高三数学一轮复习第15课时导数的应用(一)单调性学案

高三数学一轮复习 第15课时 导数的应用（一）单调性学案

【学习目标】

1．了解可导函数的单调性与其导数的关系．

2．导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性．每年高考都从不同角度 考查这一知识点，往往与不等式结合考查．

【课本导读】

函数的单调性

(1)设函数y ＝f(x)在某个区间内 ，若f ′(x) 0，则f(x)为增函数；若f ′(x) 0，则f(x)为减函数．

(2)求可导函数f(x)单调区间的步骤：

①确定f(x)的 ； ②求导数f ′(x)；

③令f ′(x) 0(或f ′(x) 0)，解出相应的x 的范围；

④当 时，f(x)在相应区间上是增函数，当 时，f(x)在相应区间上是减函数．

【教材回归】

1. 函数f (x )＝x 3－15x 2

－33x ＋6的单调减区间为________．

2. 函数y ＝12

x 2－ln x 的单调减区间为( ) A ．(－1,1] B ．(0,1] C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞)

3.设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y

＝xf ′(x )的图像可能是( )

4．已知函数f (x )＝x 2(x －a )．

(1)若f (x )在(2,3)上单调，则实数a 的取值范围是________；

(2)若f (x )在(2,3)上不单调，则实数a 的取值范围是________．

5．已知f (x )＝sin x ＋2x ，x ∈R ，且f (1－a )＋f (2a )<0，则a 的取值范围是________．

6．若f (x )＝－12

x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1] D ．(－∞，－1)

【授人以渔】 题型一 求函数的单调区间 例1 (1)求函数f (x )＝x 2＋1x －1

的单调区间．

(2)求函数f(x)＝x＋21－x的单调区间．

(3)求函数f(x)＝

1

x ln x

的单调区间．

（4）f(x)＝(x－1)e x－x2.

题型二讨论函数的单调性

例2已知函数f(x)＝.求f(x)的单调区间．

思考题2 已知函数f(x)＝a ln x＋2a2

x

＋x(a≠0)．

(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x－2y＝0垂直，求实数a的值；

(2)讨论函数f(x)的单调性．

题型三利用单调性求参数的范围

例3 设函数f(x)＝x(e x－1)－ax2.

(1)若a＝1

2

，求f(x)的单调区间； (2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．

思考题3 (1)设函数f(x)＝1

3

x3－

a

2

x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝

1. ①求b，c的值；②若a>0，求函数f(x)的单调区间；

③设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

知识方法规律总结：