高一数学课件 面面垂直的判定
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高一数学面面垂直课件
在刚才的命题中，直线AB，平面 ，平面有以下三种关系：
直线AB 平面 β 平面 α 平面 β 。 直线AB 平面 α
如果仍然选取其中两个条件作为前提，另一个条件作为结论
构造这样的一个命题：
平面 α 平面 β 直线AB 平面 β 。 直线AB 平面 α
平 面 PAC 平 面 PBC
AF PC
PB EF AE PB
AF 平 面 PBC AE PB
例2题目 1) 例2解答
2) 例2解答
计算
2) 若PA=AB=a, AC
6 a，求二面角A PB C的大小。 3
2 a, PA PB a , 在Rt PAB中，AE 2 6 PA a, AC a, EE 3 15 在Rt PAC中，PC a, FF 3 AF 2 5 在Rt AEF中， sin AEF 。 AE 5
BD 平 面 PAC 平面PAC 平面PBD。 BD 平 面 PBD
例1题目
解答
应用
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足， AB为O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。 1) 求证：平面PAC平面PBC； 2) 若PA=AB=a, AC 6 a，求二面角A PB C的大小。 3
α 直线AB 平面 α 直线AB 平面 β 。 A 平面 α 平面 β CD D AB CD
B C
平面 α 平面 β
β
猜想 证明 证明 过程 结论 问题 发现 猜想
注
性质定理
已知：平面 ⊥平面β ，平面 ∩平面β =CD，
A平面 ， AB⊥CD且AB ∩ CD=B。 求证：直线AB⊥平面β 。
直线AB 平面 β 平面 α 平面 β 。 直线AB 平面 α
如果仍然选取其中两个条件作为前提，另一个条件作为结论
构造这样的一个命题：
平面 α 平面 β 直线AB 平面 β 。 直线AB 平面 α
平 面 PAC 平 面 PBC
AF PC
PB EF AE PB
AF 平 面 PBC AE PB
例2题目 1) 例2解答
2) 例2解答
计算
2) 若PA=AB=a, AC
6 a，求二面角A PB C的大小。 3
2 a, PA PB a , 在Rt PAB中，AE 2 6 PA a, AC a, EE 3 15 在Rt PAC中，PC a, FF 3 AF 2 5 在Rt AEF中， sin AEF 。 AE 5
BD 平 面 PAC 平面PAC 平面PBD。 BD 平 面 PBD
例1题目
解答
应用
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足， AB为O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。 1) 求证：平面PAC平面PBC； 2) 若PA=AB=a, AC 6 a，求二面角A PB C的大小。 3
α 直线AB 平面 α 直线AB 平面 β 。 A 平面 α 平面 β CD D AB CD
B C
平面 α 平面 β
β
猜想 证明 证明 过程 结论 问题 发现 猜想
注
性质定理
已知：平面 ⊥平面β ，平面 ∩平面β =CD，
A平面 ， AB⊥CD且AB ∩ CD=B。 求证：直线AB⊥平面β 。
高中数学人教版必修2-面面垂直的判定 课件(共17张PPT)
D1 A1
D O
A
C1
B1 C
B
1.二面角的范围
。
。
[0 ,180 ]
2.直二面角
A
平面角为直角的二面角
叫做直二面角
O
B
归纳：求二面角大小的步骤为：
（1）找出或作出二面角的平面角；
（2）证明其符合定义(垂直于公共棱)；
（3）计算.
两个平面垂直的定义
B A
O
如果两个平面相交 所成的二面角是直二 面角，那么我们称这 两个平面相互垂直.
分析：线面垂直 面面垂直
已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD， 你能发现哪些平面互相垂直的，为什么?
A
B
D
C
三、证明题：
在空间四边AC的中点.
求证:平面BEF 平面BDG。 A
E
G D
B F
C
归纳小结：
（1）二面角的定义 (2)判定面面垂直的两种方法： ①定义法（直二面角） ②根据面面垂直的判定定理 (3)从面面垂直的判定定理我们还可以看出 面面垂直的问题可以转化为线面垂直的问
面面垂直的判定
宁德市实验学校
观察下面两个图形,它们之间有什么关系?
墙所在的平面和地面所在的平面之间的位置关 系？
直观感受面面所成的角
思考如何刻画面面所 成的角？
二面角的定义
A
O
两个半平面
B
在两个半平面上
垂直于棱的两条 射线
公共棱
如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1 中，找出二面角C1—BD—C的平面角。
题来解决.
