二维线性系统状态反馈镇定算法
现代控制理论_长安大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
现代控制理论_长安大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.线性系统的状态空间表达式如下，则系统能控能观子空间为（）维系统。
【图片】答案:22.已知线性定常系统的状态方程如下，状态反馈阵【图片】（）使闭环系统极点配置为【图片】。
【图片】答案:3.下列语句中，正确的是（）。
答案:系统状态空间实现中选取状态变量不是唯一的，其状态变量的个数是唯一的。
4.线性系统的状态空间表达式为如下，则系统的模拟结构图为（）。
【图片】答案:5.系统方框图，如下图所示，则根据系统方框图建立的状态空间表达式为（）。
【图片】答案:6.已知机械系统如下图所示。
其中质量块m受到外力u(t)的作用产生位移y(t)，质量块m与地面之间无摩擦。
以外力 u(t)为输入信号，位移y(t)为输出量，系统状态空间模型为（）。
【图片】答案:7.若A、B是方阵，则必有【图片】。
答案:错误8.已知单输入单输出系统的传递函数为【图片】，则系统状态空间表达式为（）。
答案:9.已知系统的传递函数为【图片】，则系统状态空间表达式为（）。
答案:10.原系统传递函数阵的阶数一定高于能控能观子系统传递函数的阶数。
答案:错误11.带状态观测器的状态反馈系统和直接状态反馈系统具有相同的传递函数矩阵。
答案:正确12.带状态观测器的状态反馈系统，观测器的极点会全部被闭环系统的零点相消。
答案:正确13.单输入-单输出线性时不变系统状态空间表达式的矢量矩阵形式为（）。
答案:14.系统方框图如下所示，则系统的状态空间表达式为（）。
【图片】答案:；15.RLC电路网络如下图所示，其中【图片】为输入电压, 【图片】为输出电压。
选择状态变量【图片】，则系统状态空间表达式为（）。
【图片】答案:16.已知单输入单输出系统的微分方程为【图片】，则系统状态空间模型为（）。
答案:17.已知系统的传递函数为【图片】，则系统状态空间表达式的对角型实现为（）。
答案:18.已知非线性系统的微分方程为【图片】，则利用近似线性化方法得到系统的局部线性化状态方程是（）。
5.3 现代控制理论系统镇定解析
原系统的能控性分解为
1 0 0 1 0 x1 x1 1 2 1 0 1 u x2 0 0 1 x 0 0
由于该系统的不能控部分只有一个具有负实部的极点-1, 因此不能控子系统是稳定的,系统是可镇定的。
基于线性系统能控结构分解方法和状态反馈极点配置方法,可 得到如下状态反馈镇定算法。
状态反馈镇定算法:
步1: 将可镇定的系统(A,B,C)进行能控性分解,获得变换矩 阵Pc,并可得到
A11 A12 A P APc , 0 A22
1 c
B1 BP B 0 Nhomakorabea2) 对能控部分进行极点配置 由上可知,系统的能控部分为
1 0 1 0 ( A11 , B1 ) , 1 2 0 1
~ ~ ~, 设A* 为具有期望特征值的闭环系统矩阵且 A* A 11 B1 K1 本例中设期望的闭环极点取为-3和-2。
第五章 线性系统综合
5.3 系统镇定
受控系统通过状态反馈(或者输出反馈),使得闭环系统渐近稳 定,这样的问题称为镇定问题。
能通过反馈控制而达到渐近稳定的系统是可镇定的。
镇定只要求闭环极点位于复平面的左半开平面之内。
镇定问题的重要性主要体现在3个方面: 首先,稳定性往往是控制系统能够正常工作的必要条 件,是对控制系统的最基本的要求; 其次,许多实际的控制系统是以渐近稳定作为最终设 计目标;
~ ~ ~ C CPc [C1 C2 ]
其中, c ( A11 , B1 , C1 ) 为完全能控子系统; nc ( A22 ,0, C2 )为完全不 能控子系统。
(2) 由于线性变换不改变系统的特征值,故有:
现代控制理论 系统镇定问题
《现代控制理论》MOOC课程5.3系统镇定问题一.状态反馈的镇定问题确定状态反馈控制u =−Kx +v ，使得所导出的状态反馈闭环系统x =A −BK x +Bv是渐近稳定的，也即闭环系统的特征值均有负的实部，则称系统实现了状态反馈镇定。
镇定是极点配置的一类特殊情况，它要求将极点配置到根平面的左半平面。
二. 状态反馈可镇定的条件可通过状态反馈u =−Kx +v 实现镇定的充要条件是其不能控子系统是渐近稳定的。
