高三数学一轮复习第15课时导数的应用(一)单调性学案
《名师伴你行》数学一轮复习--导数的应用(1)省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件
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3．已知二次函数f(x)的图像如图所示，那么其导函数 f′(x)的图像大致形状是( )
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A．
B．
C．
D.
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解析：由函数f(x)的图像知，当x∈(－∞，1)时，f(x)为 减函数，∴f′(x)＜0.
当x∈(1，＋∞)时，f(x)为增函数，∴f′(x)＞0. 答案：C
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名师伴你行
级高考数学一轮复习课件
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§3.2 导数的应用(一)
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[高考调研 明确考向]
考纲解读
考情分析
•了解函数单调性和导数的关系；能 •利用导数研究函数的单调性、极值
利用导数来研究函数单调性，会求 是近几年高考的热点． 函数的单调区间(其中多项式函数一 •选择题、填空题侧重于利用导数确 般不超过三次)． •了解函数在某点取得极值的必要条 定函数的单调性和极值．解答题侧
件和充分条件；会用导数求函数的 重于导数与函数、解析几何、不等
极大值、极小值(其中多项式函数一 式、数列的综合应用，一般难度较
般不超过三次).
大，属中高档题.
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知识梳理 1.函数的单调性与导数 在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都 不恒等于0.
f′(x)≥0⇔f(x)为□1 ______________； f′(x)≤0⇔f(x)为□2 ______________.
围；若不是，请说明理由．
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解析：(1)当a＝－2时，f(x)＝(－x2－2x)e－x， ∴f′(x)＝(x2－2)e－x. 令f′(x)＜0，得x2－2＜0. ∴－ 2＜x＜ 2. ∴函数的单调递减区间是(－ 2， 2)． (注：写成[－ 2， 2]也对)
北师大版版高考数学一轮复习函数导数及其应用导数的应用导数与函数的单调性教学案理解析版
[考纲传真] １．了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.２．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.３．会利用导数解决某些实际问题（生活中的优化问题）．１．导函数的符号和函数的单调性的关系（１）如果在某个区间内，函数y＝f（x）的导数f′（x）≥0，则在这个区间上，函数y＝f（x）是增加的；（２）如果在某个区间内，函数y＝f（x）的导数f′（x）≤0，则在这个区间上，函数y＝f（x）是减少的．２．函数的极值与导数（１）函数的极大值点和极大值：在包含x0的一个区间（a，b）内，函数y＝f（x）在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f（x）的极大值点．其函数值f（x0）为函数的极大值．（２）函数的极小值点和极小值：在包含x0的一个区间（a，b）内，函数y＝f（x）在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f（x）的极小值点，其函数值f（x0）为函数的极小值．（３）极值和极值点：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．（４）求可导函数极值的步骤：１求f′（x）．２求方程f′（x）＝0的根．３检查f′（x）在方程f′（x）＝0的根的左右两侧的符号．如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值．３．函数的最值与导数（１）最大值点：函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最大值点x0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f（x0）．函数的最小值点也有类似的意义．（２）函数的最大值：最大值或者在极值点取得，或者在区间的端点取得．（３）最值：函数的最大值和最小值统称为最值．（４）求f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤１求f（x）在（a，b）内的极值；２将f（x）的各极值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．错误!１．可导函数f（x）在（a，b）上是增（减）函数的充要条件是：对任意x∈（a，b），都有f′（x）≥0（f′（x）≤0）且f′（x）在（a，b）上的任何子区间内都不恒为零．２．对于可导函数f（x），f′（x0）＝0是函数f（x）在x＝x0处有极值的必要不充分条件．３．闭区间上连续函数的最值在端点处或极值点处取得．[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）若函数f（x）在区间（a，b）上是增加的，那么在区间（a，b）上一定有f′（x）>0．（）（２）函数的极大值不一定比极小值大．（）（３）函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．（）（４）若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．（）[答案] （１）×（２）√（３）√（４）×２．（教材改编）如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图像，则下面判断正确的是（）Ａ．在区间（—２,１）上，f（x）是增加的Ｂ．在区间（１,３）上f（x）是减少的Ｃ．在区间（４,５）上f（x）是增加的Ｄ．当x＝２时，f（x）取到极小值C[结合原函数与导函数的关系可知，当x∈（４,５）时，f′（x）＞0，∴y＝f（x）在（４,５）上是增函数，故选Ｃ．]３．函数f（x）＝cos x—x在（0，π）上的单调性是（）Ａ．先增后减Ｂ．先减后增Ｃ．增函数Ｄ．减函数D[∵f′（x）＝—sin x—１，∴当x∈（0，π）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，π）上是减函数．]４．已知a是函数f（x）＝x３—１２x的极小值点，则a＝（）Ａ．—４Ｂ．—２Ｃ．４Ｄ．２D[由f′（x）＝３x２—１２＝0得x＝±２，又当x＜—２时，f′（x）＞0，当—２＜x＜２时，f′（x）＜0，当x＞２时，f′（x）＞0，∴x＝２是f（x）的极小值点，即a＝２．]５．函数y＝２x３—２x２在区间[—１,２]上的最大值是________．8 [y′＝6x２—４x，令y′＝0，得x＝0或x＝错误!.∵f（—１）＝—４，f（0）＝0，f错误!＝—错误!，f（２）＝8，∴最大值为8．]第１课时导数与函数的单调性利用导数求函数的单调区间【例１】（１）函数y＝错误!x２—ln x的递减区间为（）Ａ．（—１,１] Ｂ．（0,１]Ｃ．[１，＋∞）Ｄ．（0，＋∞）（２）（２0１6·北京高考）设函数f（x）＝x e a—x＋bx，曲线y＝f（x）在点（２，f（２））处的切线方程为y＝（e—１）x＋４．１求a，b的值；２求f（x）的单调区间．（１）B[∵y＝错误!x２—ln x，∴x∈（0，＋∞），y′＝x—错误!＝错误!.由y′≤0可解得0＜x≤１，∴y＝错误!x２—ln x的递减区间为（0,１]，故选Ｂ．]（２）[解] １f′（x）＝e a—x—x e a—x＋b，由切线方程可得错误!解得a＝２，b＝e.２f（x）＝x e２—x＋e x，f′（x）＝（１—x）e２—x＋e.令g（x）＝（１—x）e２—x，则g′（x）＝—e２—x—（１—x）e２—x＝e２—x（x—２）．令g′（x）＝0得x＝２．当x＜２时，g′（x）＜0，g（x）递减；当x＞２时，g′（x）＞0，g（x）递增．所以x＝２时，g（x）取得极小值—１，也是最小值．所以f′（x）＝g（x）＋e≥e—１＞0．所以f（x）的增区间为（—∞，＋∞），无减区间．[规律方法] １．掌握利用导数求函数单调区间的３个步骤（１）确定函数f（x）的定义域；（２）求导数f′（x）；（３）由f′（x）＞0（或f′（x）＜0）解出相应的x的取值范围，对应的区间为f（x）的递增（减）区间．２．理清有关函数单调区间的３个点（１）单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间要先求函数的定义域；（２）求可导函数f（x）的单调区间，可以直接转化为f′（x）＞0与f′（x）＜0这两个不等式的解集问题来处理；（３）若可导函数f（x）在指定区间D上递增（减），则应将其转化为f′（x）≥0（f′（x）≤0）来处理．２Ａ．（0,１）Ｂ．（１，＋∞）Ｃ．（—∞，１）Ｄ．（—１,１）（２）（２0１9·威海模拟）函数f（x）＝（x—３）e x的递增区间是________．（１）A（２）（２，＋∞）[（１）∵f′（x）＝２x—错误!＝错误!（x＞0），∴当x∈（0,１）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈（１，＋∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．（２）函数f（x）＝（x—３）e x的导数为f′（x）＝[（x—３）e x]′＝e x＋（x—３）e x＝（x—２）e x.f′（x）＝（x—２）e x＞0，解得x＞２．]利用导数讨论函数的单调性【例２】设函数f（x）＝a ln x＋错误!，其中a为常数．（１）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点（１，f（１））处的切线方程；（２）讨论函数f（x）的单调性．[解] （１）由题意知a＝0时，f（x）＝错误!，x∈（0，＋∞）．此时f′（x）＝错误!.可得f′（１）＝错误!，又f（１）＝0，所以曲线y＝f（x）在（１，f（１））处的切线方程为x—２y—１＝0．（２）函数f（x）的定义域为（0，＋∞）．f′（x）＝错误!＋错误!＝错误!.当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，＋∞）上递增．当a＜0时，令g（x）＝ax２＋（２a＋２）x＋a，由于Δ＝（２a＋２）２—４a２＝４（２a＋１），１当a＝—错误!时，Δ＝0，f′（x）＝错误!≤0，函数f（x）在（0，＋∞）上递减．２当a＜—错误!时，Δ＜0，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，＋∞）上递减．３当—错误!＜a＜0时，Δ＞0．设x１，x２（x１＜x２）是函数g（x）的两个零点，则x１＝错误!，x２＝错误!.由x１＝错误!＝错误!＞0，所以x∈（0，x１）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）递减；x∈（x１，x２）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，函数f（x）递增；x∈（x２，＋∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）递减．综上可得：当a≥0时，函数f（x）在（0，＋∞）上递增；当a≤—错误!时，函数f（x）在（0，＋∞）上递减；当—错误!＜a＜0时，f（x）在错误!，错误!上递减，在错误!上递增．[规律方法] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.１讨论分以下四个方面,１二次项系数讨论，２根的有无讨论，３根的大小讨论，４根在不在定义域内讨论.２讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分类.３讨论完必须写综述.２调性．[解] 函数的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝x—错误!＋a—２＝错误!.１当—a＝２，即a＝—２时，f′（x）＝错误!≥0，f（x）在（0，＋∞）内递增．