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谢谢大家！
一日不读口生，一日不写手生。 不要抱怨自己所处的环境，如果改变不了环境，那么就改变自己的心态。 不要自卑，你不比别人笨。不要自满，别人不比你笨。 付出了不一定有回报，但不付出永远没有回报。 天才是百分之一的灵感加上百分之九十九的努力。 学到很多东西的决窍，就是一下子不要学很多的东西。 学贵精不贵博。……知得十件而都不到地，不如知得一件却到地也。 困难越大，荣耀也越大。 每一发奋努力的背后，必有加倍的赏赐。 人若软弱就是自己最大的敌人。 不论你在什么时候结束，重要的是结束之后就不要悔恨。 当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 目标不是都能达到的，但它可以作为瞄准点。 没有人能替你承受痛苦，也没有人能抢走你的坚强。 人不能创造时机，但是它可以抓住那些已经出现的时机。 如果放弃太早，你永远都不知道自己会错过什么。 勇敢地迎接逆境，即使不能实现最初的梦想，也会打开另一扇梦想的大门。 努力耕耘，少问收获。 不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要停止。 生活就像海洋，只有意志将强的人才能到达彼岸。 人生道路，绝大多数人，绝大多数时候，人都只能靠自己。
面面垂直的判定定理课件
Part
04
面面垂直的判定定理在几何中 的应用
应用场景一：多面体
在多面体中，如果一个平面与多面体的一个面相交，并且交线与多面体的一个顶 点垂直，则该平面与多面体的所有面都垂直。这个判定定理在证明多面体的性质 和解决相关问题时非常有用。
例如，利用面面垂直的判定定理可以证明正方体的六个面都是正方形，也可以证 明长方体的相对两面平行。
复杂几何问题的思考
问题1
在长方体中，如果一个顶点上的 三条棱分别与另一个顶点上的三 条棱垂直，那么这两个顶点是否
在同一平面上？
问题2
在四面体中，如果一个顶点上的三 条棱分别与另一个顶点上的三条棱 垂直，那么这两个顶点是否在同一 平面上？
问题3
在球体中，是否存在两个点，使得 从一个点出发的三条射线分别与从 另一个点出发的三条射线垂直？
符号表示
设平面α内有两条相交直线$a$和$b$， 平面β内有一直线$c$，若$a ⊥ c$，$b ⊥ c$，则平面α与平面β互相垂直，记 作α⊥β。
定理证明
• 证明过程：首先，由于直线$a$和$b$在平面α内相交，且都与直线$c$垂直，根据空间几何的性质，我们知道两条相 交的直线确定一个平面。因此，我们可以确定直线$a$和$b$确定的平面记作γ。接下来，由于直线$c$与平面γ内的 两条相交直线$a$和$b$都垂直，根据面面垂直的判定定理，我们可以得出结论：平面α与平面γ互相垂直。
相关定理与公式的关联性探讨
定理1
如果一个平面内的两条相交 直线分别与另一个平面垂直 ，那么这两个平面垂直。
定理2
如果一个平面内的任意一条 直线都与另一个平面垂直， 那么这两个平面垂直。
公式1
在直角三角形中，斜边的 平方等于两直角边的平方 和。
高中数学：面面垂直判定课件共20张PPT
二面角的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
D’
C’
A’
B’
D
C
A
OB
两平面垂直
1、定义：两个平面相交，如果它们所成的 二面角是直二面角，则两个平面垂直
记作α⊥β
性质: 1、凡是直二面角都相等
2、两个平面相交,可引成四个二面角,如 果其中有一个是直二面角,那么其他各个 二面角都是直二面角
1）角的顶点在棱上
2）角的两边分别在两个面内
3）角的边都要垂直于二面角的棱
A O
l
B
10
二面角的大小 二面角的大小可以用它的平面角来
度量．即二面角的平面角是多少度，就 说这个二面角是多少度． ① 两个半平面重合：二面A角是 0o； ② 两个半平面合成一个平面：180o；
二面角的范围：[ 0o, 180o ]． B
③ 平面角是直角的二面角叫直二面角．
O
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角 的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列
二面角的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；
2、判定定理：
若一个平面经过另一个平面的一条垂线， 则这两个平面互相垂直
D
A
C
B
线面垂直
面面垂直
2、判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
符号表示：
l l
α β
αβ
l
线线垂直 线面垂直
高一数学人教A版必修2通用课件平面与平面垂直的判定
平面内的一条直线把平面分成两部分，这两 部分通常称为 半平面 ．从一条直线出发的两 概念 个 半平面 所组成的图形叫做二面角．这条 直线叫做二面角的 棱 ，这两个半平面叫做 二面角的面
图示 在二面角的棱上任取一点，以该点为垂
平 文 足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射
面 字 线，则这两条射线构成的 角 叫做这个二
如图所示，已知△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在 平面外一点，PA＝PB＝PC.求证：平面PAC⊥平面ABC.
[分析] 设P在平面ABC内射影为O，∵PA＝PB＝PC，∴ OA＝OB＝OC，∴O为Rt△ABC的外心，即AC中点．
[证明] 取AC中点O，连接PO，OB.因为AO＝OC，PA＝ PC，所以PO⊥AC.因为∠ABC＝90°，所以OB＝OA.又PB＝ PA，PO＝PO，所以△POB≌△POA，所以∠POB＝∠POA， 即PO⊥OB.所以PO⊥平面ABC.因为PO⊂平面PAC，所以平面 PAC⊥平面ABC.
当点P在二面角α－l－β外部时，如右图． 过点P作PA⊥α于点A，PB⊥β于点B，则PA⊥l，PB⊥l，
如图所示，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，找出图中所有 互相垂直的平面．
[解析] ∵AB⊥平面BCD，且AB⊂平面ABC和AB⊂平面 ABD，
∴平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD. ∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD. 又∵BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC. ∵CD⊂平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD. 故图中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD，平面ABD ⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD.
∴AD⊥BC，∴∠ADO是二面角A－BC－O的平面角．
由AO⊥α，OB⊂α，OC⊂α知AO⊥OB，AO⊥OC.
图示 在二面角的棱上任取一点，以该点为垂
平 文 足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射
面 字 线，则这两条射线构成的 角 叫做这个二
如图所示，已知△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在 平面外一点，PA＝PB＝PC.求证：平面PAC⊥平面ABC.