定理：线性定常系统x =A x +B u ，x 0=0，t ≥0y =Cx5.3系统镇定问题给定n 阶线性定常受控系统：x =A x +B u ，x 0=0，t ≥0y =Cx证明：设线性定常系统为不完全能控，故存在非奇异线性变换R C 对系统进行能控性分解且对任一状态反馈矩阵K =k 1k 2可导出෩K=KR c =෩k 1෩k2，由于{෩Ac ，෩B c }为能控，故必存在෩k 1使(෩A c −෩B c ෩k 1)的特征值具有负的实部，即存在K 使能因此，系统由状态反馈实现镇定的充要条件为不能控子系统的特征值均具有负实部。
得证=detλI −෩Ac +෩B c ෩k 1−෩A 12+෩B c ෩k 20λI −෩A തc det λI −A −BK=det[λI −R C −1A −BK R C ]于是有：=det λI −෩A c +෩B c ෩k 1det(λI −෩A തc )෩A =R C −1AR c =෩A c ෩A 120෩A തc ෩B=R C −1B=෩B c 0而导出：控子系统的特征值均具有负的实部。
三. 状态反馈镇定的算法算法给定不完全能控系统x=A x+B u，且知其满足可镇定的条件，则镇定问题中反馈矩阵K的计算步骤如下：1. 对给定系统进行能控性分解，导出能控子系统{෩A c，෩B c}，能控性分解的变换阵为R C；2.应用非奇异线性变换阵T C1，将能控子系统{෩A c，෩B c}化为能控标准I型{ഥA c，ഥB c}；3.应用极点配置算法,计算反馈增益阵ഥK使能控子系统的特征值具有负的实部；4.计算状态反馈矩阵K=k10；K=k10=ഥk1T C1−10R C−15.3系统镇定问题判别其是否为可镇定的，若是可镇定的，试求一状态反馈K ，使闭环系统为渐近稳定。
现代控制理论知到章节答案智慧树2023年哈尔滨工程大学
现代控制理论知到章节测试答案智慧树2023年最新哈尔滨工程大学绪论单元测试1.经典控制理论以单变量线性定常系统作为主要的研究对象，以时域法作为研究控制系统动态特性的主要方法。
参考答案:错2.1892年俄国数学家李亚普诺夫发表了论文《运动稳定性的一般问题》，用严格的数学分析方法全面地论述了稳定性问题。
参考答案:对3.现代控制理论以多变量线性系统和非线性系统作为研究对象，以时域法，特别是状态空间方法作为主要的研究方法。
参考答案:对4.研究系统控制的一个首要前提是建立系统的数学模型，线性系统的数学模型主要有两种形式，即时间域模型和频率域模型。
参考答案:对5.下述描述中哪些作为现代控制理论形成的标志（）。
参考答案:最优控制中的Pontriagin极大值原理和Bellman动态规划;用于系统的整个描述、分析和设计过程的状态空间方法;随机系统理论中的Kalman滤波技术第一章测试1.输入输出描述是描述系统输入变量和输出变量关系的模型。
参考答案:对2.状态空间描述能完全表征系统的一切动力学特征。
参考答案:对3.系统的状态是指能够完全表征系统时间域行为的一个最小内部变量组。
参考答案:对4.系统的状态空间描述是唯一的。
参考答案:错5.坐标变换是指将系统在状态空间的一个基底上的表征，化为另一个基底上的表征。
参考答案:对6.当状态空间描述中的A矩阵有相同的特征值时，一定不能将其化成对角规范形。
参考答案:错7.并联组合系统的传递函数矩阵为各并联子系统的传递函数矩阵之和。
参考答案:对8.若两个子系统输出向量的维数相同，则可实现反馈连接。
参考答案:错9.线性定常系统线性非奇异变换后（）。
参考答案:系统的特征值不变10.考虑如图所示的串联组合系统，下列论述正确的是（）。
参考答案:串联组合后系统的状态方程为第二章测试1.一般线性系统状态方程的解由两部分组成，第一部分反映系统初态的影响，第二部分反映系统输入对状态的影响。
参考答案:对2.零初态响应指系统初始状态为零时，由系统输入单独作用所引起的运动。
6第六章 线性反馈系统的状态空间
y (t ) Cx (t )
做如下状态反馈
u (t ) r (t ) Kx (t )
那么对于几乎任意的反馈增益阵K，矩阵(A-BK)具有互异特征 值，从而为循环矩阵。 引理2、对上述系统若（A，B）能控，且A为循环的，那么对几 乎所有的r维向量均有（A，B）能控。
rankV rankVH rankV rankVH
说明输出反馈不改变系统的能观测性。 对于状态反馈不能保持原有系统的能观测性，举个反例即可。
7
例：下列系统引入状态反馈K=[0 4]判系统的反馈前后的能观测性。 1 2 0 x x u , y 1 1x 0 3 1 解：反馈前 C 1 1 rankV rank rank 2 CA 1 5 反馈后 系统完全能观测
A BK 0 k 1 0 1 21 k 22 k 21
k12 1 k 22
sI ( A BK )
s 1 k11 k 21
k12 s 1 k 22
( s 1 k11 )( s 1 k 22 ) k12 k 21
15
1、直接求反馈增益阵
例：设两输入系统为
1 0 1 0 x x u 0 1 0 1
* 给定期望的一组闭环特征值为 1, 2 1 j 2