２当0＜—a＜２，即—２＜a＜0时，∵0＜x＜—a或x＞２时，f′（x）＞0；—a＜x＜２时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，—a），（２，＋∞）内递增，在（—a,２）内递减．３当—a＞２，即a＜—２时，∵0＜x＜２或x＞—a时，f′（x）＞0；２＜x＜—a时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0,２），（—a，＋∞）内递增，在（２，—a）内递减．综上所述，当a＝—２时，f（x）在（0，＋∞）内递增；当—２＜a＜0时，f（x）在（0，—a），（２，＋∞）内递增，在（—a,２）内递减；当a＜—２时，f（x）在（0,２），（—a，＋∞）内递增，在（２，—a）内递减．函数单调性的应用►考法１比较大小或解不等式【例３】（１）设函数f′（x）是定义在（0,２π）上的函数f（x）的导函数，f（x）＝f（２π—x），当0＜x＜π时，若f（x）sin x—f′（x）cos x＜0，a＝错误!f错误!，b＝0，c＝—错误!f错误!，则（）Ａ．a＜b＜cＢ．b＜c＜aＣ．c＜b＜aＤ．c＜a＜b（２）（２0１9·山师大附中模拟）已知f′（x）是函数f（x）的导函数，f（１）＝e，任意x∈R,２f （x）—f′（x）＞0，则不等式f（x）＜e２x—１的解集为（）Ａ．（—∞，１）Ｂ．（１，＋∞）Ｃ．（—∞，e）Ｄ．（e，＋∞）（１）A（２）B[（１）由f（x）＝f（２π—x），得函数f（x）的图像关于直线x＝π对称，令g（x）＝f（x）cos x，则g′（x）＝f′（x）cos x—f（x）sin x＞0，所以当0＜x＜π时，g（x）在（0，π）内递增，所以g错误!＜g错误!＜g错误!＝g错误!，即a＜b＜c，故选Ａ．（２）设F（x）＝错误!，则F′（x）＝错误!′＝错误!.因为２f（x）—f′（x）＞0，所以F′（x）＝错误!＜0，即F（x）是减函数，f（x）＜e２x—１等价于错误!＜１，即F（x）＜１．又因为f（１）＝e，所以F（１）＝错误!＝１，则不等式f（x）＜e２x—１的解集是（１，＋∞），故选Ｂ．]►考法２求参数的取值范围【例４】已知函数f（x）＝ln x，g（x）＝错误!ax２＋２x（a≠0）．（１）若函数h（x）＝f（x）—g（x）存在递减区间，求a的取值范围；（２）若函数h（x）＝f（x）—g（x）在[１,４]上递减，求a的取值范围．[解] （１）h（x）＝ln x—错误!ax２—２x，x∈（0，＋∞），所以h′（x）＝错误!—ax—２，由于h（x）在（0，＋∞）上存在递减区间，所以当x∈（0，＋∞）时，错误!—ax—２＜0有解，即a＞错误!—错误!有解．设G （x ）＝错误!—错误!，所以只要a ＞G （x ）min 即可．而G （x ）＝错误!２—１，所以G （x ）min ＝—１．所以a ＞—１，即a 的取值范围为（—１，＋∞）．（２）由h （x ）在[１,４]上递减得，当x ∈[１,４]时，h ′（x ）＝错误!—ax —２≤0恒成立，即a ≥错误!—错误!恒成立．所以a ≥G （x ）m ax ，而G （x ）＝错误!２—１，因为x ∈[１,４]，所以错误!∈错误!，所以G （x ）m ax ＝—错误!（此时x ＝４），所以a ≥—错误!，即a 的取值范围是错误!.[母题探究] （１）本例（２）中，若函数h （x ）＝f （x ）—g （x ）在[１,４]上递增，求a 的取值范围．（２）本例（２）中，若h （x ）在[１,４]上存在递减区间，求a 的取值范围．[解] （１）由h （x ）在[１,４]上递增得，当x ∈[１,４]时，h ′（x ）≥0恒成立，∴当x ∈[１,４]时，a ≤错误!—错误!恒成立，又当x ∈[１,４]时，错误!min ＝—１（此时x ＝１），∴a ≤—１，即a 的取值范围是（—∞，—１]．（２）h （x ）在[１,４]上存在递减区间，则h ′（x ）＜0在[１,４]上有解，∴当x ∈[１,４]时，a ＞错误!—错误!有解，又当x ∈[１,４]时，错误!min ＝—１，∴a ＞—１，即a 的取值范围是（—１，＋∞）． [规律方法] １．已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f ′x ≥0或f ′x ≤0，x ∈a ，b 恒成立，解出参数的取值范围一般可用不等式恒成立的理论求解，应注意参数的取值是f ′x 不恒等于0的参数的范围.２．若函数y＝f x在区间a，b上不单调，则转化为f′x＝0在a，b上有解.３．利用导数比较大小或解不等式的常用技巧,利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式.常见构造的辅助函数形式有：y＝f′（x），当x＞0时，xf′（x）—f（x）＜0，若a＝错误!，b＝错误!，c＝错误!，则a，b，c的大小关系正确的是（）Ａ．a＜b＜cＢ．b＜c＜aＣ．a＜c＜bＤ．c＜a＜b（２）（２0１9·兰州模拟）已知函数f（x）＝错误!x２—２a ln x＋（a—２）x.１当a＝—１时，求函数f（x）的单调区间；２是否存在实数a，使函数g（x）＝f（x）—ax在（0，＋∞）上递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．（１）D[设g（x）＝错误!，则g′（x）＝错误!，∵当x＞0时，xf′（x）—f（x）＜0，∴g′（x）＜0．∴g（x）在（0，＋∞）上是减函数．由f（x）为奇函数，知g（x）为偶函数，则g（—３）＝g（３），又a＝g（e），b＝g（ln ２），c＝g（—３）＝g（３），∴g（３）＜g（e）＜g（ln ２），故c＜a＜Ｂ．]（２）[解] １当a＝—１时，f（x）＝错误!x２＋２ln x—３x，则f′（x）＝x＋错误!—３＝错误!＝错误!.当0＜x＜１或x＞２时，f′（x）＞0，f（x）递增；当１＜x＜２时，f′（x）＜0，f（x）递减．∴f（x）的单调增区间为（0,１）与（２，＋∞），减区间为（１,２）．２假设存在实数a，使g（x）＝f（x）—ax在（0，＋∞）上是增函数，∴g′（x）＝f′（x）—a＝x—错误!—２≥0恒成立．即错误!≥0在x∈（0，＋∞）上恒成立．∴x２—２x—２a≥0当x＞0时恒成立，∴a≤错误!（x２—２x）＝错误!（x—１）２—错误!恒成立．又φ（x）＝错误!（x—１）２—错误!，x∈（0，＋∞）的最小值为—错误!.∴当a≤—错误!时，g′（x）≥0恒成立．又当a＝—错误!，g′（x）＝错误!当且仅当x＝１时，g′（x）＝0．故当a∈错误!时，g（x）＝f（x）—ax在（0，＋∞）上递增．１．（２0１6·全国卷Ⅰ）若函数f（x）＝x—错误!sin ２x＋a sin x在（—∞，＋∞）递增，则a的取值范围是（）Ａ．[—１,１] Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!C[取a＝—１，则f（x）＝x—错误!sin ２x—sin x，f′（x）＝１—错误!cos ２x—cos x，但f′（0）＝１—错误!—１＝—错误!＜0，不具备在（—∞，＋∞）递增的条件，故排除A，B，Ｄ．故选Ｃ．]２．（２0１５·全国卷Ⅱ）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（—１）＝0，当x>0时，xf′（x）—f（x）<0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是（）Ａ．（—∞，—１）∪（0,１）Ｂ．（—１,0）∪（１，＋∞）Ｃ．（—∞，—１）∪（—１,0）Ｄ．（0,１）∪（１，＋∞）A[设y＝g（x）＝错误!（x≠0），则g′（x）＝错误!，当x>0时，xf′（x）—f（x）<0，∴g′（x）<0，∴g（x）在（0，＋∞）上为减函数，且g（１）＝f（１）＝—f（—１）＝0．∵f（x）为奇函数，∴g（x）为偶函数，∴g（x）的图像的示意图如图所示．当x>0，g（x）>0时，f（x）>0,0<x<１，当x<0，g（x）<0时，f（x）>0，x<—１，∴使得f（x）>0成立的x的取值范围是（—∞，—１）∪（0,１），故选Ａ．]。
高考数学一轮复习导数及其应用导数与函数的单调性教学案理北师大版
第二节导数与函数的单调性[最新考纲] 1.了解函数的单调性和导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不会超过三次)．函数的单调性与导数的关系条件结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)＞0f(x)在(a，b)内单调递增f′(x)＜0f(x)在(a，b)内单调递减f′(x)＝0f(x)在(a，b)内是常数函数1．在某区间内f′(x)＞0(f′(x)＜0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对任意x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)＞0.( )(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( )(3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数．( )[答案] (1)×(2)√(3)√二、教材改编1．如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像，则下面判断正确的是( )A．在区间(－3,1)上f(x)是增函数B．在区间(1,3)上f(x)是减函数C．在区间(4,5)上f(x)是增函数D．在区间(3,5)上f(x)是增函数C[由图像可知，当x∈(4,5)时，f′(x)＞0，故f(x)在(4,5)上是增函数．]2．函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A ．先增后减 B ．先减后增 C ．增函数D ．减函数D [因为f ′(x )＝－sin x －1＜0在(0，π)上恒成立， 所以f (x )在(0，π)上是减函数，故选D.]3．函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为________．(0,1] [函数f (x )的定义域为{x |x ＞0}，由f ′(x )＝1－1x≤0，得0＜x ≤1，所以函数f (x )的单调递减区间为(0,1]．]4．已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的最大值是________． 3 [f ′(x )＝3x 2－a ≥0，即a ≤3x 2，又因为x ∈[1，＋∞ )，所以a ≤3，即a 的最大值是3.]考点1 不含参数函数的单调性求函数单调区间的步骤(1)确定函数f (x )的定义域． (2)求f ′(x )．(3)在定义域内解不等式f ′(x )＞0，得单调递增区间． (4)在定义域内解不等式f ′(x )＜0，得单调递减区间．1.函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上是( )A ．单调递增B ．单调递减C ．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D ．在(0，π)上减，在(π，2π)上增A [f ′(x )＝1－cos x ＞0在(0,2π)上恒成立，所以在(0,2π)上单调递增．] 2．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(－1,1]B ．(0,1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)B [∵y ＝12x 2－ln x ，∴x ∈(0，＋∞)，y ′＝x －1x＝x －1x ＋1x.由y ′≤0可解得0＜x ≤1，∴y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为(0,1]，故选B.]3．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 [f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ， 令f ′(x )＝x cos x ＞0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.]求函数的单调区间时，一定要树立函数的定义域优先的原则，否则极易出错．如T 2.考点2 含参数函数的单调性研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．(1)讨论分以下四个方面 ①二次项系数讨论； ②根的有无讨论； ③根的大小讨论； ④根在不在定义域内讨论．(2)讨论时要根据上面四种情况，找准参数讨论的分类． (3)讨论完毕须写综述．已知函数f (x )＝12x 2－2a ln x ＋(a －2)x ，当a ＜0时，讨论函数f (x )的单调性．