[分析] 设P在平面ABC内射影为O，∵PA＝PB＝PC，∴ OA＝OB＝OC，∴O为Rt△ABC的外心，即AC中点．
[证明] 取AC中点O，连接PO，OB.因为AO＝OC，PA＝ PC，所以PO⊥AC.因为∠ABC＝90°，所以OB＝OA.又PB＝ PA，PO＝PO，所以△POB≌△POA，所以∠POB＝∠POA， 即PO⊥OB.所以PO⊥平面ABC.因为PO⊂平面PAC，所以平面 PAC⊥平面ABC.
当点P在二面角α－l－β外部时，如右图． 过点P作PA⊥α于点A，PB⊥β于点B，则PA⊥l，PB⊥l，
如图所示，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，找出图中所有 互相垂直的平面．
[解析] ∵AB⊥平面BCD，且AB⊂平面ABC和AB⊂平面 ABD，
∴平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD. ∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD. 又∵BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC. ∵CD⊂平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD. 故图中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD，平面ABD ⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD.
∴AD⊥BC，∴∠ADO是二面角A－BC－O的平面角．
由AO⊥α，OB⊂α，OC⊂α知AO⊥OB，AO⊥OC.
面面垂直的判定与性质课件
详细描述
如果两个平面都与同一直线垂直，那 么这两个平面之间的夹角为90度，即 这两个平面互相垂直。
性质3：垂直于同一平面的两条直线互相平行
总结词
如果两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行。
详细描述
如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线之间的夹角为0度，即这两 条直线互相平行。
应用场景1：建筑学中的面面垂直
逆定理的表述
• 逆定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一 个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
逆定理的证明
• 证明：设两条相交直线为$a$和$b$，它们与平面$\alpha$垂直。根据直线与平面垂直的性质，有$a \perp \alpha$和$b \perp \alpha$。由于$a$和$b$相交，根据平面的性质，过$a$和$b$的平面$\beta$与平面$\alpha$垂直。因此，逆定理 得证。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面之间的距离相等。
详细描述
根据面面垂直的性质，如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面之间的距离 是相等的。这是因为它们都与第三个平面形成相同的角度，所以它们之间的距离也是相
等的。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一条直线，则 这两个平面之间的距离相等。
电子设备设计中，面面垂直的应用有助于提高设备的性能和稳定性。
详细描述
在电子工程中，电路板和电子元件的布局都需要遵循面面垂直的判定与性质。例如，在制造手机的过程中，利用 面面垂直的判定方法可以确保屏幕与机壳之间的垂直度，从而提高手机的显示效果和使用寿命。此外，在制造高 精度传感器的过程中，也需要利用面面垂直的判定方法来确保传感器的精确度和稳定性。
如果两个平面都与同一直线垂直，那 么这两个平面之间的夹角为90度，即 这两个平面互相垂直。
性质3：垂直于同一平面的两条直线互相平行
总结词
如果两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行。
详细描述
如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线之间的夹角为0度，即这两 条直线互相平行。
应用场景1：建筑学中的面面垂直
逆定理的表述
• 逆定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一 个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
逆定理的证明
• 证明：设两条相交直线为$a$和$b$，它们与平面$\alpha$垂直。根据直线与平面垂直的性质，有$a \perp \alpha$和$b \perp \alpha$。由于$a$和$b$相交，根据平面的性质，过$a$和$b$的平面$\beta$与平面$\alpha$垂直。因此，逆定理 得证。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面之间的距离相等。
详细描述
根据面面垂直的性质，如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面之间的距离 是相等的。这是因为它们都与第三个平面形成相同的角度，所以它们之间的距离也是相
等的。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一条直线，则 这两个平面之间的距离相等。
电子设备设计中，面面垂直的应用有助于提高设备的性能和稳定性。
详细描述
在电子工程中，电路板和电子元件的布局都需要遵循面面垂直的判定与性质。例如，在制造手机的过程中，利用 面面垂直的判定方法可以确保屏幕与机壳之间的垂直度，从而提高手机的显示效果和使用寿命。此外，在制造高 精度传感器的过程中，也需要利用面面垂直的判定方法来确保传感器的精确度和稳定性。
8.6.3第1课时平面与平面垂直的判定定理课件高一下学期数学人教A版
探究新知
观察 建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与水平 面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为 墙面垂直于水平面，否则他就认为墙面不垂直于水平面．你能 明白这种方法的道理吗？
No
Image
猜想： 如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，
那么这两个平面互相垂直.
探究新知
已知：AB , AB (图１) 求证：
受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？
β
α
以二面角的棱上任意一点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
探究新知
二面角的平面角说明:
(1)角的顶点在棱上;
B
(2)角的两边分别在两个面内;
β
(3)角的边都垂直于二面角的棱。
lO
A α
A
A
l
O
B
O B
猜想： 如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，
那么这两个平面互相垂直.
探究新知
5．平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这 两个平面垂直.
a a
简记：线面垂直
a
面面垂直
例题讲解
例1:已知：如图, 正方体ABCD-A'B'C'D'. 求证：平面A′BD⊥平面ACC'A'.
使G1，G2，G3三点重合，重合后记为G- SEF，则四面体S-EFG中
必有( ).
