知识讲解 圆周运动和向心加速度

圆周运动和向心加速度

编稿：周军 审稿：隋伟

【学习目标】

1、理解匀速圆周运动的特点，掌握描述匀速圆周运动快慢的几个物理量：线速度、角速度、周期、转速的定义，理解它们的物理意义并能灵活的运用它们解决问题。

2、理解并掌握描写圆周运动的各个物理量之间的关系。

3、理解匀速圆周运动的周期性的确切含义。

4、理解向心加速度产生的原因和计算方法。

【要点梳理】

要点一、圆周运动的线速度

要点诠释：

1、线速度的定义：

圆周运动中，物体通过的弧长与所用时间的比值，称为圆周运动的线速度。 公式：t

l v ∆∆= （比值越大，说明线速度越大） 方向：沿着圆周上各点的切线方向

单位：m/s

2、 说明

1）线速度是指物体做圆周运动时的瞬时速度。

2）线速度的方向就是圆周上某点的切线方向 线速度的大小是t

l ∆∆的比值。所以v 是矢量。 3）匀速圆周运动是一个线速度大小不变的圆周运动。

4）线速度的定义式t

l v ∆∆=，无论是对于变速圆周运动还是匀速圆周运动都成立，在变速圆周运动中，只要t ∆取得足够小，公式计算的结果就是瞬时线速度

注：匀速圆周运动中的“匀速”二字的含义：仅指速率不变，但速度的方向（曲线上某点的切线方向）时刻在变化。

要点二、描写圆周运动的角速度

要点诠释：

1、角速度的定义：

圆周运动物体与圆心的连线扫过的角度θ∆与所用时间t ∆的比值叫做角速度。

公式：t

∆∆=

θω 单位：rad s /(弧度每秒) 2、说明：

1)这里的θ∆必须是弧度制的角。

2）对于匀速圆周运动来说，这个比值是恒定的，即匀速圆周运动是角速度保持不变的圆周运动。

3）角速度的定义式t

∆∆=θω，无论是对于变速圆周运动还是匀速圆周运动都成立，在变速圆周运动中，只要t ∆取得足够小，公式计算的结果就是瞬时角速度。

4)关于ω的方向：中学阶段不研究。

5）同一个转动的物体上，各点的角速度相等

例如：木棒OA 以它上面的一点O 为轴匀速转动时，它上面的各点与圆心O 的连线在相等时间内扫过的角度相等。

即：ωωωA B C ==

3、关于弧度制的介绍

(1)角有两种度量单位：角度制和弧度制

(2)角度制：将一个圆的周长分为360份，其中的一份对应的圆心角为一度。因此一个周角是3600，平角

和直角分别是1800和900。

(3)弧度制：定义半径长的弧所对应的圆心角为一弧度，符号为rad 。一段长为l ∆的圆弧对应的圆心角是r

l ∆=∆θ rad, θ∆=∆r l (4)特殊角的弧度值：在此定义下，一个周角对应的弧度数是：()rad r r ππθ22==；平角和直角分别是2

ππ和 （rad ）。 （5）同一个角的角度α和用弧度制度量的θ之间的关系是：πα

θ180=rad , 0180⨯=π

θα 要点三、匀速圆周运动的周期与转速

要点诠释：

1、周期的定义：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期，单位：s 。

它描写了圆周运动的重复性。

2、周期T 的意义：不难看到，周期是圆周运动的线速度大小和方向完全恢复初始状态所用的最小时间；周期长说明圆周运动的物体转动得慢，周期短说明转动得快。

观察与思考：同学们看一看你所戴的手表或者墙上钟表上的时、分、秒针，它们的周期分别是多少？想一想角速度和周期的关系如何？（秒针的周期最小，其针尖的线v 最大，ω也最大。）

3、匀速圆周运动的转速

转速n ：指转动物体单位时间内转过的圈数。

单位： r/s （转每秒），常用的单位还有r /min (转每分) 关系式：n

T 1=s(n 单位为r/s)或T n =60s(n 单位为r/min) 注意：转速与角速度单位的区别：角速度转速():/():/ωrad s

n r s ⎧⎨⎩

要点四、描述圆周运动快慢的几个物理量的相互关系

要点诠释：

因为这几个都是描述圆周运动快慢，所以它们之间必然有内在联系

1、线速度、角速度和周期的关系 匀速圆周运动的线速度和周期的关系2r v T

π=

匀速圆周运动的角速度和周期的关系T

πω2= 匀速圆周运动的角速度和周期有确定的对应关系：角速度与周期成反比。

2、线速度、角速度与转速的关系：

匀速圆周运动的线速度与转速的关系：2v rn π=（n 的单位是r/s ）

匀速圆周运动的角速度与转速的关系：n πω2=（n 的单位是r/s ）

3、线速度和角速度的关系：

(1)线速度和角速度关系的推导：

特例推导：

设物体沿半径为r 的圆周做匀速圆周运动，在一个Ｔ时间内转过2πr 的弧长及2π角度，则：

T T r

v πωπ22==

ωr v =⇒ 一般意义上的推导： 由线速度的定义：t

l v ∆∆=

而θ∆=∆r l ，所以r t

v ∆∆=θ 又因为t ∆∆=θω，所以ωr v = (2) 线速度和角速度的关系：ωr v = ω=v r

可知：ω一定时v r ∝，r v 一定时∝ω。

同理： v 一定时ω∝1r

，r 一定时ω∝v 。 (3)对于线速度与角速度关系的理解：

是一种瞬时对应关系，即某一时刻的线速度与这一时刻的角速度的关系，适应于匀速圆周运动和变速圆周运动。

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要点五、圆周运动的向心加速度

要点诠释：

1、向心加速度产生的原因：向心加速度由物体所受到的向心力产生,根据牛顿第二定律知道，其大小由向心力的大小和物体的质量决定。

2、向心加速度大小的计算方法：

（1）由牛顿第二定律计算：F a m =向向 ；

（2）由运动学公式计算：2

2v a r v r

ωω===向 如果是匀速圆周运动则有：22

222244v a r r r f v r T

πωπω=====向