;然后根据条件得出约束关系,写出函数关系并对圆形管下料建立了线性模型,对方形管下料建立了非线性模型;接着,在对模型按实际情况进行简化后,借助lingo程序对模型求解,得出了模型的最优解,并给出了最符合经济效果最优原则的截取方案。
关键词:钢管下料;最优化;lingo;问题提出某不锈钢装饰公司承接了一住宅小区的防盗窗安装工程,为此购进了一批型号为304的不锈钢管,分为方形管和圆形管两种,方管规格为25×25×1.2(mm),圆管规格Φ19×1.2(mm)。
每种管管长有4米和6米两种,其中4米圆形管5000根,6米圆形管9000根,4米方形管2000根,6米方形管2000根。
根据小区的实际情况,需要截取1.2m圆管8000根, 1.5m圆管16500根,1.8m圆管12000根,1.4m方形管6000根,1.7m方形管4200根,3m方形管2800根。
请根据上述的实际情况建立数学模型,寻找经济效果最优的下料方案。
基本假设和符号说明1、假设钢管切割过程中无原料损耗或损坏;2、假设余料不可焊接;3、假设同种钢材可采用的切割模式数量不限;4、假设不同长度钢管运费、存储资源价值没有区别;5、假设该304型号不锈钢管未经切割则价值不变,可在其它地方使用。
为便于描述问题,文中引入一些符号来代替基本变量,如表一所示:问题分析与模型建立问题中的圆形管原料足够,寻找经济效果最优的下料方案,即目标为切割原料圆形管数量尽可能少。
考虑到6米圆形管与4米圆形管的采购价格应该是不同的,所以我们寻求的是在使用一定数量6米圆形管与4米圆形管的过程中使被切割利用过的原料总进价尽可能低。
关于钢材下料问题的数学建模论文

B 题 钢管下料问题摘要应客户要求,某钢厂用两类同规格但不同长度的钢管切割出四种不同长度的成品钢管。
故该原料下料问题为典型的优化模型。
钢厂在切割钢管时,又要求每种钢管的切割模式都不能超过5种,故我们先分别列出两种原料钢管出现频率较高的切割模式,每一问都需要针对不同钢管节约要求分别求出5种切割模式的最佳组合。
第一问要求余料最少,在切割模式的选择方面,我们尽量要求余料为零,并在此基础上要求切割得成品钢管除满足客户要求外,多余客户要求的钢管数也要尽可能的少,运用Lingo 软件求出余料最少时,需要65根A 类钢管采用4种切割模式切割,需要40根B 类钢管采用2种切割模式切割,总余料为20米。
第二问要求总根数最少,故我们只要求总根数最少,在这里我们分了两种情况:有余料时,需A 类钢管65根,采用5种切割模式,需B 类钢管38根,采用4种切割模式,余料各为2米;无余料时,需A 类钢管75根,采用3种切割模式,需B 类钢管39根,采用4种切割模式。
第三问我们运用Lingo 软件求出较优解为当m=0.4时最大收益h=a-159,具体切割模式见模型求解部分。
为了找到替代比例与最大收益的关系,我们分别给m 赋值为0、10%、20%、30%、40%时,用Lingo 解得各自的最大收益,并用四次拟合的方法大致算出了最大收益z 和替代比例m 的关系,为4322083.31416.7279.1715.833160h a m m m m =+-+--(a 为总售出额)。
第四问就是将钢厂下料问题一般化,将本文中模型进行推广,得出了可普遍应用的一般化模型。
关键词:优化模型、整数规划模型、线性规划模型、非线性规划模型、Lingo 、四次拟合问题重述某钢厂主要生产两种结构用无缝钢管,两类钢管除长度不同外规格无差别,A 类型钢管长度为19米,B 类型钢管长度为29米。
假设某单位要订购该钢厂的一批钢管,要求钢厂将原料钢管按照客户订单的要求进行切割成不同长度,具体如下:钢厂在切割钢管时,要求每种钢管的切割模式都不能超过5种,建立数学模型解决下列问题: (1)在满足订单要求的前提下,如何切割才能使余料最省;(2)在满足订单要求的前提下,如何切割才能使耗费原料钢管的数量最少;(3)如果B 类钢管的单价是A 类钢管的2.5倍,又目前钢厂B 类钢管产量不足,如果客户要求将B 类钢管中的5米、7米和8米三种长度的订货量必须全部满足,而B 类中3米的订货量中可以有不超过40%的部分用A 类代替,又该如何切割,才能使钢厂的收益最大,并给出替代比例与最大收益之间的关系。