k11 k12 求反馈增益阵K。 K k k 21 22 解： 1 0 1 0 k11 k12 1 k11
14 这个证明方法同样给出了多输入多输出配置极点的一种算法。
二维离散时间切换系统可镇定性研究
ａ３
而且，令 Ｏ＝［ ｔ ０… ０１ 【 ｂ… Ａ －ｂ－ ，则有 】ｂ Ａ ｎ１ １
＝ ｆ ） 『 （ … （ ｎ）］ 『 ２… 口］ ｎ １ －Ｔ ， ｆ ａ １Ｉ Ａ ｎ １口 ：Ａ 一 Ｉａ Ｔ ． ＝ ～ ・
：
引 理３ 给 定 单 输 入 二 维 线 性 离散 时 间可 控 标 准 型 系 统 ，则 任 给 一 个 正 定矩 阵 Ｍ ＝
２ 问题 描 述
考虑如下的线性离散 时间切换系统
ｘｋ ） （ ，ｘｋ ＋Ｂ （ ｋｋ （ ，（） Ｘ∈Ｒ ， （ ＋１ ＝Ａ （ ｋｋ （） （ ，ｕ（ ｋｋ ， ）） ）） ））
∈Ｒ ，
（ １ ）
其中 （，） Ｒ ｋ ： ×｛，，， ） １２３… 一 Ａ是一分段连续函数，Ａ＝｛，， ， 。 １２… Ⅳ） 定义１ 系统（ 称为二次可镇定的，如果存在 正定矩 阵 Ｍ，状态反馈控制律 ｕｋ １ ） （）： （ ，使得 （（） ＝Ｓ （） （） ） ） ＴｋＭｘｋ 是闭环反馈切换系统 ｘｋ ） ＋Ｂ （ ＋１ ＝ 】（） ， ∈
引理２ 】 若 ［， 是一单输入线性离散时间系统，则存在唯一的状态变换矩阵 Ｔ将系统变 【 Ａ６ Ｉ
为如下的可控标准 型
０ ０ １
’
０
．
・・ ・ ０ ’． ０
…
０
０
●
ＴＡＴ一１＝
●
：
：
０
…
０ １
ａｎ
．
Ｔｂ＝
０
ａｌ
０
（） ２
的二 次可镇定 问题 。首先 ，系统 （） ２二次可镇定 的必要条件是每个 子系统是可镇定 的。为此做
引理１ 如果 二维单 输入 线性 离散 系统 （ ｂ 可镇 定但 不可 控 的，则 对任 意 的正定 矩 Ａ，）是 阵 Ｍ ，存在 Ｕ＝Ｋｘ ，使得 ｙ（） Ｔ ｘ ＝Ｘ Ｍｘ是 闭环系统 （ Ａ＋６ 的二次 Ｌ ａｕ ｏ ） ｙｐ ｎ ｖ函数 。
线性系统的状态反馈及极点配置
线性系统的状态反馈及极点配置1.前言随着现代控制理论的不断发展和成熟，线性系统的状态反馈控制在控制理论中得到了广泛的应用，并成为了控制领域中重要的一种控制方法。
状态反馈控制能够将系统的状态进行反馈，并利用反馈得到的信息对系统进行控制，从而达到使系统达到预期控制目标的目的。
本文将从状态反馈控制的原理和实现方法两方面介绍线性系统的状态反馈及极点配置。
2.状态反馈控制的原理状态反馈控制是建立在现代控制理论的基础上的一种高级控制方法。
状态反馈控制的基本思想是在系统中引入反馈环节，设计一个反馈控制器，将系统的状态量反馈给控制器，控制器再根据反馈信号输出控制量，以期望控制系统按照预期的运动轨迹运行。
因此，状态反馈控制要实现以下两个步骤：- 系统状态量的测量：首先要在系统中安装测量传感器，实时地测量系统状态量，使得状态量可以被反馈到控制器中。
- 反馈控制器的设计：设计一个反馈控制器，将系统的状态量反馈给控制器，控制器再根据反馈信号输出控制量，实现对系统的精确控制。
因此，状态反馈控制的基本原理就是将系统状态量反馈到控制器中，以期望控制系统按照预期的运动轨迹运行。
2.2 状态空间模型与状态反馈控制状态空间模型是状态反馈控制的基础。
状态空间模型是一种方便描述线性系统动态行为和控制器的模型。
对于线性时不变系统，我们可以用如下的状态变量描述：x(t) = [x1(t),x2(t),...,xn(t)]T其中，x(t) 是系统在时刻 t 的状态量，n 是状态量的数量，x1(t),x2(t),...,xn(t) 分别是系统的每个状态量。
状态空间模型可以用一组线性常微分方程描述：dx/dt = Ax + Bu其中，A 是系统的状态方程矩阵，B 是输入矩阵，C 是输出矩阵，D 是直接耦合矩阵。
系统的状态反馈控制可以表示为：u(t) = -Kx(t)其中，K 是状态反馈矩阵。
将状态反馈控制引入到状态空间模型中，可以得到控制器的状态空间模型为：y = Cx上述控制器的状态空间模型就是一个闭环系统，通过反馈控制器将系统状态返回到系统，形成了一个反馈环。
线性系统的镇定问题_线性系统理论与设计_[共2页]
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点对消时，闭环系统不再是既能控又能观测的。由于输出反馈不改变系统的能观测性，因此
改变了系统的能控性。
对于输出反馈至参考输入端的情况，输出反馈不改变系统的能控性。这种形式的输出
反馈可以看作特殊的状态反馈，即 Ｋ＝ＨＣ的状态反馈，根据定理 ６２可知状态反馈不改变
系统的能控性，则该结论成立。
６３ 线性系统的镇定问题
