圆锥曲线面积问题试题精选

圆锥曲线面积问题试题精选１

1、在平面直角坐标系中,过定点作直线与抛物线相交于A、Ｂ两点．（Ⅰ)若点Ｎ是点Ｃ关于坐标原点O的对称点，求△ANB 面积的最小值;

（Ⅱ)是否存在垂直于y轴的直线，使得被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？

若存在，求出的方程;若不存在,说明理由．

（此题不要求在答题卡上画图)

1、本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．

解法1:（Ⅰ）依题意，点的坐标为,可设,

直线的方程为，与联立得消去得．

由韦达定理得，．

于是.

，

当,．

(Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，

设的中点为,与为直径的圆相交于点,的中点为，

则，点的坐标为.

,

,

,

．

令,得，此时为定值，故满足条件的直线存在,其方程为, 即抛物线的通径所在的直线．

解法2:（Ⅰ)前同解法1,再由弦长公式得

，

又由点到直线的距离公式得．

从而,

当时,．

（Ⅱ)假设满足条件的直线存在,其方程为,则以为直径的圆的方程为

,

将直线方程代入得，

则.

设直线与以为直径的圆的交点为,

则有.

令，得,此时为定值，故满足条件的直线存在,其方程为，即抛物线的通径所在的直线．

2、(本小题满分14分)（注意：在试题卷上作答无效） 过抛物线的对称轴上一点

的直线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、

N 向直线

作垂线,垂足分别为

、

。

（Ⅰ）当时,求证：⊥；

（Ⅱ)记、 、的面积分别为、、，是否存在,使得对任意的，

都有2213S =S S 成立。若存在,求出的值;若不存在,说明理由。

解:依题意,可设直线MN 的方程为,则有

(Ⅰ)如图1，当时，点即为抛物线的焦点,为其准线

此时①可得

证法１:

证法2:

（Ⅱ）存在,使得对任意的,都有成立,证明如下：证法１：记直线与ｘ轴的交点为,则。于是有

将①、②、③代入上式化简可得

上式恒成立，即对任意成立

证法2：如图2，连接,则由可得

，所以直线经过原点O, 同理可证直线也经过原点O

又设则

3、如图所示,椭圆Ｃ:的一个焦点为F（１，０）,且过点(２,0).

（1）求椭圆Ｃ的方程;

(2）已知Ａ、B为椭圆上的点,且直线AB垂直于轴，直线：

＝4与轴交于点Ｎ,直线ＡＦ与ＢN交于点M。

(ⅰ)求证:点M恒在椭圆C上；

(ⅱ)求△AMＮ面积的最大值.

4、方法一:(1)解:由题设，从而,

所以椭圆C的方程为+＝１．………………………………3分(2）(i)证明:由题意得F（1,0)、N（4,0）.

设，则,．①

AＦ与ＢN的方程分别为：

.

设，则有

由上得

由于

==1.

所以点Ｍ恒在椭圆C上.………………………………7分

（ⅱ)解:设AM的方程为,代入，

得ks5u

设、,则有,.

=＝．

令，则

＝

因为函数在为增函数,

所以当即时，函数有最小值4.

即时,有最大值３，此时AM过点Ｆ．………………………11分

△AＭN的面积S△AMN=·有最大值．………………………12分

为其右焦点.

4、已知椭圆的离心率为，且过点

,

（Ⅰ）求椭圆的方程;

(Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交于、两点(点在两点之间）,若与的面积相等,试求直线的方程.

解:(Ⅰ）因为，所以，. …………………………………1分

设椭圆方程为,又点在椭圆上,所以，

解得，…………………………………………………………………………３分所以椭圆方程为. …………………………………………………………4分（Ⅱ)易知直线的斜率存在,

设的方程为, ……………………………………………………………５分

由

消去整理,得

, ………………………………………………6分

由题意知，

解得．……………………………………………………………………７分

设

,，则

，

①,

．

…②.

因为与的面积相等,

所以，所以

.

③ 0

由①③消去得

.

④

将代入②得

.

⑤

将④代入⑤，

整理化简得,解得，经检验成立. (2)

所以直线的方程为．……………………………1３分

5、已知抛物线和直线没有公共点(其中、为常数),动点是直线上的任意一点，过点引抛物线的两条切线,切点分别为、，且直线恒过点.

（1）求抛物线的方程；

(2)已知点为原点,连结交抛物线于、两点,

证明：.

6、已知双曲线()的一个焦点坐标是，一条渐近线方程是. (Ⅰ）求双曲线的方程;

(Ⅱ)若斜率为的直线与该双曲线相交于不同的两点、，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形面积为,求实数的取值范围.

解：（Ⅰ)因为双曲线的方程为（）．由题设得

，解得,所以双曲线方程为.

（Ⅱ）设直线的方程为（)．点，的坐标满足方程组

将直线的方程代入双曲线方程得，

整理得．

此方程有两个不等实根，于是,且．

整理得. 由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足

,．

从而线段的垂直平分线方程为．

此直线与轴,轴的交点坐标分别为，.

由题设可得．整理得，．