尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》课后习题详解(第1~5章)【圣才出品】

5．以一定的力垂直上抛的小球的高度是其被抛出时间（ t ）的函数：
f t 0.5gt2 40t
其中， g 是由重力所决定的常数。 （1）小球处于最高处的时间 t 如何取决于参数 g ？ （2）利用你在（1）问中的答案来描述：随着参数 g 的变化，小球的最大高度如何变 化。
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2．假定公司的总收益取决于产量（ q ），即总收益函数为： R 70q q2 ；
总成本也取决于产量（ q ）：
。
（1）为了使利润（ R C ）最大化，公司的产量水平应该是多少？利润是多少？
（2）验证：在（1）中的产量水平下，利润最大化的二阶条件是满足的。
（3）此处求得的解满足“边际收益等于边际成本”的准则吗？请加以解释。
解：（1）对于函数U x, y 4x2 3y2 ，其关于 x 和 y 的偏导数分别为：
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U x
8x
，
U y
6y
（2）当 x 1 ， y 2 时，（1）中的偏微分值分别为：
U 8 ， U 12
的增大，最大高度将变小。
（3）由包络定理可知： f 1 t 2 取决于 g ，因为 t 取决于 g 。 g 2
因而有： f g
0.5
t*
2
0.5
40 g
2
800 g2
0
。
（4）当 g 32 时，最大高度为： f 800 / 32 25 ；
（6）由（4）可得，在 x 1 ， y 2 处，当保持U 16 不变，即 dU 0 时，有：
dy dx
4 1 3 2
2
/
3
（7）当U 16 时，该函数变为： 4x2 3y2 16 ，因而该等高线是一个中心在原点的椭
圆。由（4）可知，该等高线在（ x ， y ）处的斜率为： dy 4x 。 dx 3y
解：（1）由已知可得该公司的利润函数为： R C 2q2 40q 100
利润最大化的一阶条件为：
d 4q 40 0 dq
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从而可以解得利润最大化的产量为： q 10 ；
相应的最大化的利润为： 2102 4010 100 100 。
x x1
y y2
（3）U 的全微分为：
dU U dx U dy 8xdx 6 ydy
x
y
（4）当 dU 0 时，由（3）可知： 8xdx 6 ydy 0 ，从而可以解得： dy 8x 4x 。 dx 6 y 3y
（5）将 x 1 ， y 2 代入 U 的表达式，可得： U 41 3 4 16 。
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（3）利用包络定理直接给出（2）问中的答案。
（4）在地球上， g 32 ，但是这个值在某些地区会有差异。如果两个地方重力加速度
的差异为 0.1，则在上述两个地区所抛出的小球的最大高度之间的差异是多少？
解：（1）对高度函数 f t 0.5gt2 40t 关于时间求导数可得：
dx （2）拉格朗日乘数法
f 的最大值问题为： 构造拉格朗日函数为：
max xy s.t. x y 1
L xy 1 x y
一阶条件为：
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L y 0 x
L x 源自文库 y
L
1
x
y
0
从而可以解得： x y 0.5 ，因而有： f xy 0.25 。
4．对偶函数为：
min x y s.t. xy 0.25
利用拉格朗日乘数法求解上述最小化问题。
解：设最小化问题的拉格朗日函数为：
L x y 0.25 xy
一阶条件为：
L 1 y 0 x
L y
1
x
0
L
0.25
xy
0
从而有： x y ， xy x2 0.25 ，从而可以解得： x y 0.5 。
1．假设 U x, y 4x2 3y2 。
（1）计算偏导数 U x ， U y 。 （2）求出上述偏导数在 x 1 ， y 2 处的值。 （3）写出U 的全微分。 （4）计算 dU 0 时 dy / dx 的值——这意味着当U 保持不变时， x 与 y 的替代关系是什 么？ （5）验证：当 x 1 ， y 2 时，U 16 。 （6）当保持U 16 时，且偏离 x 1 ， y 2 时， x 和 y 的变化率是多少？ （7）更一般的，当U 16 时，该函数的等高线是什么形状的？该等高线的斜率是多少？
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尼科尔森《微观经济理论——基本原理与扩展》课后习题详解
第 1 章 经济模型 本章没有课后习题。本章是全书的一个导言，主要要求读者对微观经济模型有一个整体 了解，然后在以后各章的学习中逐渐深化认识。
第 2 章 最优化的数学表达
（2）在 q
10
处，利润最大化的二阶条件为：
d2 dq2
4
0 ，因而满足利润最大化的
二阶条件。 （3）在 q 10 处，边际收益为： MR dR 70 2q 50 ； dq 边际成本为： MC dC 2q 30 50 ； dq 因而有 MR MC 50 ，即“边际收益等于边际成本”准则满足。
df gt 40 0 dt 从而可以解得使高度最大的时间为：t 40 ，从而可知小球处于最高处的时间 t 与参数
g
g 成反比例关系。
（2）将 t* 40 代入高度函数中可得： g
f
t
0.5g
40 g
2
40
40 g
800 g
df t
从而有： dg
800 g2
0
，即：随着
g
3．假设 f x, y xy 。如果 x 与 y 的和是 1，求此约束下 f 的最大值。利用代入消元法
和拉格朗日乘数法两种方法来求解此问题。
解：（1）代入消元法 由 x y 1 可得： y 1 x ，将其代入 f 可得： f xy x x2 。 从而有： df 1 2x 0 ，可以解得： x 0.5 。从而 y 1 x 0.5 ， f 0.25 。