[解] 函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －2a x＋a －2＝x －2x ＋a x.①当－a ＝2，即a ＝－2时，f ′(x )＝x －22x≥0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当0＜－a ＜2，即－2＜a ＜0时，∵0＜x ＜－a 或x ＞2时，f ′(x )＞0；－a ＜x ＜2时，f ′(x )＜0，∴f (x )在(0，－a )，(2，＋∞)上单调递增，在(－a,2)上单调递减． ③当－a ＞2，即a ＜－2时，∵0＜x ＜2或x ＞－a 时，f ′(x )＞0；2＜x ＜－a 时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在(0,2)，(－a ，＋∞)上单调递增，在(2，－a )上单调递减．综上所述，当－2＜a ＜0时，f (x )在(0，－a )，(2，＋∞)上单调递增，在(－a,2)上单调递减；当a ＝－2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＜－2时，f (x )在(0,2)，(－a ，＋∞)上单调递增，在(2，－a )上单调递减．含参数的问题，应就参数范围讨论导数大于(或小于)零的不等式的解，在划分函数的单调区间时，要在函数定义域内确定导数为零的点和函数的间断点．已知函数f (x )＝ln(e x ＋1)－ax (a ＞0)，讨论函数y ＝f (x )的单调区间．[解] f ′(x )＝e xe x ＋1－a ＝1－1e x ＋1－a .①当a ≥1时，f ′(x )＜0恒成立， ∴当a ∈[1，＋∞)时， 函数y ＝f (x )在R 上单调递减． ②当0＜a ＜1时，由f ′(x )＞0，得(1－a )(e x＋1)＞1， 即e x＞－1＋11－a ，解得x ＞ln a 1－a ，由f ′(x )＜0，得(1－a )(e x ＋1)＜1， 即e x＜－1＋11－a ，解得x ＜ln a 1－a .∴当a ∈(0,1)时，函数y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln a1－a ，＋∞上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln a 1－a 上单调递减． 综上，当a ∈[1，＋∞)时，f (x )在R 上单调递减；当a ∈(0,1)时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln a1－a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，ln a 1－a 上单调递减．考点3 已知函数的单调性求参数根据函数单调性求参数的一般方法(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围． [解] (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x－ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x－ax －2＜0有解，即a ＞1x 2－2x有解．设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a ＞G (x )min 即可．而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a ＞－1且a ≠0，即a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． (2)由h (x )在[1,4]上单调递减得，当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立．所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716且a ≠0，即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，0∪(0，＋∞)． [母题探究]1．(变问法)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递增，求a 的取值范围． [解] 由h (x )在[1,4]上单调递增得，当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立， 所以当x ∈[1,4]时，a ≤1x 2－2x恒成立，又当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎪⎫1x 2－2xmin ＝－1(此时x ＝1)， 所以a ≤－1且a ≠0，即a 的取值范围是(－∞，－1]．2．(变问法)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围． [解] h (x )在[1,4]上存在单调递减区间，则h ′(x )＜0在[1,4]上有解， 所以当x ∈[1,4]时，a ＞1x 2－2x有解，又当x ∈[1,4]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2－2x min ＝－1，所以a ＞－1且a ≠0，即a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．3．(变条件)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上不单调，求a 的取值范围． [解] 因为h (x )在[1,4]上不单调， 所以h ′(x )＝0在(1,4)上有解，即a ＝1x 2－2x 有解，令m (x )＝1x 2－2x，x ∈(1,4)，则－1＜m (x )＜－716，所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－716. (1)f (x )在D 上单调递增(减)，只要满足f ′(x )≥0(≤0)在D 上恒成立即可．如果能够分离参数，则可分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系．(2)二次函数在区间D 上大于零恒成立，讨论的标准是二次函数的图像的对称轴与区间D 的相对位置，一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论．已知函数f (x )＝3x a－2x 2＋ln x 在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围．[解] f ′(x )＝3a －4x ＋1x，若函数f (x )在区间[1,2]上为单调函数，即在[1,2]上，f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x≤0，即3a －4x ＋1x ≥0或3a －4x ＋1x≤0在[1,2]上恒成立，即3a≥4x －1x 或3a ≤4x －1x.令h (x )＝4x －1x，因为函数h (x )在[1,2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，解得a ＜0或0＜a ≤25或a ≥1.考点4 利用导数比较大小或解不等式用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为利用导数研究函数单调性的问题，再由单调性比较大小或解不等式．常见构造的辅助函数形式有： (1)f (x )＞g (x )→F (x )＝f (x )－g (x )； (2)xf ′(x )＋f (x )→[xf (x )]′； (3)xf ′(x )－f (x )→⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x x ′；(4)f ′(x )＋f (x )→[e xf (x )]′； (5)f ′(x )－f (x )→⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x e x ′.(1)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意x ＞0都有2f (x )＋xf ′(x )＞0成立，则( )A ．4f (－2)＜9f (3)B ．4f (－2)＞9f (3)C ．2f (3)＞3f (－2)D ．3f (－3)＜2f (－2)(2)设f (x )是定义在R 上的奇函数，f (2)＝0，当x ＞0时，有xf ′x －f xx 2＜0恒成立，则不等式x 2f (x )＞0的解集是________．(1)A (2)(－∞，－2)∪(0,2) [(1)根据题意，令g (x )＝x 2f (x )，其导数g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )，又对任意x ＞0都有2f (x )＋xf ′(x )＞0成立，则当x ＞0时，有g ′(x )＝x (2f (x )＋xf ′(x ))＞0恒成立，即函数g (x )在(0，＋∞)上为增函数，又由函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )，则有g (－x )＝(－x )2f (－x )＝x 2f (x )＝g (x )，即函数g (x )也为偶函数，则有g (－2)＝g (2)，且g (2)＜g (3)，则有g (－2)＜g (3)，即有4f (－2)＜9f (3)．故选A.(2)令φ(x )＝f x x ，∵当x ＞0时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x x ′＜0，∴φ(x )＝f xx在(0，＋∞)上为减函数，又φ(2)＝0， ∴在(0，＋∞)上，当且仅当0＜x ＜2时，φ(x )＞0， 此时x 2f (x )＞0.又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数． 故x 2f (x )＞0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．]如本例(1)已知条件“2f (x )＋xf ′(x )＞0”，需构造函数g (x )＝x 2f (x )，求导后得x ＞0时，g ′(x )＞0，即函数g (x )在(0，＋∞)上为增函数，从而问题得以解决．而本例(2)则需构造函数φ(x )＝f xx解决． 1.定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＞f (x )恒成立，若x 1＜x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( )A ．e x 1f (x 2)＞e x2f (x 1) B ．e x1f (x 2)＜e x2f (x 1) C ．e x1f (x 2)＝e x2f (x 1)D ．e x1f (x 2)与e x2f (x 1)的大小关系不确定 A [设g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f ′x e x －f x e x ex2＝f ′x －f xex，由题意得g ′(x )＞0，所以g (x )在R 上单调递增，当x 1＜x 2时，g (x 1)＜g (x 2)，即f x 1ex 1＜f x 2ex 2，所以e x1f (x 2)＞e x2f (x 1)．]2．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，且f (x )的导函数f ′(x )＜12，则不等式f (x 2)＜x 22＋12的解集为________． (－∞，－1)∪(1，＋∞) [由题意构造函数F (x )＝f (x )－12x ，则F ′(x )＝f ′(x )－12.因为f ′(x )＜12，所以F ′(x )＝f ′(x )－12＜0，即函数F (x )在R 上单调递减．因为f (x 2)＜x 22＋12，f (1)＝1，所以f (x 2)－x 22＜f (1)－12，所以F (x 2)＜F (1)，又函数F (x )在R 上单调递减，所以x 2＞1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]。
浙江省衢州市高三数学一轮复习 导数与单调性教案
浙江省衢州市高三数学一轮复习 导数与单调性教案教材分析：导数这块知识点在高考中地位较为重要，从近几年的高考试题来看，利用导数来研究函数的单调性和极值已成为炙手可热的考点，既有小题也有解答题，小题主要考察利用导数研究函数的单调性、极值、求切线方程、最值，解答题主要考察导数与函数单调性，及相关内容的综合渗透。