数学建模合理下料问题

数学建模合理下料问题某钢管零售商从钢管厂进货,然后将钢管按照顾客的要求切割后售出,从钢管厂进货时,每根钢管的长度都是19米①现在有一客户需要50根4米、20根6米、15根8米的钢管,应如何下料最节省?②零售商如果采用的不同切割方式太多,将会导致生产过程的复杂化,从而增加生产和管理成本,所以该零售商规定采用的不同切割方式不能超过3种。
此外,该客户除需要①中的三种钢管外,还需要10根5米的钢管,应如何下料最省?(一)模型假设:1,假设钢管可以任意分割一根钢管可以有以下7种分法:①②③④⑤⑥⑦4米 4 3 2 1 1 0 06米0 1 0 2 1 3 08米0 0 1 0 1 0 2余料 3 1 3 3 1 1 3符号说明:x1-x7,表示对应分割方法下4,6,8米钢管的根数w , 表示所用的19米钢管数h , 表示余料模型分析:要求下料最节省,也即是所用的19米钢管数w最少。
客户需要50根4米、20根6米、15根8米的钢管,可以得到以下方程式:4x1+3x2+2x3+x4+x5>=50x2+2x4+x5+3x6>=20x3+x5+x7>=15Min h=3x1+x2+3x3+3x4+x5+x6+3x7模型求解:上述问题属于线性规划,它可以用单纯形法方法求解,也可以用LINDO软件求解。
用LINDO求解如下:直接输入min 3x1+x2+3x3+3x4+x5+x6+3x7subject to4x1+3x2+2x3+x4+x5=50x2+2x4+x5+3x6=20x3+x5+x7=15end将文件存储并命名后,选择菜单“solve”,并对提示“DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS”回答“是”或“否”。
即可得输出结果。
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 4OBJECTIVE FUNCTION V ALUE1) 35.00000VARIABLE V ALUE REDUCED COSTX1 0.000000 0.000000X2 10.000000 0.000000X3 5.000000 0.000000X4 0.000000 4.750000X5 10.000000 0.000000X6 0.000000 4.750000X7 0.000000 1.500000模型假设:一根钢管可以有以下15种分法:⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿⒀⒁⒂44 3 3 2 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 米0 1 0 2 1 0 3 1 0 2 2 1 1 0 0 5米0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 2 1 3 0 6米0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 2 8米3 2 1 1 0 3 0 2 1 3 1 2 0 1 3 余料符号说明:x1-x15,表示对应分割方法下4,5,6,8米钢管的根数w , 表示所用的19米钢管数h , 表示余料模型分析:要求下料最节省,也即是所用的19米钢管数w最少。
数学建模数学规划模型4

1.问题
某钢管零售商从钢管厂进货,将钢管按照顾客的要求切割后售出, 从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m。
(1)现有一客户需要50根4m、20根6m和15根8m的钢管应如何下料 最节省?
(2)零售商如果采用的不同切割模式太多,将会导致生产过程的复 杂化,从而增加生产和管理成本,所以该零售商规定采用的不同切割模 式不能超过3种.