A.SG⊥△EFG所在平面
S
G3
B.SD⊥△EFG所在平面 F
C.GF⊥△SEF所在平面
D
D.GD⊥△SEF所在平面 G1
新教材高一数学精品课件——平面与平面垂直的判定
根据面面垂直的判定定理：
AB 面 BCD
AB 面 BCD CD 面 ABC 面 ABC 面 BCD 面 ABD 面 BCD 面 ABC 面 ACD
几何画板
注：过一个平面的垂线的平面不止一个。
平面与平面的垂直判定定理小结
（1）判定面面垂直的两种方法：
①定义法
②根据面面垂直的判定定理
§2、3、2 平面与平面垂直的判定
新课引入：
直线与直线，直线与平面可以垂直， 平面与平面是否存在垂直关系？如何认识 两个平面垂直？
两个平面互相垂直的定义:
两个平面相交,如果它们所成的二 面角是直二面角，就说这两个平面互 相垂直.
图示：
记作:
画法：把直立于平面的竖边画成与水平平 面的横边垂直。
E
两个平面垂直的判定定理:
Байду номын сангаас
一个平面过另一个平面的垂线， 则这两个平面垂直.
符号:
l l
简记：线面垂直，则面面垂直
证明面面垂直的本质和关键是什么？
本质：线线垂直→线面垂直→面面垂直 关键：找垂直平面的线
探究：
如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD， 你能发现哪些平面互相垂直，为什么？
（2）面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面 互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的 另一个平面的依据； （3）从面面垂直的判定定理我们还可以看出面 面垂直的问题可以转化为线面垂直的问题进一 步转化为线线垂直的问题来解决.
作业：
P73 习题2.3A组 1，3，4，6
平面与平面垂直定义的理解： (1)除了定义之外,如何判定两个平面 面面垂直的定义表示：要证明面面垂
(2)日常生活中还有哪些能体现平面与 直，我们需要找到这两个平面所成二面角 平面垂直的例子呢?
AB 面 BCD
AB 面 BCD CD 面 ABC 面 ABC 面 BCD 面 ABD 面 BCD 面 ABC 面 ACD
几何画板
注：过一个平面的垂线的平面不止一个。
平面与平面的垂直判定定理小结
（1）判定面面垂直的两种方法：
①定义法
②根据面面垂直的判定定理
§2、3、2 平面与平面垂直的判定
新课引入：
直线与直线，直线与平面可以垂直， 平面与平面是否存在垂直关系？如何认识 两个平面垂直？
两个平面互相垂直的定义:
两个平面相交,如果它们所成的二 面角是直二面角，就说这两个平面互 相垂直.
图示：
记作:
画法：把直立于平面的竖边画成与水平平 面的横边垂直。
E
两个平面垂直的判定定理:
Байду номын сангаас
一个平面过另一个平面的垂线， 则这两个平面垂直.
符号:
l l
简记：线面垂直，则面面垂直
证明面面垂直的本质和关键是什么？
本质：线线垂直→线面垂直→面面垂直 关键：找垂直平面的线
探究：
如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD， 你能发现哪些平面互相垂直，为什么？
（2）面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面 互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的 另一个平面的依据； （3）从面面垂直的判定定理我们还可以看出面 面垂直的问题可以转化为线面垂直的问题进一 步转化为线线垂直的问题来解决.
作业：
P73 习题2.3A组 1，3，4，6
平面与平面垂直定义的理解： (1)除了定义之外,如何判定两个平面 面面垂直的定义表示：要证明面面垂
(2)日常生活中还有哪些能体现平面与 直，我们需要找到这两个平面所成二面角 平面垂直的例子呢?
面面垂直的判定公开课课件
直。由此可知，平面β与平面α垂直。
方法2：利用面面平行的性质判定面面垂直
总结词
通过证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质判定两个平面垂直
详细描述
首先证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质，即如果两个平面平行，那么其中一个 平面内的任意一条直线都与另一个平面垂直，从而得出两个平面垂直的结论。
证明过程
利用三垂线定理证明一个平面内的两 条相交直线分别与另一个平面垂直， 从而得出两个平面垂直的结论。
要点三
证明过程
设直线a、b为平面α内的两条相交直 线，直线c为平面β外的一条直线，我 们需要证明直线a、b与平面β垂直， 进而证明平面α与平面β垂直。根据三 垂线定理，如果直线c与平面β的斜线 c'在点A处相交，那么c'在点A处的垂 足d在直线a、b上，且直线c、a、b 都与直线d垂直。由此可知，直线a、 b与平面β垂直。由此可知，平面α与 平面β垂直。
设平面α与平面β平行，直线a在平面α内，我们需要证明直线a与平面β垂直。由于平面α 与平面β平行，根据面面平行的性质，平面α内的任意一条直线都与平面β垂直。因此，直 线a与平面β垂直。由此可知，平面α与平面β垂直。
方法3：利用三垂线定理判定面面垂直
要点过三垂线定理证明两个平面垂直
面面垂直的判定公开课课件
$number {01}
目录
• 面面垂直的判定定理 • 面面垂直的性质 • 面面垂直的判定方法 • 面面垂直的实例分析 • 面面垂直的习题与解答
01
面面垂直的判定定理
判定定理的陈述
• 判定定理：如果一个平面内的一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互 相垂直。
判定定理的证明
• 证明：假设平面α内有直线l，且l与平面β垂直。为了证明平面α 与平面β垂直，我们需要证明平面α上的任意一条直线m都与平 面β垂直。设直线m在平面α上并与直线l相交于点P。由于l与β 垂直，根据直线与平面垂直的性质定理，l与β上的任意一条直 线（包括m）都垂直。因此，m与β也垂直。由于m是平面α上 的任意一条直线，所以我们可以得出结论：平面α与平面β垂直 。