● 学情分析：前面几节课已经复习了函数的定义域、值域、单调性最值等关于函数的一些基本内容。
在接下来学习的导数与切线方程，导数与单调性，导数与极值，导数与最值中，导数作为一种工具，只要将导数的几何意义说明清楚，学习其它关系就轻松多了。
● 教学目标：C 级1、掌握导数与函数单调性的关系B 级2、利用导数判断函数的单调性B 级3、利用函数求函数的单调区间● 教学重点：1、导数与函数单调性的关系分析2、利用导数判断函数的单调性3、利用函数求函数的单调区间● 教学过程：一、回顾导数的几何意义二、新授（1）对任意x ∈(b,c)有')(x f >0，即斜率k>0, ⇒函数)(x f 在(b,c)上单调递增 思考（B 级）：若函数)(x f 在(b,c)上单调递增 ⇒在(b,c)有')(x f >0？以3x y =为例（2）若函数)(x f 在(b,c)上单调递增 ⇒在(b,c)有')(x f ≥0 （3）⎪⎭⎪⎬⎫=≥值只有有限个的使）上成立在（x f c b f x x 0,0')(')(⇒函数)(x f 在(b,c)上单调递增 例1、判断)(x f =132-x x ，)1,1(-∈x 上的单调性。
例2、求)(x f =xx 4+的单调区间。
解： 函数)(x f 的定义域为{}0≠x x')(x f =241x- 令')(x f >0，得x>2或x<-2令')(x f <0，得-2<x<0或0<x<2所以函数)(x f 的单调增区间为），（2--∞和），（∞+2单调减区间为），（02-和），（20。
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《导数与函数的单调性》课件
探究核心题型
第三部分
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
1.函数的单调性与导数的关系
条件
函数y＝f(x)在区间 (a，b)上可导
恒有 f′(x)>0 f′(x)<0 f′(x)＝0
结论 f(x)在区间(a，b)上_单__调__递__增__ f(x)在区间(a，b)上_单__调__递__减__ f(x)在区间(a，b)上是_常__数__函__数__
题型二 含参数的函数的单调性
例2 已知函数f(x)＝(2－a)x－ln x－1，a∈R. (1)当a＝1时，求函数y＝f(x)的单调递增区间；
当 a＝1 时，f(x)＝x－ln x－1，则 f′(x)＝1－1x＝x－x 1(x>0)， 当x>1时，f′(x)>0，∴f(x)的单调递增区间为(1，＋∞).
知识梳理
2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的 定义域 ； 第2步，求出导数f′(x)的 零点 ； 第 3 步 ， 用 f′(x) 的 零 点 将 f(x) 的 定 义 域 划 分 为 若 干 个 区 间 ， 列 表 给 出 f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
综上，当－2<a<0 时，g(x)的单调递减区间为0，12，－1a，＋∞， 单调递增区间为12，－1a； 当a＝－2时，g(x)的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间； 当 a<－2 时，g(x)的单调递减区间为0，－1a，12，＋∞，单调递增 区间为－1a，12.
思维升华
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进 行分类讨论. (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数 为零的点和函数的间断点.
高考数学一轮复习学案：导数与函数的单调性学案理北师大版
第十一节导数的应用［考纲传真］(教师用书独具)1. 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；2. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)；3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；4.会利用导数解决某些简单的实际问题.双基自主测评I 梳理自測巩固基础知.识(对应学生用书第34页)［基础知识填充］1 •函数的单调性与导数的关系函数y= f(x)在某个区间内可导，则：(1) 如果f '(x) > 0,那么函数y= f (x)在这个区间内是增加的；(2) 如果f '(x) v 0,那么函数y= f (x)在这个区间内是减少的；(3) 如果f '(x) = 0,那么函数y= f(x)在这个区间内是常数函数.2 •函数的极值与导数(1) 极值点与极值设函数f(x)在点x o及附近有定义，且在x o两侧的单调性相反或导数值异号，贝U x o为函数f (x)的极值点，f( x o)为函数的极值.(2) 极大值点与极小值点①若先增后减(导数值先正后负)，则x o为极大值点;②若先减后增(导数值先负后正)，则x o为极小值点.(3) 可求导函数极值的步骤：①求f' (x)；②解方程f '( x) = o ；③检查f'(x)在方程f '(x) = o的解x o的左右两侧的符号.如果左正右负，那么f (x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.如果f'(x)在x o两侧的符号相同，则x o不是极值点.3. 函数的最值与导数(1) 函数f(x)在［a，b］上有最值的条件如果在区间［a，b］上函数y = f(x)的图像是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.⑵设函数f(x)在［a, b］上连续且在(a，b)内可导，求f (x)在［a，b］上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a, b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.［知识拓展］1在某区间内f '(x) >O(f'(x) v 0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.2 .可导函数f (x)在(a, b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意x€(a, b)，都有f'(x) >0( f '(x) W0)且f '(x)在(a, b)上的任何子区间内都不恒为零.3.对于可导函数f (x), f '(X o) = 0是函数f (x)在x= x o处有极值的必要不充分条件.［基本能力自测］1. (思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 若函数f (x)在区间(a , b)上单调递增，那么在区间(a , b)上一定有f'(x)>0.( )(2) 如果函数在某个区间内恒有 f '(x) = 0,则函数f (x)在此区间上没有单调性.()(3) 函数的极大值不一定比极小值大. ()(4) 对可导函数f (x), f'(x°) = 0是X。
高三数学一轮复习精品学案：第1课时 利用导数研究函数的单调性
第2讲导数的应用最新考纲 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)；3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；4.会利用导数解决某些简单的实际问题.知识梳理1.函数的单调性与导数(1)在区间D上，若f′(x)≥0，且f′(x)＝0不连续成立⇔函数f(x)在区间D上递增；(2)在区间D上，若f′(x)≤0，且f′(x)＝0不连续成立⇔函数f(x)在区间D上递减；(3)在区间D上，若f′(x)＝0恒成立⇔函数f(x)在区间D上是常函数.2.函数的极值与导数形如山峰形如山谷f(x)为极大值f(x)为极小值(1)在闭区间『a，b』上连续的函数f(x)在『a，b』上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在『a，b』上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在『a，b』上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.()(3)函数的极大值不一定比极小值大.()(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件.()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()解析(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.(4)x0为f(x)的极值点的充要条件是f′(x0)＝0，且x0两侧导数符号异号.答案(1)×(2)√(3)√(4)×(5)√2.(选修2－2P32A4改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A.1B.2C.3D.4解析由题意知在x＝－1处f′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正.答案A3.函数f(x)＝e x－x的单调递增区间是()A.(－∞，1』B.『1，＋∞)C.(－∞，0』D.(0，＋∞)解析令f′(x)＝e x－1>0得x>0，所以f(x)的递增区间为(0，＋∞).答案D4.函数f(x)＝ln x－ax在x＝1处有极值，则常数a＝________.解析∵f′(x)＝1x－a，∴f′(1)＝1－a＝0，∴a＝1，经检验符合题意.答案 15.(2014·全国Ⅱ卷改编)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是________.解析 依题意得f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立， 即k ≥1x 在(1，＋∞)上恒成立， ∵x >1，∴0<1x <1，∴k ≥1. 答案 『1，＋∞)第1课时 利用导数研究函数的单调性考点一 利用导数研究不含参数的函数的单调性『例1』 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值. (1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，所以3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x ＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，得x (x ＋1)(x ＋4)<0. 解之得－1<x <0或x <－4.所以g (x )的单调减区间为(－1，0)和(－∞，－4). 规律方法 (1)确定函数单调区间的步骤：①确定函数f (x )的定义域； ②求f ′(x )；③解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.(2)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如函数f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0(x ＝0时，f ′(x )＝0)，但f (x )＝x 3在R 上是增函数.『训练1』 已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x . (1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间.解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x ，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，(x >0). 则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5. 但－1∉(0，＋∞)，舍去.当x ∈(0，5)时，f ′(x )<0；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0. ∴f (x )的增区间为(5，＋∞)，减区间为(0，5). 考点二 利用导数研究含参数函数的单调性 『例2』 (2017·临沂调研)设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数. (1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性.解(1)由题意知a＝0时，f(x)＝x－1x＋1，x∈(0，＋∞).此时f′(x)＝2（x＋1）2.