系统镇定是指通过状态反馈或输出反馈使系统达到渐近稳定状态，只需闭环系统的极 点全部位于 ｓ平面的左半平面内，而不要求将极点严格地配置在期望的位置上。若采用的
第 章 线性系统的综合 ２０３
（３）解决输出反馈无法任意配置极点的方法是引入“补偿器”，将其置于主通道中，通过 对加入的“补偿器”的结构和参数的调整，增加系统的开环零极点来改变根轨迹的方向，进而 达到任意配置极点的目的，但同时也导致系统维数的增加。
+$" 输出反馈对能控性和能观测性的影响
针对两种不同结构的输出反馈系统，讨论输出反馈对系统能控性和能观测性的影响。
其中，ＱｏＨ的 各 行 可 表 示 为：Ｃ（Ａ－ＢＨＣ）＝ＣＡ－ＣＢＨＣ是 [ ＣＴ ＡＴＣＴ] Ｔ 的 线 性 组 合；
Ｃ（Ａ－ＢＨＣ）２是[ ＣＴ ＡＴＣＴ （ＡＴ）２ＣＴ] Ｔ的线性组合；以此类推，ＱｏＨ的各行都可以通过
Ｑｏ的各行线性组合表示。
因此，ＱｏＨ可以看 作 由 Ｑｏ经 过 初 等 变 换 得 到，而 初 等 变 换 不 改 变 矩 阵 的 秩，即 满 足
１输出反馈对能观测性的影响
定理 ６４ 输出反馈不改变系统的能观测性。
证明 考虑输出反馈至参考输入端的情况，开环系统∑０（Ａ，Ｂ，Ｃ）和输出反馈系统∑Ｈ（Ａ－ ＢＨＣ，Ｂ，Ｃ）的能观测判别矩阵分别为
Ｃ
第五章线性系统状态反馈
§5-3 状态反馈下闭环系统的镇定问题一、渐近稳定渐近稳定：线性定常系统的渐近稳定与经典控制理论中的稳定性一致。
所谓镇定问题是指受控系统∑),,(0C B A 通过状态反馈使闭环系统的极点具有负实部，使系统渐近稳定。
显然，镇定问题是极点配置问题的一种特殊情况。
其设计目标是使闭环极点分布在复平面左侧，而不是严格位于指定的位置。
二、状态可镇定定义定义5.1（状态可镇定定义）： 对于线性定常系统∑),,(0C B A ，如果存在状态反馈增益矩阵k ，使得闭环系统∑-),,(C B Bk A k是渐近稳定的，则称此系统是状态可镇定的。
如果∑),,(0C B A 完全可控，则它必然是可镇定的。
但是一个可镇定的系统未必是完全可控的。
定理5.5： 线性定常系统∑),,(0C B A 是状态可镇定的充要条件是：其不可控子系统是渐近稳定的。
0x - 初始状态e x - 平衡状态二维空间渐近稳定的几何解释示意图【例5.3.1】已知系统状态方程为u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=100201020101 试判别其是否为可镇定的。
若是可镇定的，试求一状态反馈增益矩阵k 使闭环系统为渐近稳定的。
解：（1）判别系统可控性 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==5210003102b A Ab bQ c ，n rankQ c <=2，故系统不完全可控。
（2）将系统按可控性进行规范分解。
[]321R R R R c =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1001R ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=2012R ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0103R ，故而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=021100010c R 变换后系统的动态方程为：u B x A x+= 式中：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=c c x x x可控子系统动态方程：u x x c c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=013110 u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⇒0131102121 不可控子系统动态方程：c c x x2-= 332x x -=⇒ c c AR R A 1-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-021100010201020101021*******⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=200031010⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==--00110002110001011b R b c可见，由332x x-= 可得到)0(23x e x t -=，故不可控子系统是稳定的，所以该系统是可镇定的。
