组合数学(6)

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当多重集S中的某个元素的个数为1时,则其 重复数可以省略。即
S= {2·a , 1·b , 3·c} = {2·a , b , 3·c}
如果S是一个多重集，那么S的一个r-排列 是S中r个元素的有序排放。如果S的元素总个 数是 n( 包括重复元素 ) ，那么 S 的 n- 排列也称 为S的排列。
填M。根据乘法原理，排列字母的方法数为：
11 11 2 11 2 4 11 2 4 4 2 4 4 1 11 9 5 1 2 4 4 1 11! 9! 5! 2!(11 2)! 4!( 9 4)! 4!( 5 4)! 11! 9! 5! 34650 种 2!9! 4!5! 4!1!
定理3.5.1设S为具有k种类型元素的一个多重集，
每种元素均有无限的重复数。则S的r-组合的个
数等于 ：
r k - 1 r k - 1 r k -1
证明： 令S={·a1, ·a2 … ·ak},考虑由r个“*”
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和k-1个“ ”构成的r+k-1个位置和r+k -1符号。
是小于11！的某个数,其中相同元素交换位置后
的排列没有变化。
我们来考虑用字母来填充11个空的问题。
———————————。
对2个字母P有c(11,2)种方法来选择位置。一旦P的
位置选定,有c(9,4)种方法来为4个S选择位置。
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一旦S的位置选定，有c(5,4)种方法选择位置来填 四个I。一旦这些位置选好，剩下一个位置来
邻的方案数为:
22 ！ 21! 17 ！
22
3.5 多重集的组合
下面我们考虑允许重复的无序选择的计算问题。 如果S是一个多重集，那么S的r-组合是S中 r个元素的一个无序选择。因此，S的一个r-组 合本身就是一个多重集——S的一个子多重集。 如果S有n个元素，那么S只有一个n -组合，
既S自己。
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惟一的关键是确定哪些方格可被8个车占据。若 进一步将8个车设为是互不相同的(比如,有8
种不同颜色的车 ), 则在确定了 8! 种方案后 , 对每
一种方案还要确定究竟是哪种颜色的车在各方
格中。观察第一行到第八行 , 可以看到 8 种颜色
的一个排列。注意到对 8!种位置排列的任一种 颜色的排列都有 8! 个 ,于是 ,在8×8 棋盘上 具有 8 种不同颜色的 8个非攻击型车的放置方案数 为 : 8!· 8!=(8!)2
计算机书 物理书 历史书

