不等式思维

不等式思维 杨丽妹

（华南师范大学数学科学学院，广州，510631）

【引言】大学数学是不等式的数学，虽然也学等式。本文主要通过数学分析的一些内容和例题来思考不等式思维对于大学数学学习的重要作用，通过与等式思维的比较感受不等式思维的妙处！ 【正文】

1.通过不等式来定义极限：

等式lim n n x a →∞

=表示数列的极限等于a ，但是N ε-语言是通过不等式来刻画极限等式的，0,,N N ε+∀>∃∈当n N >时，有n x a ε-<。不容易用等式严谨刻画的极限，通过转化到不等式语言可以严谨定义！用不等式来刻画等式的思想十分巧妙，给人一种全新的认识极限甚至认识、理解其他事物的角度。 2.适当放大法：

学习数学分析第一个要掌握的技巧应该是适当放大法。极限的定义：0,,N N ε+∀>∃∈当n N >时，有n x a ε-<。在说明N 的存在性时，需要通过后者的不等式n x a ε-<来求解N 的值，有时N 很难表示出来。

使用适当放大法是需要找到{y }n ，满足两个方面： ①n n x a y -<和②由n y ε<易求解n 需要满足的取值范围。

例1：求证lim 1n

n n →∞

= 证明：因为

11(1...1)1 (1)

2221n n

n n n n n n

n n n n ≤=⨯⨯⨯⨯++++≤

+-=

<+

所以

2

1n

n n

-≤

，于是0,ε∀>24[]1N ε∃=+,当n N >时，便有 22

1n

n n N

ε-<

<<，于是证得lim 1n n n →∞=。 小结：如果此题没有找到合适的放缩要求解1n n ε-<这个不等式是非常难以下手的。如果我们的等式思维太顽固的话，也许真会一直盯着

1n

n ε-<这个不等式，然后难以讲证明进行下去。

3.迫敛性定理：

迫敛性定理应该是数学分析课程中求极限的重要方法。迫敛性定理的精彩在于通过证明大于等于以及小于等于同时成立，可以推出等于必定成立。迫思想亮点在于将不容易直接看出来的相等转化为双边的不等，通过双边不等均成立来确定只能取到等号，而不可能是严格的不等。

迫敛性定理的思想在后续课程也有体现，如集合论中为了证明两个集合相等，如果从元素性质方面不容易直接看出等价的话，可以通过证明互相包含来证明两集合相等。比如证明德摩根定律，

(A B)C C C A B ⋃=⋂,(A B)C C C A B ⋂=⋃

实变函数在研究集合的势的时候有一个非常精彩的伯恩斯坦定理，给定两个集合,A B ，如果A 与B 的某个子集对等（A B ≤），B 与A

的某个子集对等（A B ≥），则A B =。 例2：设1!2!...!

!

n n x n +++=

，求lim n n x →∞ 解法1（不等式思维）

!1!2!3!...(n 2)!(n 1)!n!(n 2)(n 2)!(n 1)!n!

2(n 1)!n!

n <++++-+-+<--+-+<-+ 因此当2n >时，211n x n

<<+，易得lim 1n n x →∞

= 解法2（等式思维）

lim 1!2!...!(1!2!...(n 1)!)lim

!(n 1)!

!

lim

(n 1)!(n 1)

lim 11

n

n n n n x n n n n n →∞

→∞→∞→∞+++-+++-=--=--==- 例3：证明：(n)

lim

0n p n →∞=（n 为正整数，p(n)为整除n 的素数的个数）

方法1：（等式思维：素数定理）

显然有

(n)(n)p n n

π≤，由素数定理：(n)lim 1ln n n n

→∞π=，再进行等价无穷大替换得(n)1

ln lim lim lim 0ln n n n n

n n n n →∞→∞→∞π===。(n)(n)lim

lim n n p n n →∞→∞π≤，可得(n)lim 0n p n

→∞= 方法2：（不等式思维：算术基本定理）

任意n,存在k,使得12121......k k p p p n p p p +≤<（其中k p 为第k 个素数） 显然有

12(n)...k

p k

n p p p ≤，k 是关于n 的单调不减函数，所以1212(n)lim

lim lim 0......n n k k k

p k k

n p p p p p p →∞

→∞→∞≤==，可得(n)lim

0n p n →∞=

小结：例2解法1只需要适当的放大缩小，不需要知道斯托兹定理。对于不等式思维还有不等式放缩技巧较高。如果学习过斯托兹定理，使用解法2是十分自然的。

对于极限1

0lim

1n

n t dt t

→∞+⎰，如果学过实变函数中的勒贝格有界收敛定理就可以知道极限为0，因为可测函数列1n

t t

+（[0,1]t ∈）几乎处处收

敛到零函数。根据有界收敛定理，易知存在控制函数(x)1F =，并且积

分和极限是可以交换次序的，于是易得1

0lim

01n

n t dt t

→∞=+⎰。 当我们手上的工具，所知的理论十分缺乏的时候，不等式思维就

是十分强大的武器了。1

01n n t t t -≤

≤+，利用积分单调性有10101n t dt t n

≤≤+⎰ 用保号性定理还有迫敛性定理可得1

0lim

01n

n t dt t

→∞=+⎰ 【总结】不等式思维对于大学数学学习十分重要，它可以严谨定义极限等式，可以将难以求解的不等式放大、化归到我们容易处理的不等式，还有迫敛性定理以不等（非严格）来推导相等的思想对于后续一些知识学习，理解也是十分重要的！ 【参考文献】

闵嗣鹤，严士健.初等数论.北京.高等教育出版社，2013

刘名生，冯伟贞，韩彦昌.数学分析（一）.北京.科学出版社，2012