现代控制理论线性反馈控制系统综合的基本概念
现代控制理论线性反馈控制系统综合的基本概念《现代控制理论》MOOC课程第五章线性定常系统的综合第五章线性定常系统的综合线性反馈控制系统综合的基本概念极点配置问题系统镇定问题系统解耦问题状态观测器利⽤状态观测器实现状态反馈的系统⼀. 系统的综合给定系统的状态空间表达式:寻找⼀个控制u,使得在其作⽤下系统的性能指标满⾜所期望的要求。
x =A x +B u ，x 0=0，t ≥0y =Cx⼆. 状态反馈控制和输出反馈控制1. 状态反馈若系统的控制可表⽰为系统状态的⼀个线性向量函数, 即u =?Kx +v 则称为状态反馈控制。
其中v 为参考输⼊。
状态反馈系统的结构为：yxAC++Bux ?+vK-状态反馈系统的状态⽅程x =A x +B u原系统的状态⽅程为：引⼊状态反馈u =?Kx +v 后，系统的状态⽅程为：x =A ?BK x +Bv系统的性能主要由系统矩阵决定的，通过合理的选择状态反馈矩阵，就可改变系统矩阵以使系统的性能满⾜期望的要求。
状态反馈系统的传递函数：原开环系统的传递函数为：W0s=C(sI?A)?1B引⼊状态反馈u=?Kx+v后，系统的闭环传递函数为：W K s=C(sI?A+BK)?1B系统的性能主要由系统闭环传递函数的极点确定，通过合理的选择状态反馈矩阵，就可改变系统传递函数的极点，以使系统的性能满⾜期望的要求。
2. 输出反馈控制。
其中v 为参考输⼊。
输出反馈系统的结构为：yxAC++Bux ?+vH-若系统的控制可表⽰为系统输出的⼀个线性向量函数, 即u =?Hy +v 则称为输出反输出反馈系统的状态⽅程x =A x +B u原系统的状态⽅程为：引⼊输出反馈u =?Hy +v 后，系统的状态⽅程为：x =A ?BHC x +Bv通过合理的选择输出反馈矩阵，就可改变系统矩阵，以使系统的性能满⾜期望的要求。
输出反馈系统的传递函数：W 0s =C(sI ?A)?1B原开环系统的传递函数为：引⼊输出反馈u =?Hy +v 后，系统的闭环传递函数为：W K s =C(sI ?A+BHC)?1B5.1 线性反馈控制系统综合的基本概念3. 状态反馈与输出反馈的⽐较系统的输出通常只是系统状态的部分信息，所以输出反馈仅相当于部分状态反馈。
现代控制理论_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
现代控制理论_哈尔滨工程大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.已知线性定常系统如下所示，下面说法错误的是（）【图片】参考答案:引入状态反馈后，不改变系统的能观测性。
2.串联组合系统的传递函数矩阵为各串联子系统的传递函数矩阵之和。
参考答案:错误3.在最优控制问题中，如果系统的性能指标是状态变量和控制变量的二次型函数，则称为线性二次型最优控制问题，简称LQ（Linear Quadratic）问题。
参考答案:错误4.用不大的控制能量，使系统输出尽可能保持在零值附近，这类问题称为输出调节器问题。
参考答案:正确5.研究系统控制的一个首要前提是建立系统的数学模型，线性系统的数学模型主要有两种形式，即时间域模型和频率域模型。
参考答案:正确6.现代控制理论以多变量线性系统和非线性系统作为研究对象，以时域法，特别是状态空间方法作为主要的研究方法。
参考答案:正确7.1892年俄国数学家李亚普诺夫发表了论文《运动稳定性的一般问题》，用严格的数学分析方法全面地论述了稳定性问题。
参考答案:正确8.经典控制理论以单变量线性定常系统作为主要的研究对象，以时域法作为研究控制系统动态特性的主要方法。
参考答案:错误9.下述描述中哪些作为现代控制理论形成的标志（）参考答案:用于系统的整个描述、分析和设计过程的状态空间方法._最优控制中的Pontriagin极大值原理和Bellman动态规划。
_随机系统理论中的Kalman 滤波技术。
10.内部稳定性表现为系统的零初态响应，即在初始状态恒为零时，系统的状态演变的趋势。
参考答案:错误11.系统矩阵A所有特征值均具有负实部是线性时不变系统渐近稳定的充要条件。
参考答案:正确12.从物理直观性看，能观测性研究系统内部状态“是否可由输入影响的问题”。
参考答案:错误13.由系统结构的规范分解所揭示，传递函数矩阵一般而言只是对系统结构的不完全描述，只能反映系统中的能控能观测部分.参考答案:正确14.下面论述正确的是（）参考答案:李亚普诺夫意义下渐近稳定等同于工程意义下稳定。
现代控制理论(22-24讲：第6章知识点)
6-3 系统的镇定问题
在系统综合中,有时仅要求改变不稳 定的闭环极点为稳定极点,这就是系统镇 定(stabilization)。