可得f′(1)＝12，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x－2y－1＝0.(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞).f′(x)＝ax＋2（x＋1）2＝ax2＋（2a＋2）x＋ax（x＋1）2.当a≥0时，f′(x)＞0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.当a＜0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1).①当a＝－12时，Δ＝0，f′(x)＝－12（x－1）2x（x＋1）2≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减.②当a＜－12时，Δ＜0，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减.③当－12＜a＜0时，Δ＞0.设x1，x2(x1＜x2)是函数g(x)的两个零点，则x1＝－（a＋1）＋2a＋1a，x2＝－（a＋1）－2a＋1a.由x1＝a＋1－2a＋1－a＝a2＋2a＋1－2a＋1－a＞0，所以x∈(0，x1)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；x∈(x1，x2)时，g(x)＞0，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；x∈(x2，＋∞)时，g(x)＜0，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减.综上可得：当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－12时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－12＜a ＜0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－（a ＋1）＋2a ＋1a ， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－（a ＋1）－2a ＋1a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－（a ＋1）＋2a ＋1a ，－（a ＋1）－2a ＋1a 上单调递增. 规律方法 利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f (x )含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.分类讨论时，要做到不重不漏.『训练2』 (2016·四川卷节选)设函数f (x )＝ax 2－a －ln x ，g (x )＝1x －ee x ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对数的底数. (1)讨论f (x )的单调性； (2)证明：当x >1时，g (x )>0.(1)解 由题意得f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x (x >0). 当a ≤0时，f ′(x )<0，f (x )在(0，＋∞)内单调递减. 当a >0时，由f ′(x )＝0有x ＝12a， 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增. (2)证明 令s (x )＝e x －1－x ，则s ′(x )＝e x －1－1. 当x >1时，s ′(x )>0，所以e x －1>x ， 从而g (x )＝1x －1ex －1>0.考点三 利用函数的单调性求参数(易错警示)『例3』 (2017·成都诊断)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0). (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在『1，4』上单调递减，求实数a 的取值范围.解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，①所以h ′(x )＝1x －ax －2，由h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x －ax －2<0有解，② 即a >1x 2－2x 有解.设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min 即可. 而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.(2)由h (x )在『1，4』上单调递减得，当x ∈『1，4』时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，③ 即a ≥1x 2－2x 恒成立.设G (x )＝1x 2－2x ， 所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，因为x ∈『1，4』，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.规律方法 利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法 (1)函数f (x )在区间D 上存在递增(减)区间. 方法一：转化为“f ′(x )>0(<0)在区间D 上有解”；方法二：转化为“存在区间D 的一个子区间使f ′(x )>0(<0)成立”. (2)函数f (x )在区间D 上递增(减).方法一：转化为“f ′(x )≥0(≤0)在区间D 上恒成立”问题； 方法二：转化为“区间D 是函数f (x )的单调递增(减)区间的子集”. 易错警示 对于①：处理函数单调性问题时，应先求函数的定义域；对于②：h (x )在(0，＋∞)上存在递减区间，应等价于h ′(x )<0在(0，＋∞)上有解，易误认为“等价于h ′(x )≤0在(0，＋∞)上有解”，多带一个“＝”之所以不正确，是因为“h ′(x )≤0在(0，＋∞)上有解即为h ′(x )<0在(0，＋∞)上有解，或h ′(x )＝0在(0，＋∞)上有解”，后者显然不正确；对于③：h (x )在『1，4』上单调递减，应等价于h ′(x )≤0在『1，4』上恒成立，易误认为“等价于h ′(x )<0在『1，4』上恒成立”.『训练3』 (1)函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋2x ＋1的递减区间为(－2，－1)，则实数a 的值为________.(2)(2017·兰州模拟)若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在『－1，＋∞)上是减函数，则实数b 的取值范围是________. 解析 (1)f ′(x )＝x 2－ax ＋2，由已知得－2，－1是f ′(x )的两个零点， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧f ′（－2）＝4＋2a ＋2＝0，f ′（－1）＝1＋a ＋2＝0，解得a ＝－3.(2)由已知得f ′(x )＝－x ＋bx ＋2≤0在『－1，＋∞)上恒成立， ∴b ≤(x ＋1)2－1在『－1，＋∞)上恒成立，∴b ≤－1. 答案 (1)－3 (2)(－∞，－1』『思想方法』1.已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意函数f (x )的定义域.2.含参函数的单调性要注意分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性.3.已知函数单调性求参数可以利用给定的已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决.『易错防范』1.求单调区间应遵循定义域优先的原则.2.注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a，b)”的区别.3.在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.4.可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零.。
高考数学一轮复习导学案 导数与函数单调性
导数与函数单调性一、回顾： 将函数x x f y sin )('=的图象向左平移4π个单位，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 是 ▲ （写出一个即可） 二、08~12年江苏数学命题研究及13年走势分析2012年江苏省高考说明中，《导数及其应用》属于必做题部分，其中导数的概念是A 级要求，导数的几何意义，导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值，以及导数在实际问题中的应用是B 级要求.导数与函数、数列、三角、不等式、解析几何等知识有着密切的联系，导数作为工具在研究函数的性质及在实际生活中有着广泛的应用, 导数是高中数学中与高等数学联系最密切的知识之一,所以备受高考命题老师的重视.2008年14题考查 导数在函数单调性的综合运用2009年03题考查 导数研究函数单调性2010年14题考查 导数研究函数性质2011年12题考查 指数函数、导数的几何意义 2012年考查 导数研究函数零点导数— 导数作为新增内容应为考查的重点内容。
利用导数刻划函数,或已知函数性质求参数范围等，2008年江苏考了一道“导数应用题”，理科加试考了“导数与定积分混合型”题,2009年未考大题。
那么2013年仍应重视导数题的考查,以中档题为主。
小题中两年都考了三次函数,应该更加关注指、对数函数,三角函数的导数及相关的超越函数. 三、知识点梳理： 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数. ⑵常数的判定方法；如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.注：①)('x f ＞0是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有)('x f ＞0，有一个点例外即x =0时)('x f = 0，同样)('x f ＜0是f （x ）递减的充分非必要条件.②一般地，如果)('x f 在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增（或单调减）的. 经典体验：1.【07广东12】函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是 .2.函数]1,0[11)(22在x x x x x f -++-=上的最小值是 . 3.函数2cos y x x =+在区间[0，21]上的最大值是 . 经典讲练：例：1.【2010·拉萨中学月考】函数)(x f y =在定义域（3,23-）内可导，其图象如图所示，记)(x f y =的导函数为)('x f y =，则不等式0)('≤x f 的解集为__ ____2.【靖江六校2011一调】7.已知函数()y f x =在定义域3(,3)2-上可导，()y f x =的图像如图，记()y f x =的导函数'()y f x =，则不等式'()0xf x ≤的解集是 __ _ ___.3.【聊城一中·文科】10．定义在R 上的函数)(x f 满(4)1f =．)(x f '为)(x f 的导函数，已知函数)(x f y '=的图象如图所示.若两正数b a ,满足1)2(<+b a f ，则22b a ++的取值范围是 .例：2（2001年天津卷）0>a x x eaa e x f +=)(是R 上的偶函数。
3.2利用导数研究函数的单调性课件高三数学一轮复习【01】
考点一 导数法研究函数的单调性 命题角度1 不含参函数的单调性
√
A.&5
B.&6
C.&7
√D.&8
原函数看增减 函数看正负
A.&9
B.&10
C.&1
√D.&12
√
√
√
A
√
命题角度4 求参数的范围（值）
区分：f(x)在[1,+∞）上单调递增 f(x)的单调区间是[1,+∞）
3.2 利用导数研究函数的单调性
【教材梳理】
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，
那么函数在这个范围内变化得__较__快__，这时函数的图象就比 较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得_较__慢，
函数的图象就比较“平缓”.