方法2：利用面面平行的性质判定面面垂直
总结词
通过证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质判定两个平面垂直
详细描述
首先证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质，即如果两个平面平行，那么其中一个 平面内的任意一条直线都与另一个平面垂直，从而得出两个平面垂直的结论。
证明过程
利用三垂线定理证明一个平面内的两 条相交直线分别与另一个平面垂直， 从而得出两个平面垂直的结论。
要点三
证明过程
设直线a、b为平面α内的两条相交直 线，直线c为平面β外的一条直线，我 们需要证明直线a、b与平面β垂直， 进而证明平面α与平面β垂直。根据三 垂线定理，如果直线c与平面β的斜线 c'在点A处相交，那么c'在点A处的垂 足d在直线a、b上，且直线c、a、b 都与直线d垂直。由此可知，直线a、 b与平面β垂直。由此可知，平面α与 平面β垂直。
设平面α与平面β平行，直线a在平面α内，我们需要证明直线a与平面β垂直。由于平面α 与平面β平行，根据面面平行的性质，平面α内的任意一条直线都与平面β垂直。因此，直 线a与平面β垂直。由此可知，平面α与平面β垂直。
方法3：利用三垂线定理判定面面垂直
要点过三垂线定理证明两个平面垂直
面面垂直的判定公开课课件
$number {01}
目录
• 面面垂直的判定定理 • 面面垂直的性质 • 面面垂直的判定方法 • 面面垂直的实例分析 • 面面垂直的习题与解答
01
面面垂直的判定定理
判定定理的陈述
• 判定定理：如果一个平面内的一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互 相垂直。
判定定理的证明
• 证明：假设平面α内有直线l，且l与平面β垂直。为了证明平面α 与平面β垂直，我们需要证明平面α上的任意一条直线m都与平 面β垂直。设直线m在平面α上并与直线l相交于点P。由于l与β 垂直，根据直线与平面垂直的性质定理，l与β上的任意一条直 线（包括m）都垂直。因此，m与β也垂直。由于m是平面α上 的任意一条直线，所以我们可以得出结论：平面α与平面β垂直 。
《面面垂直的判定》课件
《面面垂直的判定》ppt课件目录CONTENCT •引言•面面垂直的定义•面面垂直的判定定理•面面垂直的判定方法•实例分析•总结与思考01引言主题介绍垂直关系在几何学中的重要性垂直关系是几何学中的基本概念之一，它在许多实际问题中有广泛的应用。
面面垂直的判定定理面面垂直的判定定理是“如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两个平面垂直”。
理解面面垂直的判定定理会应用面面垂直的判定定理解决问题培养空间想象能力和逻辑思维能力通过本课件的学习，学生应能够理解并掌握面面垂直的判定定理。
学生应能够运用所学知识解决一些实际问题，如建筑物的垂直度测量、机械零件的设计等。
通过本课件的学习，学生应能够培养空间想象能力和逻辑思维能力，为后续学习打下基础。
学习目标02面面垂直的定义两个平面互相垂直，当且仅当一个平面内的任意直线都与另一个平面垂直。
文字定义文字定义给出了面面垂直的充分必要条件，即一个平面内的任意直线与另一个平面垂直。
解释两个平面互相垂直，当且仅当一个平面与另一个平面的法线垂直。
图形定义01020304性质1性质2定理解释性质与定理如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面垂直，那么这两个平面互相垂直。
如果一个平面内的任意直线都与另一个平面垂直，那么这两个平面互相垂直。
如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面内的任意直线都与另一个平面垂直。
性质和定理进一步阐述了面面垂直的判定条件，为解决实际问题提供了理论依据。
03面面垂直的判定定理总结词简洁明了地概括了面面垂直的判定定理。
详细描述面面垂直的判定定理是，如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
定理内容总结词详细说明了面面垂直的判定定理的证明过程。
详细描述首先，假设两个平面$alpha$和$beta$，且$alpha$内的两条相交直线$a$和$b$与$beta$垂直。
我们需要证明$alpha perp beta$。
根据直线与平面垂直的判定定理，如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。
人教版高一数学《2.3.4平面与平面垂直的性质》课件
2.长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1与 平面ABCD垂直，平面A1ADD1内的直线A1A 与平面ABCD垂直吗?
D1 A1
D
A
C1 B1
C B
平面与平面垂直的性质定理
1. 两视个察平实面验垂直,则一
个平面视内察垂两直垂于直交平线面的直
线中与,另一个一平个面平内面的垂直直线.
l
与符另号一表个示平：面的有哪
例1 如下图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，
ABCD是∠DAB＝60°且边长为a
的菱形．侧面PAD为正三角形，
其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证： BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB.
分析：①ABCD是边长为a的菱形；
②面PAD⊥面ABCD.
解答本题可先由面⊥面得线⊥面，再进一步得出线⊥线．
面面垂直
性质定理 判定定理
线面垂直
巩固提升:
1. 如图,已知平面 , , ，直线a满足
a , a ,试判断直线a与平面 的位置关系。
解:在 内作垂直于 与 交线的直线b,
因为 ,所以 b .