镇定问题是极点配置问题的一个特殊 情况，其目的是使系统的所有极点位于根 平面的左半平面，而不要求它们的确切位 置； 清楚地：一个完全能控的系统一定是 能镇定的；但是一个能镇定的系统未必是 能控的。
f ( ) ( 1 )( 2 )......( n )
n a1 n 1 a1 a (2) n 0
欲使闭环极点取期望值，只需比较(1),(2)式 即可得到：
11
k 1 a a0 k 2 a a1k n a
19
1、由要求的超调量和调整时间决定期望 闭环极点: 给定的品质指标为：ζ ；ts 。 故
% e
1 210ຫໍສະໝຸດ %nts (2%)
4
n
从而，期望主导极点即为:
1,2 n jn 1 2 jd
20
而其余极点离虚轴的距离应远大于主导极 点离虚轴的距离，即
此时，闭环系统的特征多项式为：
10
f ( ) det( I - ( A B K )) n (an1 k n ) n1 (a1 k 2 ) (a0 k 1 )(1)
_ _ _
_
_ _
（3）设闭环系统的期望极点为λ 1,λ 2,… λ n ， 则期望特征多项式
（3）期望特征多项式为：
f ( ) ( 2)( 1 j )( 1 j ) 3 4 2 6 4
（4）比较上两式的系数，即得到： K=[4 3 1] （5）画出闭环系统的状态变量图如下所示：
第六章 线性反馈系统的时间域综合
研究
6．1 引言
综合问题的提法
系统的综合问题由受控系统，性能指标和控制输入三个要素组成。
对象
Ax Bu x(0) x0 t 0 0 : x y Cx
目标
手段 状态反馈输入：u (t) =－Kx(t)+(t) 输出反馈输入：u (t) =－Fy(t)+(t)
所谓系统综合，就是对给定受控系统，确定反馈形式的控制u(t) ， 使所导出闭环系统的运动行为达到或优于指定的期望性能指标 。 系统综合 系统设计 工程设计－考虑各种实际问题
υ
u
B
x
∫ A
x
C
y
ˆ x
K
状态观测器
扩展状态反馈和扩展输出反馈的等价性。
6
6．3 状态反馈极点配置：单输入情形
极点配置是一类最为典型和最为简单的综合问题。 问题的提法
控制系统的性能主要取决于系统极点在根平面上的分布。因此作 为综合系统性能指标的一种形式，往往是给出一组期望闭环极点组。 极点配置问题，就是通过选择线性反馈增益矩阵，将闭环系统的极点 恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所期望的动态性能。
(4)期望闭环极点组的确定 工程型的性能指标 n-2个期望闭环极点
2
s1 , s2 n j n 1
Re(si) =(46)Re(s1) ,
2
i=3,4,· · · ,n
8
极点配置定理
Ax bu x 对单输入n 维连续时间线性时不变受控系统：
系统全部n个极点可任意配置的充分必要条件为（A，b）完全能控。
3 2 (s) ( s * i ) ( s 2)(s 1 j )(s 1 j ) s 4s 6s 4 * i 1 3
系统镇定受控系统通过状态反馈
状态反馈镇定(5/12)
| sI (A BK) || sI1 (A11 B1K1) | | sI2 A22 |
(6 20)
比较式(6-18)与式(6-20),可以发现:
引入状态反馈阵 K [K1 K2 ]后,只能通过选择 K1 来
使得 (A11 B1K1) 的特征值具有负实部,从而使能控子 系统 c 渐近稳定。
证明 (1) 若系统(A,B,C)不完全能控,可以通过线性变换将其 按能控性分解为:
A~
Pc1 APc
A~11
A~12 ~
0 A22
B~
Pc1 B
B~1
0
C~ CPc [C~1 C~2 ]
其中,c (A11, B1,C1) 为完全能控子系统; nc (A22 ,0,C2 )为完全不 能控子系统。
1
1 0 1
状态反馈镇定(9/12)
于是可得
1 0 0
A
Pc1 APc
1
2
1 ,
0 0 1
1 0
B
Pc1B
0
1
0 0
原系统的能控性分解为
1 0 0
1 0
x1 x2
1 0
2 0
因此,也就肯定可以通过状态反馈矩阵K将系统的闭环极 点配置在s平面的左半开平面之内,即闭环系统是镇定的。
故证明了,完全能控的系统,必定是可镇定的。
状态反馈镇定(3/12)
定理4-4 若系统(A,B,C)是不完全能控的,则线性状态反馈使 系统镇定的充要条件是系统的完全不能控部分是渐近稳定的, 即系统(A,B,C)不稳定的极点只分布在系统的能控部分。
最佳状态反馈阵k的一种简便算法
最佳状态反馈阵k的一种简便算法状态反馈阵K是一种控制系统设计方法，是比较常见的一种现代控制理论。
它可以有效地满足复杂的控制要求，例如解决系统动态特性，噪声影响，非线性，外输入等问题。