MS=[a(:),b(:),c(:),d(:)]; %满足0<n1<4,0<n2<3,0<n3<3,0<n4<2的所有模式
g=[4;5;6;8];
%切割要求
n=find((MS*g>=16)&(MS*g<=19)); %合理的切割模式号
HLMS=MS(n,:);
%HLMS合理的切割模式
HLMS=sortrows(HLMS,-1); %HLMS按第一列降序排列
%钢管下料问题 问题1求解(按余料最小和根数最少两种方式)
%求合理的切割模式
clear,clc
[a,b,c]=ndgrid([0:4],[0:3],[0:2]); %ndgrid: N 维空间中的矩形网格
MS=[a(:),b(:),c(:)]; %MS为满足条件0<n1<4,0<n2<3,0<n3<2的所有模式
8米根数 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 15
余料 3 2 1 1 0 3 0 2 3 1 3 1 2 0 1 3
模式
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12
13 14
15
钢管下料数学建模

钢管下料数学建模一、引言钢管下料是工业生产中常见的一项工艺,它涉及到如何将原始的钢管按照预定的尺寸进行切割,以便于后续加工和使用。
在进行钢管下料时,数学建模可以帮助我们计算出最佳的下料方案,以最大程度地减少浪费,提高生产效率。
本文将以钢管下料数学建模为主题,探讨如何利用数学方法求解钢管下料问题。
二、问题描述假设有一根长度为L的钢管,需要按照给定的尺寸进行切割。
切割时需要考虑以下几个因素:1. 切割后的钢管长度需要满足给定的要求;2. 切割时需要考虑钢管的浪费情况,即尽量减少剩余钢管的长度;3. 切割时需要考虑生产效率,即尽量减少切割次数。
三、数学建模钢管下料问题可以抽象为一个数学模型,通过建立数学模型,我们可以计算出最佳的下料方案。
下面将介绍两种常见的数学建模方法。
1. 贪心算法贪心算法是一种简单而常用的数学建模方法,它通过每一步都选择局部最优解来达到全局最优解。
在钢管下料问题中,贪心算法可以按照以下步骤进行:1)将钢管初始长度L赋值给一个变量remain;2)根据给定的尺寸要求,选择一个长度小于等于remain的最大钢管尺寸,将其切割出来;3)将remain减去切割出来的钢管长度,得到剩余的钢管长度;4)重复步骤2和3,直到remain小于等于0。
2. 动态规划动态规划是一种更加复杂但是更加精确的数学建模方法,它通过将原问题划分为多个子问题,并保存子问题的解来求解原问题。
在钢管下料问题中,动态规划可以按照以下步骤进行:1)建立一个长度为L+1的数组dp,dp[i]表示长度为i的钢管的最佳下料方案所需的最少切割次数;2)初始化dp数组,将dp[0]设置为0,其余元素设置为正无穷大;3)从长度为1开始,依次计算dp[1]、dp[2]、...、dp[L]的值;4)最终dp[L]即为所求的最佳下料方案所需的最少切割次数。
四、案例分析为了更好地理解钢管下料数学建模,我们以一个具体的案例进行分析。
假设有一根长度为9米的钢管,需要切割成长度分别为2米、3米和4米的三段钢管。
合理下料问题

合理下料问题摘要节省原材料,提高材料的利用率,减少废料,降低成本,提高经济效益,对各工业领域来说都是一项有意义的事情。
本文提出了下料问题的一种使用数学模型,来研究钢管最合理的切割方法。
关键字:最优化线性规划 LINGO软件一、问题重述某钢管零售商从钢管厂进货,然后将钢管按照顾客的要求切割后售出,从钢管厂进货时,每根钢管的长度都是19米①现在有一客户需要50根4米、20根6米、15根8米的钢管,应如何下料最节省?②零售商如果采用的不同切割方式太多,将会导致生产过程的复杂化,从而增加生产和管理成本,所以该零售商规定采用的不同切割方式不能超过3种。
此外,该客户除需要①中的三种钢管外,还需要10根5米的钢管,应如何下料最省?二、问题分析1、现在的目标是确定一个合理的方案使得下料最省,获利最多。
2、①从题目给出的数据可知,客户所需要的三种不同长度的钢管都是由钢管厂19米长的钢管切割而来的,具体的切割方式有以下7种:方式4m钢管/根6m钢管/根8m钢管/根余料/米一 4 0 0 3二 3 1 0 1三 2 0 1 3四 1 2 0 3五 1 1 1 1六0 3 0 1七0 0 2 3②从题目给出的数据可知,客户所需要的四种不同长度的钢管都是由钢管厂19米长的钢管切割而来的,具体的切割方式有以下16种:方式4m钢管/根5m钢管/根6m钢管/根8m钢管/根余料/米一 4 0 0 0 3二 3 1 0 0 2三 3 0 1 0 1四 2 0 0 1 3五 2 2 0 0 1六 2 1 1 0 0七 1 0 2 0 3八 1 3 0 0 0九 1 1 0 1 2十 1 0 1 1 1 十一0 0 3 0 1 十二0 0 0 2 3 十三0 1 2 0 2 十四0 1 1 1 0 十五0 2 0 1 1 十六0 2 1 0 3三、模型假设(1)假设切割不损失钢管。