【常用结论】
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
√
学科素养·“二次求导”中的理性思维
〖2021年整理〗《2021高中一轮数学学案第15讲 导数与函数的单调性》优秀教案
第15讲导数与函数的单调性【课程要求】了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间及参数的范围．【基础检测】错误!1．判断下列结论是否正确请在括号中打“√”或“×”1若函数f在a，b内单调递增，那么一定有f′>02如果函数f在某个区间内恒有f′＝0，则f在此区间内没有单调性．[答案] 1×2√错误!2．[选修2－2错误!未定义书签。
，由于∈错误!，所以2∈错误!，错误!∈错误!，所以a≥－错误![答案] D5．已知f＝1＋－in，则f2，f3，fπ的大小关系正确的是A．f2>f3>fπB．f3>f2>fπC．f2>fπ>f3D．fπ>f3>f2[解析] f＝1＋－in，则f′＝1－co≥0，则函数f为增函数．∵2f3>f2．[答案] D6．已知定义在实数集R上的函数f满足f1＝3，且f的导数f′在R上恒有f′1∴不等式的解集为1，＋∞．[答案] 1，＋∞【知识要点】1．函数的单调性：在某个区间a，b内，如果f′>0，那么函数＝f在这个区间内单调递增；如果f′0f′0，当f′>0时，解得>错误!，即函数的单调递增区间为错误!；当f′0的解集为__________．[解析] 由题图可知错误!0等价于错误!或错误!0，解集在定义域内的部分为单调递增区间4解不等式f′0，则其在区间－π，π上的解集为错误!∪错误!，即f的单调递增区间为错误!，错误![答案] 错误!，错误!2．已知函数f＝2＋2co，若f′是f的导函数，则函数f′的图象大致是[解析] 设g＝f′＝2－2in，g′＝2－2co≥0，所以函数f′在R上单调递增．[答案] A错误!含参数的函数的单调性例2已知函数f＝ee－a－a2，讨论f的单调性．[解析] 函数f的定义域为－∞，＋∞，f′＝2e2－a e－a2＝2e＋a e－a．①若a＝0，则f＝e2在－∞，＋∞上单调递增．②若a＞0，则由f′＝0，得＝n a当∈－∞，n a时，f′＜0；当∈n a，＋∞时，f′＞0故f在－∞，n a上单调递减，在n a，＋∞上单调递增．③若a＜0，则由f′＝0，得＝n错误!当∈错误!时，f′＜0；当∈错误!时，f′＞0故f在错误!上单调递减，在错误!上单调递增．综上，当a＝0时，f在－∞，＋∞上单调递增；当a>0时，f在－∞，n a上单调递减，在n a，＋∞上单调递增，当a0，＝f′为＝f的导函数，则A．80，>0，∴错误!′＝错误!＝错误!>0，∴＝错误!在0，＋∞上单调递增，∴错误!>错误!，又f>0，∴错误!>4∵f′－3f0，∴错误!′＝错误!＝错误!0，∴错误!1，f0＝4，则不等式e f>e＋3其中e为自然对数的底数的解集为A．0，＋∞B．－∞，0∪3，＋∞C．－∞，0∪0，＋∞D．3，＋∞[解析] 令g＝e f－e，∴g′＝e f＋e f′－e＝e[f＋f′－1]，∵f＋f′>1，∴g′>0，∴＝g在定义域上单调递增，∵e f>e＋3，∴g>3，∵g0＝3，∴g>g0，∴>0，故选A[答案] A[小结]1构造函数，应用导数求解函数值的比较大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．2．构造函数，应用导数求解不等式解集时，先利用函数的相关性质将不等式转化为fg>fh的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g>h或g错误!f错误!B．f错误!>f1f错误!g错误!，即错误!>错误!，∴错误!f错误!>错误!f错误![答案] A6．已知函数f＝3－2＋e－错误!，其中e是自然对数的底数．若fa－1＋f2a2≤0，则实数a的取值范围是__________．[解析] 由f＝3－2＋e－错误!，得f－＝－3＋2＋错误!－e＝－f，所以f是R上的奇函数．又f′＝32－2＋e＋错误!≥32－2＋2错误!＝32≥0，当且仅当＝0时取等号，所以f在其定义域内单调递增．因为fa－1＋f2a2≤0，所以fa－1≤－f2a2＝f－2a2，所以a－1≤－2a2，解得－1≤a≤错误!，故实数a的取值范围是错误![答案] 错误!错误!函数单调性的综合应用问题例4已知函数f＝错误!3＋co－a2－in－2a co，g错误!＝2co－错误!2－2in－3a co a为常数，a∈R．1讨论函数f错误!的单调性；2设函数h＝f－g，证明：当00时，h>0[解析] 1f′＝2＋co －in －2a－co ＋2a in ＝－2a－in ,令φ＝－in ，则φ′＝1－co ≥0，故φ在R上单调递增，又φ0＝0，故∈－∞，0时φ0，则令f′＝0，1＝2a，2＝0ⅰ当a0，f单调递增；∈2a，0时，f′0时，有∈－∞，0与∈2a，＋∞时，f′>0，f单调递增；∈0，2a时，f′0，h′＝2－co ＋in －a＋co －a in ＝－a＋in ，令t＝＋in >0，则t′＝1＋co ≥0，故t在0，＋∞上单调递增，又t0＝0，故t>0，令h′＝0⇒＝a，且∈0，a时，h′0，h单调递增；所以h min＝ha＝错误!a3－a co a－错误!a3＋in a＋a co a＝－错误!a3＋in a，令ma＝－错误!a3＋in a0－错误!＋co 错误!＝0，∴m′a>0，ma在0，1上单调递增，又m0＝0，∴ma>0在0，1上恒成立，所以当00时，h>0[小结]利用导数证明不等式的常用方法：证明f0，f′＝错误!a错误!－错误!＝错误!，显然：当a≤0时，f′0时，0错误!，f′>0，故有：a≤0时，f在区间0，＋∞上递减；a>0时，f在区间错误!上递减，在区间错误!上递增．2设切点坐标为0，0，错误!⇒错误!∴g＝错误!，令h＝错误!错误!＋错误!－错误!－n ，∴h′＝错误!＋错误!＋错误!，显然：≥1时，h′>0，又h′＝错误!＋错误!，∴00，∴∈0，＋∞上，h′>0，故h在0，＋∞上递增，而h1＝0，∴∈0，1时，h0，∴g＝错误!1时，00，故：G在1，＋∞上单调递增，故G>G1＝0，∴g>g错误!设0g错误!，而02，令f′＝0得，＝错误!或＝错误!当∈错误!∪错误!时，f′0所以f在错误!，错误!上单调递减，在错误!上单调递增．2由1知，f存在两个极值点当且仅当a>2由于f的两个极值点1，2满足2－a＋1＝0，所以12＝1，不妨设11由于错误!＝－错误!－1＋a错误!＝－2＋a错误!＝－2＋a错误!，所以错误!<a－2等价于错误!－2＋2n 2<0设函数g＝错误!－＋2n ，由1知，g在0，＋∞上单调递减，又g1＝0，从而当∈1，＋∞时，g<0所以错误!－2＋2n 2<0，即错误!<a－2。
高三一轮复习----导数的应用(一)单调性与极值教学设计
高三文科数学一轮复习《导数的应用(一) 函数的单调性》教学设计（一）、教材分析导数是高中数学新增内容，它在解决数学有关问题中起到工具的作用，导数的应用是高考的必考内容。
作为高三总复习课首先明确考纲的要求：了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.利用导数判断单调性起着基础性作用，能够培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力；激发学生独立思考和创新的意识，开发学生的自我潜能。
（二）、高考要求：了解函数的单调性与其导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）（三）、学习重点：能利用导数求函数的单调区间（四）、学习难点：已知函数的单调性求参数的取值范围（五）、课型：复习课（六）、教法：讲练结合（七）、课时安排：1课时教学设计一、知识梳理1．函数的单调性与导数2．函数的极值与导数(1)函数的极小值若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值____，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧________，右侧________，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值____，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧________，右侧________，则点b 叫做函数的极大值点，f (b )叫做函数的极大值，______和______统称为极值．[设计意图]复习函数单调性的求法；函数极值的定义。
通过复习让学生熟悉单调性和极值的定义，巩固旧知。
二、问题探究1．如何利用导数求单调区间和极值？2. 若函数 f(x)在(a ，b)内单调递增，那么一定有f ′(x)>0吗？f ′(x)>0是否是 f(x)在(a ，b)内单调递增的充要条件？【设计意图】通过这两个问题由“定义”到“通法”，由“感性”到“理性”，总结利用导数求单调区间和极值的通法，启发学生发现问题，并培养学生发现问题的意识。
导数与函数的单调性高三数学一轮复习课件
上单调递减
答案：g'(x)=3x^2-6x+2，g'(x)在[1,2]上单调递减，所以g(x)在[1,2]上单调递减
题目：求函数 h(x)=x^33x^2+2x+1在区 间[-2,2]上的极值
答案： h'(x)=3x^26x+2，h'(x)^26x+2，g'(x)在 区间[1,2]上单调 递减，所以g(x) 在区间[1,2]上单 调递减
综合练习题三及答案
题目：求函数f(x)=x^33x^2+2x+1在区间[-1,1]上的单 调性
题目：求函数g(x)=x^33x^2+2x+1在区间[-1,1]上的极 值
添加标题
上单调递增
综合练习题二及答案
题目：求函数 f(x)=x^33x^2+2x+1在 区间[-1,1]上的 单调性
答案： f'(x)=3x^26x+2，f'(x)在 区间[-1,1]上单 调递增，所以f(x) 在区间[-1,1]上 单调递增
题目：求函数 g(x)=x^33x^2+2x+1在 区间[1,2]上的单 调性
等
导数的应用举例
判断函数的单调性：通过导 数判断函数的增减性
求函数的极值：通过导数求 解函数的最大值和最小值
求函数的切线：通过导数求 解函数的切线方程
求函数的凹凸性：通过导数 判断函数的凹凸性
03
函数的单调性
单调性的定义与判断方法
判断方法：利用导数判断，如果 导数大于0，则函数在该区间内 单调递增；如果导数小于0，则 函数在该区间内单调递减
高三数学一轮 3.2 导数的应用(一)导学案 理 北师大版
§3.2导数的应用(一)2014高考会这样考 1.利用导数的有关知识，研究函数的单调性、极值、最值；2.讨论含参数的函数的单调性、极值问题．复习备考要这样做 1.从导数的定义和“以直代曲”的思想理解导数的意义，体会导数的工具作用；2.理解导数和单调性的关系，掌握利用导数求单调性、极值、最值的方法步骤．1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是增加的；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是减少的．2．函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上是增加的，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上是减少的，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．[难点正本疑点清源]1．可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．2．f ′(x )>0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上是增加的充分条件．3．对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件．1． 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.答案 3解析 f ′(x )＝2x 2＋2x －x 2－a x ＋1 2＝x 2＋2x －ax ＋1 2.因为f (x )在x ＝1处取极值，所以1是f ′(x )＝0的根，将x ＝1代入得a ＝3.2． 函数f (x )＝x 3＋ax －2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(x )在区间(1，＋∞)上是增函数，则f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≥－3x 2在(1，＋∞)上恒成立．∴a ≥ －3.3. 如图是y ＝f (x )导数的图像，对于下列四个判断：①f (x )在[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数； ④x ＝3是f (x )的极小值点．其中正确的判断是________．(填序号) 答案 ②③解析 ①∵f ′(x )在[－2，－ 1]上是小于等于0的， ∴f (x )在[－2，－1]上是减函数；②∵f ′(－1)＝0且在x ＝0两侧的导数值为左负右正， ∴x ＝－1是f (x )的极小值点； ③对， ④不对，由于f ′(3)≠0.4． 设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为( )A ．－1B ．0C ．－239D.33答案 C解析 g (x )＝x 3－x ，由g ′(x )＝3x 2－1＝0， 解得x 1＝33，x 2＝－33(舍去)．当x变化时，g′(x)与g(x)的变化情况如下表：5．(2011·辽宁)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x ＋4的解集为( )A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)答案 B解析设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，∵m′(x)＝f′(x)－2>0，∴m(x)在R上是增函数．∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞).题型一利用导数研究函数的单调性例1 已知函数f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的递增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说` 明理由．思维启迪：函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论．解f′(x)＝e x－a，(1)若a≤0，则f′(x)＝e x－a≥0，即f(x)在R上递增，若a>0，e x－a≥0，∴e x≥a，x≥ln a.因此当a≤0时，f(x)的递增区间为R，当a>0时，f(x)的递增区间是[ln a，＋∞)．(2)∵f′(x)＝e x－a≤0在(－2,3)上恒成立．∴a≥e x在x∈(－2,3)上恒成立．又∵－2<x<3，∴e－2<e x<e3，只需a≥e3.当a ＝e 3时，f ′(x )＝e x －e 3在x ∈(－2,3)上，f ′(x )<0，即f (x )在(－2,3)上为减函数，∴a ≥e 3.