从理论上讲，状态反馈阵K 可以最大限度地抵消系统型号不可知或噪声模型的影响，可以很好地调整设计参数，达到最佳的控制效果。
状态反馈阵K的设计有两种主要方法：一是基于解析的方法，另一种是基于离散数字的方法。
基于解析的方法需要建立控制系统的数学模型，并使用线性代数技术来计算控制矩阵K，这种方法高效，但计算复杂。
另一种离散数字方法则首先将系统参数离散化，以抵消系统数学模型对控制效果的影响。
然后，通过分析控制系统的特性，确定反馈矩阵，并通过多次计算来调整参数，以达到最佳的控制效果。
为了更方便控制状态反馈阵K的设计，我们提出一种新的简便算法，即“多步反馈算法”。
它的思想是：首先，使用离散数字方法将系统参数离散化，以防止系统数学模型对控制效果的影响；然后，分析控制系统的特性，推导反馈矩阵K；在多次调整参数的过程中，逐步增加控制参数，以达到最佳控制效果。
为实现该算法，我们建立了一个针对多步反馈算法的综合仿真模型，以实现实时调整。
过仿真，该算法可以轻松调整状态反馈控制矩阵K，以达到最佳的控制效果。
此外，状态反馈阵K的设计还可以通过其他技术实现，例如分布式数据库、大规模集群环境、网络服务器、统计过程调整、决策支持系统等。
这些技术可以帮助我们更好地控制状态反馈阵K，使控制效果更加优化和精确。
总之，状态反馈阵K的设计是实现现代控制系统的重要技术，我们提出的“多步反馈算法”是一种简便的状态反馈设计方法，可以有效地控制控制系统，达到最佳的控制效果。
它不仅简化了设计过程，而且效率也很高。
基于状态反馈的线性系统D稳定极点配置仿真研究
ｌ ｆ ｚ ） ＝ ２ ａ ＋ ｚ ＋ ｚ 。 对于反馈 系统 ，我们希望寻求一个状态反馈控 制 （ ｆ ） ＝ 一 ＾ （ （ ２ ） 将 闭环系统 的极点配 置在 区域 Ｄ 内 ，由引理 ２不难得 出如下推论 ： 定理 １反馈系统在状态反馈控制下 ，其 闭环 系统所有极 点在复平 面区域 内，若存 在正定对称 矩阵 Ｘ ＞ ０ 及任意矩 阵 Ｑ，当且仅当如下 Ｌ ＭＩ 成立
， ｎ ㈨２ （ ｚ ） ＝ ｄ ｉ ａ ｇ Ｏ Ｃ ａ １ （ ｚ ） ， ２ ） 。 进一 步讲 ，任意有 限个 Ｌ ＭＩ 区域 的交集仍 为 Ｌ ＭＩ 区域 。 因此 ，关 于实 轴对称的任一 凸区域都可 以用一个 Ｌ ＭＩ 区域来 近似 。 定义 ２矩阵 Ａ称 为 Ｄ 一稳定 的 ，当且 仅当 Ａ的特征 Ｕ为 Ｐ维 状态 向量 ； Ａ和 为相应维数 的常数 阵。 保 证 状 态 响 应 具 有 稳 定 裕 度 ａ的 左 半 平 面 Ｄ ＝ ｛ ｚ∈ Ｃ ： Ｒ （ Ｚ ） ≤一 ａ ， ａ ＞ ０ ｝ 是 一个 Ｌ Ｍ Ｉ 区域 ，其特 征 函数为
２ ａ Ｐ － ＋ （ ． ４ － Ｂ Ｋ ） Ｐ － ＋ Ｐ‘ ’ 一 Ｂ ｌ ０
（ ４ ）
（ ５）
Ｄ＝ ｔ ｚ ∈ Ｃ： ｆ ｏ （ ｚ ） ＝ Ｒ ｌ ｌ ＋ Ｒ ｌ ２ ｚ ＋ ｌ ＋ Ｒ ２ ２ ＜ ０ （ １ ）
其 中 ，Ｒ． ． ， ： 是 对称 矩 阵 ，Ｒ ： ＝ Ｌ Ｌ 是 半正 定矩 阵 ，ｚ 是 ｚ的共轭 复数 。当 Ｌ ＝ ０时 ，则 区域 Ｄ称 为一个 Ｌ Ｍ Ｉ区域 ， 这些 Ｌ Ｍ Ｉ 区域 都可以用一个线性矩 阵不等式来刻 画。Ｄ区域 是关 于实轴 对称 的 区域 ，厂 力 （ ｚ ） ＝Ｒｌ 十Ｒ １ ２ ｚ ＋ ＋Ｒ ２ ２ 称 为 区域 Ｄ的特 征 函数 。通常 ，特征 函数 ． 厂 Ｄ （ ｚ ） 是 Ｈｅ ｒ ｍｉ ｔ ｅ矩 阵 ， ， Ｄ ＜ Ｏ 表示矩 阵 （ ｚ ） 是负定 的。 许 多常 见的 区域 ，例 如圆盘 ，半平 面 ，椭 圆形 ，扇形 ， 抛物形等 区域均是 Ｌ ＭＩ 区域 。 引 理 １对 于 任 意 两 个 给 定 的 Ｌ ＭＩ区 域 ｎ 和 Ｑ ， 其 交 集 ｎ。ｎ ｎ 仍为Ｌ ＭＩ 区 域 ，其 特 征 函 数 为
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ｘ ∈ Ｒ ， ｕ ∈ Ｒ ， Ｙ∈ Ｒ ， ｚ∈ Ｒ２ 妄∈Ｒ ， ｘ为被 测 状态
，
控制方法采用状态反馈控制 ， 增益矩阵为 Ｋ 。其 中， ， ｚ
为 观测状 态 ， 曼为 重构 状 态 ， ｖ为参 考 输入 ， ｕ为 实 际
ｉ （ ｃ ｃ ） 、 （ ａ ｕ ： ＋ 十 １ ． ２ ａ １ ２ ： ， ） ＝ 。
成 立 ； 或 者 合 同 于 （ ； ） ， 此 时 ，
０使
（ ｍｌ ａ １ １ ＋ａ １ ２
，
（ ） ３ 反馈 控制设 计
３ ． １ 受控 系统 能 控性 计算 从前 述 系统 结构 可 知 ， ∑ 不 影 响反 馈 控 制 ， 因 此， 进 行反 馈控 制 设计 ， 也 就是 控制 输 入 变 为 ｕ＝ 一