因为 a ,所以 a // b . 又因为 a ,所以a // .
a
b
即直线a与平面 平行
变式1 如图所示，α⊥β，CD⊂β，CD⊥AB， CE、EF⊂α，∠FEC＝90°.
求证：面EFD⊥面DCE.
证明：∵α⊥β，CD⊂β， CD⊥AB，α∩β＝AB，∴CD⊥α. 又∵EF⊂α，∴CD⊥EF. 又∠FEC＝90°，∴EF⊥EC. 又EC∩CD＝C，∴EF⊥面DCE. 又EF⊂面EFD，∴面EFD⊥面 DCE.
(2) 当 F 为 PC 的 中 点 时 ， 满 足 平 面 DEF⊥ 平 面 ABCD.取PC的中点F，连接DE、EF、DF，
D1 A1
D
A
C1 B1
C B
平面与平面垂直的性质定理
1. 两视个察平实面验垂直,则一
个平面视内察垂两直垂于直交平线面的直
线中与,另一个一平个面平内面的垂直直线.
l
与符另号一表个示平：面的有哪
例1 如下图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，
ABCD是∠DAB＝60°且边长为a
的菱形．侧面PAD为正三角形，
其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证： BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB.
分析：①ABCD是边长为a的菱形；
②面PAD⊥面ABCD.
解答本题可先由面⊥面得线⊥面，再进一步得出线⊥线．
面面垂直
性质定理 判定定理
线面垂直
巩固提升:
1. 如图,已知平面 , , ，直线a满足
a , a ,试判断直线a与平面 的位置关系。
解:在 内作垂直于 与 交线的直线b,
因为 ,所以 b .
因为 a ,所以 a // b . 又因为 a ,所以a // .
a
b
即直线a与平面 平行
变式1 如图所示，α⊥β，CD⊂β，CD⊥AB， CE、EF⊂α，∠FEC＝90°.
求证：面EFD⊥面DCE.
证明：∵α⊥β，CD⊂β， CD⊥AB，α∩β＝AB，∴CD⊥α. 又∵EF⊂α，∴CD⊥EF. 又∠FEC＝90°，∴EF⊥EC. 又EC∩CD＝C，∴EF⊥面DCE. 又EF⊂面EFD，∴面EFD⊥面 DCE.
(2) 当 F 为 PC 的 中 点 时 ， 满 足 平 面 DEF⊥ 平 面 ABCD.取PC的中点F，连接DE、EF、DF，
高中数学：面面垂直的判定1课件共31张PPT
∪
∵AB⊥β，CD β，∴AB⊥CD.
C β
B E
D 在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则 ∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角，
∪
∵AB⊥β，BE β，
∴AB⊥BE. ∴二面角α--CD--β是
直二面角，∴α⊥β.
21
平面与平面垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两
个平面垂直.
解决.
31
（D ）
A.二面角的大小范围是大于0 且小于90 B.一个二面角 的平面角可以不相等 C、二面角的平面角的顶点可以
不在棱上D.二面角的棱和二面角的平面角所在的平面垂直
29
3、已知二面角 l 的大小为 ，直线 a ，
a与 所成的角为 ，则
（A）
A.
B.
C.当 90 时， 90 ;当 90 时,
AF PC于F。
求证（1）BC AF; （2）平面AEF 平面PAB.
P
E
F
A
B
C
24
探究： 已知AB 面BCD, BC CD
请问哪些平面互相垂直的,为什么?
面ABC 面BCD AB 面BCD A
面ABC 面ACD CD 面ABC
面ABD 面BCD AB 面BCD
B
D C
25
所成的角的取值范围： 1
( 0o, 90o )
A
B
3
二、课堂设问，任务驱动
1.在平面几何中"角"是怎样定义的？
从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。
4
二、课堂设问，任务驱动
2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线,在空间任选一点O,分别引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异 面直线所成的角。 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这 条直线和这个平面所成的角。
《面面垂直判定》课件
在《面面垂直判定》的ppt课件中，首先介绍了如何直接应用判定定理来判断两 个平面是否垂直。具体来说，如果一个平面内存在一条直线与另一个平面垂直 ，则这两个平面互相垂直。
判定定理的间接应用
总结词
通过其他性质或定理推导
详细描述
除了直接应用判定定理，还可以通过其他性质或定理来推导两个平面是否垂直。 例如，如果两个平面在某一直线上有共同的垂线，且该直线与其中一个平面内的 两条相交直线分别垂直，则这两个平面互相垂直。