四、符号说明Xn表示采用方式n的次数;Z表示切割总根数。
钢管下料

承诺书我们仔细阅读了西安铁路职业技术学院大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是(从C/D中选择一项填写): D我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话):所属学校(请填写完整的全名):西安铁路职业技术学院参赛队员(打印并签名) :1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名):日期: 2012 年 6 月 10 日赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):编号专用页赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):交卷邮箱:longshoujianmo@交卷时间:截止2012年6月11日早8:30论文题目:关于钢管下料的最优解目录一.摘要……………………………………………………………………2.二.问题的提出 (3)三.问题的分析 (3)四.建模过程………………………………………………………(3至8)1.模型假设…………………………………………………….(3与4)2.定义符号和说明………………………………………….(4与5)3.模型建立……………………………………………………(5至7)4.模型求解…………………………………………………….(7与8)五. 结果分析、模型的评价与改进………………………………………………(8与9)六.参考文献 (9)七.附录……………………………………………………………………….(9至20)1.用Matlab求解切割模式种类的程序及解………………(9至10)2.用LINGO求解余料与根数最优解的程序及解………….(11至20)一. 摘要在生产中常常会遇到这样的问题,就是我们通过用切割、剪裁、冲压等手段将原材料加工成所需大小,这种工艺称为原料下料问题。
钢管下料

问题实例分析
例:现要做100套钢架,每套用长为2.9m, 2.1m和
1.5m的元钢各一根。已知原料长7.4m,问应如何
下料,使用的原材料最省。
下面有几种合理的套截方案考虑采用,见下表:
下料根数 方案
Ⅰ
长度(m) 2.9 2.1 1.5 合计 料头 1 0 3 7.4
Ⅱ
2 1 7.3
Ⅲ
Ⅳ
1 2ⅣBiblioteka 2 2 7.2对于此类问题还可以使用Excel的“规划 求解”工具运算,其步骤如下: 第一步 编制数据计算表,建立目标单元 格、可变单元格和约束条件单元格之间 的数量对应关系。
下料方法 2.9m元钢 2.1m元钢 1.5m元钢 使用元钢根数 方法1 0 0 0 方法2 0 0 0 方法3 0 0 0 方法4 0 0 0 方法5 0 0 0 合计 0 0 0 0
1.单击B2单元格,输入“=E2*1”,回车确认即 出现0,表明在下料方法1中截出2.9m元钢数 量与所用原材料数量之间已建立对应关系。 下料方法1不截2.1m元钢,C2单元格可直接输 入0。单击D2单元格,输入“=E2*3”,回车 确认即出现0,表明在下料方法1截出1.5m元 钢数量与所用原材料数量之间已建立对应关 系。 2.依照上面的办法,依次将B2~D6的 所有单元格都建立好数量关系。
上表中,目标函数所在的单元格为E7,是 E列选中的下料方法所用原材料数量的合计。 而这些下料方法所用原材料数量的多少,又 取决于3种元钢需要的数量和选中的下料方法 截出的3种元钢的数量。为此需要在相关单元 格中输入以下计算公式。
下料方法 2.9m元钢 2.1m元钢 1.5m元钢 使用元钢根数 方法1 0 0 0 方法2 0 0 0 方法3 0 0 0 方法4 0 0 0 方法5 0 0 0 合计 0 0 0 0
4.3 下料问题

优化建模之下料问题一般下料问题的最优解法下料问题的非线性方法大型下料问题的处理问题:如何下料最节省?原料钢管:每根19米4米50根6米20根8米15根客户需求例1 下料问题余料1米4米1根6米1根8米1根余料3米4米1根6米1根6米1根合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸余料3米8米1根8米1根模式4米钢管根数6米钢管根数8米钢管根数余料(米)14003231013201341203511116030170023为满足客户需要,按照哪些种合理模式,每种模式切割多少根原料钢管,最为节省?决策变量x i ~2.所用原料钢管总根数最少1.