（ 兰州交通大学 ， 甘 肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ７ ０ ）
摘
要： 针对二 维线性系统 ， 给出了能观测性 、 能控性简单判定 方法 ； 分 别给 出了状 态观测器和 反馈 控制 器的设计 方
法、 计算步骤 ； 并针对具 体算例 ， 进行 了镇定计算 。
关键词 ： 二 维系统 ； 状 态观测器 ； 反馈控 制器 ； 镇定算 法
第３ Ｏ卷 第 １ 期 ２ ０ １ ４年 １ 月
甘肃 科 技
Ｇａ ｎ ｓ ｕ Ｓｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ａ ｎｄ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
Ｉ ｉ － ３ Ｏ
Ⅳ０ ． １
Ｊ ａ ｎ ． ２ ０１ ４
二维 线 性 系统状 态 反 馈镇 定算 法
许兰兰 ， 崔彦 良
中图 分 类 号 ： Ｔ Ｐ １ ３
状态 反馈 控制 功 能优 点 突 出 ， 要 实 现状态 反馈 ，
分条件 是 ：
１ ） Ｔ Ａ—Ｆ Ｔ＝Ｇ Ｃ； ２ ） Ｈ＝Ｔ Ｂ；
可 以根据输入 、 输 出信号重构系统状态 ， 再由此重构 状态构 成 反馈 控 制 。工 程 上 通 常采 用 卡尔 曼 滤 波 １ 进行状 态 估 计 ， 但 也 可 以考 虑 采 用 状 态 观 测
Ｉ ｃ ２ １ ａ Ｉ １ ｃ ２ １ ａ １ ２ ＋ ｃ ２ ２ ａ ２ ２ Ｊ ～ （ ＼ ｕ ｕ ／ 存
－ ｃ２ ４ ２ａ１ ２
：
Ｃｌ ｌ ａ ｌ ｌ ４ －ｃ１ ２ａ ２ １
Ｃｌ ｌ ａ ｌ ２ ＋ ｃ１ ２ ａ ２ ２
：
≠０ 、 Ｉ ２ ≠０ 使
２
Ｃ １
ｌ
Ｃ １
２
Ｃ ２
１
Ｃ ２
２
Ｃ ２
ｌ
Ｃ ２
２
Ｃ １
ｌ
Ｃ １
（ ｍ ２ ａ １ ２ ＋ ａ ｌ ｌ
（ ｒ ｆ ｌ １ ａ １ １ ＋ａ １ ２
、 Ｉｌ＿●－，
ｍ
ａ
１
必存在 Ｉ Ｔ Ｉ １ ≠Ｏ 、 Ｉ ｎ ２ ≠
ｍ
ａ
２
ｍ
ａ
１
ｍ
ａ
２
＋
、ｌ，
ＪＩ ＿ Ｉｌ
＋
、●，
、 ， Ｊｌ Ｉ－ －＼
＋
、●，
， ， Ｉ－ ＿ｌ ｔ 、 、
＋
、ｌ，
，ｆ ＿ ＩＩ － Ｉ、
Ｋ ｘ ＋ ｖ ， 使闭环系统 内部稳定 。 对于∑。 而言 ， 能控 条件为 ｒ ａ ｎ ｋ （ Ｂ Ａ Ｂ ）＝ ２ ， 与前述方法类似 ， 当ｒ ａ ｎ ｋ （ Ｂ ）＝ ２时， 能控性成立 ；
全能控制。
１ 结 构
二阶线性系统受控系统 ∑。 为：
ｖ：Ｃ ｘ ， ｘ （ ０ ）＿ｘ 。 ， ｛ ｒ ＝ Ａ Ｙ ＋ Ｒ ｌ １
设计状态观测器也就是要求保证 Ｔ ， Ｇ ， Ｆ ， Ｈ有 符合要求的解。那么， ∑ 。 完全能观测是首要条件， 需要首先确定 ； 而∑ 完全能控制 比较容易保证 。
（ ｋ １ ）ｃ １ １ Ｃ １ ２ 、
Ｉ
０ ） ｌ ＝ （ ｏ
２ １
２ ２
ｋ ２ ≠０ 使
成立。
ｃ １ ２ ） （ 同 理 ， 欲 使 ｒ ａ ｎ ｋ （ 芝 Ａ ） ＝ ２ 成 立 ， 必 有
图 １ 系统结构
２ 状 态 观 测 器 设 计
状 态 观 测 器 也是 一 个 二 阶线性 系统 ， 其 设计 充
・
基金项 目： 兰州交通大 学青 年科学基金项目（ ２ ０ １ ２ ０ １ ３ ）
第１ 期
许兰兰等 ： 二维线性系统状态反馈镇定算法 其中 为一个递增整数序列 ， 重新进行计算 。
６ ３
ｒ （ １ １ ｃ １ １ ＋ ｃ ２ １ ｌ １ ｃ １ ２ ＋ Ｃ ２ ２ ） Ａ＝ （ ０ ０ ）
器 进行 状态 重 构 。针 对 二 阶线 性 系 统 ， 提 出基 于状态 观测 器 的状态 反 馈 回路镇 定算法 。
３ ） Ｆ内部稳定 。 其 中条件 １ ） 西 尔 维斯 特 （ Ｓ ｙ ｌ ａ ｖ ｅ ｓ ｔ ｅ ｒ ） 方 程 有 非 奇 异解 阵 Ｔ的必要 条件是 ： ∑。完 全 能观 测 和 ∑ 完
２ ． １ 受控 系统 观测性 计算
状 态 观测器 为 同维线 性 系统 ∑ ：
对于二阶系统 ， 其观测性计算可以简单化。
｛ ｒ 妄 ＝ Ｆ Ｔ－ ｚ ＋ １ ｚ Ｇ ｖ ＋ Ｈ ｌ 】 ， ｚ （ ｏ ）－Ｚ 。 ，
－
＿
若 Ａ ： ｔ ］ ＇ Ｃ ＿ ｑ 么 当 ｍ ｎ ｋ ａ ２ ， ａ ２ ２ １ Ｃ ２ １ ｃ ２ ２ １
输入 ， Ｙ 为标准输 出； ｚ ｘ 。 为任 意初始状态。系统 结 构如 图 １ 所示。
ｃ （ ｃ ） ＝ １ 时 ， 有 ｆ ｌ Ｉ ｑ Ｃ ２ １ Ｃ ２ ２ ］ 』 卜 ～ （ １ ＼ １ Ｕ Ｕ １ ， 即 ： 存 在 ｋ 。 ≠ 。 ｏ 、