两个平面相交，如果它们 的法线互相垂直，则这两 个平面互相垂直。
面面垂直的性质
如果两个平面互相垂直，则一 个平面内的任何直线都与另一 个平面垂直。
如果一个平面与另一个平面垂 直，则这个平面的法线与另一 个平面的法线也互相垂直。
如果两个平面互相垂直，则其 中一个平面上的一条直线与另 一个平面的交点处形成的线面 角是直角。
工程实践中的面面垂直
总结词：实践操作
详细描述：通过一些工程实践案例，如高层建筑的施工、机械零件的设计等，让学生了解如何运用面 面垂直的判定定理来解决实际问题，提高学生的实践操作能力。
Part
05
练习与思考
判定定理的练习题
总结词：巩固理解
详细描述：提供一系列关于面面垂直判定定理的练习题，帮助学生理解和掌握这一重要 概念。
面面垂直的判定定理
如果一个平面内的两条相交直线 与另一个平面垂直，则这两个平
面互相垂直。
如果一个平面内的两条平行直线 与另一个平面垂直，则这两个平
面互相垂直。
如果一个平面与另一个平面的法 线垂直，则这两个平面互相垂直
。
Part
03
面面垂直的判定方法
判定定理的直接应用
总结词
判定定理的间接应用
总结词
通过其他性质或定理推导
详细描述
除了直接应用判定定理，还可以通过其他性质或定理来推导两个平面是否垂直。 例如，如果两个平面在某一直线上有共同的垂线，且该直线与其中一个平面内的 两条相交直线分别垂直，则这两个平面互相垂直。
两个平面相交，如果它们 的法线互相垂直，则这两 个平面互相垂直。
面面垂直的性质
如果两个平面互相垂直，则一 个平面内的任何直线都与另一 个平面垂直。
如果一个平面与另一个平面垂 直，则这个平面的法线与另一 个平面的法线也互相垂直。
如果两个平面互相垂直，则其 中一个平面上的一条直线与另 一个平面的交点处形成的线面 角是直角。
工程实践中的面面垂直
总结词：实践操作
详细描述：通过一些工程实践案例，如高层建筑的施工、机械零件的设计等，让学生了解如何运用面 面垂直的判定定理来解决实际问题，提高学生的实践操作能力。
Part
05
练习与思考
判定定理的练习题
总结词：巩固理解
详细描述：提供一系列关于面面垂直判定定理的练习题，帮助学生理解和掌握这一重要 概念。
面面垂直的判定定理
如果一个平面内的两条相交直线 与另一个平面垂直，则这两个平
面互相垂直。
如果一个平面内的两条平行直线 与另一个平面垂直，则这两个平
面互相垂直。
如果一个平面与另一个平面的法 线垂直，则这两个平面互相垂直
。
Part
03
面面垂直的判定方法
判定定理的直接应用
总结词
高一数学 面面垂直的判定课件
A
CD 平面ABO
P
B
D
O
C 思考：课本55页 B组 3.
1.如图，ABCD 是正方形，SA 平面 ABCD，E 为 SE 的中点， 求证：（1）OE 平面 ABCD
（2）平面 BDE 平面 ABCD （3）AC BE
S
E
D O
A
C B
2.已知PA ⊥平面ABCD，ABCD为矩形， PA = AD，M、N分别是AB、PC的中点，
则图中互相垂直的面有（ B ）对
A.2
B.3
C.4
D.5
P
A
C
B
例 2.已知 RtVABC 中，AB＝AC＝a，D 为 BC 的中点，
以 AD 为折痕使 BDC 成直角。
（1）求证：平面 ABD 平面 BDC、平面 ACD 平面 BDC；
（2）求 BAC 的大小.
A
A
D
B
D
C
（1）
B
（2）
C
平面ACD 平面ABD
小结
1、两个平面垂直的定义.
2、两个平面垂直的判定定理和性质定理.
直线AB 直线AB
平面β 平面α
平面α
平面β。
3、“转化思想”.
面面垂直
线面垂直
线线垂直
空间
平面
作业
1、复习本节内容. 2、完成教材Ｐ54：A组、B组练习 3、完成课后拓展学案.
变式练习 2：空间四边形 ABCD 中，
已知 AC = AD ， BC BD ， O 是 CD 的中点， 求证：平面 ABO ⊥平面 BCD .
a
(10)
1.2.3 平面与平面垂直
1、两个平面垂直的定义
CD 平面ABO
P
B
D
O
C 思考：课本55页 B组 3.
1.如图，ABCD 是正方形，SA 平面 ABCD，E 为 SE 的中点， 求证：（1）OE 平面 ABCD
（2）平面 BDE 平面 ABCD （3）AC BE
S
E
D O
A
C B
2.已知PA ⊥平面ABCD，ABCD为矩形， PA = AD，M、N分别是AB、PC的中点，
则图中互相垂直的面有（ B ）对
A.2
B.3
C.4
D.5
P
A
C
B
例 2.已知 RtVABC 中，AB＝AC＝a，D 为 BC 的中点，
以 AD 为折痕使 BDC 成直角。
（1）求证：平面 ABD 平面 BDC、平面 ACD 平面 BDC；
（2）求 BAC 的大小.
A
A
D
B
D
C
（1）
B
（2）
C
平面ACD 平面ABD
小结
1、两个平面垂直的定义.
2、两个平面垂直的判定定理和性质定理.
直线AB 直线AB
平面β 平面α
平面α
平面β。
3、“转化思想”.
面面垂直
线面垂直
线线垂直
空间
平面
作业
1、复习本节内容. 2、完成教材Ｐ54：A组、B组练习 3、完成课后拓展学案.
