西安交大数学实验五matlab计算圆周率pi-精选文档

1989年，David 和 Gregory Chudnovsky 发表 了下面的公式
n 1 ( 1 ) ( 6 n )! 13591409 5451401 n 12 , 3 3 3 n n ( 3 n )! ( n ! ) 2 0 640320
并在1994年计算到了4044000000位．它的另一 种形式是
426880 10005 . ( 6 n )! ( 545140134 n 13591409 ) 3 3 n ( n ! ) ( 3 n )! ( 640320 ) n 0
2019 年 ， 由 David Bailey,Peter Borwein 和 Simon Plouffe 共同发表了下面的圆周率计算公式 （简称BBP公式）
实验时期
• 基于对一个圆的周长和直径的实际测量而 得出的。 • 在古代世界，实际上长期使用 π ＝3这个数 值。 • 最早见于文字记载的有基督教《圣经》中 的章节，其上取圆周率为3。这一段描述的 事大约发生在公元前950年前后。
几何法时期

真正使圆周率计算建立在 科学的基础上，首先应归 功于阿基米德。他是科学 地研究这一常数的第一个 人，是他首先提出了一种 能够借助数学过程而不是 通过测量的、能够把 π 的 圆周长大于内接正多边 值精确到任意精度的方法。 形周长而小于外切正多边 由此，开创了圆周率计算 形周长． 的第二阶段。 据说阿基米德用到了正 96边形才算出他的值域。
Βιβλιοθήκη Baidu
3
5
7
2 n 1
并利用这个公式计算到了圆周率的100位.
1914年，印度数学家Srinivasa Ramanujan 表了下面的公式：
9801 ( 4 n )! ( 1103 26390 n ) 22 4 n 4 4 n 4 ( n ! ) 99 n 0
发
在1985年，Gosper用这个公式计算到了圆周率 的17500000位．
数学实验五
圆周率 π 的近似 计 算
主 讲:魏 平
１.圆周率π的计算历程
• 所谓“圆周率”是指一个圆的周长与其直径的比值。 古今中外，许多人致力于圆周率的研究与计算。为 了计算出圆周率的越来越好的近似值，一代代的数 学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。。 • 回顾历史，人类对 π 的认识过程，反映了数学和计 算技术发展情形的一个侧面。 π 的研究，在一定程 度上反映这个地区或时代的数学水平。德国数学家 康托说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确 程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的 指标。” • 直到19世纪初，求圆周率的值应该说是数学中的头 号难题。为求得圆周率的值，人类走过了漫长而曲 折的道路。
1 2 1 1 4 . n 8 n 1 8 n 4 8 n 5 8 n 6 16 n 0

该公式的最大优点在于：经后来人将该公式变 形后打破了传统的计算方法，可以直接计算圆周率 的任意第n位数，而不是先计算前面的n-1位数．
2019 年， Fabrice Bellard 发表了一个比 BBP 算 法更快的公式
1 1 32 1 256 64 1024 n1 4 n3 10 n1 4 n 0
n
64 4 4 1 . 10 n 3 10 n 5 10 n 7 10 n 9
从而，大大降低了圆周率近似值的计算量.
在中国
• 祖冲之: 在刘徽研究的基础上，进一步地发展， 经过既漫长又烦琐的计算，一直算到圆内接正 24576边形，而得到一个结论： • 3.1415926 ＜ π ＜ 3.1415927 同时得到π 的两个近似分数：约率为22／7； 密率为355／113。
• 他算出的 π 的8位可靠数字，不但在当时是最精 密的圆周率，而且保持世界记录九百多年。以致 于有数学史家提议将这一结果命名为“祖率”。
分析法时期
• 这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难 计算，利用无穷级数或无穷连乘积来算 π 。 • 1593年，韦达给出
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
这一不寻常的公式是 π 的最早分析表达式。甚至 在今天，这个公式的优美也会令我们赞叹不已。它 表明仅仅借助数字2，通过一系列的加、乘、除和 开平方就可算出 π 值。
1 .圆周率 的幂级数计算方法
例1
利用 arctan x 的 Maclaurin 展开式 ， 计算 的近似值 .
解
1 2 4 n 12 n 1 x x (1 ) x . 2 1 x
xx ( 1 )x arctan x x . 35 2 n 1
在中国
• 刘徽：公元263年前后，刘徽提出著名的 “割圆 术”求出了比较精确的圆周率。他发现：当圆内 接正多边形的边数不断增加后，多边形的周长会 越来越逼近圆周长，而多边形的面积也会越来越 逼近圆面积。于是，刘徽利用正多边形面积和圆 面积之间的关系，从正六边形开始，逐步把边数 加倍：正十二边形、正二十四边形，正四十八边 形……，一直到正三○七二边形，算出圆周率等 于三点一四一六，将圆周率的精度提高到小数点 后第四位。
3 5
n 1 2 n 1
1 1 ( 1 ) 4 arctan 1 4 ( 1 ). 3 5 2 n 1
n 1
1 1 ( 1 ) 4 arctan 1 4 ( 1 ). 3 5 2 n 1
接着有多种表达式出现。如沃利斯1650 年给出：
22446688
2 1 3 345 577
1706年，英国天文学教授John Machin 利用
xxx x n 1 arctan x x 1 357 2 n 1
发现了下面的公式
1 1 16 arctan 4 arctan , 5 239