原料钢管剩余总余量最小目标函数:两种标准min Z 1=3x 1+x 2+3x 3+x 4+x 5+x 6+3x 7min Z 2=x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6+x 7按第种模式切割的原料钢管根数(i =1,2,⋯,7)i约束4x 1+3x 2+2x 3+x 4+x 5≥50x 2+2x 4+x 5+3x 6≥20x 3+x 5+2x 7≥15模式4米根数6米根数8米根数余料14003231013201341203511116030170023需求502015整数约束:x i 为整数model:Title钢管下料;Min=3*x1+x2+3*x3+3*x4+x5+x6+3*x7; 4*x1+3*x2+2*x3+x4+x5>50;x2+2*x4+x5+3*x6> 20;x3+x5+2*x7>15;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4); @gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);end例2 续例1下料问题客户增加需求:5米10根由于采用不同切割模式太多,会增加生产和管理成本,规定切割模式不能超过3种。
如何下料最节省?现有4种需求:4米50根,5米10根,6米20根,8米15根,由搜索算法确定有16种合理切割模式。
数学建模之钢管下料问题案例分析学习资料

数学建模之钢管下料问题案例分析钢管下料问题某钢管零售商从钢管厂进货,将钢管按照顾客的要求切割后售出,从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m 。
(1)现在一客户需要50根4m 、20根6m 和15根8m 的钢管。
应如何下料最节省?(2) 零售商如果采用的不同切割模式太多,将会导致生产过程的复杂化,从而增加生产和管理成本,所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。
此外,该客户除需要(1)中的三种钢管外,还需要10根5m 的钢管。
应如何下料最节省。
问题(1)分析与模型建立首先分析1根19m 的钢管切割为4m 、6m 、8m 的钢管的模式,所有模式相当于求解不等式方程: 12346819k k k ++≤的整数解。
但要求剩余材料12319(468)4r k k k =-++<。
容易得到所有模式见表1。
表1 钢管切割模式决策变量 用i x 表示按照第i 种模式(i=1,2,…,7)切割的原料钢管的根数。
以切割原料钢管的总根数最少为目标,则有 1234567min z x x x x x x x =++++++ 约束条件 为满足客户的需求,4米长的钢管至少50根,有 1236743250x x x x x ++++≥ 6米长的钢管至少20根,有 25673220x x x x +++≥ 8米长的钢管至少15根,有 346215x x x ++≥ 因此模型为:1234567min z x x x x x x x =++++++123672567346432503220..215,1,2,,7i x x x x x x x x x s t x x x x i ++++≥⎧⎪+++≥⎪⎨++≥⎪⎪=⎩取整 解得:12345670,12,0,0,0,15,0x x x x x x x =======目标值z=27。
即12根钢管采用切割模式2:3根4m ,1根6m ,余料1m 。
15根钢管采用切割模式6:1根4m ,1根6m ,1根8m ,余料1m 。
数学建模——下料问题

由假设 2,3 为了使每种切割模式下的余料浪费不能超过 100mm,构造如下约束 条件:
1750 290r11 215r21 350r31 455r41 1850 1750 290r12 215r22 350 r32 455r42 1850 1750 290r13 215r23 350 r33 455r43 1850 1750 290r14 215r24 350 r34 455r44 1850
2.2 模型的求解 运用 lingo,对上述线性规划问题求解,得到如下结果:
2.3 结果分析 使用原料钢管总根数为 16+6+1=23 根,切割模式为: 模式 1 将每根原料钢管切割 1 根 290mm,1 根 215mm,1 根 355mm,2 根 455mm, 共 16 根 模式 2 将每根原料钢管切割 2 根 215mm,3 根 455mm,共 6 根 模式 3 将每根原料钢管切割 5 根 355mm,共 1 根 模式 4 将每根原料钢管切割 4 根 455mm,共 0 根 3 模型的检验与进一步分析 3.1 模型的检验 客户需要 15 根 290mm、28 根 215mm、21 根 350mm 和 30 根 455mm 的钢管,原 料钢管 1850mm,那么至少需要原料钢管为 15 290 28 215 21 350 30 455 =17 根 1850
为了确定原料钢管数量的最大值,我们采用枚举法求解,将 1 根原料钢管分 别切割成 290mm、215mm、350mm 和 455mm 根数进行讨论,可得表 1 结果, 表 1 原料钢管数量的最大值讨论结果