****

**
六个“*”和两个“ ”的每种排序表示了一种选 择。 于是我们的问题就变化成了：从8个可能的位置
中为“”选择两个的方法数 C(8, 2) = 28 . 或者
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C( 8,6 ) = C( 8,2 ) = 28 本题中用的方法可以 用来得到一个通用的结果。
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现再设有 1 个红 (R) 车， 3 个蓝 (B) 车， 4 个黄 (Y) 车， 并设同色车无区别。这时对某一放置,当从第
1行到第8行观察这些车时， 可视为多重集{1·R,
3·B, 4·Y}的一个8-排列。由定理3.4.2 ，这个多
重集的8排列数为8! / (1!3!4!)。 因此， 在8×8
把8个车分放在坐标为(1, j1), (2, j2), …, (8, j8)的8个
方格上就得到棋盘上 8 个非攻击型车。因此，
8×8 棋盘上的 8 个非攻击型车的放置方式与 {1,
2, …, 8}的排列之间形成一双射函数。注意到 {1,
2, …, 8}有8！个排列，从而8个车放入8×8棋盘且
具有非攻击型的方案共有8!个, 这里认为8个车是 相同的。如果8个车是不同的情况下。
棋盘上放置1个红车， 3个蓝车， 4个黄车并使
它们互不攻击(包括同色车)的放置方案数为:
8! 8! 8! 1 !3!4! 1 !3!4!
2
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定理3.4.3
有n个车共有k种颜色，第i种颜色的
车有ni个，i＝1,2,…，k。现将这n个车放在
n×n的棋盘上，使得没有车能够互相攻击的摆
放方法数等于:
n! n! n! n1! n2!nm! n1! n2!nm!
2
并且若这 n 个车均有不同的颜色 , 则方法数为 (n!)2 若这n个车均属相同的颜色，则方法数为n！。
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例
设S={3·a, 2·b, 4·c}，求S的8排列的个数。 解： S的8排列可分为以下三类：
（1） {2· a, 2· b, 4· c}的8排列，数目为
有多少种方法？假设每种书的数量是无限的。
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问题是从集合{计算机书，物理书，历史书}中无 序选择的选择6本书，并且允许重复。一种
选择方法是：由每一类书的已选数量唯一确定
一种。
例如，我们列出一种：
计算机书 *** 物理书 ** 历史书 *
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计算机书 ×3，物理书×2，历史书×1
也可以是： 计算机书 ×0，物理书×4，历史书×2
把这些符号放到那些位置中的每一种方法决定 了一个选择方式。从“*”到第一个“”的
3.4 多重集的排列
设S是一个集合，它含有 Ri个xi，i＝1, 2,…, m. 且对于不同的 i，j有xi≠ xj, 则称S是一个多重集， 记为： S={xi ,xi , xi , xi , … , xj , xj , xj , ……} ={k1·x1 , k2·x2 , k3·x3… , km·xm} 例如 S= {2·a , 1·b , 3·c}
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但任意两个车都没有位于同一行或同一列上。
如图所示 (a) 中的任意两个车均为非攻击型，
(b)、(c) 中的两个车都属攻击型，因为(b)中的车
位于同行， (c) 中的车位于同列，(a) 中的车既
非同行， 又非同列。
车 车 车 (a) (b) 车 车 车 车 (c)
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若给8×8棋盘的每个方格指定一对坐标(i, j)，其 中 i指明方格所在的行号， j 指明方格所在的
3种 3种 3种 3种
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定理3.4.2设S是一个多重集 ，有个k不同类型的 元素，各个元素的重复数分别是:n1,n2,….nk。
设S的大小S= n = n1+n2+….+nk。则 S的所有
证明：我们注意到S的每个排列包含了S中的每一
个元素,并且每个元素在排列中的出现次数必须 等于它在S中的重复数。给n个元素的每一个指
n! 排列数(n-排列)等于： n1! n2 !..... nk !
定位置来构造S的排列。
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我们为第1类的n1个指定位置有C(n,n1)种方法。 指定之后，我们可以为第2类的n2个项指定位
置，有C(n-n1,n2)种方法，等等。 根据乘法原理，
排列元素的方法数为：
n n1 n2 ...nk 1 n n n1 n n1 n2 ....... n n n n 3 k 1 2
பைடு நூலகம்数是 10×10×…… ×10 =108
10种 10种 10种
4
例如 最多4位数字的二进制的个数是 24=16 即：从多重集{·0, ·1}中或者是从多重
集{4·0, 4·1}中选择4-排列的个数，由于只是
4位数，我们仅仅需要多重集{4·0, 4·1}就够 选择了； 2×2×2 ×2 = 24 最多4位数字的三进制的个数是 34=81；即： 在{4·0, 4·1, 4·2}选择4-排列的个数：
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因此，可以把 C( n, n1) 看作是n个元素集合
的n1 - 组合数，也可以看成是具有两种类型
的元素并且它们的重复数分别是 n1和 n- n1的
多重集的排列的个数，此时排列与组合类似。
例求8×8棋盘上的8个非攻击型车的不同放法数
解：所谓两个车可以互相攻击，当且仅当二车 位于棋盘的同一行或同一列上。因此，非攻击 型车是指这些车占据着棋盘上的一些方格，
对于
S= {2·a , 1·b , 3·c}
2
于是
acbc
cbcc
均是S的4-排列，而 a b c c c a
是S的一个6-排列（因为n = r ＝6）。
注意b b, a b c c c a c 没有2b个和4个c。 均不是S的排列, S 中
同样， S中没有7-排列，因为S中所能选出的
最多元素只能是6个。
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和第7本书。于是排列BBBBSSMM的方法数等 于分配书的方法数。
8! 根据定理，此数为 420 。 4!2!2!
如果多重集S ={n1·a1, n2·a2}，n1+n2=n只有 两类型的元素a1和a2，它们对应的重复数分别
是n1和n2 ，那么按照定理3.4.2,集合S的排列数
为:
n n! n! n n1!n2 ! n1!(n n1 )! 1
8! 420 2!2!4!
（2） {3· a, 1· b, 4· c}的8排列，数目为
8! 280 3! 1 !4!
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（3） {3· a, 2· b, 3· c}的8排列， 数目为
8! 560 3!2!3!
因此，S的全部8排列的个数为
420+280+560=1260
本题中重复次数3,2,4限制了排列的数量，如
如果S有k种不同类型的元素，那么S就有k
个1-组合。
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例：如果S={2·a, 1·b, 3·c}, 那么的3-组合有： 用穷举法{2·a, 1·b}, {2·a, 1·c}, {1·a, 1·b, 1·c},