变式练习 2：空间四边形 ABCD 中，
已知 AC = AD ， BC BD ， O 是 CD 的中点， 求证：平面 ABO ⊥平面 BCD .
a
(10)
1.2.3 平面与平面垂直
1、两个平面垂直的定义
高中数学——面面垂直的性质 PPT课件 图文
[两个平面垂直的性质定理2] 如果两个平面垂直，那么经过第一个平面的一点
垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．
练习．在互相垂直的两个平面中，下列命题中正
确命题的个数为 [ ]
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内
的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内
的无数多条直线；
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平
已知： α⊥γ ，β ⊥γ ，α ∩ β =l 求证：l ⊥γ
α
β
lB
γ
A
例 4：如图，平面 AED⊥平面 ABCD，⊿AED 是等边
三角形，四边形 ABCD 矩形，且 AD= a ,AB= 2a ,
(1) 求证：EA⊥CD (2) 求 EC 与平面 ABCD 所成的角
E 解（1）∵平面AED⊥平面ABCD 又CD⊥AD ∴CD⊥平面AED ∵AE在平面AED内 ∴CD⊥EA
(2) 若E、F分别是AB、BC的中点，
D
求证： 平面A1C1FE⊥平面B1D
(3) 若G是BB1的中点
A
E
求证：平面A1C1G⊥平面B1D
D1
A1
C
F Ｂ G GG G
C1
B1
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想 找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她 说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原 因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相
垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内．
练习．在互相垂直的两个平面中，下列命题中正
确命题的个数为 [ ]
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内
的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内
的无数多条直线；
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平
已知： α⊥γ ，β ⊥γ ，α ∩ β =l 求证：l ⊥γ
α
β
lB
γ
A
例 4：如图，平面 AED⊥平面 ABCD，⊿AED 是等边
三角形，四边形 ABCD 矩形，且 AD= a ,AB= 2a ,
(1) 求证：EA⊥CD (2) 求 EC 与平面 ABCD 所成的角
E 解（1）∵平面AED⊥平面ABCD 又CD⊥AD ∴CD⊥平面AED ∵AE在平面AED内 ∴CD⊥EA
(2) 若E、F分别是AB、BC的中点，
D
求证： 平面A1C1FE⊥平面B1D
(3) 若G是BB1的中点
A
E
求证：平面A1C1G⊥平面B1D
D1
A1
C
F Ｂ G GG G
C1
B1
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想 找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她 说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原 因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相
面面垂直的性质PPT课件
思考4:对于三个平面α、β、γ，
如果α⊥γ，β⊥γ， l ，那
么直线l与平面γ的位置关系如何？ 为什么？
β l α
γ
已知： ， ， ＝l 求证：l
β l
α
a
b
γ
SUCCESS
THANK YOU
2020/10/1
思考5:若一个平面与另一个平面的垂线 平行，那么这两个平面是什么位置关系？
性质定理
面面垂直
线面垂直
判定定理
3、平面与平面垂直的性质定理：
l
b
b
bl
4、证明线面垂直的两种方法：
线线垂直→线面垂直；
面面垂直→线面垂直
5、线线、线面、面面之间的关系的转化 是解决空间图形问题的重要思想方法。
SUCCESS
THANK YOU
2020/10/1
P
A
C
B
练习：1、四棱锥P－ABCD的底面是矩形， 侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面 ABCD，E 为侧棱PD的中点 P
求证：AE⊥平面PCD；
新疆 源头学子小屋
/wxc/ 特级教师
王新敞 wxckt@ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@
l
α
β
已知：l ，l ∥ 求证：
例1 如图，四棱锥P-ABCD的底面是 矩形，AB=2，BC 2 ，侧面PAB是 等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD. （1）证明：侧面PAB⊥侧面PBC； （2）求侧棱PC与底面ABCD所成的角.
P
A
D
E
B
C
例2 如图，已知PA⊥平面ABC，平面 PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
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2、表示方法： 1）图形表示 如图
2）文字表示
3、判定方法
1）如果两个平面垂直， 则其中一个面内的所有 直线都垂直于另一个平面。
2）如果两个平面垂直，则其中一个平面内的无 数条直线垂直于另一个平面。
3）最少有几条直线垂直于另一个面，可以得到 面面垂直？
判定定理：
如果一个平面过另一个平面的垂线，则这 两个平面垂直。
平面内的一条直线把平面分成两部分，这 两部分通称为半平面。
2、二面角：
从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角。
其中这条直线叫做二面角的棱。 两个半平面叫做二面角的面。
如图： 二面角的面
l
二面角的棱
如图二面角记作：
二面角： l
3、二面角的平面角：
在二面角的棱上任取一点O，以点O为垂足， 在两个半平面内分别做垂直于棱的射线，则射线所 组成的叫做二面角的平面角。
高，以AD为折痕使）平面ABD垂直平面BDC
平面ACD垂直平面BDC
2）角BAC=60度。
A
C
B
A
D
B
D
B
C
D
C
作用： 应用：
由线面垂直证明面面垂直。
例1、如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的 平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点， 求证：平面PAC垂直平面PBC。
P
C
A
O
B
变式：如图，已知AB垂直平面BCD，BC垂直CD，你能 发现哪些平面互相垂直？为什么？
例2、已知直角三角形ABC中，
A
AB=AC=a，AD是斜边BC上的
思想：将空间二面角转化为平面角来求解。 1）角的大小与O的位置有关吗？为什么？
2）二面角的范围应该 是什么？
步骤： 1）在两个半平面内作棱的 垂线，且交于一点。
2）找角 3）求角（利用三角形） 4）还原
A
O
B
二、面面垂直 1、定义：
如果两个平面相交，且它们所成的二面角 等于90度时，则称这两个平面垂直。
复习：
1、空间中的两个平面具有哪些位置关系？分别有 什么特点？
2、面面平行的定义是什么？怎样判定两个平面平行？ 对于两个平行平面还有什么结论？
3、利用判定定理证明面面平行的思路是什么？ 利用定理的推论呢？
4、根据面面平行可以得到什么结论？还有哪些结论？
2.3.2 平面与平面相交
一、二面角 1、半平面：