故存在实数a ≥e 3，使f (x )在(－2,3)上为减函数．探究提高 (1)利用导数求函数f (x )的单调区间的一般步骤： ①确定函数f (x )的定义域； ②求导数f ′(x )；③在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； ④根据③的结果确定函数f (x )的单调区间． (2)要注意对含参数的函数的单调性进行讨论； (3)对已知函数的单调性的问题一定要掌握导数的条件．已知函数f (x )＝x 3－ax 2－3x .(1)若f (x )在[1，＋∞)上是增加的，求实数a 的取值范围； (2)若x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )的单调区间． 解 (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝3x 2－2ax －3. 由f ′(x )≥0，得a ≤32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x .记t (x )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ，当x ≥1时，t (x )是增函数，∴t (x )min ＝32(1－1)＝0.∴a ≤0.(2)由题意，得f ′(3)＝0，即27－6a －3＝0， ∴a ＝4.∴f (x )＝x 3－4x 2－3x ，f ′(x )＝3x 2－8x －3. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－13，x 2＝3.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－3，[3，＋∞)，f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，3. 题型二 利用导数研究函数的极值 例2 已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1.(1)设a ＝2，求f (x )的单调区间；(2)设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围． 思维启迪：(1)单调区间即为f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间． (2)f ′(x )的零点在(2,3)内至少有一个． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 3－6x 2＋3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－12x ＋3＝3(x －2＋3)(x －2－3)．当x ∈(－∞，2－3)时，f ′(x )>0，f (x )在(－∞，2－3)上是增加的； 当x ∈(2－3，2＋3)时，f ′(x )<0，f (x )在(2－3，2＋3)上是减少的； 当x ∈(2＋3，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(2＋3，＋∞)上是增加的． 综上，f (x )的递增区间是(－∞，2－3)和(2＋3，＋∞)，f (x )的递减区间是(2－3，2＋3)．(2)f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3＝3[(x －a )2＋1－a 2]．当1－a 2≥0时，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，故f (x )无极值点； 当1－a 2<0时，f ′(x )＝0有两个根x 1＝a －a 2－1，x 2＝a ＋a 2－1.由题意，知2<a －a 2－1<3，① 或2<a ＋a 2－1<3，②①无解，②的解为54<a <53，因此a 的取值范围为(54，53)．探究提高 (1)导函数的零点并不一定就是函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．(2)本题的易错点为不对1－a 2进行讨论，致使解答不全面．(2011·安徽)设f (x )＝ex1＋ax2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解 对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax1＋ax 22.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以x 1＝2是极小值点，x 2＝2是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知1＋ax2－2ax ≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1. 所以a 的取值范围为{a |0<a ≤1}． 题型三 利用导数求函数的最值例3 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，记f (x )的导数为f ′(x )．(1)若曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝23时y ＝f (x )有极值，求函数f (x )的解析式；(2)在(1)的条件下，求函数f (x )在[－4,1]上的最大值和最小值．思维启迪：(1)构建方程f ′(1)＝3，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，求得a ，b ，进而确定函数f (x )的解析式．(2)列出f ′(x )与f (x )的变化表，比较端点值和极值的大小． 解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .依题意f ′(1)＝3，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝3，3·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋43a ＋b ＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4.所以f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5.(2)由(1)知，f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(x ＋2)(3x －2)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23.当x 变化时，f (x )，f ′(x )的变化情况如下表：探究提高 在解决类似的问题时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(2012·重庆)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16.(1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值． 解 (1)因为f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b . 由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16， 故有⎩⎪⎨⎪⎧f ′ 2 ＝0，f 2 ＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)．令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0， 故f (x )在(－2,2)上为减函数； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝c －16.由题设条件知16＋c ＝28，解得c ＝12. 此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3，f (2)＝－16＋c ＝－4，因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.利用导数求函数最值问题典例：(14分)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．审题视角 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x )>0，f ′(x )<0的解区间，并注意定义域．(2)先研究f (x )在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．(3)由于解析式中含有参数a ，要对参数a 进行分类讨论． 规范解答解 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，[1分]①当a ≤0时，f ′(x )＝1x－a >0，即函数f (x )的递增区间为(0，＋∞)．[3分]②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－axx>0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )的递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤0，1a ，递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a，＋∞.[5分](2)①当1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减少的，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .[9分]②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增加的，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .[10分]③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1a 上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，2上是减少的．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a .[12分] 综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ；当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a .[14分]用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题：第一步：求函数f(x)的导数f′(x)；第二步：求f(x)在给定区间上的单调性和极值；第三步：求f(x)在给定区间上的端点值；第四步：将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；第五步：反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．温馨提醒(1)本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间[1,2]上的最值，属常规题型．(2)本题的难点是分类讨论．考生在分类时易出现不全面，不准确的情况．(3)思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题.方法与技巧1．注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数值(范围)时，隐含恒成立思想．2．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小．3．在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．失误与防范1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．3．解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f′(x)＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1. 若函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像可能为( )答案 C解析 根据f ′(x )的符号，f (x )图像应该是先下降后上升，最后下降，排除A ，D ；从适合f ′(x )＝0的点可以排除B.2． 设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )A ．a <－1B ．a >－1C ．a >－1eD ．a <－1e答案 A解析 ∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x＋a . ∵函数y ＝e x＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x＋a ＝0有大于零的解， ∵x >0时，－e x <－1，∴a ＝－e x<－1.3． 函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( )A ．－2B ．0C ．2D ．4答案 C解析 ∵f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2. ∴f (x )在[－1,0)上是增加的，f (x )在(0,1]上是减少的． ∴f (x )max ＝f (x )极大值＝f (0)＝2.4． 若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤2B ．5≤a ≤7C ．4≤a ≤6D ．a ≤5或a ≥7答案 B解析 因为f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1，所以f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，由题意知当1<x <4时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2－ax ＋a －1≤0在(1,4)上恒成立， ∴a (x －1)≥x 2－1，a ≥x ＋1(1<x <4)， 所以a ≥5.同理a ≤7. 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________． 答案 －37解析 ∵f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，∴f (x )在(－2,0)上是增加的，在(0,2)上是减少的，∴当x ＝0时，f (x )＝m 最大．