切割长度 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 方案 5 方案 6 方案 7 方案 8 290mm 215mm 350mm 455mm 总长 余量 原料钢管 根数
数学建模论文钢管下料

数学建模承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写):我们的电子文件名:所属学校(请填写完整的全名):广西教育学院参赛队员(打印并签名) :1. 陈夏玲2. 陈秋兰3. 熊明利指导教师或指导组负责人(打印并签名):日期:2013 年6月16日钢管下料问题的建模与求解问题:某钢管零售商从钢管厂进货将钢管按照顾客的要求切割后售出。
从钢管进货时,得到的原料钢管的原料都是1850mm。
现有一客户需要15根295mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管。
为了简化生产过程规定所使用的切割模式的总类不能超过4种,使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值得1/10增加费用,使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用,以此类推,且每种切割模式下的切割次数不能太多(一根原料钢管最多生产5根产品)。
此外,为了减少余料浪费,每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm。
为了使总费用最小,应如何下料?二、摘要本文以钢管下料为背景,在尽量减少余料浪费,简化生产过程等约束条件下,应如何选取最优切割方案使总费用最小的问题进行了简要的分析。
首先通过提取问题中的有用信息,即所使用的切割模式的种类不能超过4种,且每种切割模式下的切割次数不能太多(一根原钢管最多生产5根产品)等,可以列出一系列约束条件。
由于切割模式使用频率可以有两种或两种以上相同,为了简便起见,对问题进行了一些简化假设,然后在这些假设下建立了数学规划模型,对问题进行了初步解答。
钢管下料的数学模型

钢管下料一. 实验问题 某钢管零售商从钢管厂进货,将钢管按照顾客的要求切割后售出。
从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是1850mm.现有一客户需要15根290mm,28根315mm,21根350mm 和30根455mm 的钢管。
为了简化生产过程,规定所使用的切割模式的种类不能超过4种,使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用,使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的1/20增加费用,以此类推,且每种切割模式下的切割次数不能太多(一根原料钢管最多生产5根产品),此外,为了减少余料浪费,每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm.为了使总费用最小,应如何下料。
二. 建立模型决策变量:xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i =1,2,3,4),r 1i , r 2i , r 3i , r 4i ~第i 种切割模式下,每根原料钢管生产290mm 、315mm 、350mm 和455mm 长的钢管的数量。
目标函数(总费用):(p 表示原料钢管价格)[])10/41()10/31()10/21()10/11(4321+++++++=x x x x p goal43214.13.12.11.1.x x x x goal Min +++=即约束条件:{条件1:满足客户需求 x 1r 11+x 2r 21+x 3r 31+x 4r 4115x 1r 12+x 2r 22+x 3r 32+x 4r 4228x 1r 13+x 2r 23+x 3r 33+x 4r 4321x 1r 14+x 2r 24+x 3r 34+x 4r 4430条件2:余料限制 01850-290r 11-315r 12-350r 13-455r 14100 01850-290r 21-315r 22-350r 23-455r 24100 01850-290r 31-315r 32-350r 33-455r 34100 01850-290r 41-315r 42-350r 43-455r 44100条件3:四种模式下每根原料钢管切割次数的限制 r 11+r 12+r 13+r 145r 21+r 22+r 23+r 245 $ r 31+r 32+r 33+r 345r 41+r 42+r 43+r 445条件4:四种切割模式使用频率的大小 x 1x 2,x 2x 3,x 3x 4条件5:决策变量非负约束 x i 0,r ij 0 (i,j=1,2,3,4)条件6:决策变量整数约束 x i ,r ij z使用原料钢管数量的下限为(290×15+315×28+350×21+455×30)/1850=模式一:只切割290mm 的钢管需要3根原料钢管模式二:只切割315mm 的钢管需要6根原料钢管模式四:只切割350mm 的钢管需要5根原料钢管模式五:只切割455mm的钢管需要8根原料钢管\所以使用原料钢管数量的上限为3+6+5+8=22条件7:18x1+x2+x3+x4求出目标函数goal满足以上7个条件下的最小值,从而就能确定出决策变量x i,r ij 三.