∴m ＝3，从而f (－2)＝－37，f (2)＝－5.∴最小值为－37.6． 已知函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m 2－4)x ＋m 是偶函数，函数g (x )＝－x 3＋2x 2＋mx ＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m ＝________. 答案 －2解析 若f (x )＝(m －2)x 2＋(m 2－4)x ＋m 是偶函数， 则m 2－4＝0，m ＝±2.若g ′(x )＝－3x 2＋4x ＋m ≤0恒成立，则Δ＝16＋4×3m ≤0，解得m ≤－43，故m ＝－2.7． 函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]有极大值又有极小值，则a 的取值范围是________．答案 a >2或a <－1解析 ∵f (x )＝x 3＋3ax 2＋3[(a ＋2)x ＋1]， ∴f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)．令3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0. ∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实根． 即Δ＝4a 2－4a －8>0，∴a >2或a <－1. 三、解答题(共22分)8． (10分)已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值；(2)求函数y ＝f (x )的单调区间．解 (1)f ′(x )＝2ax ＋b x .又f (x )在x ＝1处有极值12.得⎩⎪⎨⎪⎧f 1 ＝12，f ′ 1 ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，2a ＋b ＝0.解之得a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x ＝ x ＋1 x －1x.由f ′(x )<0，得0<x <1； 由f ′(x )>0，得x >1.所以函数y ＝f (x )的递减区间是(0,1)， 递增区间是(1，＋∞)．9． (12分)已知函数f (x )＝ln|x | (x ≠0)，函数g (x )＝1f ′ x＋af ′(x ) (x ≠0)．(1)求函数y ＝g (x )的表达式；(2)若a >0，函数y ＝g (x )在(0，＋∞)上的最小值是2，求a 的值． 解 (1)因为f (x )＝ln|x |，所以当x >0时，f (x )＝ln x ，当x <0时，f (x )＝ln(－x )． 所以当x >0时，f ′(x )＝1x，当x <0时，f ′(x )＝1－x ·(－1)＝1x. 所以当x ≠0时，函数y ＝g (x )＝x ＋ax. (2)由(1)，知当x >0时，g (x )＝x ＋a x.所以当a >0，x >0时，g (x )≥2a ，当且仅当x ＝a 时取等号． 所以函数y ＝g (x )在(0，＋∞)上的最小值是2a . 所以2a ＝2.解得a ＝1.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．(2012·重庆)设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图像可能是( )答案 C解析∵f(x)在x＝－2处取得极小值，∴当x<－2时，f(x)是减少的，即f′(x)<0；当x>－2时，f(x)是增加的，即f′(x)>0.∴当x<－2时，y＝xf′(x)>0；当x＝－2时，y＝xf′(x)＝0；当－2<x<0时，y＝xf′(x)<0；当x＝0时，y＝xf′(x)＝0；当x>0时，y＝xf′(x)>0.结合选项中图像知选C.2．函数y＝x e－x，x∈[0,4]的最小值为( )A．0 B.1eC.4e4D.2e2答案 A解析y′＝－e－x(x－1)，y′与y随x变化情况如下表：当x＝03．f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋x·f′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为( )A．(0,4)B ．(－4,4)C ．(－∞，－4)∪(0,4)D ．(－∞，－4) 答案 C解析 令g (x )＝x ·f (x )，则g (x )为奇函数且当x <0时，g ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )<0，∴g (x )的图像的变化趋势如图所示： 所以xf (x )>0的解集为(－∞，－4)∪(0,4)． 二、填空题(每小题5分，共15分)4． 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c (x ∈[－2,2])对应的曲线C 过坐标原点，且在x ＝±1处切线的斜率均为－1，则f (x )的最大值和最小值之和等于________． 答案 0解析 由曲线f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c (x ∈[－2,2])过坐标原点可知c ＝0. ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧f ′ －1 ＝3× －1 2＋2a × －1 ＋b ＝－1，f ′ 1 ＝3×12＋2a ×1＋b ＝－1，解得a ＝0，b ＝－4，∴f (x )＝x 3－4x ，f (x )在x ∈[－2,2]上有最大值，最小值，且函数f (x )＝x 3－4x 为奇函数，∴函数f (x )＝x 3－4x 的最大值和最小值之和为0.5． 设函数f (x )＝p ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x (p 是实数)，若函数f (x )在其定义域内是增加的，则实数p 的取值范围为______． 答案 [1，＋∞)解析 易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，因为f ′(x )＝px 2－2x ＋p x 2，要使f (x )在定义域内是增加的，须f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，即px 2－2x ＋p ≥0在(0，＋∞)上恒成立，即p ≥2x x 2＋1＝2x ＋1x在(0，＋∞)上恒成立， 又2x ＋1x≤1，所以当p ≥1时，f (x )在(0，＋∞)上是增加的． 6． 已知函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是________．答案 (0,1)解析 f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )， 显然a >0，f ′(x )＝3(x ＋a )(x －a )，由已知条件0<a <1，解得0<a <1. 三、解答题7．(13分)(2012·江西)已知函数f (x )＝(ax 2＋bx ＋c )e x在[0,1]上是减少的且满足f (0)＝1，f (1)＝0.(1)求a 的取值范围；(2)设g (x )＝f (x )－f ′(x )，求g (x )在[0,1]上的最大值和最小值．解 (1)由f (0)＝1，f (1)＝0，得c ＝1，a ＋b ＝－1，则f (x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x，f ′(x )＝[ax 2＋(a －1)x －a ]e x ，依题意需对任意x ∈(0,1)，有f ′(x )<0.当a >0时，因为二次函数y ＝ax 2＋(a －1)x －a 的图像开口向上，而f ′(0)＝－a <0， 所以需f ′(1)＝(a －1)e<0，即0<a <1.当a ＝1时，对任意x ∈(0,1)有f ′(x )＝(x 2－1)e x<0，f (x )符合条件； 当a ＝0时，对任意x ∈(0,1)，f ′(x )＝－x e x <0，f (x )符合条件； 当a <0时，因为f ′(0)＝－a >0，f (x )不符合条件． 故a 的取值范围为0≤a ≤1. (2)因为g (x )＝(－2ax ＋1＋a )e x， 所以g ′(x )＝(－2ax ＋1－a )e x .(i)当a ＝0时，g ′(x )＝e x>0，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1，在x ＝1处取得最大值g (1)＝e.(ii)当a ＝1时，对于任意x ∈(0,1)有g ′(x )＝－2x e x<0，g (x )在x ＝0处取得最大值g (0)＝2，在x ＝1处取得最小值g (1)＝0.(iii)当0<a <1时，由g ′(x )＝0得x ＝1－a2a>0.①若1－a 2a ≥1，即0<a ≤13时，g (x )在[0,1]上是增加的，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ，在x ＝1处取得最大值g (1)＝(1－a )e.②若1－a 2a <1，即13<a <1时，g (x )在x ＝1－a 2a 处取得最大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2a ＝2a e 1－a 2a ，在x ＝0或x ＝1处取得最小值．而g (0)＝1＋a ，g (1)＝(1－a )e ，则当13<a ≤e －1e ＋1时，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ；当e －1e ＋1<a <1时，g (x )在x ＝1处取得最小值g (1)＝(1－a )e.。
高考数学第一轮知识点总复习 第二节 导数的应用(Ⅰ)
解 (1)由已知f′(x)=3 -a,x2 ∵f(x)在（-∞,+∞）上是单调增函数， ∴f′(x)=3 -ax≥2 0在(-∞,+∞)上恒成立， 即a≤3 x在2 x∈R上恒成立. ∵3 x≥2 0,∴只需a≤0. 又a=0时，f′(x)=3 ≥x20,f(x)= -1在x3R上是增函数， ∴a≤0. (2)由f′(x)=3 -ax≤2 0在(-1,1)上恒成立，得a≥3 在x∈x2(-1,1)上恒成立. ∵-1＜x＜1,∴3 ＜3,∴只需a≥3. 当a≥3时，f′(x)=x32 -a在x∈(-1,1)上恒有f′(x)＜0, 即f(x)在（-1,1）上为x减2 函数，∴a≥3. 故存在实数a≥3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.
学后反思 利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便， 但应注意f′(x)>0 ［或f′(x)<0］仅是f(x)在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条 件，在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增（或递减）的充要条件应 是f′(x)≥0［或f′(x)≤0］，x∈(a,b)恒成立，且f′(x)在(a,b)的任意子区 间内都不恒等于0.这就是说， 函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)=0. 因此，在已知函数f(x)是增函数（或减函数）来求参数的取值范围时， 应令f′(x)≥0［或f′(x)≤0］恒成立，解出参数的取值范围（一般可用 不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0， 若能恒等于0，则参数的这个值应舍去,若f′(x)不恒为0，则由f′(x)≥0 ［或f′(x)≤0］恒成立解出的参数的取值范围.
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高三数学一轮复习 第15课时 导数的应用（一）单调性学案
【学习目标】
1．了解可导函数的单调性与其导数的关系．
2．导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性．每年高考都从不同角度 考查这一知识点，往往与不等式结合考查．
【课本导读】
函数的单调性
(1)设函数y ＝f(x)在某个区间内 ，若f ′(x) 0，则f(x)为增函数；若f ′(x) 0，则f(x)为减函数．
(2)求可导函数f(x)单调区间的步骤：
①确定f(x)的 ； ②求导数f ′(x)；
③令f ′(x) 0(或f ′(x) 0)，解出相应的x 的范围；
④当 时，f(x)在相应区间上是增函数，当 时，f(x)在相应区间上是减函数．
【教材回归】
1. 函数f (x )＝x 3－15x 2
－33x ＋6的单调减区间为________．
2. 函数y ＝12
x 2－ln x 的单调减区间为( ) A ．(－1,1] B ．(0,1] C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞)
3.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y
＝xf ′(x )的图像可能是( )
4．已知函数f (x )＝x 2(x －a )．
(1)若f (x )在(2,3)上单调，则实数a 的取值范围是________；
(2)若f (x )在(2,3)上不单调，则实数a 的取值范围是________．
5．已知f (x )＝sin x ＋2x ，x ∈R ，且f (1－a )＋f (2a )<0，则a 的取值范围是________．
6．若f (x )＝－12
x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．(－∞，－1)
【授人以渔】 题型一 求函数的单调区间 例1 (1)求函数f (x )＝x 2＋1x －1
的单调区间．
(2)求函数f(x)＝x＋21－x的单调区间．
(3)求函数f(x)＝
1
x ln x
的单调区间．
（4）f(x)＝(x－1)e x－x2.
题型二讨论函数的单调性
例2已知函数f(x)＝.求f(x)的单调区间．
思考题2 已知函数f(x)＝a ln x＋2a2
x
＋x(a≠0)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0垂直，求实数a的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
题型三利用单调性求参数的范围
例3 设函数f(x)＝x(e x－1)－ax2.
(1)若a＝1
2
，求f(x)的单调区间； (2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．
思考题3 (1)设函数f(x)＝1
3
x3－
a
2
x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝
1. ①求b，c的值；②若a>0，求函数f(x)的单调区间；
③设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
知识方法规律总结：。