程序设计用Lingo编写程序如下:min=*x1+*x2+*x3+*x4;x1*r11+x2*r21+x3*r31+x4*r41>=15;x1*r12+x2*r22+x3*r32+x4*r42>=28;x1*r13+x2*r23+x3*r33+x4*r43>=21;;x1*r14+x2*r24+x3*r34+x4*r44>=30;1850-290*r11-315*r12-350*r13-455*r14>=0;1850-290*r21-315*r22-350*r23-455*r24>=0;1850-290*r31-315*r32-350*r33-455*r34>=0;1850-290*r41-315*r42-350*r43-455*r44>=0;1850-290*r11-315*r12-350*r13-455*r14<=100;1850-290*r21-315*r22-350*r23-455*r24<=100;1850-290*r31-315*r32-350*r33-455*r34<=100;1850-290*r41-315*r42-350*r43-455*r44<=100;r11+r12+r13+r14<=5;/r21+r22+r23+r24<=5;r31+r32+r33+r34<=5;r41+r42+r43+r44<=5;x1+x2+x3+x4>=18;x1+x2+x3+x4<=22;x1>=x2;x2>=x3;x3>=x4;@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(r11);@gin(r12);@gin(r13);@gin(r14);@gin(r21);@gin(r22);@gin(r23);@gin(r24);@gin(r31);@gin(r32);@gin(r33);@gin(r34);<@gin(r41);@gin(r42);@gin(r43);@gin(r44);end四.计算结果利用Lingo运行以上程序,得出如下结果:采取三种切割模式(x4=0),各切割模式如下表所示290315350《455x1=141202x2=4005:0 x3=12012 x4=01031。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
钢管下料问题
某钢管零售商从钢管厂进货,将钢管按照顾客的要求切割后售出,从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m 。
(1)现在一客户需要50根4m 、20根6m 和15根8m 的钢管。
应如何下料最节省?
(2) 零售商如果采用的不同切割模式太多,将会导致生产过程的复杂化,从而增加生产和管理成本,所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。
此外,该客户除需要(1)中的三种钢管外,还需要10根5m 的钢管。
应如何下料最节省。
问题(1)分析与模型建立
首先分析1根19m 的钢管切割为4m 、6m 、8m 的钢管的模式,所有模式相当于求解不等式方程:
12346819k k k ++≤
的整数解。
但要求剩余材料12319(468)4r k k k =-++<。
容易得到所有模式见表1。
决策变量 用i x 表示按照第i 种模式(i=1,2,…,7)切割的原料钢管的根数。
以切割原料钢管的总根数最少为目标,则有
1234567min z x x x x x x x =++++++ 约束条件 为满足客户的需求,4米长的钢管至少50根,有
1236743250x x x x x ++++≥ 6米长的钢管至少20根,有 25673220x x x x +++≥ 8米长的钢管至少15根,有 346215x x x ++≥ 因此模型为:
1234567min z x x x x x x x =++++++
123672567
346432503220..215,1,2,,7
i x x x x x x x x x s t x x x x i ++++≥⎧⎪+++≥⎪⎨
++≥⎪⎪=⎩取整 解得:
12345670,12,0,0,0,15,0x x x x x x x =======
目标值z=27。
即12根钢管采用切割模式2:3根4m ,1根6m ,余料1m 。
15根钢管采用切割模式6:1根4m ,1根6m ,1根8m ,余料1m 。
切割模式只采用了2种,余料为27m ,使用钢管27根。
LINGO 程序:
model: sets:
model/1..7/:x; endsets
min=x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)+x(6)+x(7); 4*x(1)+3*x(2)+2*x(3)+x(6)+x(7)>=50; x(2)+3*x(5)+x(6)+2*x(7)>=20; x(3)+2*x(4)+x(6)>=15; @for(model(i):@gin(x(i))); end
问题(2)模型建立
首先分析1根19m 的钢管切割为4m 、6m 、8m 、5m 的钢管的模式,所有模式相当
于求解不等式方程: 1234468519k k k k +++≤
的整数解。
但要求剩余材料12319(468)4r k k k =-++<。
利用Matlab 程序求出所有模式见表2。
求出所有模式的Matlab 程序: number=0; for k1=0:4 for k2=0:3 for k3=0:2 for k4=0:3
r=19-(4*k1+6*k2+8*k3+5*k4); if(r>=0)&(r<4)
number=number+1;
fprintf('%2d %2d %2d %2d %2d %2d\n',number,k1,k2,k3,k4,r); end
end end end end
表2 钢管切割模式
决策变量 用i x 表示按照第i 种模式(i=1,2,…,16)切割的原料钢管的根数。
决策目标 以切割原料钢管的总根数最少为目标,则有 16
21
min i i z x ==
∑
设第i 种切割模式下4米长的钢管i a 根,6米长的钢管i b 根,8米长的钢管i c 根,5米长的钢管i d 根。
则约束条件有:
为满足客户的需求,4米长的钢管至少50根,有
16
150i i
i a x
=≥∑
6米长的钢管至少20根,有
16
1
20i i
i b x
=≥∑
8米长的钢管至少15根,有
16
115i i
i c x
=≥∑
5米长的钢管至少10根,有
16
1
10i i
i d x
=≥∑
为实现最多使用3种切割模式,增设0-1变量,1,2,
,16i y i =。
当0i y =时,0i x =,表示不使用第i 种切割模式;当1i y =时,1i x ≥,表示使用第i 种切割模式。
因此有:
i i x y ≥,.i i x M y ≤,1,2,,16i =
其中M 足够大,如这里取100。
16
1
3i
i y
=≤∑
因此模型为:
16
1
min i i z x ==∑
16
116
116
116
1
16
1
50201510...,1,2,,16,1,2,,163,1,2,,1601,1,2,,16i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
i a x b x c x d x s t x M y i x y i y x i y i M =====⎧≥⎪⎪⎪≥⎪⎪⎪≥⎪⎪⎪≥⎪⎨⎪≤=⎪
≥=⎪⎪⎪≤⎪⎪=⎪⎪==⎪
⎩∑∑∑∑∑取整或足大
解得:
当所用钢管z 最少时,求得的解为:
213158,10,10x x x ===,其余为0。
目标值z=28。
即8根钢管采用切割模式2:2根8m ,余料3m 。
10根钢管采用切割模式13:2根4m ,1根6m ,1根5m ,余料为0。
10根钢管采用切割模式15:3根4m ,1根6m ,余料1m 。
切割模式采用了3种,余料为34,使用钢管z=28根。
LINGO 程序为: model:
sets:
model/1..16/:a,b,c,d,r,x,y; endsets data:
a=0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,2,2,2,3,3,4; b=0,0,1,1,2,3,0,0,1,2,0,0,1,0,1,0; c=1,2,0,1,0,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,0; d=2,0,2,1,1,0,3,1,0,0,2,0,1,1,0,0; r=1,3,3,0,2,1,0,2,1,3,1,3,0,2,1,3; enddata min=z;
z1=@sum(model(i):r(i)*x(i));!余料;
z=@sum(model(i):x(i));!钢管总数;
@sum(model(i):a(i)*x(i))>=50;!4米长钢管约束; @sum(model(i):b(i)*x(i))>=20;!6米长钢管约束; @sum(model(i):c(i)*x(i))>=15;!8米长钢管约束; @sum(model(i):d(i)*x(i))>=10;!5米长钢管约束; @for(model(i):x(i)>=y(i));
@for(model(i):x(i)<=1000*y(i));
@sum(model(i):y(i))<=3;
@for(model(i):@gin(x(i)));
@for(model(i):@bin(y(i)));
end。